王淑华固体物理章2

1
1 5.4
227.47 106 2.34 1010
0.815
3.16
106
2.8 已知由N个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构的晶 体，其互作用能可表示为
U
R
2Nε
A12
σ R
12
A6
σ R
6
式中R为最近邻原子间的距离，ε, σ, A6 , A12 为常数，试求
Am
j
1
a
m j
, An
j
1
a
n j
得到
U
N 2
αAm Rm
βAn Rn
平衡时R R0 ，则由已知条件 U R0 U0 ，得
N 2
αAm R0m
βAn R0n
U0
由平衡条件
dU R
0 dR R0
得
N 2
m α Am R0m1
n β An R0n
U0
由（1）、（2）两式可解得
αAm
αe2 nβ
4π0r0 r0n
（3）
将（1）、（3）两式代入（2）式
可得
1 r0
nβ r0n
c ρ
exp
r0
ρ
即
n1
n r0
r0 ρ
ρ
2.7 立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能 Eb J mol 。
解： 已知公式
Eb
Nμ q2 8π ε0 R0
1
1 n
和 μ 1.64
变为
U
N
2e 2 ln 2
R0 1
B
R0n 1
由(1)、(2)两式求得势能的变化
（2）
U U U R0
N
B R0n
1
1
n
1
2e 2 ln R0
2
1
1
n
1
(3)
因为 1 ，因而
1 1 1 2
1 1 n 1 n nn 1 2 2
1
n1
41
n1
R0
e
U 2e
4N α e2
R0 2e
1
1 n
4n
n1U e
体积弹性模量可按下式求出
K
e
n 1αe2 18R04 e
K 2e
n 1α2e2 18R04 2e
n3
4 n1 K e
2.5 有一晶体在平衡时的体积为 V0 ，原子间总的互作用能为
U0 。若原子间互作用能由式 ur
b
A12 A6
1 6 σ
所以抗张强度
pm
2 3NRm2
2Nε 12A12
σ 12 Rm13
6A6
σ6
Rm7
4 2 Rm3
2A12
σ Rm
12
A6
σ Rm
6
4 2 Rm3
2A12
b
1
A12 A6
2
A6
b
1 A12 A6
b
4
A12 A6
2 1 2 σ 3
2
A62 b2 A12
数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。
证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应
于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值，即当 r r0 时，
ur 0
r r0
且
2 ur
r
r0
0
因为
ur
α rm
β rn
ur
r r0
α m r0m1
β n r0n1
0
解之有
，于是
K
U0
mn 9V0
2.6 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为
U r
N 2
αe2 4 0r
β rn
今若排斥项 β r n由 cexp r ρ 来代替，且当晶体处于平衡
时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与 ρ 的关系。
解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为 r0
（ r0 不因求解时排斥势选择不同而不同）
为2N，试证明
(1)
平衡时的互作用势能为
U
R0
2Ne2 4π
ln2 R0
1
1 n
(2) 如果晶体被压缩，使 Rc R0 1 ，则外力对每个离子
所作的功 ω 1 n 1e2ln2 δ2
2 4 πε R0
解：(1)计入排斥作用，晶体中任意两离子i、j之间的互作用
能 u rij 可表示为
（1）平衡时原子间的最短距离；
（2）平衡时晶体体积；
（3）平衡时体积弹性模量；
（4）抗张强度。
解：（1）由
U
R
2Nε
A12
σ R
12
A6
σ R
6
得 可知
U R
R0
2Nε 12A12
σ 12 R013
6A6
σ6 R07
0
R06
2
A12 A6
σ6
R0
1 6
2
A12 A6
σ
（2）对于面心立方，N个原子构成晶体体积
r0
n m
β α
1
nm
（1）
因而
ur0
α rm
β r0n
α r0m
1
m n
其次，对应于 r0 处能量取极小值，应有
于是
2ur
r 2
r0
mm 1α
r0m 2
nn 1β
r0n 2
