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立体几何的表面积和体积立体几何是数学的一个分支，研究物体在三维空间中的形状、大小等性质。
其中，表面积和体积是两个重要的概念。
表面积指的是物体表面所覆盖的面积，而体积则是物体所占据的空间大小。
本文将详细探讨立体几何中表面积和体积的计算方法及其应用。
一、表面积的计算方法表面积是指立体物体表面所覆盖的总面积。
不同形状的物体有不同的计算方法，下面将分别介绍常见几何体的表面积计算方法。
1. 立方体的表面积计算立方体是最简单的几何体之一，其六个面都是相等的正方形。
因此，立方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。
设立方体的边长为a，则其表面积S可以表示为S = 6a^2。
2. 正方体的表面积计算正方体是特殊的立方体，其六个面也都是正方形。
同样地，正方体的表面积可以通过计算一个面的面积，并乘以六来得到。
设正方体的边长为a，则其表面积S = 6a^2。
3. 圆柱体的表面积计算圆柱体由一个长方形的侧面和两个圆形的底面组成。
要计算圆柱体的表面积，需要先计算侧面的面积，然后再加上两个底面的面积。
设圆柱体的底面半径为r，高为h，则侧面的面积可以表示为A = 2πrh，底面的面积表示为B = πr^2。
因此，圆柱体的表面积S = A + 2B = 2πrh + 2πr^2。
4. 球体的表面积计算球体是具有最大体积的几何形状，其表面积的计算稍微复杂一些。
设球体的半径为r，则球体的表面积S = 4πr^2。
二、体积的计算方法体积是指立体物体所占据的空间大小。
与表面积类似，不同几何体有不同的计算方法。
1. 立方体的体积计算立方体的体积可以通过计算边长的立方来得到，即V = a^3。
2. 正方体的体积计算正方体的体积与立方体的计算方法相同，也是通过计算边长的立方来得到。
设正方体的边长为a，则它的体积V = a^3。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体的体积可以通过计算底面的面积，并乘以高来得到。
设圆柱体的底面半径为r，高为h，则它的体积V = πr^2h。
简单几何体的表面积与体积[课程标准]知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．1．多面体的表面积多面体的表面积就是围成多面体01各个面的面积的和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝022πrl S圆锥侧＝03πrlS圆台侧＝04π(r1＋r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝05Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝0613Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝074πR2V＝0843πR3与体积有关的两个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．1．(人教B必修第四册习题11－1A T6改编)棱长为2的正四面体的表面积是()A.3B．4C．43D．16答案C解析每个面的面积为12×2×2×32＝3，所以正四面体的表面积为43.故选C.2．(人教B必修第四册11.1.4例1改编)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为()A．63 B.3C．23D．2答案B解析由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为5，可知高h＝2，又因为底面积S＝332，所以体积V＝13Sh＝13×332×2＝3.故选B.3．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的表面积为()A．100π B.256π3C．400π D.500π3答案A解析由题意知切面圆的半径r＝4，球心到切面圆心的距离d＝3，所以球的半径R＝r2＋d2＝42＋32＝5，故球的表面积为4πR2＝4π×52＝100π.故选A.4．(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为________．答案766解析如图，过A1作A 1M ⊥AC ，垂足为M ，易知A 1M为正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．因为AB ＝2，A 1B 1＝1，AA 1＝2，则A 1O 1＝12A 1C 1＝12×2A 1B 1＝22，AO ＝12AC ＝12×2AB ＝2，故AM ＝AO －A 1O 1＝22，则A 1M ＝A 1A 2－AM 2＝2－12＝62，所以所求棱台的体积V ＝13×(4＋1＋4×1)×62＝766.5.如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A 1B 1作一个平行于棱C 1C 的平面A 1B 1EF ，记平面分三棱台两部分的体积为V 1(三棱柱A 1B 1C 1－FEC )，V 2，那么V 1∶V 2＝________．答案3∶4解析设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，∴V 三棱台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73，又V 1＝Sh ，∴V 1V 2＝Sh 73Sh －Sh ＝34.例1(1)(2023·襄阳四中模拟)如图，圆锥PO 的底面直径和高均是2，过PO 的中点O ′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为()A ．(1＋5)πB ．(2＋5)π答案B解析设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则r ＝12×1＝12，h ＝12＝1，圆锥的母线长为22＋12＝5，过PO 的中点O ′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积为π×1×5＋2π×12×1＋π×12＝(2＋5)π.故选B.(2)圆台的上、下底面半径分别是10cm 和20cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm 2(结果中保留π)．答案1100π解析如图所示，设圆台的上底周长为C ，因为扇环的圆心角是180°，所以C ＝π·SA .又C ＝2π×10＝20π，所以SA ＝20cm.同理SB ＝40cm ，所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)．S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm 2)．故圆台的表面积为1100πcm 2.求空间几何体表面积的类型及方法多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积注意：(1)组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)灵活运用直角三角形与直角梯形，如圆锥(台)中的高、母线、底面半径；棱锥(台)中的高、棱长、底面边长．1.若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其表面积为________．