2020中考数学 数形结合思想专题练习(含答案)

借“数形结合思想”解题数形结合的经典分类1. 利用函数图象，寻找特殊图形的构成。

（1）利用函数图象，寻找等腰三角形的第三点坐标。

如：在平面直角坐标系中，A （2，2），点P 在x 轴上，若△APO 是等腰在三角形，求Ｐ坐标？x答案：1P（，0），2P （0），3P （4，0），4P （2，0）。

（2）利用函数图象，构造平行四边行（或特殊平行四边形）。

如：函数y=２x+２与x 轴y 轴交于Ａ、Ｂ两点，在坐标平面内找一点Ｃ，使Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ构成平行四边形，求Ｃ坐标。

答案：1C （-1,2），2C （-1,-2），3C （1,2）。

2. 利用全等三角形及函数图象解决问题。

如图所示，直线L ：y=x+１与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM =4，BN =3，求MN 的长。

答案：7。

3. 利用动点及多函数交点坐标解决与面积有关的问题。

如图，一次函数y =ax －b 与正比例函数y =kx 的图象交于第三象限内的点A ，与y 轴交于B （0，－4），△OAB 的面积为6，在y 轴上是否存在一点E ，使S △ABE =5，若存在，求E 点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：1E （0，23-），2E （0，223-）。

总结：①综合性问题涉及的内容较多，解题根本是熟练掌握各知识点；②以上所举例子只是综合性习题中的一小部分，往往要多个问题综合到一起，难度较大。

例题 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）。

若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OAB CDE 分割成面积相等的两部分，则下列各点在直线l 上的是（ ）A. （4，3）B. （5，2）C. （6，2）D. （0，310）解析：先延长BC 交x 轴于点F ，连接OB ，AF ，DF ，CE ，DF 和CE 相交于点N ，由所给点的坐标得出四边形OABC ，四边形CDEF 都为矩形，并且点M （2，3）是矩形OABF 对角线的交点，点N 是矩形CDEF 的中心，得出直线l 必过M 和N 点，再设直线l 的解析式为y=kx+b ，利用待定系数法即可求出直线l 的函数表达式，然后把所给的点分别代入，即可求出答案。

数形结合有巧解—全方位解析2020江苏苏州中考数学28题（压轴题）本题最后一问有多种解法，代数几何方法均可，对于学生的数学思维考察很有帮助。

（2020·苏州-28-分值10）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A 出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（3）求四边形OPCQ的面积．试题动画制作讲解链接：观看试题动画制作视频请戳我试题分析讲解链接：观看试题分析视频请戳我（1）由题意可得，OP＝8﹣t，OQ＝t，∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．解法二:如图,连接AC∵∠POQ=90°,∴PQ是圆的直径.∴∠PCQ=90°∵∠PQC=∠POC=45°,∴△PCQ是等腰直角三角形,PC=QC∵四边形OPCQ内接于圆,∴∠OQC+∠OPC=180°又∵∠APC+∠OPC=180°,∴∠OQC=∠APC :AP=OQ-t,∴△OQC≌△APC(SAS）∴∠OCQ=∠ACP,OC=AC∵∠QCO+∠OCP=∠PCQ=90°,∴∠OCA=∠ACP+∠OCP=90°∴△OCA是等腰直角三角形∴四边形OPCQ的面积S=S△OQC+S△OPC=S△APC+S△OPC=SS△OCA=1/4x OA^2=1/4x8^2=16.∴四边形OPCQ的面积为16cm^2方法三：喜欢我的分析的亲们，记得关注我的头条号：龙老师数学工作室，一定多多分享；西瓜视频里搜索：龙老师数学工作室，有更多视频，分析各省市中考压轴题，动图制作技巧的讲解，以及制图软件——几何表达式使用教程合集和2020中考压轴题合集……。

方法技巧专题 ( 一)数形联合思想训练【方法解读】数形联合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数目关系，追求代数问题的解决方案( 以形助数 ) ，或利用数目关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

