十年高考真题分类汇编 数学 专题 导数与定积分

第三章 导数专题11 导数与定积分考点1 导数的几何意义1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数()432f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+，故选B ．2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数10】若直线l 与曲线y 和圆2215x y +=相切，则l 的方程为（ ） A ．21y x =+ B ．122y x =+ C ．112y x =+ D ．1122y x =+【答案】D【解析】解法一：由与圆相切，故圆心到直线的距离为圆半径，符合条件的只有A ，D ，将答案A 的直线方程带入，无解；将答案AD 的直线方程带入()0,0r =y 210x =y =，有一解．故选D ．解法二：设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=相切，=，两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+，故选D ． 3. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．4. 【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.5. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==， 则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．10x -=1x =6. 【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】y =2x【解析】∵y ′=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k =20+1=2，则所求的切线方程为y =2x .7. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】−3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.8. 【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 9. 【2018年高考北京理数】设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅰ）若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）（12，+∞）． 【解析】（Ⅰ）因为()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ，所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x =［ax 2–（2a +1）x +2］e x ．f ′(1)=(1–a )e ．由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1．此时f (1)=3e≠0．所以a 的值为1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ． 若a >12，则当x ∈(1a，2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0． 所以f (x )在x =2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤12x –1<0， 所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是（12，+∞）． 10. 【2018年高考天津理数】已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中a >1. （I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.【答案】（I ）函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞；（II ）见解析；（III ）见解析. 【解析】（I ）由已知，()ln x h x a x a =-，有()ln ln x h x a a a '=-. 令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（II ）由()ln xf x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln xa a .由1()ln g x x a '=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a. 因为这两条切线平行，故有121ln ln xa a x a=，即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数，得21log 2log ln 0a a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. （III ）曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线l 1：111ln ()x x y a a a x x -=⋅-. 曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221log ()ln a y x x x x a-=-. 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1eea ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1与l 2重合.即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解．由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a -+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于x 1的方程③存在实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln xxa u x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点. 2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln xx a a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1ln xa x a ≥+，当1ln x a>时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <．因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.。

定积分及其应用十年大数据年份题号考点考查内容20119定积分的几何意义主要考查利用定积分计算曲边梯形的面积考点34定积分的计算1.(2013江西)若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B 【解析】3221127133x S x dx ===⎰，22121ln ln 21S dx x x ===⎰，223121xxS e dx ee e ===-⎰．显然213S S S <<，故选B ．2.(2011福建)1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +【答案】C 【解析】1(2)xex dx +⎰210()x e x e =+=，选C ．3.(2015湖南)2(1)x dx -⎰=．【答案】0【解析】2221(1)()002x dx x x -=-=⎰．4.(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为．【答案】3【解析】39333032=⇒===⎰T T x dx x TT．5.(2012江西)计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．【答案】23【解析】31211111(sin )cos |cos1cos1333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰112333=+=．6.(2011陕西)设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰ ，若((1))1f f =，则a =．【答案】8.1【解析】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．考点35定积分的几何意义1.(2011全国课标理9)由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为(A)103(B)4(C)163(D)6【答案】C 【解析】解2y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得(4,2)，由图知，由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为4(2)x x dx +⎰=3242021(2)|32x x x -+=163，故选C .2.(2014山东)直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4【答案】D【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-(舍去)，直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰，故选D ．3.(2012福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【解析】∵312201211)()0326S x x dx x x -=-=⎰阴影=（,正方形的面积为1，∴P =16，故选C ．4.(2015福建)如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．5.(2014福建)如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．【答案】22e 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴1100=2()22|2x x S e e dx e e -=-=⎰阴，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为22=S S e 阴正．6.(2012山东)设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．【答案】94【解析】a a x dx x S a a====⎰23233232，解得49=a ．。

专题04导数及其应用历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．2．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．3．【2016年新课标1理科07】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．4．【2015年新课标1理科12】设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x时，g′（x）＜0，当x时，g′（x）＞0，∴当x时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得a＜1故选：D．5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．6．【2012年新课标1理科10】已知函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设则g′（x）∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）＝0∴f（x）0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）中，，能排除D．故选：B．7．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【解答】解：∵函数与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，函数上的点到直线y＝x的距离为，设g（x）（x＞0），则g′（x），由g′（x）0可得x≥ln2，由g′（x）0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x＝ln2时，函数g（x）min＝1﹣ln2，，由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．8．【2011年新课标1理科09】由曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选C．9．【2010年新课标1理科03】曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣2【解答】解：∵y，∴y′，所以k＝y′|x＝﹣1＝2，得切线的斜率为2，所以k＝2；所以曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1＝2×（x+1），即y＝2x+1．故选：A．10．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．11．【2013年新课标1理科16】若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为．【解答】解：∵函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴f（﹣1）＝f（﹣3）＝0且f（1）＝f（﹣5）＝0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]＝0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]＝0，解之得，因此，f（x）＝（1﹣x2）（x2+8x+15）＝﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）＝﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）＝0，得x1＝﹣2，x2＝﹣2，x3＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2）、（﹣2，﹣2）上是增函数，在区间（﹣2，﹣2）、（﹣2，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2）＝f（﹣2）＝16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．12．【2010年新课标1理科13】设y＝f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．13．【2019年新课标1理科20】已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝cos x，f″（x）＝﹣sin x，令g（x）＝﹣sin x，则g′（x）＝﹣cos x0在（﹣1，）恒成立，∴f″（x）在（﹣1，）上为减函数，又∵f″（0）＝1，f″（）＝﹣11+1＝0，由零点存在定理可知，函数f″（x）在（﹣1，）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；由于f′（x）在（x0，）上单调递减，且f′（x0）＞0，f ′（）0，由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增；当x ∈（）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减．当x ∈（，π）时，cos x＜0，0，于是f′（x）＝cos x0，f（x）单调递减，其中f （）＝1﹣ln（1）＞1﹣ln（1）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0．于是可得下表：（结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1，]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（，π）上有且只有一个零点x2，当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sin x﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．综上，f（x）有且仅有2个零点．14．【2018年新课标1理科21】已知函数f（x）x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）1，设g（x）＝x2﹣ax+1，当a ≤0时，g （x ）＞0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数， 当a ＞0时，判别式△＝a 2﹣4，①当0＜a ≤2时，△≤0，即g （x ）≥0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数，②当a ＞2时，x ，f ′（x ），f （x ）的变化如下表：，（，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数， 当a ＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1， 则f （x 1）﹣f （x 2）＝（x 2﹣x 1）（1）+a （lnx 1﹣lnx 2）＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2），则2，则问题转为证明1即可，即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2， 则lnx 1﹣ln x 1， 即lnx 1+lnx 1＞x 1，即证2lnx 1＞x 1在（0，1）上恒成立，设h （x ）＝2lnx ﹣x，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0，求导得h ′（x ）10，则h （x ）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0，故2lnx＞x，则a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x alnx＝﹣f（x），即f（x）+f（）＝0，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1，可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，要证a﹣2，只要证a﹣2，即证2alnx2﹣ax20，（x2＞1），构造函数h（x）＝2alnx﹣ax，（x＞1），h′（x）0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax0成立，即2alnx2﹣ax20，（x2＞1）成立．即a﹣2成立．15．【2017年新课标1理科21】已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a＝0时，f′（x）＝﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x）（e x），令f′（x）＝0，解得：x＝ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）＝2a（e x）（e x）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min＝f（ln）＝a×（）+（a﹣2）ln0，∴1ln0，即ln1＞0，设t，则g（t）＝lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）1，由g（1）＝0，∴t1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a＝0时，f′（x）＝﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）＝（2e x+1）（ae x﹣1）＝2a（e x）（e x），令f′（x）＝0，解得：x＝﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）＝2a（e x）（e x）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x＝﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（﹣lna）＝1ln，当a＝1，时，f（﹣lna）＝0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1ln0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1ln0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（1），则f（n0）（a a﹣2）﹣n0n0n0＞0，由ln（1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．16．【2016年新课标1理科21】已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）＝（x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x+2a），①若a＝0，那么f（x）＝0⇔（x﹣2）e x＝0⇔x＝2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x＝1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）＝a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2＝a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＝0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若a＜0，则ln（﹣2a）＜lne＝1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1＝0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x＝ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））＝[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a，则ln（﹣2a）＝1，当x＜1＝ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a，则ln（﹣2a）＞lne＝1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（x）＝（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x＝1时，函数取极大值，由f（1）＝﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a，令g（x），则g（x1）＝g（x2）＝﹣a，∵g′（x），∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m），设h（m），m＞0，则h′（m）0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）＝0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m＝1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）＝g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．17．【2015年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x3+ax，g（x）＝﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【解答】解：（i）f′（x）＝3x2+a．设曲线y＝f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）＝0，f′（x0）＝0，∴，解得，a．因此当a时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）＝﹣lnx＜0，∴函数h（x）＝min{f（x），g（x）}＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x＝1时，若a，则f（1）＝a0，∴h（x）＝min{f（1），g（1）}＝g（1）＝0，故x＝1是函数h（x）的一个零点；若a，则f（1）＝a0，∴h（x）＝min{f（1），g（1）}＝f（1）＜0，故x＝1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）＝﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）＝3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0），f（1）＝a，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x时，f（x）取得最小值．