Matlab 数学实验报告
一、实验目的
通过以下四组实验,熟悉MATLAB的编程技巧,学会运用MATLAB的一些主要功能、命令，通过建立数学模型解决理论或实际问题。了解诸如分岔、混沌等概念、学会建立Malthu模型和Logistic 模型、懂得最小二乘法、线性规划等基本思想。
二、实验内容
2.1实验题目一
2.1.1实验问题
Feigenbaum曾对超越函数y=λsin(πｘ)（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试进行迭代格式x k+1=λsin(πx k),做出相应的Feigenbaum图
2.1.2程序设计
clear;clf;
axis([0,4,0,4]);
hold on
for r=0:0.3:3.9
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=r*sin(3.14*x(i-1));
end
pause(0.5)
for i=101:150
plot(r,x(i),'k.');
end
text(r-0.1,max(x(101:150))+0.05,['\it{r}=',num2str(r)]) end
加密迭代后
clear;clf;
axis([0,4,0,4]);
hold on
for r=0:0.005:3.9
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=r*sin(3.14*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(r,x(i),'k.');
end
end
运行后得到Feigenbaum图
2.2实验题目二
2.2.1实验问题
某农夫有一个半径10米的圆形牛栏，长满了草。他要将一头牛拴在牛栏边界的桩栏上，但只让牛吃到一半草，问拴牛鼻子的绳子应为多长？
2.2.2问题分析
如图所示，E为圆ABD的圆心，AB为拴牛的绳子，圆ABD为草场，区域ABCD为牛能到达的区域。问题要求区域ABCD等于圆ABC 的一半，可以设BC等于x,只要求出∠a和∠b就能求出所求面积。先计算扇形ABCD的面积，2a÷π×πx2=2aπ2，再求AB的面积，用扇形ABE的面积减去三角形ABE的面积即可。
2.2.3程序设计
f=inline('acos(x/20)*x^2+100*pi-200*acos(x/20)-x*sqrt(100-(x^2)/4)-5 0*pi');
a=0;
b=20;
dlt=1.0*10^-3;
k=1;
while abs(b-a)>dlt
c=(a+b)/2;
if f(c)==0
break;
elseif f(c)*f(b)<0
a=c;
else
b=c;
end
fprintf('k=%d,x=%.5f\n',k,c);
k=k+1;
end
2.2.4问题求解与结论
k=6,x=11.56250
k=7,x=11.71875
k=8,x=11.64063
k=9,x=11.60156
k=10,x=11.58203
k=11,x=11.59180
k=12,x=11.58691
k=13,x=11.58936
k=14,x=11.58813
k=15,x=11.58752
结果表明，要想牛只吃到一半的草，拴牛的绳子应该为11.6米。
2.3实验题目三
2.3.1实验问题
饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需要700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有5种饲料可供选用，每种饲料每千克所含营养成分含量及单价如下表。试确定既能满足动物生长的营养需要，又可使费用最省的选用饲料的方案。
五种饲料单位质量（1kg）所含营养成分
2.3.2问题分析与模型建立
设X j (j=1,2,3,4,5)表示饲料中所含的第j种饲料的数量。由于提供的蛋白质总量必须每天满足最低要求70g，故应有
3X1+2X2+1X3+6X4+18X5≥700
同理，考虑矿物质和维生素的需求。应有
1X1+0.5X2+0.2X3+2X4+0.5X5≥30
0.5X1+1X2+0.2X3+2X4+0.8X5≥100
希望调配出来的混合饲料成本最低，故目标函数f为
f=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5
当来对决策量X j的要求应为非负。
所以该饲料配比问题是一个线性规划模型
Min f =0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5
3X1+2X2+1X3+6X4+18X5≥700
1X1+0.5X2+0.2X3+2X4+0.5X5≥30
0.5X1+1X2+0.2X3+2X4+0.8X5≥100
X j≥0,j=1,2,3,4,5
2.3.3模型评述
一般的食谱问题可叙述为：设有n 种食物，每种食物中含有m 种营养成分。用ija 表示一个单位的第j 种食物中含有第i 种营养的数量，用ib 表示每人每天对第i 种营养的最低需求量，jc 表示第j 种食品的单价，jx 表示所用的第j 种食品的数量，一方面满足m 种
