第13章 整式的乘除一、单元设计总体分析本章教学内容本章是继七年级代数式中学习了整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是七年级的延续和发展。
本章的主要内容有同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，以及单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式、因式分解等运算，整式的乘除法既是七年级上册整式的加减的后续学习，也是分式学习的基础，因此，本章内容的地位也至关重要。
多项式的乘法运算最终都转化为同底数幂的乘法进行，因此同底数幂的乘法是整式乘法的基础，所以同底数幂的运算法则和整式的乘法是本章教学的重点。
而其中多项式与多项式相乘的运算要综合运用乘法分配律、交换律及幂的运算法则，是本章教学的难点。
因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢固地掌握。
因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。
本章教学目标1、了解正整数指数幂的运算法则，会进行正整数指数幂的计算。
2、探索了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。
3、会由整式的乘法推导乘法公式：22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a +±=±，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
4、通过从幂的运算到整式乘法，再到乘法公式的学习，了解乘法公式来源于整式乘法，又应有于整式乘法的辩证过程，并初步认识到事物发展过程中“特殊→一般→特殊”的一般规律。
5、探索了解单项式与单项式、多项式与单项式的法则，会进行简单的整式除法运算。
6、了解因式分解的意义及与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想。
7、会用提公因式法、公式法{直接用公式不超过两次}进行因式分解。
8、让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严谨性和初步解决问题的愿望与能力。
二、课时安排本章的教学时间为22课时，建议分配如下：§13.1 幂的运算-------------------------4课时§13.2 整式乘法-------------------------4课时§13.3 乘法公式--------------------------4课时§13.4 整式除法--------------------------2课时§13.5 因式分解--------------------------2课时复习------------------------------------------2课时课题学习------------------------------------2课时三、本章教学策略1、同底数幂的乘法课本首先从计算引出数学运算或处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到同底数幂相乘的问题，由此引导学生进行合作学习，探索同底数幂相乘的规律，得出同底数幂的乘法法则。
之后，又安排第2、第3课时，让学生继续通过合作学习，进一步探索幂的乘方与积的乘方的运算法则。
在这三个法则的探索过程中，对乘方意义的理解和运用是关键，其中积的乘方法则的得出还需用到乘法交换律。
同底数幂的除法可以引导学生通过填空，由同底数幂的乘法的逆运算，推导归纳同底数幂相除的法则。
同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂相除的法则和整式的除法法则都是从“数”的相应运算入手，类比、过渡到到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则，使新的运算规律自然而然地顺应到原有的知识之中，使原有知识得到扩充、发展。
2、单项式的乘法，课本从一个实际例子，引出单项式的乘法，并引导学生思考两个单项式相乘的运算方法和依据（两个单项式相乘运算的依据主要是乘法交换律和同底数幂的乘法法则），并在此基础上引导学生归纳得出单项式与单项式相乘的法则。
之后引导学生从面积的不同表示和乘法分配律两个方面探索单项式与多项式相乘的运算规律，得出单项式与多项式相乘的法则。
多项式的乘法，对多项式与多项式相乘的法则，课本也是通过对图形面积的不同表示直观得出的，这样处理方便学生理解，符合初中学生形象思维丰富的特点。
之后让学生想一想，用乘法分配律解释法则，提高学生对多项式相乘法则的理性理解。
整式的乘法运算规律的探索，从最简单的同底数幂的乘法运算规律的探索开始，步步深入——研究幂的乘方、积的乘方、两个单项式的乘法、单项式与多项式的乘法，逐步过渡到多项式与多项式的乘法，使学生感到，每一个新规律的探索，都可以用原有知识进行（幂的意义、乘法的交换律、分配律），只需归纳其中的规律，使原有知识不断丰富、完善。
在这里，用原有知识探索发现新的规律，新发现的规律又是下一个新规律探索的基础，学习层次得到不断提高。
整式除法的学习也是同样，从同底数幂相除运算法则的探索开始，到单项式与单项式相除、多项式与单项式相除的运算规律探索，步步深入。
3、乘法公式，实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。
课本采用引导学生观察相乘的两个多项式的系数和字母的特点，以及所得多项式的系数和字母的特点，比较它们之间的关系，得出平方差公式和两数和的完全平方公式。
对于两数差的完全平方公式则采用代换的方法得出，这是一种重要的思想方法。
课本还分别安排了让学生尝试用图形的面积直观验证平方差公式和两数和的完全平方公式成立，目的使学生了解公式的几何背景。
课本在平方差公式之后安排例2，用平方差公式进行两个特殊数值的相乘计算，说明乘法公式还可用于简便计算。
4、整式的除法是整式乘法的逆运算，引导学生考虑两个单项式相乘的法则，并得出单项式除以单项式的法则。