1.我们学习了一次函数、二次函数和反比率函数, 回首学习过程 , 都是依据列表、描点、连线获得函数的图象, 而后依据函数的图象研究函数的性质, 这类研究方法主要表现的数学思想是()A.演绎B.数形联合C.抽象D.公义化2.若实数a, b, c在数轴上对应的点如图F1- 1, 则以下式子正确的选项是()图 F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3 [2017 ·怀化 ] 一次函数2的图象经过点(2,3), 且与x 轴、y轴分别交于点, ,则△的面积是 ().y=- x+m P - A B AOBA.B.C.4D.84. [2018 ·仙桃 ]甲、乙两车从A地出发,匀速驶向 B地 . 甲车以80 km/h的速度行驶 1 h 后 , 乙车才沿同样路线行驶. 乙车先抵达 B 地并逗留 1 h后,再以原速按原路返回, 直至与甲车相遇. 在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1- 2 所示.以下说法 : ①乙车的速度是120 km/h; ②m=160; ③点H 的坐标是(7,80);④n=7.5.此中说法正确的有()图 F1-2A4 个 B 3 个..C2 个 D 1 个..5.已知二次函数y=( x-h )2+1( h 为常数),在自变量 x 的值知足1≤ x≤3的状况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则 h 的值为 ()A. 1 或-5B.- 1或 5C. 1 或-3D.1或36.[2018 ·白银 ]如图 F1- 3是二次函数y=ax2+bx+c( a, b, c是常数 , a≠0) 图象的一部分 , 与x轴的交点A在点 (2,0)和 (3,0)之间 , 对称轴是直线x=1,对于以下说法:① ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④ a+b≥ m( am+b)( m 为常数),⑤当 - 1<x<3时 , y>0,此中正确的选项是()图 F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图 F1- 4 是由四张全等的矩形纸片拼成的图形, 请利用图中空白部分面积的不一样表示方法, 写出一个对于a, b 的恒等式 :.F1- 48 [2018 ·白 ]如 F1 5, 一次函数y=-x-2 与2的象交于点( ,4), 对于x的不等式的.-y= x+m P n -解集.F1- 59.《庄子·天下篇》中写道: “一尺之棰 , 日取其半 , 万世不断.”意思是 : 一根一尺的木棍, 假如每日截取它的一半, 永也取不完 , 如 F1- 6.F1- 6由易得: ++ +⋯+ =.10.当x=m或x=n( m≠n) , 代数式x2- 2x+3 的相等 ,x=m+n, 代数式x2- 2x+3 的.11.已知数a, b 足 a2+1= , b2+1= ,2018 |a-b|=.12.已知函数y=使y=k建立的x的恰巧只有 3 个 , k的.13. (1) 察以下形与等式的关系, 并填空 :F1- 7(2) 察 F1 8, 依据 (1) 中 , 算中黑球的个数, 并用含有n 的代数式填空 :-F1 8-1+3+5+⋯+(2 n- 1) +() +(2 n- 1) +⋯+5+3+1=.14. [2018 ·北京 ]在平面直角坐系 xOy中,直 y=4x+4与 x 、 y 分交于点A, B,抛物 y=ax2+bx- 3a 点 A,将点 B向右平移5个位度 , 获得点 C.(1)求点 C的坐;(2)求抛物的称 ;(3)若抛物与段 BC恰有一个公共点,合函数象,求 a 的取范 .