0
nn 1β mm 1α
r mn 0
1
把（1）式代入，即得
nn 1β mm 1α
nβ mα
设最近邻离子数目为Z
U
e2 N[
´
1
R j aj
Ze R ]
e 2
N[ R
Z e R ]
U
e 2
N[
Z
e
R0
]
0
Z e R0 e 2
R R R0
R2 0
R2 0
U (R0 )
e 2
N
R0
Ze R0
e 2
N
R0
e 2
R02
N
e 2
R
1
R0
2.10 由两种一价离子交替排列组成的一维晶体，若离子总数
，
1molZnSN 2 6.02 1023 个 mol ，n 5.4 ，
1 9 109 Nm 2 4π ε0
c2
，R0
3
a
2.34
O
A
4
则
E
2 6.02 1023 1.64 1.6 2 1019 2.34 1010
2
9 109 2
1
1 5.4
227.47 106 2.34 1010
由平衡条件
U R R0
N
αe2 R02
nB R0n1
0
得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数
R0
e
nB αe2
1
n1
从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数
（1）
U R0
U e
N αe2 R0
1
1 n
（2）
由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有
R0
2e
nB
α2e2
b12 V4
b6 V2
b12
1 2
A12 N 5εσ12
b6 A6 N 3εσ 6
可知
U 4b12 2b6 0
V V0
V5 V3
可得
V
2b12 b6
1
2
A12 N 5εσ12 A6 N 3εσ6
1 2
A12 A6
1 2 Nσ 3
（3）体积弹性模量
K
V0
2U V 2
V0
1 9NβN0
UR dUR
dR R0
N
2e 2 ln 2 R2
nB R n1
R0
0
故有 从而得到
nB 2e 2 ln 2
R0n
R0
U R0
N
2e 2 ln 2 R0
B R0n
2Ne 2 ln 2 R0
1
1 n
(1)
(2)如果晶体被压缩，R0 R0 1 ，则互作用能从 UR0
U
N
e
2
R
j
'
1 aj
1 Rn
j
'
b
a
n j
N
e 2
R
B Rn
式中，
为马德隆常数；B
'
b
a
n j
。对于一维离子晶体，
j
马德隆常数为
' 1 aj j
21 1 1 1 2 ln 2 234
所以
UR
N
2e 2 ln 2 R
B Rn
式中的代定参量B可如下确定：因为平衡时，
已知
β r n cexp r ρ
（1）
由
Ur N
2
αe2
4π
ε0
r
cexp
r
ρ
U r
r0
N 2
αe2 4π0 r02
c ρ
exp
r0
ρ 0
得
αe2 4π0 r02
c ρ
exp
r0
ρ
（2）
又
U
r
N 2
αe2 4 0r
β rn
U
N αe2 nβ
r
r0
2
4π0 r02
r0n1
0
得
j
zoz je2 roj
U
N 2
j
zoz je2 roj
N 2R
j
zoz j αj
N 2R
zoz j
j
1 αj
马德隆常数
1 21 1 1 1 2ln2 j αj 2 3 4
2.3
设两原子间的互作用能可由 ur
பைடு நூலகம்
表述。
rm rn
式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； α, β 均为正的常
a
1.54
1 a 1 2
2.2证明有两种离子组成的、间距为 R0 的一维晶格的马德隆常
数 μ 2ln2 。
证明：
C B A O A B C
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。
第j个离子与参考离子的距离可表示为 roj α j R 。对于参考
离子O，它与其它离子的互作用势能为
u0
其晶格常数为a，则有 V a3 。可由式(2)直接求出各种格子的 值。所得结果列表如下：
晶格(a)
晶包体积 晶胞中包含粒 离子间最 结构常
（V ） 子数（n） 短距离 数（ β）
简单立方 面心立方
a3
1
4
a3
体心立方
2
a3
金刚石结构
8
a3
氯化钠结构
8
a3
a
1
2 2
a
0.71
3 2
a
0.77
3 4
解：题给
N Nv Nβ R3
(1)
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平
均占据的体积。若以 N 表示晶体包含的晶胞数，V 表示晶体