若0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若0，即a，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若0，即，由f（0），f（1）＝a，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a时，函数h（x）有一个零点．当时，h（x）有一个零点；当a或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．18．【2014年新课标1理科21】设函数f（x）＝ae x lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，故a＝1，b＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝e x lnx，∵f（x）＞1，∴e x lnx1，∴lnx，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x，设函数g（x）＝xlnx，则g′（x）＝1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）．设函数h（x）＝xe﹣x，则h′（x）＝e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．19．【2013年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）＝2，g（0）＝2，f′（0）＝4，g′（0）＝4，而f′（x）＝2x+a，g′（x）＝e x（cx+d+c），故b＝2，d＝2，a＝4，d+c＝4，从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）＝x2+4x+2，g（x）＝2e x（x+1）设F（x）＝kg（x）﹣f（x）＝2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）＝2ke x（x+2）﹣2x﹣4＝2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）＝0，得x1＝﹣lnk，x2＝﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）＝﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k＝e2，则F′（x）＝2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）＝0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）＝﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．20．【2012年新课标1理科21】已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x⇒f'（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x＝1得：f（0）＝1∴f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣x令x＝0，得f（0）＝f'（1）e﹣1＝1解得f'（1）＝e故函数的解析式为f（x）＝e x﹣x令g（x）＝f'（x）＝e x﹣1+x∴g'（x）＝e x+1＞0，由此知y＝g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）＝0得：函数f（x）＝e x﹣x的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）（a+1）x﹣b≥0得h′（x）＝e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y＝h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x＝ln（a+1）时，h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）＝x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）＝x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x当x时，F（x）max即当a时，（a+1）b的最大值为21．【2011年新课标1理科21】已知函数f（x），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x），求k的取值范围．【解答】解：由题意f（1）＝1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a＝1，b＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（）＞0，即f（x）．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．22．【2010年新课标1理科21】设函数f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；（2）若当x ≥0时f （x ）≥0，求a 的取值范围．【解答】解：（1）a ＝0时，f （x ）＝e x﹣1﹣x ，f ′（x ）＝e x﹣1． 当x ∈（﹣∞，0）时，f '（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，f '（x ）＞0． 故f （x ）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加 （II ）f ′（x ）＝e x﹣1﹣2ax由（I ）知e x≥1+x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′（x ）≥x ﹣2ax ＝（1﹣2a ）x ， 从而当1﹣2a ≥0，即时，f ′（x ）≥0（x ≥0），而f （0）＝0，于是当x ≥0时，f （x ）≥0．由e x ＞1+x （x ≠0）可得e ﹣x＞1﹣x （x ≠0）． 从而当时，f ′（x ）＜e x﹣1+2a （e ﹣x﹣1）＝e ﹣x（e x ﹣1）（e x﹣2a ），故当x ∈（0，ln 2a ）时，f '（x ）＜0，而f （0）＝0，于是当x ∈（0，ln 2a ）时，f （x ）＜0． 综合得a 的取值范围为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分与微积分基本定理.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e )【答案】C 【解析】由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由()312ln xg x x -'=，令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e=， 若直线y k =和()2ln x g x x =有两个交点，则1(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1g x x=有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e，故选C.2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ>【答案】C 【解析】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()2cos sin ',0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>αβ∴<，故选C.3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】'()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x -=-+⇒-=，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故max ()()ln 2f x f a a a a ==-+，又当0,()x f x →→-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，令'()ln 2()ln 11ln ,t a a a a t a a a =-+⇒=+-='1,()0a a Z t a >∈∴>因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ()(2)2ln 20t a t ≥=>，令()ln 2f x a x x n =-+=由上可知：ln 2n a a a ≤-+，(())()y f f x f n ==，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想(())()y f f x f n ==的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，只需ln 2a a a a ≤-+，即ln 220a a a -+≥，设()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，'()ln 1g a a =-，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln 340g g =-<=-<，(4)4ln 460,(5)5ln 580g g =-<=->，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D【答案】D 【解析】ln 12113a c b d +-==+- ln 11ln 1a b a b +∴=⇒=+，2113c d c d -=⇒=+-∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x= ∴当111x x=⇒=时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴d ==5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】因为函数()ln f x x a x =，所以22()12a x af x x x'==令()22g x x a =，因为()2g x '==，当(1,)x ∈+∞ 时，10>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.6．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë【答案】D 【解析】令2()()(21)xg x xf x x e ax a ==-+-， 则()()()g x f x xf x ''=+，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立， 所以()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即()(21)20xg x x e ax '=++≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立； 令1()2xh x e x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞，则22211(21)()2x x xx x h x e e e x x x +-⎛⎫'=-++= ⎪⎝⎭， 由()0h x '=得2210x x +-=，解得1x =-（舍）或12x =， 所以，当102x <<时，22(21)()0xx x h x e x +-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减； 当12x >时，22(21)()0xx x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；所以min 1()2h x h ⎛⎫==⎪⎝⎭因为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需2a -≤a ≥-故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( ) A ．(),2016-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2018-∞- D ．()2016,0-【答案】A 【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-， 即()g x 为R 上奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋()()()22018+201842x f x f +<--， ()()()22018+201842x f x f +<即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <- 故选A 项.8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】D 【解析】根据题意，函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，其导数24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+142101x x+=>+， 函数()f x 在R 上为增函数，又由111111(1)1(1)()()()035791113f -=+-+-+-+->， 35791113222222(2)1(2)035791113f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+-+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，(1)011f x x t x t ->⇒->⇒>+，又由21t -<<-，则110t -<+<，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____． 【答案】1 【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'=设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：1ln 1()y m x m m--=⨯-． 即：1ln y m x m-=它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1．10．函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】1a … 【解析】()21g x x x =--关于x 轴对称的函数为()21h x x x =-++，因为函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，所以()2xf x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点，方程221x ae x x x -=-++有解，即1x ae x =+有解， 0a =时符合题意，0a ≠时转化为()11xe x a=+有解， 即()1,1xy e y x a==+的图象有交点， ()11y x a =+是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设()1,1xy e y x a==+相切时，切点的坐标为(),m m e ，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a ≥，即1a ≤且0a ≠时，()1,1x y e y x a==+的图象有交点， 此时，()2xf x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点，函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤，故答案为1a ≤.11．已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】作出函数()1xf x e =-图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得ln(1)x m =+或ln(1)x m =-， 因为a b <，所以ln(1)b m =+，ln(1)a m =-， 因此22ln(1)2ln(1)ln(1)(1)a b m m m m +=-++=-+，令232()(1)(1)1g m m m m m m =-+=--++，01m <<， 则2()321(31)(1)g m m m m m '=--+=--+， 因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以2max11132()1133327g m g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______． 【答案】15【解析】设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以()(0)0u x u ≥=，即e 1x x ≥+；可知21121121a c b c e a c b a e c b +--++++--+=++≥， 当且仅当210a c b c +=--=时取等； 因为2121a c b c e a b e +--+++≤所以2121a c b c e a b e +--+=++，210a c b c +=--=． 所以1,2c a c b +=-=， 解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】令()()()ln(1)th t g t f t e t =-=-+，1'()()()1t h t g t f t e t =-=-+，显然为增函数，且'(0)0h = 所以当(1,0)t ∈-时，'()0,()h t h t <单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，'()0,()h t h t >单调递增. 所以min ()(0)1h t h ==. 故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____．【答案】206x y π-=【解析】解：曲线cos y a x =，可得'sin y a x =-， 曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得1sin62a π-=， 所以1a =-.所以切点坐标为：(,6π，则切线l 的方程为：126y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.即：206x y π-=．故答案为：206x y π--=．15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x <，则2212x x e ==(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=-()ln g t t =-4'()4g t t-=， ∴当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增；当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，()g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-. 16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩…，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'…，①若1a -…时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x-=-='，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n+++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()210x ax f x x x'++=>，对于函数21y x ax =++，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++'∴=≥在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得2a x -<或2a x ->，0<<()f x ∴在0,2a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++'=>在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=， 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()21222111222121211ln ln 222ln 2222x x x x ax x x ax x x x x a +⎛⎫+++++ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21ln +228a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭故只需证明ln 1022a a⎛⎫----> ⎪⎝⎭，令2at =-，故1t >， 原不等式等价于ln 1t t <-对1t >成立， 令1()ln (1),'()0tg t t t g t t-=--=<，所以()ln (1)g t t t =--单调递减，有()ln (1)(1)0g t t t g =--<= 得证.19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)1f x x x =+-+，定义域为(1,)-+∞. 1()111x f x x x -'=-=++. 令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以max ()(0)1f x f ==. （Ⅱ）()11a f x ax '=-+11ax a ax -+-=+，1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=.当11,a x a a -⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 11()ln a f x f a a a -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 依题意有11ln e a a e ++…，设1()ln (1)g a a a a =+…， 则22111()0a g a a a a-'=-=…，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增. 又1e 1(e)ln e e e g +=+=，故1e 1ln ea a ++…()(e)g a g ⇔…1e a ⇒剟， 即实数a 的取值范围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围．【答案】（1）22y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(231,4,2164e e⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦【解析】（1）当2a =时，()()2ln 20f x x x x =->∴当0x >时，()22f x x '=-，则：()22f e e'=-，又()22f e e =- ()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：()()2222y e x e e⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭即：22y x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ ()()2,000ax xf x a x ⎧->⎪⎪∴=>⎨≤'列表如下：设函数()f x 存在“单调倍区间”是()()f x g x +①当0m n<≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有2222a na m==()2n m =- 2=12=，代入2222a n a m ==得：12221222a n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与()21202y x x x =-+≥的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦②当02a m n <<≤时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有 ln 22ln 22a m m m a n n n -=⎧⎨-=⎩即：1ln 41ln 4ma mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解8极限积分导数部分十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解8极限积分导数部分一、选择题（共4小题；共20分）1. 