长春市高考数学一模试卷(理科)A卷(模拟)

吉林省长春市2024年数学（高考）统编版模拟(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知向量，满足，且，则，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．第(2)题若集合，则（）A．B．C．D．第(3)题已知两条不同直线，两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则第(4)题已知复数，其中，为虚数单位，满足，则（）A．B．C．D．第(5)题如图1，直线将矩形纸分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折的过程中（平面和平面不重合），下面说法正确的是图1 图2A．存在某一位置，使得平面B．存在某一位置，使得平面C．在翻折的过程中，平面恒成立D．在翻折的过程中，平面恒成立第(6)题已知复数（i为虚数单位），则（）A．B．C．D．第(7)题已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．第(8)题设集合，，，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（）A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPaC．由方程可知，样本点的残差为D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好第(2)题在棱长为1的正方体中，M是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）A．存在点M，使得平面B．存在点M，使得三棱锥的体积是C．存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形D．若，过点M作正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为第(3)题已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（）（参考数据：①；②；③）A．这次考试成绩超过100分的约有500人B．这次考试分数低于70分的约有27人C．D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

长春市2024年高三第一次模拟考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U =R ，集合20,{2}3x A x B x x x +⎧⎫=≥=>⎨⎬-⎩⎭，则()UA B = ð（）A.{2x x ≤-或3}x >B.{23}x x <≤C.{23}x x -<≤ D.{23}x x <<2.已知复数z 满足()34i 7i z +=+，则z =（）A.1B.C.D.3.在ABC 中，若4AB AC AP += ，则PB =（）A.3144AB AC -B.3144AB AC-+C.1344AB AC-+D.1344AB AC -4.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A .14种B.15种C.16种D.17种5.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点关于y 轴的对称点在直线2x =-上，则AB =（）A.3B.4C.5D.66.已知π2sin 128α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.116B.23C.12D.15167.2023120222023112023log ,20222,202a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >>B.b a c>> C.c b a>> D.a b c>>8.半径为R 的球面上有,,,A B C D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若ABC ，ACD △，ADB △的面积之和为72，则此球体积的最小值为（）A.64πB.2563π C.144πD.288π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法错误的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差10.已知函数()sin (010)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则（）A.06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.若()()()12120f x f x x x ==≠，则12x x -是25π的整数倍D.()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调11.已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++ ，若()01f '=，则（）A.{}lg n a 为单调递增的等差数列B.01q <<C.11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列 D.使得1n T >成立的n 的最大值为612.已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D.若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(2,),(1,3)a m b ==- ，若a b ⊥，则m =___________．14.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，l 为双曲线的一条渐近线，F 到直线l，过F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 长为10，则C 的离心率为________．15.若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，函数()g x 是R 上无零点的偶函数，若()0f π=，且()()()()f x g x f x g x ''>在(,0)-∞上恒成立，则()0()f xg x <的解集是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的公差不为0，且满足21421234,4a a a a a a a =++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：1223111114n n a a a a a a ++++< .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，且:2a b =2sin B A =．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，求△ABC 的面积．19.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）若1PA AD ==，2AB =，求二面角E AC B --的余弦值．20.“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别2000~3000（分）3001~4000（分）4001~5000（分）5001~6000（分）＞6000（分）男性8060302010女性206010020（1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；优秀员工非优秀员工总计男性女性总计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.63521.已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C 的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．22.已知函数2()ln(1)()f x x a x a =--∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在2x =处取得极值，对x (1,+)∀∈∞，1()ln 1x f x bx x-≤++恒成立，求实数b 的取值范围．数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】12【16题答案】【答案】(,1)(0,1)-∞- 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）2n a n =；（2）证明略.【18题答案】【答案】（1）4B π=；（2）212ABC S =+ 或212-.【19题答案】【答案】（1）证明略（2）23-【20题答案】【答案】（1）列联表略，没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关（2）分布列略，数学期望为218【21题答案】【答案】（1）22163x y +=，离心率为22；（2）证明略.【22题答案】【答案】（1）当0a =时，()f x 在(1,+)∞上单调递增；当0a ≠时，()f x 在21(1,1a +上单调递增，在21(1+,+)a ∞上单调递减.（2）211,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。