之后安排做一做，引导学生将数的除法类比到式的除法，然后归纳多项式除以单项式的运算方法，得出运算法则。
5、因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢固地掌握。
因式分解的理论比较多(如因式分解的因子存在性与唯一性)，分解因式的方法很多；变化技巧较高，这是本部分知识的难点，教学时一定要按照教学要求教学，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。
因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。
因式分解是整式乘法的逆运算，课本安排学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构。
四、课时教学13.1 幂的运算同底数幂的乘法一、素质教育目标1．理解同底数幂乘法的性质，掌握同底数幂乘法的运算性质． 2．能够熟练运用性质进行计算．3．通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力．4．通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．5．通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度． 二、学法引导1．教学方法：尝试指导法、探究法．2．学生学法：运用归纳法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中增进时知识的理解．三、教学重点·难点： （－）重点幂的运算性质． （二）难点有关字母的广泛含义及“性质”的正确使用． 四、课时安排 一课时．五、师生互动活动设计1．复习幂的意义，并由此引入同底数幂的乘法．2．通过一组同底数幂的乘法的练习，努力探究其规律，在探究过程中理解公式的意义．3．教师示范板书，学生进行巩固性练习，以强化学生对公式的掌握． 六、教学步骤1．创设情境，复习导入表示的意义是什么？其中 、 、分别叫做什么？师生活动 叫底数，教师板书．个 提问：1）表示什么？可以写成什么形式？______________2）计算：=33 =43=-3)2( =-4)2(【教法说明】此问题的提出，目的是通过回忆旧知识，为完成下面的尝试题和学习本节知识提供必要的知识准备．2．尝试解题，探索规律（１）式子=⨯4322的意义是什么？（2）这个积中的两个因式有何特点？ 学生回答：（１）32与42的积（2）底数相同 （2）式子=⨯4322怎样计算？7432)2222()222(22=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯学生活动：学生自己思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．同样的：（3）计算：（1）=⨯4355 （2）=∙43a a （3）=∙nm a a师生共同总结： （ 都是正整数）请同学们试着用文字概括这个性质：同底数幂相乘，底数不变、指数相加 3．尝试反馈，理解新知 例1 计算：（1）431010⨯ （2）3a a ∙ （3）53a a a ∙∙ 练习：课本：P19 练习1、2题 计算：（1）83)2()2(-⨯- （2）42)()(y x y x +⨯+（3）543a b a ∙∙注意引导学生符号的确定和整体思想的培养； 4．知识拓展：例3 （1）4()2()7a a a a a ∙=∙=（2）()()a a anm ∙=+（3）已知：52,32==n m ， 求12)2(;2)1(++m n m5．学习小结：学生总结本节所学内容：（ 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变、指数相加 6．布置作业：略幂的乘方一、教学目标1．理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算． 2．通过推导性质培养学生的抽象思维能力．3．通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力．4．通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．5．通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度． 二、学法引导1．教学方法：引导发现法、尝试指导法．2．学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题． 三、教学重点·难点 （－）重点准确掌握幂的乘方法则及其应用． （二）难点同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用． 四、课时安排 一课时．五、师生互动活动设计1．复习同底数幂乘法法则并进行计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解．2．教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质．3．设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解． 六、教学过程 1．复习引入（1）叙述同底数幂乘法法则并用字母表示． （2）计算：① ②2．探索新知，讲授新课（1）引入新课： 计算：（1）()3323222)2(=⨯=（2）()222323333)3(=⨯⨯= （3）()333343)(a a a a a a =⨯⨯⨯= 由上述练习猜想：=n m a )(？（2）幂的乘方法则 字母表示：（， 都是正整数）语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据． 3．尝试反馈，理解新知 例1 计算：（1）53)10( （2）43)(b 练习：课本：P20 练习1、2题 4．知识拓展：1、计算：23]))[(1(y x + （2）2322)()(a a ∙2、错例辨析：下列各式的计算中，正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．