下载文档原格式
第四章 图形的相似4.1 成比例线段精选练习一、单选题1．（2022·山东淄博·八年级期末）如果线段3a =，2b =，且b 是线段a 和c 的比例中项，那么c =（ ）A ．23B ．32C ．34D ．432．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校九年级阶段练习）若y ﹣2x ＝0，则x ：y 等于（ ）A ．1：2B ．1：4C ．2：1D ．4：13．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知35ab=，则a bb a+-的值为（ ）A．2B．52C．4D．454．（2022·全国·九年级专题练习）已知67xy=，则下列结论一定成立的是（ ）A．x＝6，y＝7B．137x yy+=C．y﹣x＝1D．76x y=5．（2021·福建东盛集团股份有限公司九年级期中）下列各组线段中，不成比例的是（ ）A．30cm,20cm,90cm,60cm B．4cm,6cm,8cm,10cmC ．11cm,22cm,33cm,66cmD ．2cm,4cm,4cm,8cm 【答案】B 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例；不相等即不成比例．【详解】A 、从小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合题意;B 、从小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合题意;C 、从小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合题意;D 、从小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合题意.故选 B ．【点睛】本题考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，若最长和最短两条线段之积与另两条线段之积相等，则说明四条线段成比例．6．（2021·安徽亳州·九年级阶段练习）若2a c b d ==-，则a c b d --＝（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12二、填空题7．（2021·福建·漳州三中九年级期中）若275x y z ==，则x y z x -+=__．8．（2021·山东济南·九年级期中）若23yx=，则x yx+=____．【答案】53##2139．（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级期中）已知a＝1，b＝4，则a，b的比例中项c的值为________．【答案】±2【分析】根据比例中项的概念得到2c ab=，再根据平方根的定义求得c即可．【详解】解：∵c为a、b的比例中项，∴2c ab=，∵a＝1，b＝4，∴24c ab==，解得：c=±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查比例中项的概念、平方根的求法，熟练掌握比例中项的概念得到2c ab=是解答的关键，注意正数的平方根有两个，且互为相反数．10．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．【答案】1.2【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，2.531a=´，解得 1.2a=，故答案为：1.2．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．三、解答题11．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如果a c ekb d f===（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f）．求k的值．12．（2022·全国·九年级专题练习）已知a：b＝3：2，求：(1)a b b +(2)27 4a bb-13．（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求y xy-的值．一、填空题1．（2022·湖南·岳阳市第十九中学九年级期末）若34a c e b d f ===，则2323a c e b d f -+=-+______．2．（2022·江西景德镇·九年级期末）已知234a b c ==¹，且4a b c +-=，则=a ______．3．若3是x 和4的比例中项，则x 的值为___________4．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数a ，b ，c 满足123234a b c ---==，设23S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则n m 的值为 __．【答案】1116+##0.6875二、解答题5．（2022·全国·九年级专题练习）已知3a b +＝4b c +＝5c a +，求a b c c a b ---+的值．6．（2022·全国·九年级专题练习）已知2222a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++=k ，求k 2-3k-4的值．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．7．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28（1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．8．（2022·全国·九年级专题练习）（1）若x y =115，求代数式2x y y -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b c a b c -+-+的值．。