参照答案1.B 2.D 3.B4 B [分析]甲、乙两车最开始相距80 km,0 到 2 h是乙在追甲 , 并在 2 h时追上 , 设乙的速度为x km/h, 可得方程.2x- 2×80=80, 解得x=120, 故①正确 ;在 2 h 时甲、乙距离为 0, 在 6 h 时乙抵达B地 , 此时甲、乙距离=(6 - 2) ×(120 - 80) =160(km), 故②正确 ;H点是乙在 B 地逗留 1 h后开始原路返回,6 h 时甲、乙距离是160 km,1 h 中只有甲在走, 因此 1 h 后甲、乙距离80 km,因此点 H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回, 直到在n h 时与甲相遇 , 初始距离 80 km, 因此相遇时间=80÷(120 +80) =0. 4, 因此n=7. 4, 故④错误 .综上所述 , ①②③正确, ④错误 , 正确的有 3 个, 应选 B.5. B [ 分析 ]由二次函数的极点式y=( x-h )2+1,可知当x=h 时, y 获得最小值1. (1) 如图① , 当x=3, y 获得最小值时 ,解得h=5(h=1舍去);(2) 如图② , 当x=1, y获得最小值时 ,解得 h=-1( h=3舍去) . 应选B.6 A[分析]∵抛物线的张口向下 , ∴0 ∵抛物线的对称轴为直线1, 即x=-1, ∴b=-20, ∴0,20, ∴①.a< .x==a>ab<a+b=②正确 .∵当x=-1 时 ,3, 由对称轴为直线 1 和抛物线过x轴上的A点 ,A点在点 (2,0)和(3,0)之间 , 知抛物线与x y=a-b+c= a+c x=轴的另一个交点在点 ( - 1,0)和 (0,0) 之间 , 因此当x=- 1 时 , y=3a+c<0, ∴③错误.∴此有 a+b+c≥ m( am+b)+c,即 a+b≥ m( am+b),∴④正确 .∵抛物 x 上的 A 点, A 点在点(2,0)和 (3,0) 之 , 抛物与x的另一个交点在点( - 1,0) 和(0,0)之,由知 ,当 2 3 , 有一部分象位于x 下方 , 明此0, 依据抛物的称性可知, 当 10 , 也有一部分象位于x<x<y<-<x<下方 , 明此y<0, ∴⑤. 故A.227. ( a-b ) =( a+b) - 4ab8.- 2<x<2 [ 分析 ]∵ y=-x-2的象点P( n, - 4),∴-n- 2=- 4,解得 n=2. ∴ P点坐是(2, - 4) .察象知 :2 x+m<-x-2 的解集x<2. 解不等式 -x- 2<0可得 x>- 2.∴不等式的解集是 - 2<x<2.9. 1-10. 3 11. 112. 1 或 2 [ 分析 ]画出函数分析式的象, 要使y=k建立的x的恰巧只有 3 个 , 即函数象与y=k 条直有 3 个交点 . 函数 y=的象如.依据象知道当y=1或2, 建立的x 恰巧有3个,∴ k=1或2. 故答案1或2.13.解 :(1)1 +3+5+7=16=42.察 , 律 , 第一个形 :1 +3=22, 第二个形 :1 +3+5=32, 第三个形 :1 +3+5+7=42, ⋯,第 ( n- 1) 个形 :1 +3+5+⋯+(2 n- 1) =n2.故答案 :4 2n2.(2)察形 :中黑球可分三部分 ,1到n 行, 第(1)行,(2) 行到 (21)行,即 135⋯ (21)[2(1)1] (21) ⋯n+n+n++ + + + n-+ n+ -+ n-+531[1 35⋯(21)](21) [(21)⋯ 5 31] 2212222 1故答案:212 2 21 + + + = + + + + n-+ n+ + n-+ + + + =n + n+ +n = n + n+ .n+n + n+ .14.解 :(1) ∵直 4 4 与x、y分交于点, ,y= x+ A B∴A( - 1,0), B(0,4) .∵将点 B 向右平移5个位度,获得点 C,∴C(0 +5,4),即 C(5,4) .(2)∵抛物 y=ax2+bx- 3a 点 A,∴a-b- 3a=0. ∴ b=-2a.∴抛物的称直x=- =- =1,即称直x=1.(3) 易知抛物点 (-1,0),(3,0).①若0, 如 , 易知抛物点 (5,12), 若抛物与段BC恰有一个公共点 , 足a>a12a≥4 即可 , 可知a的取范是a≥ .②若 a<0,如,易知抛物与y 交于点(0, - 3a),要使抛物与段BC只有一个公共点, 就必- 3a>4, 此a<- .综上 , a的取值范围是a≥或 a<- 或 a=-1.。