2020届高考数学第一次模拟考试理科试卷一、选择题1．已知集合A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＞3，或x≤﹣2}C．{x|x＞3，或x＜0} D．{x|x＞3，或x≤2}2．复数z＝2i2+i5的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．5．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0 B．1 C．2 D．36．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．7．已知a，b，c为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是（）①a⊥α，b⊥α，则a∥b②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β③a∥α，b∥α，则a∥b④α∥γ，β∥γ，则α∥βA．①②③B．②③④C．①③D．①④8．已知数列{a n}为等比数列，S n为等差数列{b n}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝（）A．44 B．﹣44 C．88 D．﹣889．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（ωx+φ）的图象（部分图象如图所示），则y＝f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2+x）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[4，6]时，y＝f（x）的最小值为（）A．﹣8 B．﹣1 C．0 D．111．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（）A．B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m≥1二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）14．边长为2正三角形ABC中，点P满足，则＝．15．平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，∠ABD＝90°，现将△ABD 沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为．16．已知数列{a n}的前项n和为S n，满足，且，则S2n＝，a n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A（a＞b）．（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若c＝10，求△ABC的周长的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2DC＝2，E 为PB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，点P（1，2），求|PA|•|PB|的值．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为M，设a＞0，b＞0，且（a+1）（b+1）＝M，求a+b的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＞3，或x≤﹣2}C．{x|x＞3，或x＜0} D．{x|x＞3，或x≤2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤﹣2，或x≥2}，B＝{x|x＜0，或x＞3}，∴A∩B＝{x|x≤﹣2，或x＞3}．故选：B．2．复数z＝2i2+i5的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：∵z＝2i2+i5＝﹣2+i，∴，其对应点为（﹣2，﹣1），在第三象限．故选：C．3．已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵，，，∴c＜a＜b．故选：C．4．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．【分析】由圆心到切线的距离等于圆的半径列式求解b．解：圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2的圆心坐标为（1，b），半径为．由圆心到切线的距离等于半径，得，∴|1+b|＝2，解得b＝1或b＝﹣3．故选：C．5．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由散点图中各点分布情况和R2的值，判断①正确；由回归直线方程判断②正确；由回归直线方程计算x＝7时的值，判断③正确．解：由散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.9817趋近于1，所以相关性较强，所以①正确；由回归直线方程，知②正确；由回归直线方程知，当x＝7时，计算得＝13.743×7+3095.7＝3191.9，其估计值为3191.9≈3192，所以③正确；综上知，正确的命题个数为3．故选：D．6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．【分析】由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可．解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则，又α+β＝2π，解得．故选：A．7．已知a，b，c为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是（）①a⊥α，b⊥α，则a∥b②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β③a∥α，b∥α，则a∥b④α∥γ，β∥γ，则α∥βA．①②③B．②③④C．①③D．①④【分析】由线面垂直的性质定理可判断①；由面面的位置关系可判断②；由线面平行的定义和线线的位置关系可判断③；由面面平行的传递性可判断④．解：对于①，a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理可得a∥b，故①正确；对于②，α⊥γ，β⊥γ，可能α∥β或α，β相交，故②错误；对于③，a∥α，b∥α，可能a∥b或a，b相交或a，b异面，故③错误；对于④，α∥γ，β∥γ，由面面平行的性质可得α∥β，故④正确．故选：D．8．已知数列{a n}为等比数列，S n为等差数列{b n}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝（）A．44 B．﹣44 C．88 D．﹣88【分析】由已知结合等比数列的性质求得a6＝4，进一步得到b6＝a6＝4，再由等差数列的前n项和求S11．解：在等比数列{a n}中，由a2＝1，a10＝16，得，得a6＝4，∴b6＝a6＝4，在等差数列{b n}中，有S11＝11b6＝44．故选：A．9．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（ωx+φ）的图象（部分图象如图所示），则y＝f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得函数的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：根据y＝2sin（ωx+φ）的图象可得2sin（ω•0+φ）＝1，故φ＝．再根据五点法作图，ω•+＝2π，求得ω＝2，可得．∵把的图象上点的横坐标变为原来的，可得函数y＝f（x）＝2sin（4x+）图象，故选：C．10．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2+x）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[4，6]时，y＝f（x）的最小值为（）A．﹣8 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性分析可得f（x）在区间[4，6]上的解析式，据此分析可得答案．解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（2+x）+f（x）＝0，即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，且f（x）是定义在R上的奇函数，则x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣2x，又由f（x）是周期为4的周期函数，则当x∈[4，6]时，f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝x2﹣10x+24，此时f（x）的最小值为f（5）＝﹣1；故选：B．11．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（）A．B．2 C．3 D．