八级下册数学线段的比黄金分割基础题北师版八年级下册数学线段的比、黄金分割基础题北师版一、单选题(共10道，每道10分)1.下列各组四条线段中成比例的是（）A.a=12,b=8,c=15,d=11B.a=4,b=6,c=5,d=10C.a=,b=3,c=2,d=D.a=2,b=,c=,d=2.已知，则下列不正确的是（）A.B.C.D.3.已知，则=（）A.1B.C.D.4.已知=2，则=（）A.2B.C.4D.5.已知，则m= .A.2B.－1C.1D.2或－16.在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平洋路的长度约为25厘米，则它的实际距离约为（）m.A.20000B.2000C.2000000D.2007.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3,b=2,c=4,则d=（）A.B.6C.D.8.第十一届全运会的柔道、武术项目在滨州举行，为此滨州市在中海之畔修建了一座体育场馆，场馆的主场地长、宽分别是70米和40米，在比例尺为1：1000的图纸上画出这个场地，则图纸上的场地面积是（）平方厘米.A.280B.2800C.28D.2.89.如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且，那么下列说法错误的是（）A.线段AB被C黄金分割B.点C叫做线段AB的黄金分割点C.AB与AC的比叫黄金比D.AC与AB的比叫黄金比10.已知P是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则AP的长为（）A.B.C.D.或。
成比例线段练习题成比例线段练习题在数学中，成比例线段是一个重要的概念。
它涉及到线段之间的比例关系，不仅在几何学中有应用，也在实际生活中有很多实用的场景。
本文将通过一系列练习题，帮助读者更好地理解和应用成比例线段的概念。
练习题一：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=6，CD=9。
求线段EF的长度，已知EF与CD成比例，且CD=15。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/CD将已知条件代入，得到：6/9 = EF/15通过交叉乘法，可以得到：9EF = 6 * 15解方程可得：EF = 10练习题二：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=5，CD=10。
线段EF与线段AB成比例，且EF=12。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = EF/GH将已知条件代入，得到：5/10 = 12/GH通过交叉乘法，可以得到：5GH = 10 * 12解方程可得：GH = 24练习题三：已知线段AB与线段CD成比例，且AB=8，CD=12。
线段EF与线段CD成比例，且EF=15。
求线段GH的长度，已知GH与EF成比例。
解答：根据成比例线段的性质，我们可以得出以下比例关系：AB/CD = GH/EF将已知条件代入，得到：8/12 = GH/15通过交叉乘法，可以得到：8 * 15 = 12GH解方程可得：GH = 10通过以上练习题的解答，我们可以看出成比例线段的计算方法是非常简单的。
只需要根据已知条件，运用交叉乘法和解方程的方法，就可以求得未知线段的长度。
成比例线段的应用也非常广泛，例如在地图上测量距离时，可以利用已知线段与未知线段的比例关系，快速计算出未知线段的长度。
除了计算线段的长度，成比例线段还可以用来解决一些实际问题。
例如，在建筑设计中，如果我们知道某个建筑物的高度与宽度成比例，可以通过已知的比例关系，推算出其他未知尺寸，从而帮助进行设计和规划。
1 成比例线段
1．如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ）
A ．53x y y +=
B ．13y x y -=
C ．123x y =
D ．
1314x y +=+ 2．若23a b b -=，则a b
=（ ） A ．13 B ．23 C ．43 D ．5
3
3．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使3CA AB =，则线段CA 与线段CB 之比为（ ）
A ．34∶
B ．23∶
C ．35∶
D ．12∶
4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2 m 的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案，小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中，如图3是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01 m
）是（参考数据：1.414≈
1.732≈
2.236≈）（ ）
A ．0.62m
B ．0.76m
C ．1.24m
D ．1.62m
5．已知a b c d ，，，是成比例线段，其中a =3 cm ，b =2 cm ，c =6 cm ，则d =_______cm ．
6．若125x y z 3++=，3217x y z ++=，则111x y z ++= ．
7．若345
x y z ==，则x y z z ++＝ ．
参考答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．4 6．3 7．12 5。
《比例线段》典型例题例题1. 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？（1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ；（2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a ．例题2. 如图，）（）（）（2,3,1,2,2,0C B A --．（1）求出AB 、BC 、AC 的长．（2）把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到C B A '''、、的坐标，求出C A C B B A '''''',,的长．（3）这些线段成比例吗？例题3．已知811=+x y x ，求y x例题4．已知432z y x ==，求y x z y x -+-33的值例题5．若3753=+b b a ，则b a 的值是__________例题6．设k yx z x z y z y x =+=+=+，求k 的值例题7．如果0432≠==c b a ，求：bc a c b a 24235-++-的值 例题8．线段x ，y 满足1:4:)4(22=+xy y x ，求y x :的值例题9．