专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。

2。

」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。

人教版 初三数学 竞赛专题：数形结合思想（含答案）【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( )A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111.【例4】 当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？【例5】 设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．能力训练1. 不查表可求得tan 015的值为__________. 2. 如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________.6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依 次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )A . (13，13)B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)第2题图 第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m += ( )A. 25B.128C.153D.243E.256 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( )A ．a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 113010. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2k .13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ．14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．参考答案例1 5提示:作出B 点关于x 轴的对称点B '(2,-3)，连结AB '交x 轴于C ，则AB '=AC 十CB ' 为所要求的最小值.例2 D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b = 12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8). 例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3 , BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x = .在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可. 例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点. 例5由L c s cb s b a s a =+=+=+222 ①,知正数c b a ,,适合方程.2L xsx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a acsa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+•+••∴ xz y z y x 即,6232132121321=•+•+⨯•xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32- 提示:构造含 15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E , F .设OE =a , BF =b ，则AE =a 3, CF =b 3，所以点A ,C 的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴,3323,3332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.36,3b a ∴点D 坐标为()0,62. 3.52- 提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值. 4.a x b ≤≤5. 36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC . 6. C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14. 7. A8. B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9. D10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则ab k b a b a 2122•=+++ (k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解. 11. (1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥ EH 于M ，连结DG , 2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH = 2FG .由EF //x 轴，设H 为()t x ,4，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -•=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去). 12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13. AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得⎩⎨⎧CE •CD ＝CF •CG BD •BE ＝BI •BH ，即⎩⎨⎧y (16－x )＝1×14x (16－y )＝6×13.解得.故DE ＝16－(x ＋y )＝222. 14. t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝,BE ＝,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝，AB 2 ＝AE 2＋BE 2＝（）2＋（）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2 ＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AEAC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC ＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB ＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )• S △ABE ＝m (1－m )• S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ）， 则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）, 则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）． 又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4 (12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。

【中考数学必备专题】数形结合专题一、单选题(共2道，每道10分)1.不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果|a-b|+|b-c|=|a-c|，那么B点应为()．A.在A，C点的右边；B.在A，C点的左边；C.在A，C点之间；D.以上三种情况都有可能答案：C解题思路：画数轴，借助数形结合，|a-b|是AB的长度，|b-c|是BC的长度，|a-c|是AC的长度，又因为a，b，c不相等，所以B点应在A、C之间试题难度：三颗星知识点：绝对值2.若m，n（m<n）是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且a<b，则a、b、m、n的大小关系是（）A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b答案：A解题思路：将1-(x-a)(x-b)=0整理成(x-a)(x-b)=1的形式，就知道m，n是y=(x-a)(x-b)图象与直线y=1交点的横坐标，而a、b是y=(x-a)(x-b)与x轴交点的横坐标。

画出图象及可以比较大小试题难度：三颗星知识点：二次函数的应用二、填空题(共6道，每道10分)1.关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是.答案：5<a≤6解题思路：分三步走，第一步解出不等式的解题；第二步画数轴，根据只有四个整数解确定a的大致取值范围；第三步，借助数轴看等号是否成立试题难度：三颗星知识点：不等式的整数解2.已知一次函数y=-x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是.答案：k>4解题思路：因为画图象，很难直接看出k的取值范围，借助于代数的方法，联立表达式，让关于x的一元二次方程无解，进而确定k的取值范围试题难度：三颗星知识点：反比例函数与一次函数的交点问题3.直线y=mx+4经过A点，直线y=kx-3过B点，且两直线交于P（，n）点，则不等式kx-3&le;mx+4＜kx的解集是.答案：解题思路：利用函数图象，数形结合的方法求解集：将y=kx-3向上平移三个单位，得到y=kx 的图象，然后观察几何特征，存在A字型相似，进而知道对应高之比就等于对应边之比，从而确定另外一个点的横坐标是-2试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用4.已知a、b均为正数，且a+b=2。

2020中考数学 数形结合思想专题练习1．已知直线y 1＝2x －1和y 2＝－x －1的图象如图X5－1所示，根据图象填空．(1)当x ______时，y 1＞y 2；当x ______时，y 1＝y 2；当x ______时，y 1＜y 2；(2)方程组的解集是____________．图X5－1 图X5－22．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2,4)，B (8,2)(如图X5－2所示)，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是____________．3．如图X5－3，正三角形ABC 的边长为3 cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x (单位：秒)，y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为( )图X5－3A BC D4．如图X5－4，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是______．图X5－421,1y x y x =-⎧⎨=--⎩5．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图X5－5.(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)；(2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？图X5－56．某公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是推销费，图X5－6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求y1与y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？图X5－67．如图X5－7，抛物线y＝12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1,0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．图X5－78．如图X5－8，抛物线y＝12x2－32x－9与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A，B不重合)，过点E 作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．图X5－89．如图X5－9，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．(1)求点B的坐标；(2)求经过点A，O，B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．图X5－910．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图X5－10放置，点A，C 的坐标分别为(0,3)，(－1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．图X5－1011. 如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点()20A ，作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B C ，两点，求三角形OBC 的面积（其中O 为坐标原点）。

