4.1稳定性定义与稳定性条件

0

0 0 0 n
于是
x (k 1) A x (k )
(4.17)
根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为
x(k) (k)x(0) A k x(0)
(4.18)
变换回原来的变量，有
x(k) PA k P 1 x(0)
(4.19)
由式(4.19)看出：当 k 时，x(k) 0 的充分必
lim
t
y(t)

0
，因此，
当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定的；
2 ） 若 i ， i 中 有 一 个 或 者 几 个 为 正 ， 则 有 lim y(t) ，因此，当特征根中有一个或者几
t
个为正实部时，系统是不稳定的；
3）若 i 中有一个或者几个为零,而其它i ， i
统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。
根据平衡状态的定义可知,连续系统 x f (x)的平衡状 态 xe 是满足平衡方程 x 0 即 f (xe) 0的系统状态。离散 系统 x(k 1) f (x(k)) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 xe f (xe, k) 的系统状态。
x(0)

0
，lim t
x(t)


，
系统不稳定。当有特征值的实部等于零，而其
它特征值的实部小于零，则随着时间的增加，
x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺
夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。
当A具有重特征值时,x(t)含有 tet , t 2et , 诸 项，稳定性结论同上。
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定
定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 (,t0) 0 ,使得从满足不等 式 x0 xe (,t0 ) 的任意初态 x0 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x xe 则称系统 的平衡状态 xe 是稳定的.若 与 t0 的选取无 关,则称平衡状态 xe 是一致稳定的.
结论：MIMO线性定常连续系统稳定的
充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征 值具有负实部，或者说都位于复平面左 半部。
4.1.5 线性定常离散系统的稳 定性
1. SISO线性定常离散系统稳定性条件
设线性定常离散系统的脉冲传递函数为 (z) ，
则系统输出的Z变换为 ：
Y (z) M (z) R(z) (z)R(z) N(z)
Ai z
z pi

Ai1 z z pi1

k ii
k i1 i1
由于特征方程是实系数， 所以，Ai , Ai1 必定是共轭的。
设 Ai , Ai1 Ai e ji
k 0
代入上式得:
yi,i1 (k)
Ai
pi ek j(ki i ) Ai
p ek j(ki i ) i
(k )

1 k
1 0
齐次方程(4.20)的解为:
k1
1

1
x1(k) 1k x1(0) k1k1x2 (0)
x2 (k) 1k x2 (0)
(4.21)
显然，当 k 时，x1(k) ，x2 (k) 都趋于零的充分 必要条件是 1 1 。
2.渐近稳定
定义：若平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义下稳定
的，并且当 t 时，x(t) xe
,即 lim t
x(t)
xe
0
，
则称平衡状态是渐进稳定的。
3. 大范围（渐近）稳定
定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的，
则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统 总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定 的。
要条件是 i 1 ，i 1,2, , n 。
（2）特征值是特征方程的重根
不失一般性，设为两重根。经非奇异线性变换 可以化为下面的约当型：

x1 x2
(k (k
1) 1)

1

0
1 x1(k)
2


x
2
(k
)
(4.20)
状态方程(4.20)的状态转移矩阵为:
x(k 1) P 1 APx(k)
(4.16)
（1）A有n个互异的特征值 i ，i 1,2, , n
总可以找到一个非奇异阵P，使矩阵 P1AP 化为
对角型，即
1 0 0 0

0
2

0
0

A P 1 AP

0
0 n1
x x12 x22 xn2
2. 矩阵的范数
定义：mxn矩阵A的范数定义为:
(4.1)
a11 a12
A




am1 am2
a1n amn mn
(4.2)
A
nm
ai2j j 1 i1
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系
x(t) Pe At P 1 x(0) e At x(0)
可见
e At Pe At P 1 Pdiag(e1t ent )P 1
(4.8) (4.9)
将上式展开, e At 的每个元素都是 e1t , , ent 的线 性组合，所以可写成矩阵多项式:
n
e At Ri e it R1e 1t Rn e nt i 1
(4.11)
现在讨论系统在单位脉冲序列离散信(R(z)=1) 作用下的输出响应序列。
（1）(z) 有个互异的单极点 pi ，i 1,2, , n 。
Y(z)可以展成:
Y (z)