数列a n中，a n=1n2,?1≤n≤1000,n2n?2n,n≥1001,则数列a n的极限值A. 等于0B. 等于1C. 等于0或1D. 不存在2. 设P n x n,y n是直线2x?y=nn+1n∈N?与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限lim n→∞y n?1x n?1=A. ?1B. ?12C. 1D. 23. 记椭圆x24+ny2=1围成的区域（含边界）为n n=1,2,?，当点x,y分别在1，2，?上时，x+y的最大值分别是M1，M2，?，则limn→∞M n=A. 0B. 14C. 2D. 224. 若数列a n是首项为1，公比为a?32的无穷等比数列，且a n各项的和为a，则a的值是A. 1B. 2C. 12D. 54二、填空题（共16小题；共80分）5. 计算：limn→∞n+203n+13=．6. limn→∞1?3nn+3=．7. 计算：limn→∞3n+1?2n3n+2n?18. 有一系列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,?,V n,?，则limn→∞V1+V2+?+V n=．9. 设等比数列a n n∈N?的公比q=?12，且limn→∞a1+a3+a5+?+a2n?1=83，则a1=．10. 计算：limn→∞C n3n+1=．11. 若首项为a1，公比为q的等比数列a n的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是a1,q=．12. 计算limn→+∞n+21+2+?+n=．13. 已知函数y=f x的图象是折线段ABC，其中A0,0,B12,1,C1,0．函数y=xf x0≤x≤1的图象与x轴围成的图形的面积为．14. 若f x=x 2x?12，则满足f x<0的x的取值范围是．15. 设无穷等比数列a n的公比为q，若a1=limn→∞a3+a4+?+a n，则q=．16. 计算：limn→∞n+3n+1n=．17. 已知点A0,2n ,B0,?2n,C4+2n,0，其中n为正整数．设S n表示△ABC外接圆的面积，则limn→∞S n=．18. 在数列a n中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点a n,a n?1在直线x?y?3=0上，则limn→∞a nn+12=．19. 将直线l1:nx+y?n=0，l2:x+ny?n=0n∈N?，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞20. 已知点O0,0，Q00,1和点R03,1，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1，R1，使之满足∣OQ1∣?2∣OR1∣?2<0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2，R2，使之满足∣OQ2∣?2∣OR2∣?2<0．依次下去，得到P1，P2，?，P n，?，则limn→∞∣Q0P n∣=．答案第一部分1. B 【解析】limn→∞a n=limn→∞n2n2?2n=limn→∞11?2=1．2. A 【解析】当n→+∞时，直线2x?y=nn+1→2x?y=1与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近点1,1，而y n?1x n?1是P n x n,y n与点1,1之间的斜率，其值无限接近于圆x2+y2=2在点1,1处切线的斜率，可求斜率为?1，所以limn→∞y n?1x n?13. D 【解析】椭圆方程可变形为x24+y24+1n=1，当n→+∞时，x24+y24+1n=1→x24+y24=1．设x+y=z，则当x+y=z和圆x 24+y24=1相切时，z取最大值．此时x+y=22，所以limn→∞M n=22．4. B 【解析】因为数列a n各项的和为a，所以1 1? a?32=a且∣∣a?32∣∣<1，解得a=2．第二部分5. 136. ?27. 38. 879. 210. 1611. 1,12（a1>0,0<q<1的一组数）< bdsfid="242" p=""></q<1的一组数）<>12. 013. 14【解析】首先，根据题意写出f x=2x,0≤x≤12,2x+2,12<x≤1.< bdsfid="252" p=""></x≤1.<>故xf x=2x2,0≤x≤12,2x2+2x,12<x≤1.< bdsfid="260" p=""></x≤1.<>，然后分别积分即可．14. 0,1【解析】∵f(x)的定义域为(0,+∞)，f?(x)=23x?13+12x?32>0，且f(1)=0，∴f x<0的解集是0,1．15. 5?12【解析】易知∣q∣<1，且a1=limn→∞a1+a2+a3+a4+?+a n?a1?a2，所以a1=a1 1?qa1?a1q，即q2+q?1=0．16. e2【解析】limn→∞n+3n+1n=limn→∞1+2n+1n=limn→∞1+1n+1n+122n=e217. 4π【解析】提示：S n=π4+4n+2 2+12．18. 319. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x?1+y=0、l2:n y?1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y?n=0,x+ny?n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB=nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1=11+0=1．20. 3【解析】取Q0R0的中点P1，Q1R1的中点P2，Q2R2的中点为P3，依次下去，点P1,P2,?,P n,?,均在线段Q0R0上，依次取线段Q k R k的中点为P k+1，且选取P k+1的标准是∣OQ k∣?2∣OR k∣?2<0，也就是说线段∣OQ k∣和∣OR k∣一个大于2，一个小于2．事实上，在线段Q0R0上存在一点P03,1，∣OP0∣=2．那么，按题意，依次二分线段Q k R k时，始终让点Q k和点R k 分别在点P0的左右两边，这样无限进行下去，点P k+1就会无限地越来越接近于点P0．于是，点P k+1的极限位置就是点P0，因此∣Q0P n∣的极限是3．。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2+b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e=D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >-C ．11()11f k k <--D ．1()11kf k k >-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x⎰等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx -⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111()()()2223212nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ．30．（2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx⎰的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos xf x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx axf x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln x f x e x m =-+(Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x -，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d =+++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。

第三章 导数专题11 导数与定积分考点1 导数的几何意义1. 【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=2. 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3. 【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =4. 【2020年高考全国Ⅰ卷文数15】曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．5. 【2020年高考全国Ⅲ卷文数15】设函数()e x f x x a =+，若()e14f '=，则a = ．6. 【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 7. 【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 8. 【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 9. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________． 10. 【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 11. 【2017年高考天津文数】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．12. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________.13. 【2017年高考天津文数】设,a b ∈R ，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围． 14. 【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.。

历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。

十年高考数学山东卷精校版含详解——8导数与积分部分十年高考数学山东卷精校版含详解——8导数与积分部分一、选择题（共11小题；共55分）1. 直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. 22B. 42C. 2D. 42. 由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为A. 112B. 14C. 13D. 7123. 直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. 2B. 4C. 2D. 44. 曲线y=x3+11在点P1,12处的切线与y轴交点的纵坐标是A. ?9B. ?3C. 9D. 155. 若函数y=f x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f x具有T性质．下列函数中具有T性质的是A. y=sin xB. y=ln xC. y=e xD. y=x36. 观察x2?=2x，x4?=4x3，cos x?=?sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f x满足f?x=f x，记g x为f x的导函数，则g?x=A. f xB. ?f xC. g xD. ?g x7. 抛物线C1:y=12p x2p>0的焦点与双曲线C2:x23y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=A. 316B. 38C. 233D. 4338. 函数y=x22sin x的图象大致是A. B.C. D.9. 已知f x是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f x=x3?x，则函数y=f x的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为A. 6B. 7C. 8D. 910. 抛物线 C 1:y =12px 2 p >0 的焦点与双曲线 C 2:x 23y 2=1 的右焦点的连线交 C 1 于第一象限的点 M ．若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线，则 p = A. 316B. 38C. 2 33D. 4 3311. 设函数 f x =1x ，g x =?x 2+bx ．若 y =f x 的图象与 y =g x 的图象有且仅有两个不同的公共点 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则下列判断正确的是A. x 1+x 2>0,y 1+y 2>0B. x 1+x 2>0,y 1+y 2<0C. x 1+x 2<0,y 1+y 2>0D. x 1+x 2<0,y 1+y 2<0二、填空题（共6小题；共30分） 12. 设 a >0，若曲线 y = x 与直线 x =a ，y =0 所围成封闭图形的面积为 a 2，则 a = ． 13.1+tan 75°1?tan 75= .14. 若 limn n +a? n=1 ，则常数 a = ．15. 设函数f x =ax 2+c a ≠0 ．若 f x d x 10=f x 0 ，0≤x 0≤1 ，则 x 0 的值为．16. 若函数 e x f x （e ≈2.71828? 是自然对数的底数）在 f x 的定义域上单调递增，则称函数f x 具有 M 性质．下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为．①f x =2?x ②f x =3?x ③f x =x 3④f x =x 2+2．17. 若函数 f x =a x ?x ?a （a >0，且a ≠1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是．三、解答题（共26小题；共338分）18. 设函数 f x =2x 3?3 a ?1 x 2+1，其中a ≥1．（1）求 f x 的单调区间；（2）讨论 f x 的极值．19. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C :x 2a +y 2b =1 a >b >0 的离心率为 22，椭圆 C 截直线y =1 所得线段的长度为 2 2．（1）求椭圆 C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m m ≠0 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 关于 O的对称点，⊙N 的半径为∣NO ∣．设 D 为 AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点 E ，F ，求∠EDF 的最小值．20. 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A 与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．21. 设函数f x=ax?a+1ln x+1，其中a≥?1，求f x的单调区间．22. 已知x=1是函数f x=mx3?3m+1x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R，m<0．（1）求m与n的关系表达式；（2）求f x的单调区间；（3）当x∈?1,1时，函数y=f x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．23. 设函数f x=e xx ?k2x+ln x （k为常数，e=2.71828?是自然对数的底数）．（1）当k≤0时，求函数f x的单调区间；（2）若函数f x在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围．24. 设f x=x ln x?ax2+2a?1x，a∈R．（1）令g x=f?x，求g x的单调区间；（2）已知f x在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．25. 已知函数f x=x2+2cos x，g x=e x cos x?sin x+2x?2，其中e≈2.17828?是自然对数的底数．（1）求曲线y=f x在点π,fπ处的切线方程；（2）令x=g x?af x a∈R，讨论 x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．26. 已知函数f x=13x3?12ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f x在点3,f3处的切线方程；（2）设函数g x=f x+x?a cos x?sin x，讨论g x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．27. 已知f x=a x?ln x+2x?1x2，a∈R．（1）讨论f x的单调性；（2）当a=1时，证明f x>f?x+32对于任意的x∈1,2成立．28. 设函数f x=a ln x+x?1，其中a为常数．x+1（1）若a=0，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程；（2）讨论函数f x的单调性．29. 设函数f x=x ln x?ax2+2a?1x，a∈R．（1）令g x=f?x，求函数g x的单调区间；（2）已知f x在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．+c（e=2.71828?是自然对数的底数，c∈R）．30. 设函数f x=xe（1）求f x的单调区间、最大值；（2）讨论关于x的方程∣ln x∣=f x根的个数．31. 设函数f x=x+a ln x，g x=x2．已知曲线y=f x在点1,f1处的切线与直线2x?y=0平行．（1）求a的值；（2）是否存在自然数k，使得方程f x=g x在k,k+1内存在唯一的根? 如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（3）设函数m x=min f x,g x（min p,q表示p，q中的较小值），求m x的最大值．32. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c c>3千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r．33. 设函数f x=ax2+b ln x，其中ab≠0．证明：当ab>0时，函数f x没有极值点；当ab<0时，函数f x有且只有一个极值点，并求出极值．1a∈R．34. 已知函数f x=ln x?ax+1?ax（1）当a=?1时，求曲线y=f x在点2,f2处的切线方程；（2）当a≤1时，讨论f x的单调性．2ax3+bx2+x+3，其中a≠0．35. 已知函数f x=1（1）当a，b满足什么条件时，f x取得极值?（2）已知a>0，且f x在区间0,1上单调递增，试用a表示出b 的取值范围．36. 已知x=1是函数f x=mx3?3m+1x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R，m≠0．（1）求m与n的关系式；（2）求f x的单调区间．37. 已知函数f x=ln x+ke x（k为常数，e=2.71828?是自然对数的底数），曲线y=f x在点1,f1处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f x的单调区间；（3）设g x=xf?x，其中f?x为f x的导函数．证明：对任意x>0，g x<1+e?2．38. 已知数列a n的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5n∈N?．（1）证明数列a n+1是等比数列；（2）令f x=a1x+a2x+?+a n x n，求函数f x在点x=1处的导数f?1并比较2f?1与23n2?13n的大小．39. 已知数列a n的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5n∈N?．（1）证明数列a n+1是等比数列；（2）令f x=a1x+a2x2+?+a n x n，求函数f x在点x=1处的导数f?1．40. 已知函数f x=ln x?ax+1?ax1a∈R．（1）当a≤12时，讨论f x的单调性；（2）设g x=x2?2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈0,2，存在x2∈1,2，使f x1≥g x2，求实数b的取值范围．41. 设函数f x=ln x+1+a x2?x，其中a∈R．（1）讨论函数f x极值点的个数，并说明理由；（2）若?x>0，f x≥0成立，求a的取值范围．42. 设函数f x=x2+b ln x+1，其中b≠0．（1）当b>12时，判断函数f x在定义域上的单调性；（2）求函数f x的极值点；（3）证明对任意的正整数n，不等式ln1n +1>1n1n都成立．43. 如图，设抛物线方程为x2=2py p>0，M为直线y=?2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（2）已知当M点的坐标为2,?2p时，∣AB∣=410．求此时抛物线的方程；（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py p>0上，其中，点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案第一部分 1. D【解析】由 y =4x ,y =x 3得 x =0 或 x =2 或 x =2 （舍）．所以 S = 4x ?x 3 d x 20= 2x 2?14x 4 ∣∣02=4．2. A 【解析】题中所表示阴影部分如图：利用积分即得答案． 3. D 4. C 【解析】因为 y?=3x 2，切点为 P 1,12 ，所以切线的斜率为 3，故切线方程为3x ?y +9=0，令 x =0，得 y =9．5. A【解析】当 y =sin x 时，y?=cos x ，cos0?cos π=?1，所以在函数 y =sin x 图象存在两点 x =0，x =π 使条件成立，则 A 正确；函数 y =ln x ，y =e x ，y =x 3 的导数值均非负，不符合题意． 6. D【解析】由观察可知，偶函数 f x 的导函数 g x 都是奇函数，所以有 g ?x =?g x ．7. D 【解析】由题可知，双曲线右焦点为 F 2,0 ，渐近线方程为 y =± 33x ；抛物线焦点为 F? 0,p 2．设 M x 0,y 0 ，则 y 0=12p x 02．∵k MF?=k FF?，∴12p x 02?p 2x 0=p 22①．又 y?=xp，∴y?∣x =x 0=x 0p=33②．由①②得 p =4 33．8. C【解析】据已知解析式可得 f 0 =0 ，即图象经过坐标原点，故排除 A ；又当x >2π 时， x2>π ，2sin x ≤2 ，即当x >2π 时， f x =x2?2sin x >0 ，故排除 D ；又当x >2π 时， f? x =122cos x 的符号不确定，即函数在区间2π,+∞ 上不单调，故排除B ． 9. B【解析】当0≤x <2 时，由 f x =x 3?x =0 得 x =0 或 x =1，故 f x 在 0,2 上有两个零点．结合函数的周期性，可得函数在0,6 上共有7 个零点，即函数在区间 0,6 内的图象与 x 轴共有 7 个交点． 10. D【解析】设抛物线 C 1 的焦点为 F ，则 F 0,p2 ．设双曲线 C 2 的右焦点为 F 1，则 F 1 2,0 ．直线 FF 1 的方程为 y =?p 4x +p2，设 M x 0,x 022p，因为 M 在直线 FF 1 上，所以 x 022p =?p 4x 0+p2．①因为 y =12p x 2，所以 y?=1p x ，所以 C 1 在 M 点处的切线斜率为 1p x 0，又 x 23?y 2=1 的渐近线方程为y =± 33x ，故由题意得 1p x 0=33,② 将① 、② 联立可得 p =4 33．11. B 【解析】由 f x =g x 得 x 3?bx 2+1=0．因为两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，所以不妨设x 3?bx 2+1= x ?x 1 2 x ?x 2 ．展开看对应项系数得 x 12x 2=?1,2x 1x 2+x 12 =0，故 x 2<0，x 1=?2x 2>0．于是有x 1+x 2=?x 2>0,y 1+y 2=1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2<0. 第二部分 12. 49【解析】封闭图形如图所示，则0a x d x =23x 32∣0a =23a 32?0=a 2，解得 a =49． 13. ? 3 14. 2 15. 33【解析】由已知，得 a3+c =ax 02+c ，于是有 x 02=13 ，又0≤x 0≤1 ，故 x 0=33．16. ①④。