数形结合思想一、选择题1、已知点M(1-a ，a+2)在第二象限，则a 的取值范围是（ ）（A ）a>－2 (B)－2<a<1 (C)a<－2 (D)a>1 2、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）（A ）相应各组的频数 （B ）组数 （C ）相应各组的频率 （D ）组距 3、已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（ ）A ．x >0B ．x <0C ．-2<x <0D ．x <1 4、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ． 则OM 的长为（ ）A．3cmB ．5cmC ．2cmD ．3cm5、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为（ ） A ．600B ．1800C ．300D ．9006、若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序。

① 小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)② 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系) ③ 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④ 小杨从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系) 正确的顺序是A ．③④②①B ．①②③④C ．②③①④D ．④①③②7、小圆圈是网络的结点，结点之间的边线表示它们之间的网线相联，边线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现在的结O 1-2点A向结点B传递信息，可以分开沿不同的路线同时传递，单位时间内传递的最大信息量为：A．19B．20C．24D．268、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )9、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD面积为（）（A）98 （B）196 （C）280 (D) 28410、如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对二、填空题：1、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是2、如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B的坐标为(4，2)，直线12y x b=+恰好将矩形OACB分成面积相等的两部分，则b= 。

2020中考化学数形结合试题数形结合试题的题型与解法指导所谓数形结合试题，就是将已知条件或信息、变化过程中的某些量的变化以曲线、直线等图象的形式来表示的习题。

这类题目具有形象直观、简明清晰、知识面广、综合性强等特点。

数形结合试题的出现，不仅能考查同学们对化学基础知识的掌握程度，而且还能考查观察、想像、分析、综合应用知识的能力，因此备受各类考试的青睐，同时也是同学们感到最棘手的一类题。