如图，已知，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，并且 23===AE AC DE BC AD AB ，ABC ∆的周长为12cm ，求：ADE ∆的周长参考答案例题1 分析 观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知bc ab =，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例．解答 （1）cm 16,cm 10,cm 8,cm 5====a d b c ，ac bd c a d b ==⨯=⨯,80,80 ， ∴dc a b =， ∴四条线段成比例．（2）10cm 8cm,6cm,0.6dm cm,5.0=====d a c b ，ca bd ca bd ≠==,48,5，∴这四条线段不成比例．例题2 分析 利用勾股定理可以求出这些线段的长．解答 （1）133222=+=AB ，543,26152222=+==+=AC BC ．（2）)4,6(),2,4(),4,0(C B A '-'-'，132134526422=⨯==+=''B A ，26226410421022=⨯==+=''C B ，108622=+=''C A ．（3）21,21,2113213=''=''==''C A AC C B BC B A AB ， ∴C A AC C B BC B A AB ''=''=''， 这些线段成比例．例题3．解答：由比例的基本性质得x y x 11)(8=+∴y x 83= ∴38=y x说明 本题考查比例的基本性质，易错点是由y x 83=化成比例式时错成83=y x ，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解。
比 例 线 段◆比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac 例1：6∶x = (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5x -)∶x 中的x = 例2：若，则＝________（2）合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.想想是否可以拓展呢？即分母加（减）分子，不变的是分子例1：若43=-b b a ，则ba =_________ 例2：如果，则＝________（3）等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则ba n f db m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 例1：若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 例2：已知：，则＝________；如果，那么＝________例3:若a b+c =b c+a =c a+b=k ，求k 的值.（4）比例中项:若c a b c a b cb b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 例1：已知：线段，若线段b 是线段a,c 的比例中项，则c ＝________例2： 2:)3(-a = )3(-a :8,则a ＝【练一练】1、 若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , ___________,____,===c b a ；2、 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且12=++z y x , 那么_________,____,===z y x ；3、已知dc b a =＝f e ＝2 （b ＋d ＋f ≠0），求：（1）f d be c a ++++；（2）f d b e c a +-+-； （3）f d b ec a 3232+-+-；（4）f b ea 55--．4、 已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② )(y x +∶____)(=+z y ；5、 若322=-y y x , 则_____=yx ； 6、若345x y z ==，则x y z z ++＝ ．若x:y:z=2:3:4，则=+-+y x z y x 232 ．7、如果 ，则 ，。
第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解【知识点讲解】一、比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成nm b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果dc b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质：(1)比例的基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b cb b a =⇔=2 (2)反比性质： cd a b d c b a =⇔= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =⇒=或ac bd = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±⇒= (5)等比性质: n m fe d c b a ====...且 ba n f db m ec a n fd b =++++++++⇒≠++++......0...比例线段练习① a=2，b=5,c=15，d=23；② a=2，b=3, c=2，d=3；③ a=4，b=6, c=5，d=10；④ a=12，b=8, c=15，d=102、已知：ad=bc（1） 将其改写成比例式；（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式；（3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；（4）若db c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算.(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?5、EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。