4【分析】由椭圆方程求得抛物线焦点坐标，得到p，再由已知结合抛物线焦半径公式求得|AF|、|BF|的值，则答案可求．解：∵椭圆的右焦点为（1，0），∴，得p＝2，又过F的直线的倾斜角为60°，＝，＝，∴＝．故选：C．12．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m≥1【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，令y＝f（x），与y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在上递减，在上递增，当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，，f（2）＝0，∵f'（1）＝﹣1，∴m＞﹣1，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（2x3﹣）8的展开式中常数项是112 ．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．14．边长为2正三角形ABC中，点P满足，则＝ 2 ．【分析】由平面向量基本定理及线性运算，将，作为平面向量的一组基底，再结合平面向量线性运算即可得解．解：因为点P满足，所以＝（）•＝[（）﹣]•（）＝（﹣）•（）＝2+2﹣＝×22+×22﹣2×＝2故答案为：2．15．平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，∠ABD＝90°，现将△ABD 沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为20π．【分析】由题意画出图形，找出多面体外接球的球心，求其半径，再由球的表面积公式求解．解：取AD，BC的中点分别为O1，O2，过O1作面ABD的垂线与过O2作面BCD的垂线，两垂线交点O即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结O1E，O2E，则∠O1EO2即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，且O1E＝O2E＝1，连OE，在Rt△O1OE中，，在Rt△O1OA中，，得，即球半径为，∴球面积为＝20π．故答案为：20π．16．已知数列{a n}的前项n和为S n，满足，且，则S2n＝，a n＝．【分析】①直接利用数列的递推关系式的应用求出前n项和．②利用递推式求出结果．解：①由得＝．∴S2n＝++…+＝．②由递推得，，，归纳可得a n＝．理由：当n＝1时，a1＝﹣；设n＝k时a k＝（﹣1）k+，n＝k+1时，由a k+a k+1＝，可得a k+1＝﹣（﹣1）k﹣＝+（﹣1）k+1，即n＝k+1时，等式也成立．综上可得a n＝．故答案为：，．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A（a＞b）．（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若c＝10，求△ABC的周长的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得sin B＝cos A，结合a＞b，可得，即可得解△ABC是直角三角形；（Ⅱ）利用两角和的正弦函数公式可求△ABC的周长，由a＞b 可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可求其范围．解：（Ⅰ）证明：由a＝b tan A，可得，即sin B＝cos A，由a＞b，可得，即△ABC是直角三角形．（Ⅱ）△ABC的周长L＝10+10sin A+10cos A，所以，由a＞b可知，，因此，即．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2DC＝2，E 为PB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，EM，证明四边形EMDC是平行四边形，然后证明CE∥平面PAD；（Ⅱ）以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，取平面ABCD的法向量．求出平面CDE的法向量，然后求解二面角的大小即可．解：（Ⅰ）取PA中点M，连结EM、DM，．（Ⅱ）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立坐标系．可得D（2，0，0），C（2，1，0），P（0，0，4），B（0，2，0），E（0，1，2），，，设平面CDE的法向量为；，可得，令z＝1，则x＝1，∴平面CDE的法向量为；平面ABCD的法向量为；因此．即平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．（Ⅱ）该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，分别求出P（X＝30），P（X＝35），P （X＝40），P（X＝45），P（X＝50），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，该考生选择题得50分的概率为：P（A）P（A）P（B）P（B）＝＝．（Ⅱ）该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P（X＝30）＝＝，P（X＝35）＝＝，P（X＝40）＝+＝，P（X＝45）＝＝，P（X＝50）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）判断P的轨迹是椭圆，然后求解求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，经验换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程．解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且2a＝4，c＝1．所以b＝，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，可得，即，．△AOB面积可表示为＝令，则u≥1，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，点P（1，2），求|PA|•|PB|的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，根据一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线普通方程为x+y﹣3＝0，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．转换为圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3＝0．（Ⅱ）联立直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的直角坐标方程可得，化简可得．（t1和t2为A、B对应的参数）则|PA|•|PB|＝|t1t2|＝2．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为M，设a＞0，b＞0，且（a+1）（b+1）＝M，求a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≥x+1，分别解不等式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）的最大值M＝4，然后根据（a+1）（b+1）＝M＝4，可得，解不等式可得a+b的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|＝．∵f（x）≥x+1，∴当x＜﹣3时，﹣4≥x+1，∴x≤﹣5，因此x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，2x+2≥x+1，∴x≥﹣1，因此﹣1≤x≤1；当x＞1时，4≥x+1，∴x≤3，因此1＜x≤3，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，3]；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）max＝4，∴（a+1）（b+1）＝M＝4，∴ab+a+b＝3．又∵a＞0，b＞0，∴，∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0，∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍），当且仅当a＝b＝1时取等号，∴a+b的最小值为2．。

2023-2024学年吉林省长春高三上册第一次摸底考试数学试题
A．在1t时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在2t时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在[]23,t t这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
()f x t =-有四个不同的实根1234,,,x x x x 且()()3123log 1log 1x x -=-，即为3log 即有()()12111x x --=，即为121x x x x =+可得()34341110x x x x x x ⎛⎫
++=+=
⎪.
