兰州市高三诊断考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）
A ．(0,1)
B ．[0,1]
C ．[1,)+∞
D ．(1,)+∞
2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A ．复数z 的实部为5
B ．复数z 的虚部为12i
C ．复数z 的共轭复数为512i +
D ．复数z 的模为13
3.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）
A ．．．4.双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于
（ ）
A ．49-
B ．43-
C ．43
D ．49
6.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =
，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．20171009
B ．20172018
C ．20182019
D ．40362019
7.若1(1)n x x +
+的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）
A ．1
1π- B ．2
1π- C ．3
1π- D ．12
8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A．3π B．
3
π C．3π D．4π
9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）
A．1008 B．2017 C．2018 D．3025
10.设p：实数x，y满足22
(1)[(22)]
x y
-+-322
≤-；q：实数x，y满足
1
1
1
x y
x y
y
-≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
，则p是q
的（）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
11.已知圆C：22
(1)(4)10
x y
-+-=和点(5,)
M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB
⊥，则实数t 的取值范围是（）
A．[2,6]
- B．[3,5]
- C．[2,6] D．[3,5]
12.定义在(0,)
2
π
上的函数()
f x，已知'()
f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0
x f x x f x
⋅+⋅<成立，则有（）
A．()2()
64
f
ππ
> B3()()
63
f
ππ
> C．()3()
63
f
ππ
> D．()3()
64
f
ππ
>
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若
2
sin()
45
π
α
-=-，则cos()
4
π
α
+=．
14.已知样本数据
1
a，
2
a，……
2018
a的方差是4，如果有2
i i
b a
=-(1,2,,2018)
i=⋅⋅⋅，那么数据
1
b，
2
b，……
2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2π
ϕ<向左平移3
π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23
()123
x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）当[0,]2x π
∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.
18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .
（1）求证：AE ⊥平面BCE ；
（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.
19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）
的相关数据，如下表：
x 11 9 8 5 2
y 7 8 8 10
12 （1）试求y 与x 的回归方程y bx
a =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这
天该商品的销售量；
（3）假定该地12月份的日最高气温2
(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.