8.(2016·四川·理 T9)设直线 l 1,l 2 分别是函数 f(x)={lnx ,x > 1十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题 04 导数与定积分1.(2019·全国 2·T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=02.(2019·全国 3·T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x +xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e -1,b=1D.a=e -1,b=-13.(2018·全国 1·理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x4.(2017·全国 2·理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)e x-1 的极值点,则 f(x)的极小值为()A.-1B.-2e -3C.5e -3D.15.(2017·浙江·T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ()6.(2016·山东·理 T10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 37.(2016·全国 1·文 T12)若函数 f(x)=x-1sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( )3A.[-1,1]C.[- 1 , 1]3 3B.[-1, 1]3D.[-1,- 1]3-lnx ,0 < x < 1, 图象上点 P 1,P 2 处的切线,l 1 与 l 2 垂直相交于点 P,且 l 1,l 2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)m 29.(2015·全国 2·理 T12)设函数 f'(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)10.(2015·全国 1·理 T12)设函数 f(x)=e x (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x 0 使得 f(x 0)<0,则 a的取值范围是( )A.[- 3 ,1)2eC.[ 3 , 3)2e 4B.[- 3 , 3)2e 4D.[ 3 ,1)2e11.(2014·全国 1·理 T11 文 T12)已知函数 f(x)=ax 3-3x 2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x 0,且 x 0>0,则 a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)12.(2014·江西,理 8)若 f(x)=x 2+2∫1 f(x)dx,则∫1 f(x)dx=()A.-1B.-13C.13D.113.(2014·全国 2·理 T8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=()A.0B.1C.2D.314.(2014·全国 2·文 T11)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)15.(2014·全国 2·理 T12)设函数 f(x)=√3sin πx .若存在 f(x)的极值点 x 0 满足x 0+[f(x 0)]2<m 2,则 m 的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)16.(2014·湖北·理 T6)若函数 f(x),g(x)满足∫1f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组-1正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin 1x,g(x)=cos 1x;22②f(x)=x+1,g(x)=x -1;3B.2C.83D.16√25 B.4③f(x)=x,g(x)=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.317.(2014·山东,理 6)直线 y=4x 与曲线 y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.418.(2013·北京,理 7)直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C所围成的图形的面积等于() A.4319.(2013·全国 2·理 T10 文 T11)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x 0∈R,f(x 0)=0B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形C.若 x 0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若 x 0 是 f(x)的极值点,则 f'(x 0)=020.(2013·湖北,理 7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 25 (t 的单1+t位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5C.4+25ln 5B.8+25ln 113D.4+50ln 221.(2012·湖北·理 T3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为()A.2π3C.32D.π222.(2011·全国,理 9)由曲线 y=√x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.10B.4C.16D.63323.(2010·全国,理 3)曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为()x+2A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-224.(2010·全国·文 T4)曲线 y=x 3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+225.(2019·全国1·T13)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.26.(2019·天津·文T11)曲线y=cos x-x在点(0,1)处的切线方程为.227.(2019·江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.28.(2018·天津·文T10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.29.(2018·全国2·理T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.30.(2018·全国2·文T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.31.(2018·全国3,理14)直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.32.(2018·江苏·T11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.33.(2017·全国1,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.34.(2017·天津,文10)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.35.(2017·山东·理T15)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+236.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-1,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数ae x的取值范围是.37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐x标为.41.(2015·天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为______________.42.(2015·陕西·理T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大, 42时,证明f(x)+g(x)2-x≥0;(3)设xn 为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+π,2nπ+π内的零点,其中n∈N,证明2nπ+π-xn<sinx0-cosx0流量的比值为.43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B(1,5),C(1,0).函数2y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________________.44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.47.(2019·浙江·T22)已知实数a≠0,设函数f(x)=aln x+√1+x,x>0.(1)当a=-3时,求函数f(x)的单调区间;4(2)对任意x∈1,+∞均有f(x)≤√x,求a的取值范围.e22a注:e=2.71828…为自然对数的底数.48.(2019·全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.49.(2019·江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤4.2750.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=e x cos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈πππ42252.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:e-2nπ.(3)证明当 a≥e e 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.(1)f'(x)在区间(-1,π)存在唯一极大值点;2(2)f(x)有且仅有 2 个零点.53.(2019·全国 1·文 T20)已知函数 f(x)=2sin x-xcos x-x,f'(x)为 f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若 x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求 a 的取值范围.54.(2019·全国 2·理 T20)已知函数 f(x)=ln x-x+1.x -1(1)讨论 f(x)的单调性,并证明 f(x)有且仅有两个零点;(2)设 x 0 是 f(x)的一个零点,证明曲线 y=ln x 在点 A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线 y=e x 的切线.55.(2019·天津·文 T20)设函数 f(x)=ln x-a(x-1)e x ,其中 a∈R.(1)若 a≤0,讨论 f(x)的单调性;(2)若 0<a<1,e①证明 f(x)恰有两个零点;②设 x 0 为 f(x)的极值点,x 1 为 f(x)的零点,且 x 1>x 0,证明 3x 0-x 1>2.56.(2018·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ax 2.(1)若 a=1,证明:当 x≥0 时,f(x)≥1;(2)若 f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求 a.57.(2018·全国 2·文 T21 度)已知函数 f(x)=1x 3-a(x 2+x+1).3(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.58.(2018·天津·理 T20)已知函数 f(x)=a x ,g(x)=log a x,其中 a>1.(1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;(2)若曲线 y=f(x)在点(x 1,f(x 1))处的切线与曲线 y=g(x)在点(x 2,g(x 2))处的切线平行,证明 x 1+g(x 2)=-2lnlna ;159.(2018·天津·文 T20)设函数 f(x)=(x-t 1)(x-t 2)(x-t 3),其中 t 1,t 2,t 3∈R,且 t 1,t 2,t 3 是公差为 d 的等差数列.(1)若 t 2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若 d=3,求 f(x)的极值;(3)已知函数 f(x)=-x 2be +a,g(x)= .对任意 a>0,判断是否存在 b>0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+∞)内存在(2)若 f(x)存在两个极值点 x 1,x 2,证明:f (x 1)-f (x 2)<a-2. 65.(2018·全国 3,文 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=ax +x -1.(3)若曲线 y=f(x)与直线 y=-(x-t 2)-6 √3有三个互异的公共点,求 d 的取值范围.60.(2018·北京·理 T18 文 T19)设函数 f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x .(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a;(2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.61.(2018·江苏·T19)记 f'(x),g'(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数.若存在 x 0∈R,满足 f(x 0)=g(x 0),且f'(x 0)=g'(x 0),则称 x 0 为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明:函数 f(x)=x 与 g(x)=x 2+2x-2 不存在“S 点”;(2)若函数 f(x)=ax 2-1 与 g(x)=ln x 存在“S 点”,求实数 a 的值;xx“S 点”,并说明理由.62.(2018·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=1-x+aln x.x(1)讨论 f(x)的单调性;x 1-x 263.(2018·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=ae x -ln x-1.(1)设 x=2 是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间;(2)证明:当 a≥ 时,f(x)≥0.64.(2018·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x.(1)若 a=0,证明:当-1<x<0 时,f(x)<0;当 x>0 时,f(x)>0;(2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a.2 e x(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a≥1 时,f(x)+e≥0.66.(2018·浙江·T22)已知函数 f(x)=√x -ln x.(1)若 f(x)在 x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f(x 1)+f(x 2)>8-8ln 2;(2)若 a≤3-4ln 2,证明:对于任意 k>0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.67.(2018·江苏·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上.设OC 与 MN 所成的角为 θ .2 2n11q q1(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积,并确定 sin θ 的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.68.(2017·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=x-1-aln x.(1)若 f(x)≥0,求 a 的值;(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1 + 1) (1 + 2 ) … (1 + 2 )<m,求 m 的最小值.69.(2017·全国 2·文 T21)设函数 f(x)=(1-x 2)e x .(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 x≥0 时,f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围.70.(2017·天津·文 T19)设 a,b∈R,|a|≤1.已知函数 f(x)=x 3-6x 2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求 f(x)的单调区间;(2)已知函数 y=g(x)和 y=e x 的图象在公共点(x 0,y 0)处有相同的切线,①求证:f(x)在 x=x 0 处的导数等于 0;②若关于 x 的不等式 g(x)≤e x 在区间[x 0-1,x 0+1]上恒成立,求 b 的取值范围. 71.(2017·全国 3·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+ax 2+(2a+1)x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 a<0 时,证明 f(x)≤- 3 -2.4a72.(2017·天津·理 T20)设 a∈Z,已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g(x)为 f(x)的导函数.(1)求 g(x)的单调区间;(2)设 m∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数 h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m),求证:h(m)h(x 0)<0;(3)求证:存在大于 0 的常数 A,使得对于任意的正整数 p,q,且p ∈[1,x 0)∪(x 0,2],满足|p -x 0| ≥ Aq 4.73.(2017·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=ae 2x +(a-2)e x -x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.(2)证明:当 a∈[0,1)时,函数 g(x)=e -ax -a (x>0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a),求函数 h(a)的值域.(3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于 .1．．． 74.(2017·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=e x (e x -a)-a 2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围.75.(2017·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=ax 2-ax-xln x,且 f(x)≥0.(1)求 a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x 0,且 e -2<f(x 0)<2-2.76.(2017·山东·理 T20)已知函数 f(x)=x 2+2cos x,g(x)=e x (cos x-sin x+2x-2),其中 e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令 h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.77.(2017·江苏·T20)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数 f'(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b 2>3a;(3)若 f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7,求 a 的取值范围.278.(2017·北京·理 T19)已知函数 f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数 f(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值.279.(2017·浙江·T20)已知函数 f(x)=(x-√2x -1)e -x (x ≥ 1).2(1)求 f(x)的导函数;(2)求 f(x)在区间[1 , + ∞)上的取值范围.280.(2016·全国 2·理 T21)(1)讨论函数 f(x)= x -2 e x 的单调性,并证明当 x>0 时,(x-2)e x +x+2>0;x+2xx 281.(2016·天津,理 20,12 分,难度)设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中 a,b∈R.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)存在极值点 x 0,且 f(x 1)=f(x 0),其中 x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3;482.(2016·全国 2·文 T20)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 a 的取值范围.83.(2016·四川·文 T21)设函数 f(x)=ax 2-a-ln x,g(x)=1 − e 其中 a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.xe x(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明:当 x>1 时,g(x)>0;(3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.84.(2016·全国 3·理 T21)设函数 f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中 α>0,记|f(x)|的最大值为 A.(1)求 f'(x);(2)求 A;(3)证明|f'(x)|≤2A.85.(2016·全国 3·文 T21)设函数 f(x)=ln x-x+1.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明当 x∈(1,+∞)时,1<x -1<x;lnx(3)设 c>1,证明当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .86.(2016·全国 1,理 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2 有两个零点.(1)求 a 的取值范围;(2)设 x 1,x 2 是 f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2.87.(2016·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.88.(2016·北京·理 T18)设函数 f(x)=xe a-x +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4.(1)求 a,b 的值;(2)求 f(x)的单调区间.89.(2016·山东·文 T20)设 f(x)=xln x-ax 2+(2a-1)x,a∈R.(1)令 g(x)=f'(x),求 g(x)的单调区间;(2)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.90.(2015·山东·理 T21)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x 2-x),其中 a∈R.(1)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由;97.(2015·北京·文 T19)设函数x f(x)= -kln x,k a (1)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最小值 g(a)的表达式; a (2)若∀x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.91.(2015·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.92.(2015·全国 2·理 T21)设函数 f(x)=e mx +x 2-mx.(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意 x 1,x 2∈[-1,1],都有|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1,求 m 的取值范围.93.(2015·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=e 2x -aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f'(x)零点的个数;(2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln 2.a94.