分析力学-清华大学基科班课件

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质点力学
§1．1．质点运动学 位矢，速度和加速度 §1．2．直角坐标系 §1．3．约束和广义坐标 §1．4．曲线坐标系 §1．5． “自然坐标系” §1．6．质点动力学 质量和力 §1．7．质点的三个动力学定理 动量 角动量 机械能（动能和势能） §1．8．中心力场 §1．9．与距离平方成反比的有势中心力场 §1．10．散射截面
哈密顿力学
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哈密顿正则方程
第八章
正则变换
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§8．1．正则变换 §8．2．正则变换的条件 §8．3．无穷小正则变换 §8．4．哈密顿—雅可比方程 §8．5．作用变量和角变量 §8．6．泊松（Poisson）括号
附录
A1．一般曲线坐标系下的运动学
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A2．矢量分析和场论简介 A3．角速度是轴矢量 A4．Cayley-Klein 参量 A5．作平面平行运动的刚体对瞬时转动中心的角动量定理 A6．Noether (Nöther)定理 A7．关于变分原理 A8．Legendre 变换
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§3．9．非惯性参照系中的动力学方程
惯性力
第二部分
第四章
§4．1． 分析力学的基本概念 §4．2．变分法 §4．3．哈密顿原理
拉格朗日力学
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分析力学的基本概念和基本原理
第五章
§5．1．拉格朗日方程 §5．2．拉格朗日方程的解 §5．3．例题 §5．4．虚功原理(虚位移原理) §5．5．拉格朗日方程的研究
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客观形式， 不存在脱离物质的绝对空间和绝对时间。 牛顿力学中的现实空间是三维欧几里得 空间，时间是一维的。空间和时间的变化都是连续的。 既然不存在脱离物质的绝对空间， 为了描述物体在空间的机械运动， 必须选定一个物体 或一些物体的集合作参考标准， 称为参考系， 由参考物体的刚性延伸得到的三维空间称为参 考空间； 为了描述时间的变化， 必须选定一些事件或变化着的物体的状态作为时间零点和时 间进程的参考标准。 参考系有无限多种可能的选取方式，在相互作任意相对运动的不同参考系中,在给定的 时刻给定空间间隔的大小是相同的（空间两点间的距离不因参考系的不同而变化） ；某一给 定的时间间隔的持续时间是相同的。 （时间的绝对性）因此在不同的参考系中可以选取同样 的时间零点和时间进程。时间的这种“绝对性”是牛顿力学的一个基本假定。随着物理学的 发展， 空间和时间的观念是在不断变化和发展的。 牛顿力学的时空观反映了人类在一定历史 阶段对空间和时间的认识。按照爱因斯坦的相对论，这样的时空观只是在运动速度不大，引 力场不强的情况下近似正确。 从运动学的观点来看，各个参考系是相互平等的。但是，适当选择参考系能使运动状态 的描述变得简单，因而问题变得容易解决。从动力学的观点来看，有一类参考系具有特殊的 地位，那就是惯性参考系。参考系没有静止与运动之分，只存在参考系之间的相对运动，当 然也就不存在绝对静止的参考系。有时为了叙述的方便, 说惯性系是静止的，其实相对于一 个惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。最常用的参考系是以地球为参考物的参考 系，这是一个近似的惯性系。 当两个参考系以恒定速度作相对运动时， 有伽利略变换。 从一个惯性系到另一个惯性系 的变换是伽利略变换。质点的加速度是伽利略变换下的不变量。 2．力学体系 我们把经典力学的研究对象称为力学体系。 一般的力学体系都可以视作质点系， 质量连 续分布的力学体系也可离散化而处理成质点系，因此质点系是经典力学最一般的研究对象。 质点是组成力学体系的最小单元， 也是最简单的力学体系。 刚体是一类特殊的质点系。 质点、 刚体、 若干个质点组成的质点系以及若干质点和刚体组成的力学体系是我们这门课程的研究 对象。 大量质点组成的质点系是统计力学的研究对象。 一般的质量连续分布的可以产生形变 的质点系是流体力学或弹性力学的研究对象。 质点和刚体都是实际的宏观物体的抽象； 不存在绝对的质点或刚体。 一个宏观物体能否 视作质点或刚体，不仅取决于物体本身的特点，而且取决于所研究问题的特点。 分析力学中，我们一般着眼于整个力学体系；因此界定力学体系的范围，分清力学体系 的“内”和“外”尤为重要。为什么要把力学体系作为整体来进行研究？组成力学体系的各 部分之间往往存在着约束，存在着相互作用力（包括约束力） ；从而使单个质点或刚体的运 动情况的描述变得复杂起来，而对力学体系整体地进行研究却提供了简化问题的可能性。 