知识小结： 1、 幂的乘方：（， 都是正整数）语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2、同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：6．布置作业：略积的乘方一、教学目标1．进一步理解积的乘方的运算性质，准确掌握积的乘方的运算性质，熟练应用这一性质进行有关计算．2．通过推导性质进一步训练学生的抽象思维能力，通过完成例2，培养学生综合运用知识的能力．3．培养实事求是、严谨、认真、务实的学习态度．4．渗透数学公式的结构美、和谐美． 二、学法引导1．教学方法：引导发现法、探究法、讲练法．2．学生学法：本节主要学习幂的乘方性质和积的乘方性质，到现在为止，我们共学习了幂的三个运算性质．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的三个运算性质，深刻理解每种运算的意义，避免互相混淆，有时逆用幂的三个运算性质，还可简化运算． 三、教学重点、难点 （－）重点准确掌握积的乘方的运算性质． （二）难点用数学语言概括运算性质． 四、课时安排 一课时．五、师生互动活动设计1．通过绦习，以达到复习同底数幂的乘法、幂的乘方这两个性质的目的，让学生互问互答．2．推导积的乘方的公式，在推导过程中让学生说出每一步的理由，以便于学生对公式的准确理解．3．通过举例来说明积的乘方性质应如何正确使用，师生共练以达到熟练掌握． 4．多种题型的设计，让学生能从不同的角度全面准确地理解和运用该性质． 六、教学过程1．创设情境，复习导入前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个寨的运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质： 填空： （1）（2）（3） （4） 学生活动：4个学生说出答案，同桌同学给予判断．【教法说明】通过完成本练习，进一步巩固、理解同底数幂的乘法，幂的乘方，同时也为顺利完成本节例2做个铺垫． 2．探索新知，讲授新课 我们知道表示 个 相乘，那么表示什么呢？（注意： 中 具有广泛性）学生回答时，教师板书．这又根据什么呢？（学生回答乘法交换律、结合律）也就是请同学们回答42)(,)(ab ab 的结果怎样？那么 （ 是正整数）如何计算呢？；____________个运用了________律和________律________个 ________个学生活动：学生完成填空．（ 是正整数）刚才我们计算的 、 是什么运算？（答：乘方运算）什么的乘方？（积的乘方）通过刚才的推导，我们已经得到了积的乘方的运算性质． 请同学们用文字叙述的形式把它概括出来．学生活动：学生总结，并要求同桌相互交流，互相纠正补充．达成一致后，举手回答，其他学生思考，准备更正或补充．【教法说明】通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及口头表达能力．教师根据学生的概括给予肯定或否定，纠正后板书．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．尝试反馈，理解新知 例1 计算：（1）3)2(b （2）23)2(a ⨯ （3）3)(a - （4）4)3(x - 练习：课本：P21 练习1、2题 4．知识拓展：（一）提出问题：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如学生活动：在运算的基础上给出答案．（3） （4）学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程． 解：（1）原式 （2）原式（3）原式（二）（2）下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ ① ②③④633a a a =+⑤1553a a a =∙ ⑥3381)21(b b =⑦532)(a a a =∙ ⑧2332)()(b b -=-（三） 计算： （1）（2）学生活动：学生分成两组，每组各做一题，各派一个学生板演． 【教法说明】学生已具备综合运用性质的能力，让学生尝试解题，目的是训练学生分析问题的能力．分组练习，不仅能激发学生的兴趣，同时也可培养学生的集体荣誉感．学生对知识的印象会更深刻．5．知识小结：学生总结所学的三个公式： （ 都是正整数）（， 都是正整数）（ 是正整数）6．布置作业：略同底数幂的除法一、教学目标1．掌握同底数幂的除法运算性质.2．运用同底数幂的除法运算法则，熟练、准确地进行计算.3．通过总结除法的运算法则，培养学生的抽象概括能力.4．通过例题和习题，训练学生的综合解题能力和计算能力.二、学法引导1．教学方法：引导发现法、探究法、讲练法．2．学生学法：1．根据除法是乘法的逆运算，从具体的同底数的幂的除法，，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.让学生自己归纳出同底数的幂的除法法则.2．性质归纳出后，不要急于讲例题，要对法则做几点说明、强调，以引起学生的注意.（1）要强调底数是不等于零的，这是因为，若为零，则除数为零，除法就没有意义了.（2）本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数都是正整数，并且，要让学生运用时予以注意.三、教学重点难点1．重点准确、熟练地运用法则进行计算．2．难点根据乘、除互逆的运算关系得出法则．三、教学过程1．创设情境，复习导入前面我们学习了同底数幂的乘法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答得快而且准确．（1）叙述同底数幂的乘法性质．（2）计算：①②③学生活动：学生回答上述问题．．（m，n都是正整数）【教法说明】通过复习引起学生回忆，巩固同底数幂的乘法性质，同时为本节的学习打下基础．2．提出问题，引出新知思考问题：怎样计算同底数幂的除法？：（1）2522÷ （2）371010÷ （3）37a a ÷学生回答。
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