(2015·天津·理 T20)已知函数 f(x)=nx-x n ,x∈R,其中 n∈N *,且 n≥2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x);(3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x 1,x 2,求证:|x 2-x 1|<1-n +2.95.(2015·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=x 3+ax+1,g(x)=-lnx. 4(1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线;(2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.96.(2015·江苏·理 T19)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+b(a,b∈R).(1)试讨论 f(x)的单调性;(2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1, 3) ∪ (3 , + ∞),求 c 的值. 2 22 2 (1)求 f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,√e ]上仅有一个零点.98.(2015·浙江·文 T20)设函数 f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R).2 4(2)已知函数 f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b -2a≤1.求 b 的取值范围.x 102.(2014·全国 1 ·理 T21) 设函数 f(x)=ae ln x+be x , 曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 a 99.(2014·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 3-3x 2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.(1)求 a;(2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.100.(2014·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -e -x -2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值;(3)已知 1.414 2<√2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001).101.(2014·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=aln x+1-a x 2-bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 20.(1)求 b;(2)若存在 x 0≥1,使得 f(x 0)<a -1,求 a 的取值范围.x -1y=e(x-1)+2.(1)求 a,b;(2)证明:f(x)>1.103.(2013·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ln(x+m).(1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性;(2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.104.(2013·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 2e -x .(1)求 f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.105.(2013·重庆·文 T20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π 元(π 为圆周率).(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.106.(2013·全国 1·理 T21)设函数 f(x)=x 2+ax+b,g(x)=e x (cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.107.(2013·全国1·文T20)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.108.(2012·全国·理T21)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+1x2.2(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥1x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.2109.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.110.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.111.(2011·山东·理T21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表3面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.112.(2011·全国·理T21)已知函数f(x)=alnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.x+1x(1)求a,b的值;(2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx+k,求k的取值范围.x-1x113.(2011·全国·文T21)已知函数f(x)=(1)若a=>,求f(x)的单调区间;x+1+,曲线b alnxx(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx.x-1114.(2010·全国·理T21)设函数f(x)=e x-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.115.(2010·全国·文T21)设函数f(x)=x(e x-1)-ax2.12(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.。

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题04导数及其应用本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的几何意义，导数研究函数的单调性、极值与最值，导数证明不等式的方法等，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值，导数研究函数的最值为重点较佳.1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是____________．2．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．3．【2016年北京理科14】设函数f（x）={x3−3x，x≤a −2x，x＞a．①若a＝0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12−x2．（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．5．【2019年北京理科19】已知函数f（x）=14x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．6．【2018年北京理科18】设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．7．【2017年北京理科19】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．8．【2016年北京理科18】设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e ﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．9．【2015年北京理科18】已知函数f（x）＝ln1+x1−x，（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞2(x+x 33 )；（Ⅲ）设实数k使得f（x）＞k(x+x 33)对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．10．【2013年北京理科18】设l为曲线C：y=lnxx在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．11．【2012年北京理科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．12．【2011年北京理科18】已知函数f(x)=(x−k)2e x k．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1e，求k的取值范围．1．若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是（）A．[−1,0]B．[−1,+∞)C．[0,3]D．[3,+∞)2．【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知曲线y=a e x+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y =2x+b，则（）A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−13．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】设函数f(x)=√3sinπxm．若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是（）A．(−∞,−6)∪(6,∞)B．(−∞,−4)∪(4,∞)C．(−∞,−2)∪(2,∞)D．(−∞,−1)∪(1,∞)4．函数f(x)=x3−3x2+2在区间[－1，1]上的最大值是（）A．4B．2C．0D．－25．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三高考模拟预测卷（二）】已知函数f(x)=13x3−4x+2e x−2e x，其中e是自然对数的底，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[12,+∞)C．(−1,12)D．[−1,12]6．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】已知函数f(x)=x2−2x+a(e x−1+ e−x+1)有唯一零点，则a=A．−12B．13C．12D．17．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】关于函数f(x)=(x2+ax−1)e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为−1；②函数的极值点不可能是−1；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．【北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考】已知函数f(x)=e2x−3，g(x)=14+ln x2，若f(m)=g(n)成立，则n−m的最小值为（）A．12+ln2B．ln2C．12+2ln2D．2ln29．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】设函数f′(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(0,1)B．(−1,0)∪(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(−1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)≥x a对x∈(1,+ 10．【2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试】已知不等式x+alnx+1e x∞)恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−eC．−e D．−2e2−alnx（a 11．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟】直线y=x+1是曲线f（x）=x+1x∈R）的切线，则a的值是______．12．已知f(x)＝e x·sinx，则f′(0)的值为___.13．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a=.14．函数f(x)=xlnx的单调减区间是______．(x>0)的单调递减区15．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知函数f(x)=x+ax间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)，那么a=____．16．对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是________.17．【北京市东城区第五中学2019-2020学年高三上学期12月月考】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ(A,B)=|k A−k B|叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的|AB|“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3−x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ(A,B)>√3；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ(A,B)⩽2；（4）设曲线y=e x上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1−x2=1，若t·φ(A,B)<1恒成立，则实数t 的取值范围是(−∞,1)；以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）+cosx，给出下列结论：18．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）19．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y=x2+1；②y=|x+1|+|x+2|；③y=2x+1；④y=x2+cosx，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)−m <0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________..21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=1−xe x（1）求函数f(x)的单调区间；成立，求实数a的最小值.（2）若对任意x1,x2∈[a,+∞)，都有f(x1)−f(x2)≥−1e222．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知函数f(x)=a e x图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)−g(x)，求证：ℎ(x)>2．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.24．【2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）】已知函数f(x)=(x2+ax−a)，其中a∈R.e x（1）当a=0时，求f(x)在(1,f(1))的切线方程；（2）求证：f(x)的极大值恒大于0.25．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=e x+ax.(I)当a=-1时，①求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(II)求证:当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点.26．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R).（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.),，其中a 27．【北京市海淀区2019届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)=e ax(x2−a+2a≠0．(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角； (Ⅱ)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a 的取值范围．28．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二）】已知函数g(x)=alnx ，f(x)=x 3+x 2+bx . （1）若f(x)在区间[1,2]上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意x ∈[1,e]，都有g(x)≥−x 2+(a +2)x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当b =0时，设F(x)={f(−x),x <1g(x),x ≥1，对任意给定的正实数a ，曲线y =F(x)上是否存在两点P ，Q ，使得ΔPOQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由.29．【北京市人大附中2019届高三高考模拟预测】已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x ＋a(a∈R)(e 是自然对数的底数，e≈2.718…)． (1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)若函数h(x)＝f(x)+g(x)x在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b ，求b 的最小值．30．已知函数f （x ）＝x 22﹣（1+2a ）x +4a+12ln （2x +1），a ＞0．（1）已知函数f （x ）在x ＝2取得极小值，求a 的值； （2）讨论函数f （x ）的单调区间；（3）当a ＞14时，若存在x 0∈（12，+∞）使得f （x 0）＜12﹣2a 2，求实数a 的取值范围．1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是____________．【答案】(0,+∞) 【解析】由题意得{x >0x +1≠0 ，∴x >0故答案为：(0,+∞)2．【2019年北京理科13】设函数f （x ）＝e x +ae ﹣x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a ＝ ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】解：根据题意，函数f （x ）＝e x +ae ﹣x ，若f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即e ﹣x +ae x ＝﹣（e x +ae ﹣x ），变形可得a ＝﹣1， 函数f （x ）＝e x +ae ﹣x ，导数f ′（x ）＝e x ﹣ae ﹣x若f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）的导数f ′（x ）＝e x ﹣ae ﹣x ≥0在R 上恒成立， 变形可得：a ≤e 2x 恒成立，分析可得a ≤0，即a 的取值范围为（﹣∞，0]； 故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．3．【2016年北京理科14】设函数f （x ）={x 3−3x ，x ≤a −2x ，x ＞a．①若a ＝0，则f （x ）的最大值为 ；②若f （x ）无最大值，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】解：①若a ＝0，则f （x ）={x 3−3x ，x ≤0−2x ，x ＞0，则f ′（x ）={3x 2−3，x ≤0−2，x ＞0，当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当x ＞﹣1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝﹣1时，f （x ）的最大值为2； ②f ′（x ）={3x 2−3，x ≤a −2，x ＞a，令f ′（x ）＝0，则x ＝±1，若f （x ）无最大值，则{a ≤−1−2a ＞a 3−3a，或{a ＞−1−2a ＞a 3−3a −2a ＞2，解得：a ∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12−x 2． （Ⅰ）求曲线y =f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x +y −13=0，（Ⅱ）32. 【解析】（Ⅰ）因为f (x )=12−x 2，所以f ′(x )=−2x ，设切点为(x 0,12−x 0)，则−2x 0=−2，即x 0=1，所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y −11=−2(x −1)，即2x +y −13=0. （Ⅱ）显然t ≠0，因为y =f (x )在点(t,12−t 2)处的切线方程为：y −(12−t 2)=−2t (x −t )， 令x =0，得y =t 2+12，令y =0，得x =t 2+122t，所以S (t )=12×(t 2+12)⋅t 2+122|t|，不妨设t >0(t <0时，结果一样)， 则S (t )=t 4+24t 2+1444t =14(t 3+24t +144t)，所以S ′(t )=14(3t 2+24−144t2)=3(t 4+8t 2−48)4t 2=3(t 2−4)(t 2+12)4t 2=3(t−2)(t+2)(t 2+12)4t 2，由S ′(t )>0，得t >2，由S ′(t )<0，得0<t <2， 所以S (t )在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增， 所以t =2时，S (t )取得极小值， 也是最小值为S (2)=16×168=32.5．【2019年北京理科19】已知函数f （x ）=14x 3﹣x 2+x ． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）的斜率为l 的切线方程；（Ⅱ）当x ∈[﹣2，4]时，求证：x ﹣6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）＝|f （x ）﹣（x +a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=34x 2−2x +1，由f ′（x ）＝1得x （x −83）＝0， 得x 1=0，x 2=83．又f （0）＝0，f （83）=827， ∴y ＝x 和y −827=x −83， 即y ＝x 和y ＝x −6427；（Ⅱ）证明：欲证x ﹣6≤f （x ）≤x ， 只需证﹣6≤f （x ）﹣x ≤0，令g （x ）＝f （x ）﹣x =14x 3−x 2，x ∈[﹣2，4]，则g ′（x ）=34x 2−2x =34x(x −83)，可知g ′（x ）在[﹣2，0]为正，在（0，83）为负，在[83，4]为正， ∴g （x ）在[﹣2，0]递增，在[0，83]递减，在[83，4]递增，又g （﹣2）＝﹣6，g （0）＝0，g （83）=−6427＞−6，g （4）＝0， ∴﹣6≤g （x ）≤0， ∴x ﹣6≤f （x ）≤x ； （Ⅲ）由（Ⅱ）可得， F （x ）＝|f （x ）﹣（x +a ）| ＝|f （x ）﹣x ﹣a | ＝|g （x ）﹣a |∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g （x ）≤0， 令t ＝g （x ），h （t ）＝|t ﹣a |，则问题转化为当t ∈[﹣6，0]时，h （t ）的最大值M （a ）的问题了，①当a ≤﹣3时，M （a ）＝h （0）＝|a |＝﹣a ， 此时﹣a ≥3，当a ＝﹣3时，M （a ）取得最小值3； ②当a ≥﹣3时，M （a ）＝h （﹣6）＝|﹣6﹣a |＝|6+a |， ∵6+a ≥3，∴M （a ）＝6+a ， 也是a ＝﹣3时，M （a ）最小为3． 综上，当M （a ）取最小值时a 的值为﹣3．6．【2018年北京理科18】设函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x ． （Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若f （x ）在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x 的导数为 f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ．由题意可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， 可得（a ﹣2a ﹣1+2）e ＝0，且f （1）＝3e ≠0， 解得a ＝1；（Ⅱ）f （x ）的导数为f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ＝（x ﹣2）（ax ﹣1）e x ， 若a ＝0则x ＜2时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；x ＞2，f ′（x ）＜0，f （x ）递减． x ＝2处f （x ）取得极大值，不符题意；若a ＞0，且a =12，则f ′（x ）=12（x ﹣2）2e x ≥0，f （x ）递增，无极值；若a ＞12，则1a ＜2，f （x ）在（1a ，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，1a ）递增， 可得f （x ）在x ＝2处取得极小值；若0＜a ＜12，则1a ＞2，f （x ）在（2，1a ）递减；在（1a ，+∞），（﹣∞，2）递增， 可得f （x ）在x ＝2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1a ＜2，f（x）在（1a，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，1a）递减，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（12，+∞）．7．【2017年北京理科19】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【答案】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，π2]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，π2]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，π2]递减，即有函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（π2）=eπ2cosπ2−π2=−π2．8．【2016年北京理科18】设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e ﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【答案】解：（Ⅰ）∵y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，∴当x＝2时，y＝2（e﹣1）+4＝2e+2，即f（2）＝2e+2，同时f′（2）＝e﹣1，∵f（x）＝xe a﹣x+bx，∴f′（x）＝e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则{f(2)=2e a−2+2b =2e +2f′(2)=e a−2−2e a−2+b =e −1， 即a ＝2，b ＝e ； （Ⅱ）∵a ＝2，b ＝e ； ∴f （x ）＝xe 2﹣x +ex ，∴f ′（x ）＝e 2﹣x ﹣xe 2﹣x +e ＝（1﹣x ）e 2﹣x +e ＝（1﹣x +e x ﹣1）e 2﹣x ， ∵e 2﹣x ＞0， ∴1﹣x +e x﹣1与f ′（x ）同号，令g （x ）＝1﹣x +e x ﹣1， 则g ′（x ）＝﹣1+e x ﹣1，由g ′（x ）＜0，得x ＜1，此时g （x ）为减函数， 由g ′（x ）＞0，得x ＞1，此时g （x ）为增函数， 则当x ＝1时，g （x ）取得极小值也是最小值g （1）＝1， 则g （x ）≥g （1）＝1＞0，故f ′（x ）＞0，即f （x ）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间． 9．【2015年北京理科18】已知函数f （x ）＝ln 1+x1−x ， （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2(x +x 33)；（Ⅲ）设实数k 使得f （x ）＞k(x +x 33)对x ∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．【答案】解答：（1）因为f （x ）＝ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）所以f ′(x)=11+x +11−x，f′(0)=2 又因为f （0）＝0，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ． （2）证明：令g （x ）＝f （x ）﹣2（x +x 33），则g '（x ）＝f '（x ）﹣2（1+x 2）=2x 41−x 2，因为g '（x ）＞0（0＜x ＜1），所以g （x ）在区间（0，1）上单调递增． 所以g （x ）＞g （0）＝0，x ∈（0，1）， 即当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2（x +x 33）． （3）由（2）知，当k ≤2时，f （x ）＞k(x +x 33)对x ∈（0，1）恒成立．当k ＞2时，令h （x ）＝f （x ）−k(x +x 33)，则h '（x ）＝f '（x ）﹣k （1+x 2）=kx 4−(k−2)1−x 2，所以当0＜x ＜√k−2k4时，h '（x ）＜0，因此h （x ）在区间（0，√k−2k4）上单调递减．当0＜x ＜√k−2k4时，h （x ）＜h （0）＝0，即f （x ）＜k(x +x 33)．所以当k ＞2时，f （x ）＞k(x +x 33)并非对x ∈（0，1）恒成立．综上所知，k 的最大值为2．10．【2013年北京理科18】设l 为曲线C ：y =lnx x在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方． 【答案】解：（Ⅰ）∵y =lnx x∴y ′=1−lnx x 2∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1 ∴l 的方程为y ＝x ﹣1证明：（Ⅱ）令f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0） 曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ＞0， 则f ′（x ）＝2x ﹣1−1x =(2x+1)(x−1)x∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）＝0 ∴x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，即lnx x ＜x ﹣1 x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即lnx x＜x ﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方11．【2012年北京理科18】已知函数f （x ）＝ax 2+1（a ＞0），g （x ）＝x 3+bx（1）若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值． 【答案】解：（1）f （x ）＝ax 2+1（a ＞0），则f '（x ）＝2ax ，k 1＝2a ，g （x ）＝x 3+bx ，则g ′（x ）＝3x 2+b ，k 2＝3+b ，由（1，c ）为公共切点，可得：2a ＝3+b ①又f （1）＝a +1，g （1）＝1+b ，∴a +1＝1+b ，即a ＝b ，代入①式可得：{a =3b =3．（2）由题设a 2＝4b ，设ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1则ℎ′(x)=3x 2+2ax +14a 2，令h '（x ）＝0，解得：x 1=−a 2，x 2=−a6；∵a ＞0，∴−a 2＜−a6， x （﹣∞，−a2）−a 2 (−a 2，−a 6) −a6(−a6，+∞） h ′（x ） + ﹣+ h （x ）极大值极小值∴原函数在（﹣∞，−a 2）单调递增，在(−a 2，−a6)单调递减，在(−a 6，+∞）上单调递增①若−1≤−a2，即0＜a ≤2时，h （x ）在（﹣∞，﹣1]递增，无最大值； ②若−a2＜−1＜−a6，即2＜a ＜6时，最大值为ℎ(−a2)=1；③若﹣1≥−a 6时，即a ≥6时，最大值为h （−a2）＝1．综上所述：当a ∈（0，2]时，无最大值；当a ∈（2，+∞）时，最大值为ℎ(−a2)=1． 12．【2011年北京理科18】已知函数f(x)=(x −k)2e xk． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）≤1e ，求k 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f ′(x)=2(x −k)e xk +1k(x −k)2e xk =1k(x 2−k 2)e xk ，令f ′（x ）＝0，得x ＝±k当k ＞0时，f ′（x ）f （x ）随x 的变化情况如下： x（﹣∞，﹣k ）﹣k （﹣k ，k ） k （k ，+∞）f ′（x ） + 0﹣ 0 + f （x ） 递增4k 2e ﹣1 递减递增所以，f （x ）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k ），和（k ，+∞），单调递减区间是（﹣k ，k ）；当k ＜0时，f ′（x ）f （x ）随x 的变化情况如下： x（﹣∞，k ）k （k ，﹣k ） ﹣k （﹣k ，+∞） f ′（x ） ﹣ 0 + 0﹣f （x ） 递减递增4k 2e ﹣1 递减所以，f （x ）的单调递减区间是（﹣∞，k ），和（﹣k ，+∞），单调递增区间是（k ，﹣k ）； （Ⅱ）当k ＞0时，有f （k +1）=ek+1k＞1e ，不合题意，当k ＜0时，由（I ）知f （x ）在（0，+∞）上的最大值是f （﹣k ）=4k 2e，∴任意的x ∈（0，+∞），f （x ）≤1e ，⇔f （﹣k ）=4k 2e≤1e，解得−12≤k ＜0，故对于任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）≤1e ，k 的取值范围是−12≤k ＜0．1．若函数f(x)=x 2+ax +1x 在(12,+∞)是增函数，则a 的取值范围是（）A ．[−1,0]B ．[−1,+∞)C ．[0,3]D ．[3,+∞)【答案】D 【解析】由条件知f ′(x)=2x +a −1x 2≥0在(12,+∞)上恒成立，即a ≥1x 2−2x 在(12,+∞)上恒成立． ∵函数y =1x 2−2x 在(12,+∞)上为减函数， ∴y max <1(12)2−2×12=3,∴．故选D ．2．【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知曲线y =a e x +xlnx 在点(1,ae)处的切线方程为y =2x +b ，则（）A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−1【答案】D【解析】y′=ae x+lnx+1,k=y′|x=1=ae+1=2，∴a=e−1将(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=−1，故选D．3．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】设函数f(x)=√3sinπxm．若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是（）A．(−∞,−6)∪(6,∞)B．(−∞,−4)∪(4,∞)C．(−∞,−2)∪(2,∞)D．(−∞,−1)∪(1,∞)【答案】C【解析】由题意知：f(x)的极值为±√3，所以[f(x0)]2=3，因为f′(x0)=πm ⋅√3cosπx0m=0，所以πx0m =kπ+π2,k∈z，所以x0m=k+12,k∈z即|x0m|=|k+12|≥12，所以|x0|≥|m2|，即x02+[f(x0)]2≥m24+3，而已知x02+[f(x0)]2<m2，所以m2>m24+3，故3m24>3，解得m>2或m<−2，故选C.4．函数f(x)=x3−3x2+2在区间[－1，1]上的最大值是（）A．4B．2C．0D．－2【答案】B【解析】令f′(x)=3x2−6x=0，解得x=0或x=2.f(0)=2,f(2)=−2,f(−1)=−2,f(1)=0，故函数的最大值为2，所以本小题选B.5．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三高考模拟预测卷（二）】已知函数f(x)=13x3−4x+2e x−2e x，其中e是自然对数的底，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[12,+∞)C．(−1,12)D．[−1,12]【答案】D【解析】由f′(x)=x2−4+2e x+2e−x≥x2−4+2√4e x⋅e−x=x2≥0，知f(x)在R上单调递增，且f(−x)=−13x3+4x+2e−x−2e x=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，故f(a−1)+f(2a2)≤0⇔f(a−1)≤f(−2a2)⇔a−1≤−2a2⇔2a2+a−1≤0，解得−1≤a≤12.故选D.6．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】已知函数f(x)=x2−2x+a(e x−1+ e−x+1)有唯一零点，则a=A．−12B．13C．12D．1【答案】C【解析】函数f(x)的零点满足x2−2x=−a(e x−1+e−x+1)，设g(x)=e x−1+e−x+1，则g′(x)=e x−1−e−x+1=e x−1−1e x−1=e2(x−1)−1e x−1，当g′(x)=0时，x=1；当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x=1时，函数g(x)取得最小值，为g(1)=2.设ℎ(x)=x2−2x，当x=1时，函数ℎ(x)取得最小值，为−1，若−a>0，函数ℎ(x)与函数−ag(x)没有交点；若−a<0，当−ag(1)=ℎ(1)时，函数ℎ(x)和−ag(x)有一个交点，即−a×2=−1，解得a=12.故选C.7．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】关于函数f(x)=(x2+ax−1)e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为−1；②函数的极值点不可能是−1；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由题意函数f(x)=(x 2+ax −1)e x 的零点即为函数y =x 2+ax −1的零点，令x 2+ax −1=0，则△=a 2+4>0，所以方程必有两个不等实根x 1，x 2，设x 1<x 2， 由韦达定理可得x 1x 2=−1，故①正确；f ′(x)=(2x +a)e x +(x 2+ax −1)e x =[x 2+(a +2)x +a −1]e x ，当x =−1时，f ′(x)=(1−a −2+a −1)e −1=−2e −1≠0，故−1不可能是函数f(x)的极值点，故②正确；令f ′(x)=0即x 2+(a +2)x +a −1=0，△=(a +2)2−4(a −1)=a 2+8>0， 设x 2+(a +2)x +a −1=0的两个实数根为x 3，x 4且x 3<x 4， 则当x ∈(−∞,x 3)，x ∈(x 4,+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x ∈(x 3,x 4)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x 4)为函数极小值； 由①知，当x ∈(−∞,x 1)时，函数f(x)>0，所以当x ∈(−∞,x 3)时，f(x)>0， 又f(0)=−e x <0，所以0∈(x 3,+∞)，所以f(x 4)≤f(0)<0， 所以f(x 4)为函数的最小值，故③正确. 故选：D .8．【北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考】已知函数f(x)=e 2x−3，g(x)=14+ln x2，若f(m )=g(n)成立，则n −m 的最小值为（） A ．12+ln2B ．ln2C ．12+2ln2D ．2ln2【答案】A 【解析】设e 2m−3=14+ln n2=k(k >0)，则m =32+lnk 2，n =2ek−14，令ℎ(k)=n −m =2e k−14−lnk 2−32，所以ℎ′(k)=2e k−14−12k ，又ℎ′(k)=2e k−14−12k在(0,+∞)增函数，且ℎ′(14)=0，当k ∈(0,14)时，ℎ′(k)<0，当k ∈(14,+∞)时，ℎ′(k)>0， 所以ℎ(k)=2e k−14−lnk 2−32在(0,14)上递减，在(14,+∞)上递增．所以ℎ(k)min =ℎ(14)=12+ln2，即n −m 的最小值为12+ln2．9．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】设函数f′(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(0,1)B．(−1,0)∪(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(−1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)【答案】A【解析】构造新函数g(x)=f(x)x ,g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，当x>0时g′(x)<0.所以在(0,+∞)上g(x)=f(x)x单减，又f(1)=0，即g(1)=0.所以g(x)=f(x)x>0可得0<x<1,此时f(x)>0，又f(x)为奇函数，所以f(x)>0在(−∞,0)∪(0,+∞)上的解集为：(−∞,−1)∪(0,1).故选A.10．【2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试】已知不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−e2C．−e D．−2e【答案】C【解析】不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈(1,+∞)恒成立可变形为x+1e x≥x a−alnx,即e−x−lne−x≥x a−lnx a对x∈(1,+∞)恒成立设g(x)=x−lnx则g′(x)=1−1x =x−1x当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,即g(x)=x−lnx在x∈(1,+∞)时单调递增当x∈(0,1)时,g′(x)<0,即g(x)=x−lnx在x∈(0,1)时单调递减因而g(e−x)≥g(x a)在x∈(1,+∞)上恒成立即可当x∈(1,+∞)时,e−x∈(0,1e)而当a<0时(因四个选项都小于0,所以只需讨论a<0的情况)x a∈(0,1)因为g(x)=x−lnx在x∈(0,1)时单调递减,若g(e−x)≥g(x a)只需e−x≤x a不等式两边同取自然底数的对数,可得−x≤alnx当x∈(1,+∞)时,0<lnx化简不等式可得−xlnx≤a只需(−xlnx)max≤a令ℎ(x)=−xlnx,x∈(1,+∞)则ℎ′(x)=1−lnx(lnx)2,令ℎ′(x)=0解得x=e当x∈(1,e)时,ℎ′(x)>0,则ℎ(x)=−xlnx在(1,e)内单调递增当x∈(e,+∞)时,ℎ′(x)<0,则ℎ(x)=−xlnx在(e,+∞)内单调递减所以ℎ(x)=−xlnx 在x=e处取得最大值,ℎ(x)max=−elne=−e故−e≤a所以实数a的最小值为−e故选:C11．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟】直线y=x+1是曲线f（x）=x+1x−alnx（a ∈R）的切线，则a的值是______．【答案】−1【解析】设切点的横坐标为x0，f'(x)=1−1x2−ax=x2−ax−1x2=1⇒x0=−1a⇒−a=1x0，则有：f(x0)=x0+1x−alnx0=x0+1⇒lnx0−x0+1=0，令ℎ(x)=lnx−x+1⇒ℎ'(x)=1x−1=0⇒x=1，则ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因为ℎ(1)=0，所以x0=1⇒a=−1；故答案为−1．12．已知f(x)＝e x ·sinx ，则f ′(0)的值为___. 【答案】1 【解析】因为f ′(x)=e x (sinx +cosx)，所以f ′(0)=1.13．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知函数f(x)=ax 3+x +1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a =. 【答案】1 【解析】f′(x)=3ax 2+1⇒f′(1)=3a +1,f(1)=a +2⇒l:y −(a +2)=(3a +1)(x −1)⇒7−(a +2) =(3a +1)(2−1)⇒a =1.14．函数f(x)=xlnx 的单调减区间是______． 【答案】(0,1e ) 【解析】函数的定义域为x >0，∵y′=lnx +1，令lnx +1<0，得0<x <1e ,∴函数y =xlnx 的单调递减区间是(0,1e )，故答案为(0,1e). 15．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知函数f(x)=x +ax (x >0)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)，那么a =____． 【答案】4. 【解析】依题意可知x ＝2是函数f （x ）的极小值点， 又f′(x)=1−ax 2， 所以，f′(2)=1−a 4＝0， 解得：a ＝4,经检验成立 故答案为：416．对于函数y =f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k >0)，则称y =f(x)为k 倍值函数.若f(x)=lnx +x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________.【答案】(1,1+1e)【解析】由题意得lnx+x=kx有两个不同的解，k=lnxx +1，则k′=1−lnxx=0⇒x=e，因此当0<x<e时，k∈(−∞,1+1e )，当x>e时，k∈(1,1+1e)，从而要使lnx+x=kx有两个不同的解，需k∈(1,1+1e)17．【北京市东城区第五中学2019-2020学年高三上学期12月月考】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ(A,B)=|k A−k B||AB|叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3−x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ(A,B)>√3；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ(A,B)⩽2；（4）设曲线y=e x上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1−x2=1，若t·φ(A,B)<1恒成立，则实数t 的取值范围是(−∞,1)；以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）【答案】（2）（3）【解析】对于（1），由y=x3−x2+1，得y′=3x2−2x，则k A=y′|x=1=1，k B=y′|x=2=8，y1=1，y2=5，则|AB|=√(2−1)2+(5−1)2=√17，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√17=√17<√3，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y′=2x，则k A−k B=2x1−2x2，|AB|=√(x1−x2)2+(x12−x22)2=√(x1−x2)2[1+(x1+x2)2] =|x1−x2|√1+(x1+x2)2．∴φ(A,B)=A B12122=1212122⩽21=2，（3）正确；对于（4），由y=e x，得y′=e x，φ(A,B)=x1x2√(x1−x2)2+(e x−e x)2=x1x2√1+(e x−e x)2．t·φ(A,B)<1恒成立，即t|e x1−e x2|<√1+(e x1−e x2)2恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．18．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】①，由于x∈(0,π]，所以f′(x)=−1x2−sinx<0，所以f(x)在(0,π]上递减，所以f(x)在(0,π]上有最小值，无最大值，故①正确.②，依题意F(x)=f(x)−f(−x)=1x +cosx−[−1x−cos(−x)]=2x，由于F(−x)≠F(x)，所以F(x)不是偶函数，故②错误.③，令f(x)=0得cosx=−1x ，画出y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像如下图所示，由图可知y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像有两个交点，则f(x)在(0，2π)上有两个零点，故③正确.故答案为：①③19．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y=x2+1；②y=|x+1|+|x+2|；③y= 2x+1；④y=x2+cosx，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.