比的性质和比例线段30题（有答案）1．若==（abc≠0），求的值．2．已知：（x、y、z均不为零），求的值．3．已知：，求代数式的值．4．已知===k，求k的值．5．已知x：y：z=2：3：4，求的值．6．已知a：b：c=3：2：1，且a﹣2b+3c=4，求2a+3b﹣4c的值．7．已知，（1）求的值；（2）若，求x值．8．已知xyz≠0且，求k的值．9．若==，求a：b：c的值．10．已知：==，求的值．11．若=k，且x+y﹣z=5，求x，y，z的值．12．如果，求k的值．13．已知线段．（1）若a：b=c：x，求x；（2）若b：y=y：c，求y．14．已知：=，说明：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项．15．已知：==≠0，求a：b：c的值．16．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比是3：2，后来又有6名女生参加进来，此时男生与女生人数的比为5：4，求原来各有多少名男生和女生？17．已知，求的值．18．求的值．19．已知，且b+d+f≠0（1）求的值；（2）若a﹣2c+3e=5，求b﹣2d+3f的值．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，==，求△ABC三边的长．21．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．22．（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．23．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比以及比值；（2）如果线段a，b，c，d成比例，求线段d的长．24．在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB，BC的比例中项，求线段AC的长．25．在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD：DC=AB：AC，BD﹣DC=2cm，求BC的长．26．下列各组中的a，b，c，d四个数是否成比例，若成比例请写出比例式（式中须含全部4个字母）．（1）a=1cm，b=3cm，c=6cm，d=9cm；（2）a=5cm，b=10cm，c=15cm，d=20cm；（3）a=1.9cm，b=8.1cm，c=5.7cm，d=2.7cm；（4）a=126cm，b=23cm，c=14cm，d=207cm．27．已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．28．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．29．（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．（3）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．30．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，求AB：BC的值．比的性质和比例线段30题参考答案：1．解：设===k，则a=2k，b=3k，c=5k，所以===．2．解：设=k，则x=6k，y=4k，z=3k∴===3．3．解：设=t，∴，解得，，∴==．4．解：①a+b+c≠0时，∵===k，∴k==2；②a+b+c=0时，a+b=﹣c，a+c=﹣b，b+c=﹣a，所以，k==﹣1，综上所述，k的值为2或﹣15．解：∵x：y：z=2：3：4，∴设x=2k，y=3k，z=4k，∴===6．解：∵a：b：c=3：2：1，∴设a=3k，b=2k，c=k，∵a﹣2b+3c=4，∴3k﹣4k+3k=4，∴k=2，∴a=6，b=4，c=2，∴2a+3b﹣4c=12+12﹣8=16．7．解由，设x=2k，y=3k，z=4k，（1），（2）化为，∴2k+3=k2，即k2﹣2k﹣3=0，∴k=3或k=﹣1，经检验，k=﹣1不符合题意，∴k=3，从而x=2k=6，即x=6．8．解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵===k，∴k==2，②当x+y+z=0时，x+y=﹣z，z+x=﹣y，y+z=﹣x，所以，k=﹣1，综上所述，k=2或﹣1．9．解：∵==，∴==，∴a+c=2b，∴==，∴=，整理得，a=b，∴b+c=2b，c=b，∴a：b：c=b：b：b=2：3：410．解：设比值为k，则2a﹣b﹣c=ka，﹣a﹣c+2b=kb，﹣a﹣b+2c=kc，所以，b+c=（2﹣k）a，a+c=（2﹣k）b，a+b=（2﹣k）c，∵==，∴=k=0，∴==（2﹣k）3，∵k=0，∴（2﹣k）3=（2﹣0）3=8，∴=8．11．解：∵===k，∴x=2k，y=3k，z=4k，∵x+y﹣z=5，∴2k+3k﹣4k=5，解得k=5，∴x=10，y=15，z=20．12．解：①当x+y+z=0时，y+z=﹣x，z+x=y，x+y=﹣z，∴k为其中任何一个比值，即k==﹣1；②x+y+z≠0时，k===2．13．解：（1）整理得：=，∴x=c÷==（2+）（2﹣）×2=2；（2）由，可得，∴y2=（2+）（2﹣）=1．∴y=±1．14．解：∵=，∴ad=bc，∵（ab+cd）2=a2b2+2abcd+c2d2，（a2+c2）（b2+d2）=a2b2+a2d2+b2c2+c2d2=a2b2+2abcd+c2d2，∴（ab+cd）2=（a2+c2）（b2+d2），∴ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项15．解：设：===k，则：，①﹣②得：a﹣c=﹣k ④，③+④得：2a=6k，∴a=3k，∴b=﹣k，c=4k，∴a：b：c=3：（﹣1）：4．16．解：设男生与女生原来的人数分别为3k、2k，由题意得，=，整理得，12k=10k+30，解得k=15，3k=3×15=45，2k=2×15=30．答：原来各有45名、30名男生和女生．17．解：设=x，分情况进行：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质，得x===1，∴a=b=c=d，∴==2；当a+b+c+d=0时，则=0．故的值为2或018．解：设=x，分情况进行：当a+b+c≠0时，根据等比性质，得x==；当a+b+c=0时，则a+b=﹣c，x=﹣1．故的值为﹣1或．19．解：（1）∵===2，∴=2；（2）∵===2，∴a=2b，c=2d，e=2f，∵a﹣2c+3e=5，∴2b﹣2（2d）+3（2f）=5，∴b﹣2d+3f=2.520．解：==，得a=c，b=c，把a=c，b=c代入且a+b+c=36，得c+c+c=36，解得c=15，a=c=9，b=c=12，△ABC三边的长：a=9，b=12，c=15．21．