即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.
综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．
【方法点睛】求证不等式()()f x g x ≥，一种常见思路是用图像法来说明函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数()()()F x f x g x ＝－，通过导数研究函数()F x 的性质，进而证明欲证不等式．。

吉林省长春市十一中2025届高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B C ．73D2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或33．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =5．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．m n mn m n +>>- D ．m n m n mn +>->6．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<7．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．0x ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．20x y ±=8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．382439．若0,0x y >>，则“2x y +=的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =10．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．411．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+12．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市数学高三理数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·金台月考) 设集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·凉山模拟) 复数z满足1+i= （其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）某单位在月份用电量（单位：千度）的数据如表：月份x2356用电量3 4.5 5.57已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程 = x+1，由此可预测7月份用电量（单位：千度）约为（）A . 6B . 7C . 8D . 94. （2分）已知平面向量=（1，2）,=（-2，K）若与共线，则|3+|=（）A .B . 2C . 5D . 55. （2分）(2018·河北模拟) 《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝（）A .B . 0或C . -D . 0或－7. （2分）(2017·山东模拟) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若，则输出的S的值为（）A . 0B . 671.5C . 671D . 6728. （2分）(2018·保定模拟) 定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（）A . 2B . 4C . 6D . 89. （2分） (2017高二下·湘东期末) 如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BA，PC⊥CA，且PC=2CA=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为（）A . 3πB . 5πC . 12πD . 20π10. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 若tanθ+ =6，则sin2θ=（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·河池月考) 已知抛物线和的公切线( 是与抛物线的切点，未必是与双曲线的切点)，与抛物线的准线交于 , 为抛物线的焦点,若，则抛物线的方程是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·河南期中) 定义函数为不大于的最大整数，对于函数，有以下四个结论：① ；②在每一个区间 , 上, 都是增函数；③ ；④ 的定义域是 ,值域是 .其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）的展开式中的系数是________ （用数字作答）。

长春市高考数学一模试卷（理科） A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 集合P={x∈R||x|≥3，Q={y|y=2x﹣1，x∈R}，则P∪Q=（）A . （﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）B . （﹣∞，﹣3]∪（﹣1，+∞）C . （﹣∞，1）∪[3，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）2. （2分）(2019·江南模拟) 复数满足，则（）A .B . 3C .D . 53. （2分）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·孝义模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·淄博模拟) （）A .B .C .D .6. （2分）(2017·扶沟模拟) 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·石家庄期末) 若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A . 0B . 1C .D . 28. （2分）已知等比数列的前n项和为，且，，则=（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·温州期末) 已知函数f（x）=sin（2x+φ1），g（x）=cos（4x+φ2），|φ1|≤ ，|φ2|≤ ．命题 ①：若直线x=φ是函数f（x）和g（x）的对称轴，则直线x= kπ+φ（k∈Z）是函数g（x）的对称轴；命题 ②：若点P（φ，0）是函数f（x）和g（x）的对称中心，则点Q（+φ，0）（k∈Z）是函数f（x）的中心对称．（）A . 命题①② 都正确B . 命题①② 都不正确C . 命题 ①正确，命题 ②不正确D . 命题 ①不正确，命题 ②正确10. （2分）已知抛物线的准线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率e为（）A . 2B .C .D .11. （2分） (2019高二上·杭州期中) 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（）A .B .C . 或D .12. （2分）已知f（x）= 的值域为R，那么a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣]B . （﹣1，）C . [﹣，）D . （0，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·南通开学考) 已知向量 =（k，3）， =（1，4）， =（2，1），且，则实数k=________．14. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=________ ．15. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) （x﹣1）（2x+1）5展开式中x3的系数为________．16. （1分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（0°＜θ＜90°）的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30°时，这个椭圆的离心率为________ ．三、解答题 (共7题；共45分)17. （10分） (2018高二上·玉溪期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．（1）求角C的大小；（2）若c= ，a2+b2=10，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高三上·苏州期中) 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A，B，C 三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B，C的概率均为a（0＜a＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E（X）（用a表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．