【答案】①②④【解析】①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1,+∞)，符合题意；②y=|x+1|+|x+2|≥|(x+1)−(x+2)|=1，故值域为[1,+∞)，符合题意；③∵2x>0，∴2x+1>1，故值域为(1,+∞)，不合题意；④函数f(x)=x2+cosx为偶函数，且f′(x)=2x−sinx，f″(x)=2−cosx>0，故f′(x)在R上单调递增，又f′(0)=0，故当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，则当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，又f(0)=1，故其值域为[1,+∞)，符合题意.故答案为：①②④.20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)−m <0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________.【答案】(−e,0]【解析】∵f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)，∴f(x)+f′(x)=e−x(2x+3)，即[f(x)+f′(x)]e x=(2x+3)，即[f(x)e x]′=(2x+3)，即f(x)e x=x2+3x+c，，∵f(0)=1，∴f(0)=0+0+c=1，即c=1，即f(x)=x2+3x+ce x，则f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)=−e−x(x2+x−2)，则f(x)=x2+3x+1e x由f′(x)>0得−2<x<1，此时函数y=f(x)为增函数，由f′(x)<0得x>1或x<−2，此时函数y=f(x)为减函数，即当x=−2时，函数y=f(x)取得极小值f(−2)=−e2，∵f(−1)=−e，f(−3)=e3，且当x>1时，f(x)>0，由图象知，要使不等式f(x)<m的解集中恰有两个整数，则满足f(−1)<m≤0，即−e<m≤0，即实数m的取值范围是(−e,0]，故答案为：(−e,0].. 21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=1−xe x （1）求函数f(x)的单调区间；（2）若对任意x1,x2∈[a,+∞)，都有f(x1)−f(x2)≥−1成立，求实数a的最小值.e2【答案】（1）函数f(x)的单增区间为(2,+∞)，单减区间为(−∞,2)（2）a的最小值为1【解析】=0解得x=2,解：（1）由f′(x)=x−2e x则f′(x)及f(x)的情况如下：所以函数f(x)的单增区间为(2,+∞),单减区间为(−∞,2)；（2）法一：当x>1时,f(x)=1−xe x<0.当x<1时,f(x)=1−xe x>0.若a≤1,由（1）可知f(x)的最小值为f(2),f(x)的最大值为f(a),所以“对任意x1,x2∈[a,+∞),有f(x1)−f(x2)≥−1e2恒成立”等价于“f(2)−f(a)≥−1e2”,即−1e2−1−ae a≥−1e2,解得a≥1.所以a的最小值为1.法二：当x>1时,f(x)=1−xe x<0.当x<1时,f(x)=1−xe>0.且由（1）可知,f(x)的最小值为f(2)=−1e2, 若2∈[a,+∞),即a≤2时,令x1=2,则任取x2∈[a,+∞),有f(x1)−f(x2)=f(2)−f(x2)=−1e2−f(x2)≥−1e2,所以f(x2)≤0对x2∈[a,+∞)成立,所以必有x2≥1成立,所以[a,+∞)⊆[1,+∞),即a≥1.而当a=1时,∀x1,x2∈[1,+∞),f(x1)≤0,f(x2)≤0,所以f(x1)−f(x2)≥f(x1)−0≥f(2)=−1e2,即a=1满足要求,而当a≥2时,求出的a的值,显然大于1,综上,a的最小值为1.22．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知函数f(x)=a e x图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)−g(x)，求证：ℎ(x)>2． 【答案】（Ⅰ）a =1；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由f(x)=a e x ，得f ′(x)=a e x ，所以f ′(0)=a . 由g(x)=ln x ，得g ′(x)=1x ，所以g ′(1)=1. 由已知f ′(0)=g ′(1)，得a =1. 经检验，a =1符合题意．（Ⅱ）ℎ(x)=f(x)−g(x)=e x −ln x ，x >0， ℎ′(x)=e x −1x ，设φ(x)=e x −1x，则φ′(x)=e x +1x 2>0，所以φ(x)在区间(0,+∞)单调递增， 又φ(1)=e −1>0，φ(12)=√e −2<0， 所以φ(x)在区间(0,+∞)存在唯一零点， 设零点为x 0，则x 0∈(12,1)，且e x 0=1x 0．当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0；当x ∈(x 0,+∞)，ℎ′(x)>0． 所以，函数ℎ(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,+∞)递增， ℎ(x)≥ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0−ln x 0，由e x 0=1x 0，得ln x 0=−x 0 所以ℎ(x 0)=1x 0+x 0≥2，由于x 0∈(12,1)，ℎ(x 0)>2 从而ℎ(x)>2，命题得证．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f （x ）＝me x ﹣x 2+3，其中m ∈R .（1）如果f （x ）同时满足下面三个条件中的两个：①f （x ）是偶函数；②m ＝1；③f （x ）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h （x ）＝xf （x ）的极值； （2）若函数f （x ）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）[13e 4，6e 3) 【解析】（1）若满足条件①f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，且函数f(x)的定义域为R，∴me−x−x2+3=me x−x2+3，∴me−x=me x对x∈R恒成立，∴m=0，此时函数f(x)=−x2+3，在(0,1)单调递减，满足条件③f(x)在(0,1)单调递减；若f(x)不满足①，则m=1,f(x)=e x−x2+3，f′(x)=e x−2x,f′(12)=√e−1，所以f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足③，∴f(x)同时满足条件：①f(x)是偶函数；③f(x)在(0,1)单调递减，此时ℎ(x)=−x3+3x，则ℎ′(x)=−3x2+3=3(1+x)(1−x)，∴当x∈(−∞,−1)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x∈(−1,1)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，∴x=1时，函数ℎ(x)取到极大值，极大值为ℎ（1）=2，x=−1时，函数ℎ(x)取到极小值，极小值为ℎ(−1)=−2；（2）令f(x)=me x−x2+3=0，则有m=x2−3e x，函数f(x)在区间[−2，4]上有三个零点，等价于直线y=m与曲线g(x)=x2−3e在区间[−2，4]上有三个交点，g′(x)=2x·e x−(x2−3)e x(e x)2=2x−x2+3e x=−(x−3)(x+1)e x，x∈[−2，4]，令g′(x)=0，则x=3或x=−1，令g′(x)<0，则−1<x<3，令g′(x)>0，则−2⩽x<−1或3<x⩽4，∴函数g(x)在区间[−2，−1)上单调递增；在(−1,3)上单调递减，在(3，4]上单调递增，又g(−2)=e2，g(−1)=−2e，g（3）=6e3，g（4）=13e4，画出函数g(x)在[−2，4]上的大致图象，如图所示：，由图可知，当13e 4⩽m <6e 3时， 直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x在区间[−2，4]上有三个交点，即函数f(x)在区间[−2，4]上有三个零点， ∴m 的取值范围为：[13e 4，6e 3)．24．【2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）】已知函数f(x)=(x 2+ax−a)e x，其中a ∈R .（1）当a =0时，求f(x)在(1,f(1))的切线方程； （2）求证：f(x)的极大值恒大于0. 【答案】（1）y =1e x （2）证明见解析 【解析】 （1）f′(x)=−x 2−(a−2)x+2ae x =−(x+a)(x−2)e x ，当a =0时，f′(1)=1e ，f(1)=1e ， 则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y =1e x ； （2）证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R 上单调递减， ∴函数f(x)无极值；②当a >−2时，令f′(x)>0，解得−a <x <2，令f′(x)<0，解得x <−a 或x >2， ∴函数f(x)在(−a,2)上单调递增，在(−∞,−a)，(2,+∞)上单调递减， ∴f(x)极大值=f(2)=a+4e 2>0；③当a <−2时，令f′(x)>0，解得2<x <−a ，令f′(x)<0，解得x <2或x >−a ， ∴函数f(x)在(2,−a)上单调递增，在(−∞,2)，(−a,+∞)上单调递减，∴f(x)极大值=f(−a)=−a e a>0，综上，函数f(x)的极大值恒大于0.25．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=e x +ax . (I )当a =-1时，①求曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当a ∈(−2,0)时，曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点. 【答案】（1）切线方程y =1；f(x)min =1；（2）证明见解析 【解析】 (I)当a =−1时，①函数f(x)=e x −x ，∴f(0)=e 0=1， f ′(x)=e x −1，即f ′(0)=e 0−1=0，∴曲线y =f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y =1.②令f ′(x)=e x −1>0，得x >0，令f ′(x)=e x −1<0，得x <0， 所以f(x)在(0,+∞)上单增，在(−∞,0)单减, ∴函数f(x)的最小值为f(x)min =f(0)=1.(II)当a ∈(−2,0)时，曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点. 等价于g(x)=e x +ax +lnx −1(x >0)有且只有一个零点. g ′(x)=e x +1x +a(x >0)，当x ∈(0,1)时，e x >1,1x >1，∵a ∈(−2,0)，则g ′(x)=e x +1x +a >0， 当x ∈[1,+∞)时，e x >e >2,1x >0， ∵a ∈(−2,0)，则g ′(x)=e x +1x +a >0， ∴g(x)在(0,+∞)上单增，又∵g(1e )=e 1e+ae −2<e 12−2<0，g(e)=e e +ae >e 2−2e >0，由零点存在性定理得g(x)有唯一零点，即曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点.26．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R).（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.【答案】(1)x＋y－2＝0；(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a l n a无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax ＝x−ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．27．【北京市海淀区2019届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)=e ax(x2−a+2a),，其中a ≠0．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角；(Ⅱ)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）倾斜角为0(Ⅱ)(−∞,−2)∪(0,+∞)【解析】（Ⅰ）因为f(x)=e a x(x2−a+2a)，所以f′(x)=e a x(ax2+2x−(a+2)),所以f′(1)=0所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为0。

专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==−， B ．a=e ，b =1C ．1e 1ab −=，D ．1e a −= ，1b =−2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =−B ．y x =−C ．2y x =D ．y x =2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,ln ,1,x x x x −<< >图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =−，其导函数()f x ′满足()1f x k ′>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk <B ．11()1f k k >−C ．11()11f k k <−− D ．1()11kf k k >−− 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =−+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4 7．（2013江西）若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===∫∫∫则123,,S S S 的大小关系为A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14 B ．15C ．16 D ．179．（2011新课标）由曲线y =，直线2y x =−及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4 C ．163D ．6 10．（2011福建）1(2)x e x dx +∫等于A ．1B ．1e −C ．eD ．1e + 11．（2010湖南）421dx x∫等于 A ．2ln 2− B ．2ln 2 C ．ln 2− D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3y 21x x =−+在点(1,0)处的切线方程为A ．1y x =−B ．1y x =−+C ．22y x =−D ．22y x =−+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)+yx 在点(0,0)处的切线方程为__________．15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2−，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =−+，则曲线()y f x =，在点(1,3)−处的切线方程是_________．18．（2015湖南）2(1)x dx −∫= ．19．（2015陕西）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．（第15题） （第17题）21．（2014广东）曲线25+=−x e y 在点)3,0(处的切线方程为 ．22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(−P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:−=x l 在点()0,1−P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:−=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25．（2013江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,Tx dx T =∫则常数的值为 ．27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=− 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=−∫∫∫∫∫从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +×+×+×++×+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()()2223212n n n n n n C C C C n +×+×+×+⋅⋅⋅+×+= ．28．（2012江西）计算定积分121(sin )x x dx −+=∫___________．29．（2012山东）设0>a ，若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a ． 30．（2012新课标）曲线(3ln 1)yx x +在点(1,1)处的切线方程为________．31．（2011陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >= + ∫ ，若((1))1f f =，则a = ．32．（2010新课标）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ∫，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ∫的近似值为 ．33．（2010江苏）函数2y x =(0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若116a =，则135a a a ++= ．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos x f x e x x =−．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016年北京)设函数()a x f x xe bx −=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =−+，（I ）求a ，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间.36．（2015重庆）设函数23()()e xx ax f x a R +=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围． 37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =−． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()ln x xbe f x ae x x−=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =−+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．39．（2013新课标Ⅱ）已知函数()()ln xf x e x m =−+ (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．40．（2012辽宁）设()()()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线3=2y x 在()0,0点相切． （1）求,a b 的值；（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（2010福建）（1）已知函数3()=f x x x −，其图象记为曲线C ．（i ）求函数()f x 的单调区间；（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值； （2）对于一般的三次函数32()g x ax bx cx d +++(0)a ≠，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。

专题04导数及其应用历年考题细目表解答题2014 导数综合问题2014年新课标1理科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1理科21解答题2012 导数综合问题2012年新课标1理科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1理科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1理科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1理科05】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2016年新课标1理科07】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．4．【2015年新课标1理科12】设函数f（）＝e（2﹣1）﹣a+a，其中a＜1，若存在唯一的整数0使得f（0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）6．【2012年新课标1理科10】已知函数f（），则y＝f（）的图象大致为（）A．B．C．D．7．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．8．【2011年新课标1理科09】由曲线y，直线y＝﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．69．【2010年新课标1理科03】曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y＝2+1 B．y＝2﹣1 C．y＝﹣2﹣3 D．y＝﹣2﹣210．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2013年新课标1理科16】若函数f（）＝（1﹣2）（2+a+b）的图象关于直线＝﹣2对称，则f（）的最大值为．12．【2010年新课标1理科13】设y＝f（）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数1，2，…N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．13．【2019年新课标1理科20】已知函数f（）＝sin﹣ln（1+），f′（）为f（）的导数．证明：（1）f′（）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（）有且仅有2个零点．14．【2018年新课标1理科21】已知函数f（）+aln．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）存在两个极值点1，2，证明：a﹣2．15．【2017年新课标1理科21】已知函数f（）＝ae2+（a﹣2）e﹣．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）有两个零点，求a的取值范围．16．【2016年新课标1理科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设1，2是f（）的两个零点，证明：1+2＜2．17．【2015年新课标1理科21】已知函数f（）＝3+a，g（）＝﹣ln（i）当a为何值时，轴为曲线y＝f（）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（）＝min{f（），g（）}（＞0），讨论h（）零点的个数．18．【2014年新课标1理科21】设函数f（）＝aeln，曲线y＝f（）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（）＞1．19．【2013年新课标1理科21】已知函数f（）＝2+a+b，g（）＝e（c+d），若曲线y＝f（）和曲线y＝g（）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若≥﹣2时，f（）≤g（），求的取值范围．20．【2012年新课标1理科21】已知函数f（）满足f（）＝f′（1）e﹣1﹣f（0）2；（1）求f（）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．21．【2011年新课标1理科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当＞0，且≠1时，f（），求的取值范围．22．【2010年新课标1理科21】设函数f（）＝e﹣1﹣﹣a2．（1）若a＝0，求f（）的单调区间；（2）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分与微积分基本定理.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x x f x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(21e -，0) B ．(12e -，0) C ．(0，12e ) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a c b d +-==+-，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0- 8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1x f x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,x f x x g x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论. 18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围．21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围：（2）当0a =时，设2()()e g x f x x x x=⋅--， 证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。