解：（1）设===k，则a=3k，b=2k，c=6k，所以，3k+2×2k+6k=26，解得k=2，所以，a=3×2=6，b=2×2=4，c=6×3=18；（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab=6×4=24，∴线段x=2．22．解：（1）∵b是a，c的比例中项，∴a：b=b：c，∴b2=ac；b=±，∵a=4，c=9，∴b=±=±6，即b=±6；（2）∵MN是线段，∴MN＞0；∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB：MN=MN：CD，∴MN 2=AB•CD，∴MN=±；∵AB=4cm，CD=5cm，∴MN=±=±2；MN不可能为负值，则MN=2，通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．23．解：a=0.3m=3dm，b=60cm=6dm，c=12dm．（1）a：b=3：6=；（2）∵线段a，b，c，d成比例，∴3：6=12：d，解得d=24．故线段d的长是24分米24．解：设AC=x，则BC=a﹣x，∵AC是AB，BC的比例中项，∴AC2=BC•AB，即x2=（a﹣x）•a，解得：x=a，∵AC＞0，∴AC=a．故线段AC的长为a25．解：∵BD：DC=AB：AC，AB=15cm，AC=10cm，∴BD：DC=15：10=3：2，设BD=3x则DC=2x，∵BD﹣DC=2，∴3x﹣2x=2，x=2，∴BC=BD+CD=5x=10cm．26．解：（1）从小到大排列，由于1×9≠3×6，所以不成比例；（2）从小到大排列，由于5×20≠10×15，所以不成比例；（3）从小到大排列，由于1.9×8.1=5.7×2.7，所以成比例，比例式为a：c=d：b；（4）从小到大排列，由于14×207=23×126，所以成比例，比例式为a：c=d：b．（或c：b=a：d）27．证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，解得：m=，∵a，b，c，d四个数成比例，∴=，∴=，∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上28．解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）29．解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴=，∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，答：线段d的长是4cm．（2）解：∵线段c是线段a和b的比例中项，∴c2=ab，∵a=4，b=9，代入得：c=6，答：线段c的长是6cm．（3）①解：∵y1与x成正比例，设y1=ax，（a≠0），∵y2与x成反比例，设y2=（b≠0）∴y=ax+，把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：，解得：，∴y=2x+，答：y与x之间的函数关系式是y=2x+．②解：由①知：y=2x+，当x=4时，y=，答：当x=4时，y的值是．30．解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，设AD=x，则AB=2AD=2x，根据勾股定理，BD===x，∴BC=2x，∴AB：BC=2x：2x=1：．。
第五讲 比例和相似图形一，比例a ∶b = a ÷b = a/b比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项： 若a c b d=，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项。
比例的性质：1、基本性质：如果a c b d=，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad bc =。
2、合比性质：如果a c b d=，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d±±=。
3、等比性质：如果nm d c b a === （0≠+++n d b ），则nm d c b a n d b m c a ====++++++ ，运用这个性质时，一定要注意0≠+++n d b 的条件。
例1、已知34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c b ，若a 是b 、c 的比例中项，则=c b 。
例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f -+-+的值。
例3、已知118x y x +=，求x y。
二，比例线段1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a m b n=，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。
2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段。
例如线段a 、b 、c 、d ，如果a cb d=，则称线段a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d b c =。
3，黄金分割：把线段AB 分成两条线段AP 、PB （AP ＞PB ），如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。
平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评 （1（3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8． 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。