19. （5分） (2017·铜仁模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．20. （5分）(2017·上海模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），点P（2，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线，交椭圆C于A、B两点，点M在椭圆C上，坐标原点O恰为△ABM的重心，求直线l的方程．21. （5分） (2016高二上·淮南期中) 已知函数g（x）= +lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一个x0 ，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．22. （5分） (2018高二下·晋江期末) 选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程式为 .（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．23. （5分） (2017高二下·石家庄期末) 已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[ ，1]，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、。

2013年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1．（5分）（2013•长春一模）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，则A∩（C R B）=（）2．（5分）（2013•长春一模）已知复数z=1+ai（a∈R）（i是虚数单位），，则，再由两个复数相等的充要条件可得，，由此求得，﹣，，3．（5分）（2008•海南）下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）4．（5分）（2013•长春一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式，高为的正方形，高为+5．（5分）（2013•长春一模）设，，，则a、=，，=，，6．（5分）（2013•长春一模）在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3=4，a4a5a6=12，a n﹣1a n a n+1=324，知，，=36，=324=12=36，，=3247．（5分）（2013•长春一模）直线l1与l2相交于点A，动点B、C分别在直线l1与l2上且异于点A，若与的夹角为60°，，则△ABC的外接圆的面积为（），根据正弦定理可知8．（5分）（2013•长春一模）给定命题p：函数和函数的图象关于原点对称；命题q：当（k∈Z）时，函数取解：函数=，当9．（5分）（2013•长春一模）已知：x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实（=2++2≥8（当且仅当10．（5分）（2013•长春一模）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（），∴11．（5分）（2013•长春一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e2，则（）可表示出=，+t，∴a'=（==112．（5分）（2013•长春一模）对于非空实数集A，记A*={y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M、P满足：M⊆P，且若x＞1，则x∉P．现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P*⊆M*；②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M*∩P≠∅；③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M∩P*=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b∈M*，恒有a+b∈P*，M=P={={x|M={P={={x|}≠二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13．（5分）（2013•长春一模）若实数x，y满足，则的取值范围是[1，5] ．先画出满足不等式组z=解：满足不等式组表示平面区域内动点（=1=5的取值范围是14．（5分）（2013•长春一模）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2﹣c2=2b，且si nB=6cosA•sinC，则b的值为 3 ．=3×，∴b=3•15．（5分）（2013•长春一模）若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则=．的高等于∴底面中心到顶点的距离为× ah==V=a=4×aa=故答案为：16．（5分）（2013•长春一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604 ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2013•长春一模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣π，﹣]时，求f（x）的取值范围．，由=）过（，﹣=﹣=，，+，而﹣＜＜=）]≤x+≤，x+）≤，]18．（12分）（2013•长春一模）数列{a n}的前n项和是S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，数列的前n项和为T n，证明：．由===．=，知===（求和法能够证明数列＜）∵=1．，．．，成立；+=1=，解得，也成立．．====（[﹣（﹣﹣﹣﹣＜19．（12分）（2013•长春一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．所成的角去解决，则有：，则有所以所成锐角互余，所以（Ⅲ）设，得所以，，，得20．（12分）（2013•长春一模）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．的关系式，同时利用可表示出，利用；．．的方程为：得由假设得对于任意的恒成立，解得21．（12分）（2013•长春一模）已知函数f（x）=e x（ax2﹣2x﹣2），a∈R且a≠0．（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（2）当a＞0时，求函数f（|sinx|）的最小值；（3）在（1）的条件下，若y=kx与y=f（x）的图象存在三个交点，求k的取值范围．））或≥1，即＜）上递减，在（，）2则22．（10分）（2013•长春一模）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．为比例，可得，进而．，，．23．（2013•长春一模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．|PQ|=2和圆的内接矩形，：由则弦心距，的内接矩形面积24．（2013•长春一模）设函数．（I）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（II）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．。

2025届吉林省长春市高三第一次调研测试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ） A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =3．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．84．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 25．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x7．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．8．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ） A ．2B ．3C ．2D ．59．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 10．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A 3B ．51)C ．5D ．412．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