第十一章 导数与积分●考点阐释本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用.重点掌握：1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题.2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值.3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值.4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.●试题类编 一、填空题1.（2002天津理，15）直线x =0，y =0，x =2与曲线y =（2）x 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____.2.（1998上海，3）若233lim 321=+++→x ax x x ，则a = . 3.（1996上海理，16）)2144(lim 22---→x x x = .二、解答题4.（2002天津文，21）已知a ＞0，函数f （x ）=x 3－a ，x ∈［0，+∞）.设x 1＞0，记曲线y =f （x ）在点M （x 1，f （x 1））处的切线为l .（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴交点为（x 2，0）.证明：（i ）x 2≥a 31；（ii ）若x 1＞a 31，则a 31＜x 2＜x 1.5.（2002天津理，20）已知a ＞0，函数f （x ）=x ax -1，x ∈（0，+∞）.设0＜x 1＜a2，记曲线y =f （x ）在点M （x 1，f （x 1））处的切线为l .（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴交点为（x 2，0），证明：（i ）0＜x 2≤a1； （ii ）若x 1＜a 1，则x 1＜x 2＜a1.6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m，BB′=22 m，塔高20 m.（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.图11—1 ※（2）求冷却塔的容积（精确到10 m3，塔壁厚度不计，π取3.14）7.（1995上海文，22）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；※（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.8.（1995上海理，22）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；※（2）若直线x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.说明：凡标有※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.答案解析1.答案：2ln 3π 解析：由旋转体的体积公式V =πx x xx d )2(d ])2[(20202⎰⎰=π 2ln 3)2ln 22ln 2(02ππ=-=.2.答案：4解析：依题意有：3131+++a =2，∴a =43.答案：－41 解析：原式=41)21(lim 42lim )4244(lim 222222-=+-=--=-+--→→→x x x x x x x x x . 4.（Ⅰ）解：求f （x ）的导数：f ′（x ）=3x 2，由此得切线l 的方程：y －（x 13－a ）=3x 12（x －x 1）.（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y =0，x 2=x 1－21312131323x a x x a x +=-， （i ）)2()(31)32(3131123112131213121312a x a x x a x a x x a x +-=-+=-≥0， ∴x 2≥a 31，当且仅当x 1=a 31时等号成立.（ii ）若x 1＞a 31，则x 13－a ＞0，x 2－x 1=－21313x a x -＜0，且由（i ）x 2＞a 31， 所以a 31＜x 2＜x 1.5.（Ⅰ）解：求f （x ）的导数：f ′（x ）=－21x，由此得切线l 的方程：y －（111x ax -）=－211x （x －x 1）. （Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y =0， x 2=x 1（1－ax 1）+x 1=x 1（2－ax 1），其中0＜x 1＜a2. （i ）由0＜x 1＜a 2，x 2=x 1（2－ax 1），有x 2＞0，及x 2=－a （x 1－a 1）2+a1. ∴0＜x 2≤a 1，当且仅当x 1=a 1时，x 2=a1. （ii ）当x 1＜a 1时，ax 1＜1，因此，x 2=x 1（2－ax 1）＞x 1，且由（i ），x 2＜a 1， 所以x 1＜x 2＜a1. 6.（1）如图11—2建立直角坐标系，xOy ，使AA ′在x 轴上， AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴.设双曲线方程为2222b y a x -=1（a ＞0，b ＞0），则a =21AA ′=7.又设B （11，y 1），C （9，y 2），因为点B 、C 在双曲线上，所以有171122122=-b y ①17922222=-by ②由题意，知y 2－y 1=20. ③ 由①、②、③，得 y 1=－12，y 2=8.b =72.故双曲线方程为984922y x -=1； （2）由双曲线方程，得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V （m 3），则812328122812|)4961(d )4921(d ---+=+==⎰⎰y y y y y x V πππ. 图11—2经计算，得V =4.25×103（m 3）. 答：冷却塔的容积为4.25×103 m 3. 评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.7.解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . 评述：本题考查导数和积分的基本概念. 8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---， ∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++， －31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0， ∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321.。

十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解8导数与积分局部十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解8导数与积分局部一、选择题〔共5小题；共25分〕 1.B.C.A.D.2. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，那么与所围成的图形的面积等于A.B.C.D.3. 假设数列的通项公式是于A.，那么等B.C.D. 4. 假设数列的通项公式是A.等于，，那么C.B.D.5. 在以下四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，，恒成立〞的只有 A.B. C.D.二、填空题〔共8小题；共40分〕6. 是的导函数，那么的值是．7.的值等于．8. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，那么；函数在处的导数．9. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，那么；．〔用数字作答〕第1页〔共17 页〕10. 过原点作曲线的切线，那么切点的坐标为，切线的斜率为．11. 设是偶函数．假设曲线在点处的切线的斜率为，那么该曲线在点处的切线的斜率为． 12.．13. 设函数①假设，那么的最大值；②假设无最大值，那么实数的取值范围是．三、解答题〔共19小题；共247分〕14. 设函数，曲线在点处的切线方程为．〔1〕求，的值；〔2〕求的单调区间． 15. 设函数，．〔1〕求的单调区间和极值；〔2〕证明：假设存在零点，那么在区间上仅有一个零点． 16. 设函数．〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕求函数的单调区间；〔3〕假设函数在区间内单调递增，求的取值范围． 17. 函数．〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕求证：当时，〔3〕设实数使得 18. 函数．〔1〕求的单调区间；〔2〕求在区间上的最小值．19. 设函数，且方程的两个根分别为，．；对恒成立，求的最大值．〔1〕当且曲线过原点时，求的解析式；〔2〕假设在内无极值点，求的取值范围． 20. 函数．〔1〕求的单调区间；〔2〕假设对于任意的，都有，求的取值范围． 21. 函数，．〔1〕假设曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；第2页〔共17 页〕〔2〕当，时，假设函数在区间上的最大值为，求的取值范围．22. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，方案将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．〔1〕求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；〔2〕求面积的最大值．23. 函数，求导函数，并确定的单调区间．24. 函数与的图象相交于不同两点，，分别是的图象在两点的切线，分别是与轴的交点．〔1〕求的取值范围；〔2〕设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；〔3〕试比拟与的大小，并说明理由〔是坐标原点〕．25. 如图，在边长为的等边中，圆为的内切圆，圆与圆外切，且与，相切，圆与圆外切，且与，相切，如此无限继续下去．记圆的面积为．〔1〕证明是等比数列；〔2〕求的值．26. 设函数．〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕设，假设函数有三个不同零点，求的取值范围；〔3〕求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件． 27. 函数．〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕求的单调区间．第3页〔共17 页〕28. 函数．〔1〕求在区间上的最大值；〔2〕假设过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；〔3〕问过点，，分别存在几条直线与曲线相切?〔只需写出结论〕29. 函数．〔1〕假设曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；〔2〕当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值． 30. 函数．〔1〕求证：；〔2〕假设在上恒成立，求的最大值与的最小值．31. 函数定义在上，满足且，在每个区间上，的图象都是平行于轴的直线的一局部．〔1〕求及的值，并归纳出的表达式；〔2〕设直线轴及的图象围成的矩形的面积为，求，的值．及32. 函数是定义在上的增函数，满足且，在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数的直线的一局部．〔1〕求及，的值，并归纳出的表达式；〔2〕设直线，，轴及的图象围成的梯形的面积为，记，求的表达式，并写出其定义域和最小值．第4页〔共17 页〕答案第一局部 1. D 2. C【解析】，．【解析】由题意可知，l的方程为．如图，点坐标为，所以所求面积 3. C 所以．【解析】由题意知，4. B 【解析】，显然为奇数时，；为偶数时，．而、、、显然是一个首项为，公比为的等比数列， 5. A 【解析】对于A，．恒成立；对于B，，所以不成立；对于C，，所以不成立；对于D，，所以不成立．第二局部 6. 7. 8. ，【解析】；． 9. ，【解析】；．第5页〔共17 页〕。

第十一章 导数与积分●考点阐释本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用.重点掌握：1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题.2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值.3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值.4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.●试题类编 一、填空题1.（2002天津理，15）直线x =0，y =0，x =2与曲线y =（2）x 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____.2.（1998上海，3）若233lim 321=+++→x ax x x ，则a = . 3.（1996上海理，16）)2144(lim 22---→x x x = . 二、解答题4.（2002天津文，21）已知a ＞0，函数f （x ）=x 3－a ，x ∈［0，+∞）.设x 1＞0，记曲线y =f （x ）在点M （x 1，f （x 1））处的切线为l .（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴交点为（x 2，0）.证明：（i ）x 2≥a 31；（ii ）若x 1＞a 31，则a 31＜x 2＜x 1.5.（2002天津理，20）已知a ＞0，函数f （x ）=xax-1，x ∈（0，+∞）.设0＜x 1＜a 2，记曲线y =f （x ）在点M （x 1，f （x 1））处的切线为l .（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴交点为（x 2，0），证明：（i ）0＜x 2≤a1； （ii ）若x 1＜a 1，则x 1＜x 2＜a1.6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m ，BB ′=22 m ，塔高20 m.（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.※（2）求冷却塔的容积（精确到10 m 3，塔壁厚度不计，π取3.14）7.（1995上海文，22）设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且 f ′（x ）=2x +2.（1）求y =f （x ）的表达式； ※（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.8.（1995上海理，22）设y =f （x ）是二次函数，方程f （x ）=0有两个相等的实根，且 f ′（x ）=2x +2.（1）求y =f （x ）的表达式； ※（2）若直线x =－t （0＜t ＜1）把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.说明：凡标有※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.图11—1答案解析1.答案：2ln 3π 解析：由旋转体的体积公式V =πx x xx d )2(d ])2[(20202⎰⎰=π 2ln 3)2ln 22ln 2(02ππ=-=.2.答案：4 解析：依题意有：3131+++a =2，∴a =43.答案：－41 解析：原式=41)21(lim 42lim )4244(lim 222222-=+-=--=-+--→→→x x x x x x x x x .4.（Ⅰ）解：求f （x ）的导数：f ′（x ）=3x 2，由此得切线l 的方程：y －（x 13－a ）=3x 12（x －x 1）.（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y =0，x 2=x 1－21312131323x a x x a x +=-， （i ）)2()(31)32(3131123112131213121312a x a x x a x a x x a x +-=-+=-≥0， ∴x 2≥a 31，当且仅当x 1=a 31时等号成立.（ii ）若x 1＞a 31，则x 13－a ＞0，x 2－x 1=－21313x ax -＜0，且由（i ）x 2＞a 31， 所以a 31＜x 2＜x 1.5.（Ⅰ）解：求f （x ）的导数：f ′（x ）=－21x，由此得切线l 的方程：y －（111x ax -）=－211x （x －x 1）. （Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y =0， x 2=x 1（1－ax 1）+x 1=x 1（2－ax 1），其中0＜x 1＜a2. （i ）由0＜x 1＜a 2，x 2=x 1（2－ax 1），有x 2＞0，及x 2=－a （x 1－a 1）2+a1. ∴0＜x 2≤a 1，当且仅当x 1=a 1时，x 2=a1. （ii ）当x 1＜a 1时，ax 1＜1，因此，x 2=x 1（2－ax 1）＞x 1，且由（i ），x 2＜a 1， 所以x 1＜x 2＜a1. 6.（1）如图11—2建立直角坐标系，xOy ，使AA ′在x 轴上， AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴.设双曲线方程为2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0），则a =21AA ′=7.又设B （11，y 1），C （9，y 2），因为点B 、C 在双曲线上，所以有171122122=-b y ①17922222=-by ②由题意，知y 2－y 1=20. ③由①、②、③，得 y 1=－12，y 2=8.b =72.故双曲线方程为984922y x -=1；（2）由双曲线方程，得x 2=21y 2+49. 设冷却塔的容积为V （m 3），则图11—2812328122812|)4961(d )4921(d ---+=+==⎰⎰y y y y y x V πππ. 经计算，得V =4.25×103（m 3）. 答：冷却塔的容积为4.25×103 m 3. 评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.7.解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . 评述：本题考查导数和积分的基本概念. 8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有x x x x x x tt d )12(d )12(2021++=++⎰⎰---， ∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++， －31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321.。

专题04导数及其应用历年考题细目表5解答题2014 导数综合问题2014年新课标1文科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1文科20解答题2012 导数综合问题2012年新课标1文科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1文科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1文科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（）＝ln+ln（2﹣），则（）A．f（）在（0，2）单调递增B．f（）在（0，2）单调递减C．y＝f（）的图象关于直线＝1对称D．y＝f（）的图象关于点（1，0）对称5．【2016年新课标1文科09】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（）＝sin2+a sin在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）8．【2013年新课标1文科09】函数f（）＝（1﹣cos）sin在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝3﹣2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣+1 C．y＝2﹣2 D．y＝﹣2+210．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝2在点（1，2）处的切线方程为．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f（）＝a3++1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝（3ln+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（）＝2sin﹣cos﹣，f′（）为f（）的导数．（1）证明：f′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f（）≥a，求a的取值范围．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（）＝ae﹣ln﹣1．（1）设＝2是f（）的极值点，求a，并求f（）的单调区间；（2）证明：当a时，f（）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（）＝e（e﹣a）﹣a2．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）≥0，求a的取值范围．17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（）的单调性；（Ⅱ）若f（）有两个零点，求a的取值范围．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（）＝e2﹣aln．（Ⅰ）讨论f（）的导函数f′（）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（）＝aln2﹣b（a≠1），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在0≥1，使得f（0），求a的取值范围．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（）＝e（a+b）﹣2﹣4，曲线y＝f（）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求f（）的极大值．21．【2012年新课标1文科21】设函数f（）＝e﹣a﹣2．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，为整数，且当＞0时，（﹣）f′（）++1＞0，求的最大值．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当＞0，且≠1时，f（）．23．【2010年新课标1文科21】设函数f（）＝（e﹣1）﹣a2（Ⅰ）若a，求f（）的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4C ．2D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( ) A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围． 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）． （1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围： （2）当0a =时，设2()()eg x f x x x x=⋅--，证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。