n i 1
Ai

zwenku.baidu.comz pi
相应的脉冲响应序列为:
n
y(k ) Ai ( pi ) k i 1
2 Ai pi k cos(k i i )
(4.13)
由此可见，该对复数极点若在单位圆内 （ pi 1 ），系统是渐近稳定的；若在单位圆 外（ pi 1 ），系统是不稳定的；在单位圆上 （ pi 1 ），系统是临界稳定的。
（3） (z) 含有重极点
不失一般性，设含有两重极点 p1 ，则Y(z)可 展开为:
k 0
(4.12)
如果所有的极点在单位圆内,即 pi 1 ，i 1,2,，,n 则 lim y(k) 0 ，所以，系统是渐近稳定的。
k
如果其中有一个极点在单位圆上，设 p1 1 ，
而其余极点均在单位圆内，则
lim
k
y(k)

A1
，所
以，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，又称临
结论：线性定常离散系统稳定的充分必
均为负，则有
lim
t
y(t )
为常数。若
i 中有一个
或者几个为零，而其它 i 、 i 均为负，则y(t)
的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中
有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部
时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。
临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在
工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，
显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将 逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保 证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。
李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。
4.1.1 范数的概念
1. 向量的范数
定义：n维向量空间 x x1 x2 xnT 的范数定义为:
第4章 控制系统稳定性分析
4.1 稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。
李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进 稳定的。
所以，临界稳定在工程上是不稳定的。
结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条
件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负 实部，或者说都位于复平面左半部。

2. MIMO线性定常连续系统稳定的条件
描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：
x Ax Bu
（4.7）
设A有相异特征值 1, , n ，则存在非奇异线性变
(4.5)
设特征方程(4.5)有k个实根 i ，r对共轭复 根 i jdi ，则系统的脉冲响应为:
k
r
y(t) Ci e it e it ( Ai cos di t Bi sin di t)
i 1
i 1
(4.6)
从上式可以看出：
1）若
i
， i 均为负实部，则有
4. 不稳定
定义：如果对于某一实数 0 ，不论 取多 小，由 s( ) 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 s(，) 则称平衡状态为不稳定.
上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。
注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括
参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后 的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的 零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定 性。
首先讨论线性系统 x Ax 的平衡状态。由 于平衡状态为 Axe 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 xe 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件
1. SISO线性定常连续系统稳定的条件
设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:
an y(n) an1y(n1) a1y a0 y bmu(m) b1u b0u
(4.4) 则系统的特征方程为:
D(s) an s n an1s n1 a1s a0 0
换 x Px ，使 A 为对角矩阵，即:
A P 1 AP diag(1 n )
非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:
x(t) e At x(0) diag(e 1t e nt )x(0)
由于 x P1x ，x(0) P 1x(0) ，所以，原状态方程的 零输入解为:
Y (z) A2 p1z A1 z (z p1 ) 2 z p1
对应的脉冲响应序列为:
y(k) A2 k( p1 ) k A1 ( p1 ) k
(4.14)
显然，若重极点在单位圆内，即 p1 1 ，系统
是渐近稳定的；重极点在单位圆外, 即 p1 1 ， 系统是不稳定的；重极点在单位圆上,即 ， p1 1 由式（4.14）可得:
界稳定。
如果有一个或一个以上的极点在单位圆外, 则 lim y(k) ，所以，系统是不稳定的。
k
（2） (z) 有一对共轭复数极点
pi , pi1 pi e ji
对应这一对复数极点的脉冲响应序列是:
A ( p ) A ( p ) yi,i
1
(k
)

Z
1

lim
k
y(k)

lim (
k
A2

k

A1 )


系统是不稳定的。
结论：线性定常离散系统稳定的充分必要条
件是，闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平 面的单位圆内。
2. MIMO线性定常离散系统稳定性条件
设线性定常离散系统的状态方程为:
x(k 1) Ax(k)
(4.15)
做非奇异线性变换 x(k) Px(k) ,式(4.15)变换为:
所以
x(t) e At x(0) [R1e1t Rnent ]x(0)
(4.10)
从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左
半平面，即 Re(i ) 0 ，i 1, , n ，则对任意
x(0)，有 lim x(t) 0 ，系统渐进稳定。只要有一 t
个特征值的实部大于零，对于
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态


x2
x1 x1 x1 x2
x23
解 由平衡状态定义，平衡状态 xe [x1e x2e ]T 应
满足:
x1e 0
x1e
x2e

x
3 2e
0
得非线性系统有三个平衡状态：
xe1 0 0T , xe2 0 1T , xe3 0 1T .