3．坐标系 为了对机械运动进行定量的精确的描述， 不仅要选用确定的参考系， 而且需要在参考系 上选择一个适当的计算系统（在参考空间建立合适的坐标系，再配以记载时间的方法。 ） 坐标系和参考系是不同的。参考系是物理概念，是讨论机械运动的一个参考标准；而 坐标系则是数学工具，以某个数组和质点位置间的一一对应关系来描述质点位置及其变化。 在确定的参考系中，坐标系仍有无限多种可能的方式，可以任意选取（适当选取坐标系也 能使问题变得简单） ；特别是，坐标系可以不固定于参考系。坐标系不存在惯性和非惯性的 问题；但是固定于参考系的坐标系就可以代表这个参考系，因而有时也有惯性坐标系和非 惯性坐标系这样的说法。 4．质量和力
由于各专业的不同要求，同样名为理论力学的课程有不同的类型；同样名为理论力学 的教材或专著也有不同的侧重面。除了力学专业的理论力学课程有其自身的专业要求以外， 工科专业的理论力学课程是工程力学的组成部分； 对于物理专业而言， 阐述经典力学普遍规 律的理论力学课程， 是物理专业的专业基础课四大力学之一， 是普通物理课程力学部分的继 续和加深， 也是许多后续课程的必备基础。 目前许多理论力学教材分为矢量力学和分析力学 两部分来阐述。前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数 学工具，后者采用更多数学分析的方法。 由于矢量力学大部分内容已在普通物理课程中讲授，本课程内容以分析力学为主，主 要讲授分析力学的基本概念和基本原理、 拉格朗日力学和哈密顿力学等内容， 课程名称也改 称分析力学。但也要讲一些矢量力学的内容，既为梳理矢量力学的基础知识，又作内容上的 必要补充，但更着重于方法上的更新，为学习分析力学作好准备。 根据数学、物理等理科专业的需要，静力学作为动力学的一个特例，不作为教学的重 点。因此本课程也以分析动力学为重点，而把分析静力学作为分析动力学的一个特例。 由于课时的关系，在本课程里不涉及相对论力学和非线性力学。 §0．3．分析力学的特点 数学工具用得较多，特别是数学分析；当然，我们也不必刻意回避几何方法。 分析力学的理论概括性比较强，能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，也 能对多样化的力学问题作统一的程式化的处理； 因而便于阐述力学的普遍原理， 也便于处理 更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。正因为如此，分析力学也 比较抽象。学习时应加强对其物理意义的理解，同时应注重其在实际问题中的应用。如果自 己能构造一些实例以加深理解当然更好。 分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力） ，因此分析力学的方法便于推广，对于物 理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。 分析力学着眼于整个力学体系 （而矢量力学中往往采用隔离体图， 着眼于各个组成部分 的受力和运动情况） ，因而界定一个力学体系的范围，分清体系的内和外显得格外重要。 分析力学和矢量力学是同一研究对象的两种研究方法， 所得结果当然应该一致。 在矢量 力学中很难求解的问题可能在分析力学中变得比较容易求解， 但是两者不可能得到相互矛盾 的结论。例如，在矢量力学中，单摆（振幅不很小的情况下）的解不能用初等函数来精确表 示，那么用分析力学的方法同样不可能用初等函数来精确表示。 §0．4．经典力学的基本概念 1．经典力学的时空观 参考系 经典力学的任务是研究机械运动的规律。 机械运动是物体在空间的位置和取向随时间发 生变化，是物理学所研究的各种运动形式中最简单，也是最基本的一种。为此我们先对经典 力学的时空观作一简单的说明。(参阅[3]32 页) 空间和时间不仅是一个物理概念， 而且具有深刻的哲学意义。 空间和时间是物质存在的
第二章
质点系力学
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§2．1．质点系运动学 §2．2．约束和广义坐标（§1．3．之续） §2．3．质点系的牛顿动力学方程组 §2．4．两体问题 §2．5．碰撞与散射
第三章
刚体力学
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§3．1．刚体运动学 §3．2．描述刚体运动的坐标系 §3．3．刚体的角速度 §3．4．刚体任一点的线速度和线加速度 §3．5．不同参照系的速度加速度间的关系 §3．6．刚体动力学的基本概念 §3．7．欧拉动力学方程 §3．8．刚体定点转动的几种特殊情况
为核心，创 牛顿（1643－1727）集前人之大成，在总结前人成果的基础上，以 F=mr