比例线段同步练习（一）选择题：（每题2分，共24分）1．梯形两底分别为、，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为…………………………… ( )2．如图，在正三角形则有… ( )3．使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有……………………………………… ( )（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4．如图，图中相似三角形的对数是……………………………… ( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）55．相似的是………………………………………… ( )6．如图，且有下列条件：其中一定能够判定是直角三角形的共有………………………… ( )（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个7．如图，将绕正方形则下列结论中错误的是…………………………………………… ( )8．如图，在矩形上任意一点，则有…………………………… ( )9．如图，在交于点，则等于………………………………… ( )（A）4︰10︰25 （B）4︰9︰25 （C）2︰3︰5 （D）2︰5︰2510．如图，直线为……………… ( ) （A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰211．如图，在连结并延长，交的延长线于为………………………………………… ( ) （A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片重合，那么折叠后的长分别为……………………………… ( )（二）填空题：（每题2分，共20分）13．已知线段的第四比例项是的比例中项是_____．14．若15．如图，在于16．如图，______．17．如图，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知只需添加条件______ （只要写出一种合适的条件）．19．如图，的长等于________．20．如图，则的面积是______．21．如图，直角梯形面积是_________．22．如图，已知（三）画图题：（4分）23．方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．（四）证明题：（每题7分，共28分）24．如图，25．如图，在求证26．已知：如图，求证：27．如图，的延长线于求证：（五）解答题：（每题8分，共24分）28．如图，（1）当（2）过求证四边形为矩形（自己完成图形）．29．如图，在矩形（1）是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由．30．如图，在出发，以每秒2 的速度沿答案第一大题第1小题【提示】设所要求的线段长为，则有【答案】B．第2小题【提示】【答案】B．第3小题【提示】所截得的三角形为直角三角形，过三边的垂线，可作3条．【答案】C．第4小题【提示】【答案】C．第5小题【提示】【答案】C．第6小题【提示】∵∴（1）错，（2）对．【答案】A．第7小题【提示】先检验的正确性．【答案】C．第8小题【提示】【答案】B．第9小题【提示】【答案】A．第10小题【提示】【答案】C．第11小题【提示】【答案】A．第12小题【提示】【答案】B．第二大题第13小题【提示】【答案】第14小题【提示】【答案】第15小题【提示】【答案】10．第16小题【提示】.【答案】1︰5．第17小题【提示】【答案】6对。
2.2比例线段同步练习一、 填充题：（3分×14=42分）1、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ，=+x y x2、543z y x==，则=++x z y x ，=+-++zy x z y x 53232 3、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=6cm ，则b= cm 。
4、已知， 如图：ABC ∆中，DE//BC ，AD ：DB=1:3，EC=6cm ，则AE= cm ．5、若线段AB=10cm ，C 是AB 的黄金分割点，则较短线段CB=cm 。
6、如图，直线321////l l l ，已知AG=1.2cm ，BG=2.4cm ，EF=4cm ，CD=3cm ，则 CH= ，KF= 。
7、 比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离是 公里。
8、 梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM=2.1cm ，则MC= cm 。
(2) 如果95=AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。
9、如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，则AF ：BF= 。
10、若梯形的中位线长12cm ，二条对角线分中位线所成的两条线段之比为1：3，则梯形的两底长分别是 。
二、 选择题（3分×7=21分）11、已知dc b a =，则下列等式中不成立的是…………………………（ ） A.c d a b = B. d d c b b a -=- C. dc c b a a +=+ D. b a c bd a =++ 12、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是………………（ ）A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cmB. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mmC. a=30mm b=2cm c=54cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm13、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于………（ ）A. 4：3B. 3：2C. 2：3D. 3：414、已知53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④38=+x y x 这四个式子中正确的个数是……………………………（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15、在右图中，BC//DE ，下列比例式中，正确的是…………………（ ）A.CE BD AC AB =B. DE BC BD AB =C. DEAB AE AD = D. AECE AD AB = 16、已知：MN//PQ ，a ≠b,c ≠x ，则满足关系式abc x =的图形是……（ ）17、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是……（ ）A. 5:3B. 5:4C. 5:12D. 25:12三、 解答题：（共计37分）18、（5分）已知7532=b a ，求ba b a 3423+的值。