如何解这类试题，以使学生的失分率降低或尽量做到不失分，现就这方面的问题谈谈自己的一些粗浅认识，希望能对初三化学中考复习有些借鉴作用。

一、解题思路1、数形结合思想：即根据问题的背景数量关系、图形特征，将“数”的问题，借助于“形”去观察，或将“形”的问题，借助于“数”去思考。

2、基本要求：能根据所给的图形，结合化学原理，解决“数”的问题；能将复杂的数据，结合化学原理，转化成直观的图形。

3、基本方法：一是原理：题目所涉及的化学原理；二是数轴：图形中纵、横数轴对应的化学含义；三是关键点：图形中三个关键点的含义-----起点、转折点、终点。

4、问题解决的标志：会读图：能读懂所给图形中的点和数的化学意义。

能绘图：会将复杂的数据或原理以简单的图形表示出来。

二、题型归纳就其内容而言，主要有化学反应过程、溶液稀释、溶液导电性、沉淀量、溶解度等图像题；从形式上来看，有单线图像题、多线图像题、图表结合题。

一．金属与酸溶液反应的有关量的关系1、镁、铝、锌3种金属分别与盐酸反应，能正确地反映金属消耗（X）和产生氢气量（Y）之间的关系的图象是（）解题指导运用假设法。

第一种方法是设金属消耗的质量相等时，即X取同一值，根据化学方程式来求对应生成H2的质量多少，在作一竖线图可知。

第二种方法是设生成的H2质量相等时，即Y取同一值，根据化学方程式来求对应所需金属的质量多少，再作一横线图可知。

2、等质量的A、B两种活泼金属（化合价均为+2价）与足量稀盐酸反应时产生H2的质量与反应时间的关系如右图。

2020年中考数学复习核心考点专题卷专题十四 数形结合思想本卷共5个大题，16个小题，满分100分，考试时间45分钟．一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）1．若实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列判不一定正确．．．．．的是（ ）A ．a ＜0B ．ab ＜0C ．a ＜bD ．a ，b 互为倒数【答案】D【方法点拨】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，再根据两个点所在位置确定两个点的符号，即可得出结论．2．如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得三角形的周长可能是下列数据中的（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】B【方法点拨】 连结该三角形三边中点所得的三角形中，有两边分别是2和3，第三边的取值范围应为大于1，而小于5，由此结合图形可得结果．3．图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--=B ．222()()2m n m n mn +-+=C ．222()2m n mn m n -+=+D ．22()()m n m n m n +-=-【答案】B【方法点拨】本题根据图形的面积关系的变化，解释了整式运算的等量关系，即将整式运算的法则用形的变化进行直观解释．只要根据左边图形中阴影部分的面积与右边图形面积的相等关系，利用整式运算的法则进行验证即可得出正确选项．4．如图由三个正方形拼成的图形，中间是一个由三个正方形各一边组成的直角三角形，则字母A 所代表的正方形的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．64【答案】D【方法点拨】 根据勾股定理，两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，因此两个正方形的面积之差即为A 表示的数值．5．若二次函数y =ax 2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），则方程ax 2﹣2ax+c=0的解为（ ）A ．x 1=﹣3，x 2=﹣1B ．x 1=1，x 2=3C ．x 1=﹣1，x 2=3D ．x 1=﹣3，x 2=1【答案】C【方法点拨】将二次函数的解析式进行配方，再根据二次函数的对称性（对称轴为1=x ），结合图象和二次函数与一元二次方程的关系，即可求得方程的解．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）6．已知一个等腰三角形的两边长x y 、满足方程组⎩⎨⎧=+=-5202y x y x ，则此等腰三角形的周长为 ．【答案】57．已知点A 是反比例函数y =x4图象上的一点，连接AO 并延长交双曲线的另一分支于点B ，则线段AB 长的最小值为 ． 【答案】248．如图，圆与数轴相切于点A （A 与坐标原点O 重合），B 、C 为圆上的点，∠ACB =60°，若圆沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A ′（点A ′所表示实数为3）重合，则数轴上与点B 重合的点对应的实数是_________．【答案】29．如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形(不重叠，无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 ．【答案】2m +310．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ．三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）11．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m ，n ，求m ﹣n 的值．【答案】解：设空白处图形的面积为x ，根据题意得：m +x =9，n +x =6，则m ﹣n =9﹣6=3．12．在长为10m ，宽为8m 的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．【答案】 解：设小矩形的长为xm ，宽为ym ，由题意得：⎩⎨⎧=+=+82102y x y x ，解得：⎩⎨⎧==24y x ．答：小矩形的长为4m ，宽为2m ．四、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）13．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm ），直线l 是它的对称轴，求能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径．【答案】解：如图，设圆心为O，连接AO，CO，∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40．∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2．解得，OM=40．∴OC==50．∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．14．如图，一次函数223y x=-+的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求过B、C两点直线的解析式．【答案】解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠AOB=∠CDA=90°，∵∠BAC=90°，30∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠CAD=90°，∴∠ABO=∠CAD．又∵AB=AC，∴△ABO≌△CAD．∴AD=OB=2，CD=AO=3．∵223y x=-+与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，2），∴AD=OB=2，CD=AO=3．∴C（5，3）．设过B、C两点直线的解析式是y=kx+b，则532k bb+=⎧⎨=⎩．∴k=15，b=2．∴125y x=+．【方法归纳】本题是一道利用几何图形有关性质来解决数量关系和表示数的问题，在其解答过程中主要是由“形”解决“数”的问题.五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）15．在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．【答案】解：（1）如图所示：由于点A、B、C、D与点（﹣1，0∴△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；（2）连接PD ，PE ，∵2PE =9+1=10，2PD =1+4=5，2DE =5，∴2PE =2PD +2DE ．∴PD ⊥PE ．∵点D 在⊙P 上，∴直线l 与⊙P 相切．【方法点拔】通过观察易发现A 、B 、C 的三点都与某一点（点P ）的距离相等，同时这点与D 点距离也相等，有了这些数量关系不难解决题中提出的点与圆的位置问题；进而利用网格的特征和勾股定理求出线段PD 、DE 、PE 的长，由此自然发现∠PDE 的度数及直线l 与⊙P 的位置关系.故本题是一个由“数”解决“形”的问题.16．如图，△ABC 中，AB=BC ，AC =8，tanA=k ，P 为AC 边上一动点，设PC=x ，作PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥BC 交AB 于F ．（1）证明：△PCE 是等腰三角形；（2）EM 、FN 、BH 分别是△PEC 、△AFP 、△ABC 的高，用含x 和k 的代数式表示EM 、FN ，并探究EM 、FN 、BH 之间的数量关系；（3）当k =4时，求四边形PEBF 的面积S 与x 的函数关系式．x 为何值时，S 有最大值？并求出S 的最大值．【答案】解：（1）证明：∵AB=BC，∴∠A=∠C．∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形．（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k．∴EM=CM•tanC=•k=．同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣．由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF=64﹣x2﹣（8﹣x）2=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32．所以，当x=4时，S有最大值32．【方法点拔】本题主要是考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，其方法是由形思数，数形结合，用数解决形的问题．。

