第五章课后答案
5.1
（1）因为22()i i f X X =，所以取221i
i
W X =，用2i W 乘给定模型两端，得 31232222
1i i i
i i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即
2
2221
()()i i i i
u Var Var u X X σ==
（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为
***12233ˆˆˆY X X βββ=-- ()()()()
()()()
***2***
*22232322
322*2*2**
2223223ˆi i i i i i i i i i i i i i i i i i
W y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=
-∑∑∑∑∑∑∑
()()(
)()()(
)(
)**
*2
**
**
232222223
3
2
*2
*2**
2223223ˆi
i i
i i i i
i
i i i i
i i i i i i
W y x W x W y x W x x W
x W x W x x β-=
-∑∑
∑
∑
∑∑∑
其中
2223
2***23222,
,
i
i
i i i i i
i
i
W X
W X W Y X X Y W
W
W =
=
=
∑∑∑∑∑∑
*****
*222333
i i i i i x X X x X X y Y Y
=-=-=- 5.2
（1）
22222
11111 ln()ln()ln(1)1 u ln()1
Y X Y X Y
u u X X X u ββββββββββ--==+≈=-∴=+
[ln()]0
()[ln()1][ln()]11
E u E E u E u μ=∴=+=+=又
（2）
[ln()]ln ln 0 1 ()11
i i i
i
P P i i i i P P i i E P E μμμμμμμ===⇒====∑∏∏∑∏∏不能推导出
所以E 1μ（）=时，不一定有E 0μ（ln ）= (3) 对方程进行差分得：
1)i i βμμ--i i-12i i-1lnY -lnY =(lnX -X )+(ln ln 则有：1)]0i i μμ--=E[(ln ln
5.3
（1）该模型样本回归估计式的书写形式为：
Y = 11.44213599 + 0.6267829962*X (3.629253) (0.019872)
t= 3.152752 31.54097
20.944911R =
20.943961R = S.E.=9.158900 DW=1.597946 F=994.8326
（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。 a.将样本X 按递增顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即1222n n ==。
b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即
21624.3004e =∑ ,
2
22495.840e =∑
求F 统计量为
F= 2
2
21
e e ∑∑=2495.840624.3004=3.9978
给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为0.05(20,20) 2.12F =。
c.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>0.05(20,20) 2.12F =，说明该模型的随机误差项存在异方差。
其次，用White 法进行检验。具体结果见下表 White Heteroskedasticity Test: F-statistic 6.105557 Probability 0.003958 Obs*R-squared
10.58597 Probability
0.005027
给定0.05α=，在自由度为2下查卡方分布表，得2
5.9915χ=。
比较临界值与卡方统计量值，即22
10.8640 5.9915nR χ=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。
（2）用权数1/|e|W =，作加权最小二乘估计，得如下结果 Dependent Variable: Y Method: Least Squares
Sample: 1 60
Included observations: 60
Variable Coefficie Std. Error t-Statistic Prob.
C 27.50000 6.09E-08 4.52E+08 0.0000
Weighted
R-squared 1.000000 Mean dependent
var 70.0196
4
Adjusted R-squared 1.000000 S.D. dependent
var
379.890
9
S.E. of regression 8.44E-10 Akaike info
criterion -38.916
22
Sum squared resid 4.13E-17 Schwarz criterion -38.846
41
Log likelihood 1169.487 F-statistic 4.88E+1
7 Durbin-Watson 0.786091 Prob(F-statistic) 0.00000 Unweighted
R-squared 0.883132 Mean dependent
var 119.666
7
Adjusted R-squared 0.881117 S.D. dependent
var
38.6898
4
S.E. of regression 13.34005 Sum squared
resid 10321.5
Durbin-Watson 0.377804
F-statistic 2.357523 Probability 0.10382
2 Obs*R-squared 4.584017 Probability 0.10106 Test Equation:
Dependent Variable: STD_RESID^2
Method: Least Squares