立了公理化的经典力学理论体系。牛顿的《自然哲学的数学原理》奠定了经典力学的理论基 础， （参阅[1]§ 1.1 ） （这个理论体系特点为：以直观的几何的图像为基础，以三维空间的矢 量代数和矢量分析为基本数学工具； 因而被称为矢量力学） 为整个物理学的发展提供了一个 坚实的起点平台。 牛顿建立了万有引力定律， 是使得人类彻底摆脱了神界的一次思想大解放。 牛顿的贡献当然也有其局限性，这也体现了科学发展过程中人类认识的历史局限性。 特别是，牛顿的初衷，是希望把他的理论框架发展成为“自然哲学”——广义的物理学的基 础，随着时间的推移，日益显出其局限性来。经过人类长期的生产实践活动，经过众多科学 家实验和理论的研究，拉格朗日，哈密顿等人发展了牛顿力学，广泛地运用数学分析微分几


为核心的牛顿力学的理 何等数学工具，深刻揭示经典力学的规律，完善并突破了以 F=mr
论框架（矢量力学） ；构建起了现代形式的理论体系，称为分析力学。分析力学的建立和发 展，对牛顿的理论体系进行了脱胎换骨的改造，使牛顿的理论框架变得“面目全非” ，却使 得现代形式的理论体系日益成为自然哲学（物理学）的理论基础。 我们通常所说的牛顿力学，就其形式而言，是指矢量力学；但就其实质而言，就是经典 力学；因为经典力学后来的发展，都能在牛顿力学中找到明确的源头。甚至几乎所有近代物 理学的发展都可直接或间接地在牛顿力学中找到渊源， 牛顿力学的发展， 以至于物理学许多 领域的发展，与其说是对牛顿理论缺陷的揭示，倒不如说是对牛顿理论内在价值的追认。 从牛顿、伽利略到拉格朗日，哈密顿，从矢量力学到分析力学，经典力学虽然已经有了 长足的发展，有了相当完整的理论体系，但是这决不意味着经典力学已经发展到顶了。作为 一门基础学科，人类实践和相关各学科实验与理论的研究不断给经典力学提出各种新问题， 不断拓展着经典力学新的研究领域。 还应指出， 经典力学的理论体系与经过高度抽象的数学的公理体系还是有所不同， 物理 学本质上是一门实验科学，物理理论的直接的深厚基础是丰富的实验事实。 早年人们认为，经典力学是确定性的理论（在相当一般的条件下，牛顿方程的解是存在 唯一的） ，庞卡莱（Poincaré 1854－1913）早在一个世纪前就发现，确定性理论中存在着随 机性。现在人们认识到，在非线性问题中，由于绝大多数问题的不可积性，随机性是普遍存 在的。 §0．2． 理论力学和本课程的内容简介 目前理工科大学里设置的介绍经典力学的课程通常称为理论力学，按其内容分为运动
分析力学讲义
2010－2011 学年秋季学期 基科 91－98 使用
2011－09
Байду номын сангаас
目
录
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目录 绪论 §0．1．经典力学发展简史 §0．2． 理论力学和本课程的内容简介 §0．3．分析力学的特点 §0．4．经典力学的基本概念 §0．5．关于教材和教学方法的说明和学习方法方面的建议
第一部分
第一章
矢量力学
A9．Routh 函数 A10．关于相空间中的积分不变量
A11. 正则变换的补充知识
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分析力学
绪 论
2010，9－2011，1
§0．1．经典力学发展简史 经典力学（力学）的研究对象是宏观物体机械运动的规律；而牛顿力学，即以牛顿建 立的理论框架表述的经典力学， 研究宏观物体的低速机械运动的规律。 宏观物体系指和人体 大小可比拟或比人体大得多的物体；低速系指远小于光速的运动速度。至于高速（宏观）物 体的运动规律则为爱因斯坦（1879－1955）建立的相对论（经典）力学所表述；微观物体的 运动规律则为（非相对论的和相对论的）量子力学所表述。 伽利略（1564-1642）继承了古代原子论和数理哲学的优秀遗产，并在实验实践的基础 上发扬光大，使物理学成为一门精密的实验科学。伽利略也因而被誉为实验物理学之父。


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学、静力学和动力学。运动学研究对机械运动的描述方法，不涉及机械运动变化的原因；动 力学则是研究机械运动变化的原因。静力学研究机械运动的一种特殊状态——平衡的理论。 （参见表 0－1） 表 0－1 理论力学课程的内容概要 理论力学 运动学 静力学 动力学 矢量力学 几种常用的坐标系 力系的平衡 牛顿定律（动力学定理） 分析力学 广义坐标（任意曲线坐标系） （静力学）虚功原理 达朗贝尔方程（动力学虚功原理） （拉格朗日方程，哈密顿理论等）
拉格朗日方程
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第六章
§6．1．可积系统和不可积系统 §6．2．一个自由度的力学系统 §6．3．多自由度力学体系的微振动 §6．4．简正坐标、简正频率和简正振动 §6．5．微振动理论的应用实例 §6．6．开普勒问题
简单的可积系统
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第三部分
第七章
§7．1．哈密顿正则方程 §7．2．哈密顿正则方程的解和积分 §7．3．哈密顿正则方程的应用举例 §7．4．哈密顿正则方程的研究