数列、函数极限和函数连续性
数列极限
定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞
=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限
存在.
定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称
+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞，记作
lim n n a →+∞
=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限，对于,-∞∞的定
义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.
1.2 数列极限求法的常用定理
定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则
{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有
()()lim lim lim ,
lim lim lim .
n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
±=±⋅=⋅
若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠，则n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也是收敛数列，且有
lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞
→∞
⎛⎫
= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理1.2.3（
∞
Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且
lim n n x →+∞
=+∞（注意：不必lim n n y →+∞
=+∞）.如果
1
1lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），
则 11
lim
lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞
→+∞--==-
定理1.2.3'（0
Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若
1
1lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），
则 1
1
lim
lim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞
→+∞--==-.
定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞
=，则 （1）12 (i)
n
n a a a a n
→∞+++=，
（2）若()01,2,...n a n >=，则12lim ...n n n a a a a →∞
=.
定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞
=.
定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ'内有定义.()0
lim x x
f x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U
x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞
都存在且相等.
数列极限的求法
2.1 极限定义求法
在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1 求lim n n a →∞
，其中0a >.
解：lim 1n n a →∞
=.
事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n
a α=-，则0α>. 由
()
11111n
n a n n a αα⎛⎫
=+≥+=+- ⎪⎝⎭
,
得 1
1
1n
a a n
--≤
. （5） 任给0ε>，由（5）式可见，当1
a n N ε
->=时，就有11n a ε-<.即11n
a ε-<.所
以lim 1n n a →∞
=.
对于01a <<的情况，因
11a >，由上述结论知1
lim 1n n a
→∞=，故
11
lim lim
111/n n
n n a a
→∞
→∞
===. 综合得0a >时，lim 1n n a →∞
=.
例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.
证明：由lim n n a a →∞
=，则0ε∀>，存在10N >，使当1n N >时，有
/2n a a ε-<, 则
()
111211 (1)
......n N N n a a a a a a a a a a a a n n
++++-≤-++-+-++-.
令11...N c a a a a =-++-，那么