长春市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）设z=1+i（i是虚数单位），则=A . 1+iB . -1+iC . 1-iD . -1-i2. （2分） (2017高一上·石家庄期末) 已知集合A={x|2≤2x≤4}，B={x|0＜log2x＜2}，则A∪B=（）A . [1，4]B . [1，4）C . （1，2）D . [1，2]3. （2分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是A . 1,2,3,4,5B . 5,15,25,35,45C . 2,4,6,8,10D . 4,13,22,31,404. （2分）(2018·宁德模拟) 函数（），满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知是实数，则““是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 若曲线与直线有公共点，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知，，记则的大小关系是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·温州期末) 下列函数中，值域为[1，+∞）的是（）A . y=2x+1B . y=C . y= +1D . y=x+9. （2分） (2016高二下·长治期中) 设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则| |+| |+| |=（）A . 6B . 4C . 3D . 210. （2分） (2016高一上·汉中期中) 下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A . f（x）=xB . f（x）=x3C . f（x）=（）xD . f（x）=3x二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2018高二下·辽宁期中) 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为________12. （1分） (2017高三下·绍兴开学考) 设实数x，y满足，则u= + 的取值范围是________．13. （1分）设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2…a5x5 ，那么的值为________14. （1分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________15. （1分）若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是________ .三、解答题： (共6题；共55分)16. （5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．17. （10分）(2017·南京模拟) 某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．18. （10分）如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=2，CD=4，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．19. （15分）数列{an}的各项均为正数，Sn其前n项和，对于任意的n∈N*总有an ， Sn ， an2成等差数列（1）求a1；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn= ，求证：对任意正整数n，总有Tn＜2．20. （5分） (2018高二上·牡丹江期中) 经过点M（2,1）作直线l交椭圆于A,B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程。

长春市高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，函数的定义域为集合B，则（）A . {1,2,3}B . {2,3}C . (1,3]D . [1,3]2. （2分）(2017·天心模拟) 已知t∈R，若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则 =（）A . 2B . 4C . 6D . 83. （2分）已知定义在R上的函数g(x)满足g(x)+g(-x)=0，f(x)=g(x)-1，若当f(-3)=2时，则f(3)=（）A . -4B . -6C . -8D . -105. （2分）给定下列两个命题：①“”为真是“”为假的必要不充分条件；②“，使”的否定是“，使”.其中说法正确的是（）A . ①真②假B . ①假②真C . ①和②都为假D . ①和②都为真6. （2分）执行如图所示的程序框图,,则输出的S的值是（）A . 39B . 21C . 81D . 1027. （2分） (2017高二下·乾安期末) 下列关于统计学的说法中，错误的是（）A . 回归直线一定过样本中心点B . 残差带越窄，说明选用的模型拟合效果越好C . 在线性回归模型中，相关指数的值趋近于1，表明模型拟合效果越好D . 从独立性检验：有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，可解释为100人吸烟，其中就有99人可能患有肺病8. （2分） (2015高二上·菏泽期末) 不等式组表示的平面区域为M，直线y=kx﹣1与区域M没有公共点，则实数k的最大值为（）A . 3B . 0C . ﹣3D . 不存在9. （2分）直线3x﹣y+1=0和直线2x﹣y﹣5=0的交点坐标是（）A . （6，19）B . （4，3）C . （﹣6，﹣17）D . （﹣4，﹣11）11. （2分） (2019高二上·大庆月考) 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二下·上饶期中) 函数y=x3﹣2ax+a在（1，2）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A . （0，）B . （0，3）C . （，6）D . （0，6）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·珠海期末) （﹣）7展开式中，系数最大项是第________项．15. （1分）已知△ABC中，3=2+， tanB=2，||=||=2，则△ABC的面积为________ ．16. （1分） (2017高二上·信阳期末) 若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC，则cosC的最小值是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二上·呼和浩特期中) 已知{an}是等差数列，{bn}是各项为正的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an+bn};的前n项和Sn．18. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E 是CD的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．（1）求证：BC⊥D1E；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．19. （10分）(2017·烟台模拟) 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响．（1）求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；（2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．20. （10分） (2018高三上·如东月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率，且椭圆的短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为﹣1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB＋CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．21. （15分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=eax（a≠0）．（1）当时，令（x＞0），求函数g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；（2）若对于一切x∈R，f（x）﹣x﹣1≥0恒成立，求a的取值集合；（3）求证：．22. （10分） (2017高三上·会宁期末) 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．23. （5分）(2017·兰州模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，P为不等式f（x）＞4的解集．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。