函数的起源与发展
今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。
——引言
众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。
设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么就
称为从集合A到集合B的一个函数，记作或
。
这个概念的产生也是有一段故事的，而故事的背后是时间的推动，是艰辛的岁月。
十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度。
要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题，这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。
十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。
这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系。1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。
例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。
以“变量”为基础的函数概念在1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。
十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔（D’Alembert）和欧拉（Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。在此之前的1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。实际上，这两种定义就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。
后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如
果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。
函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数,不好解释。
十九世纪初，拉克若斯（Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。1834年,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义：x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是x值，另一栏是与它相对应的y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。
十九世纪法国数学家柯西（Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。
直到1930年，现代的函数概念才“出炉”，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。
函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。
题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图）
要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。
作图方法：
步骤一：
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。
步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D 为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
证明方法：
设正17边形中心角为a,则17a=360°,即16a=360°-a
故sin16a=-sina,
而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,
有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到
cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,
令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有: x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知xy=-1又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4