中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全
等效于
V N V N nv N nβ R3
于是得
V
β nR3
(2)
R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令
A12
σ R
12
A6
σ R
6
U R
2Nε 12A12
σ 12 R13
6A6
σ6 R7
2U R2
2Nε12 13A12
σ 12 R14
6 7A6
σ6
R
8
2U
σ 12
σ6
R 2
2Nε12 13A12
R14
6 7A6
R8
Rm
0
Rm
26 7
A12 A6
1 6 σ
A62 bA12
b
4
A12 A6
2 1 2 σ 3
A62 bA12
2 b
1
4 b5
2εA65 2 2 A1322σ 3
2b
0.364A12
A6 A12
5
2
ε σ3
2.9 设有一离子晶体,只计及最近邻离子间的排斥作用时,其两个
离子间的势能具有如下的形式:
u(r)
eR e2
V0
N
a3 4
N
1 4
2 R0
3
N
R03 2
可得 R3 2 V N
由（1）中结果知
V0
N
R03 2
N
所以
1 σ3 2
12
2A12 A6
Nσ 3
A12 A6
UV
2Nε A12
σ 12 N 4 4V 4
A6
σ6N 2 2V 2
1 2
A12
N
5
εσ12
1 V4
A6
N
3εσ6
1 V2
R
e2
r
(最近邻间) (最近邻以外)
其中,为参数;R是最近邻距离.试求平衡时晶体总的互作用势 能的表达式.晶体共包含2N个离子.
解:
U
2N 2
´u(rij )
j
N[´
j
e2 rj
e R ] 近邻
以负离子为参考离子,同号取“-”,异号取“+”;
令最近邻离子间距离为R,则 rj ,a j R
N
2U0
m
n
nR0m
βAn
N
2U0
m
n
m
R0n
利用体积弹性模量公式
得
K
R02 9V0
2U R 2
R0
K
1 9V0
N 2
mm
1αAm
R0m
nn
1βAn
R0n
1 9V0
N 2
mm
R0m
1
2U0 nR0m
N m n
nn
R0n
1
N2Um0 mRn0n
U 0
mn 9V0
由于 U0 0 ，因此 U U0
e2 b
u rij
rij
rinj
式中，同号离子取“+”号。异号离子取“－”号。若取负离
子i作为参考离子，并忽略表面效应，则总的互作用能为
U 1 2N
2
J
' u rij
n
j
'
e2 rij
b rijn
括号内对正离子取“+”号，对负离子取“－”号。以R表示最近
邻离子间距，并令 rij aij R ，则上式可写为
α rn
β rm
表述，试证明晶
体的体积弹性模量为
K
U0
mn 9V0
。
证明：设晶体共含有N个原子，则总能量为
UR
1 2
i
j
u
rij
由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，
因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为
UR
N 2
j
u
rij
设最近临原子间的距离为R，则有
再令
rij a j R
第二章 晶体中原子的结合
2.1 由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为
N Nv Nβ R3。式中，
v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最
短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值： (1).简单立方点阵； (2).面心立方点阵； (3).体心立方点阵； (4).金刚石结构； (5).氯化钠型结构。
2U R2
R0
4ε σ3
A65 2 A1322
（4）抗张强度公式为
pm
U V
Vm
U R R Rm V Rm
V
N
β
R3
V
3N
β
R2R
R V
3N
1 β
R2
又面心立方结构 β 2 2
可知
pm
3N
1 β Rm2
U R Rm
2 3NRm2
U R Rm
又
U
R
2Nε
1
1
所以
n 1 1,n m
m1
这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原
子间的距离的变化更陡峭。
2.4 有一离子晶体，其总互作用势能表示为
UR
N
αe2 R
B Rn
试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体
积弹性模量将受何影响？
解： 按题给
UR
N
αe2 R
B Rn