专题复习三数形结合Ⅰ、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，嘉峪关，10分）某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？解：（1）y1=20x，y2=10x+300．（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.【例2】（2005，某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．【例3】（2005，江西课改，8分）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3l 司所示的条形统计图：⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全如图3－3－3所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

中考数学高频考点《数形结合思想》专项测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本题共8小题每小题3分共24分。

1.若实数k，m，n满足k+m+n=0且k<n<m则函数y=kx+m的图象可能是( )A. B. C. D.2.通过计算比较图1图2中阴影部分的面积可以验证的式子是( )A. a(b−x)=ab−axB. b(a−x)=ab−bxC. (a−x)(b−x)=ab−ax−bxD. (a−x)(b−x)=ab−ax−bx+x23.一次函数y=−ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B. C. D.4.点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示点O为原点AO=1CO=2AB若点B所表示的数为b则点C 所表示的数为( )A. −2b+2B. −2b−2C. 2b−2D. 2b+25.如图OA是北偏东30°方向的一条射线若∠AOB=90°则OB的方向角是( )A. 北偏西30°B. 北偏西60°C. 东偏北30°D. 东偏北60°6.y关于x函数关系如图所示当−3≤x≤3时函数值y的取值范围是( )A. 0≤y≤3B. 0≤y≤2C. 1≤y≤3D. −3≤y≤37.我们知道对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).若已知a2+b2+c2=45ab+bc+ac=38由图2所表示的数学等式则a+b+c的值为( )A. 12B. 11C. 10D. 98.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图一次函数y=kx+b(k,b为常数且k<0)的图像与直线y=13x都经过点A(3,1)当kx+b<13x时x的取值范围是 ( )A. x>3B. x<3C. x<1D. x>1二填空题：本题共5小题每小题3分共15分。

专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。

实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。

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２、4 的平方根是＿＿＿＿。

３、－27 的立方根是＿＿＿＿。

４、－2 的绝对值是＿＿＿＿。

５、2004年我国外汇储备3275.34亿美元，用科学记数法表示为＿＿＿＿亿美元。

图1专题三.整体与数形结合＆.复习目标：1.整体思想是指运用“整体代换”或“聚零为整”等方法灵活地解决问题。

往往是在常规思维和方法难以奏效或过程烦琐时起作用，所以考虑问题时要综合全局，仔细分析条件之间的相互关系，具有整体意识，定会化繁为简，受到效果；2.能以形为手段解有关数、式的问题；3.能以数为手段解有关形的问题；4.能通过既分析数量关系，又揭示几何意义关系和几何图形巧妙地结合起来，探求解决问题的思路。

＆.精典例析：一、整体综观------ 一览群山小§.例1、若0122=+-a a ，则__________422=-a a .解析：若已知条件通过解方程得出a 的值，然后代入求值固然可行，但是由已知条件得122-=-a a ，在整体代入()2224222-=-=-a a a a 就更妙了。

§.例2、如图1所示，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆半径为2，则图中阴影部分的面积的和为 .解析:将分散的4个部分通过旋转集中到一起，会发现阴影部分的面积恰好为大圆面积的一半，运用整体思想“聚零为整”。

解：ππ2421=⨯⨯=阴影S .§.例3、已知实数x 满足01122=+++x x x x ，则x x 1+的解是( D )A 、1或2-B 、1-或2C 、1D 、2-解析:211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x ，设y x x =+1进行整体代换即可。

解:令y x x =+1，则22112222-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x x x∴022=+-y y ，得1=y 或2-当11=+x x 时，01211222 -=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x （舍去）∴21-=+xx二、数形结合------相得益彰§.例4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，则在①0 a ；②0 b ；③0 c ；④042 ac b -中正确的判断是（ ）A 、①②③④B 、④C 、①②③D 、①④解析：由二次函数的图象和性质判断。