答案4＋45解析如图，由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，则正四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝5，所以该四棱锥的侧面积S ＝4×12×2×5＝45，所以S 表＝2×2＋45＝4＋45.2.(2024·南充诊断)如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，AC ︵是四分之一圆，则图中阴影部分以OC 所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________．答案5π解析该旋转体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以该旋转体的表面积为π×12＋2π×1×1＋12×4π×12＝5π.多角度探究突破角度直接法求体积例2(2023·全国甲卷)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA ＝PB ＝2，PC ＝6，则该棱锥的体积为()A ．1 B.3C ．2D ．3答案A解析取AB 的中点E ，连接PE ，CE ，如图，∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA ＝PB ＝2，∴PE ⊥AB ，CE ⊥AB ，∴PE ＝CE ＝2×32＝3，又PC ＝6，故PC 2＝PE 2＋CE 2，即PE ⊥CE ，又AB ∩CE ＝E ，AB ，CE ⊂平面ABC ，∴PE ⊥平面ABC ，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PE ＝13×12×2×3×3＝1.故选A.角度补形法求体积例3如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为()A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π答案B解析由几何体的直观图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上、下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.角度分割法求体积例4我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，薨，屋盖也”．今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF ＝32，EF ∥平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍薨的体积为()A ．6 B.113C.314D ．12答案B解析如图，作FN ∥AE ，FM ∥ED ，分别交AB ，CD于点N ，M ，连接MN ，则多面体被分割为棱柱与棱锥两个部分，则该刍薨的体积为V F －MNBC ＋V ADE －NMF ＝13S 四边形MNBC ·2＋S 直截面·32＝13×2×2－32×2＋2×22×32＝113.故选B.角度转化法求体积例5如图所示，在正三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A －A 1EF 的体积是________．答案83解析由正三棱柱的底面边长为4，得点F 到平面A 1AE 的距离(等于点C 到平面A 1ABB 1的距离)为32×4＝23，则VA －A 1EF ＝VF －A 1AE ＝13S △A 1AE ×23＝13×12×6×4×23＝83.1．处理体积问题的思路2．求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换1.(2023·佛山二模)极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55m ，高19m ，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示(单位：m)，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(参考数据：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)()A．9064m3B．9004m3C．8944m3D．8884m3答案A解析由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝192＝9.5(m)，而圆台另一个底面的半径为r＝1(m)，则V半球＝12×43π×9.53≈1714π3(m3)，V圆柱＝π×9.52×14≈1260π(m3)，V圆台＝13×(9.52π＋9.52π×π＋π)×31.5≈3166π3(m3)，所以V＝V半球＋V圆柱＋V圆台≈1714π3＋1260π＋3166π3≈9064(m3)．故选A.2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为()A．43B．83C．4D．6答案B解析如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，又VABCD－A1B1C1D1＝23＝8，VA－A1B1D1＝VC－B1C1D1＝VB1－ABC＝VD1－ACD＝13×12×23＝43，所以VA－B1CD1＝8－4×43＝8 3.3.如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．答案4解析解法一(分割法)：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝2，V三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二(补形法)：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝12×8＝4.课时作业一、单项选择题1．(2023·锦州二模)已知某圆锥的高为22cm ，体积为22π3cm 3，则该圆锥的侧面积为()A.3π2cm 2B ．3πcm 2C ．6πcm 2D ．12πcm 2答案B解析设该圆锥的底面半径与母线长分别为r ，l ，由V ＝13πr 2×22＝22π3，得r ＝1cm ，所以l ＝12＋（22）2＝3(cm)，所以该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝3π(cm 2)．故选B.2．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A －BCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝CD ＝3，BC ＝2，利用张衡的结论可得球O 的表面积为()A ．30B ．1010C ．33D ．1210答案B解析因为BC⊥CD，所以BD＝7，又AB⊥底面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为AD＝10.利用张衡的结论可得π216＝58，则π＝10，所以球O的表面积为＝10π＝1010.故选B.3．(2024·合肥模拟)长方体的体对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为()A.2 108B.2 27C.2 9D.2 6答案B解析不妨设长方体的底面为正方形，边长为a，高为b，则底面的对角线为a2＋a2＝2a，∵长方体的体对角线长为1，表面积为1，ab＋2a2＝1，（2a）2＋b2＝1，＝26，＝223，∴长方体的体积为a2b＝227.故选B.4.(2023·河源模拟)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年)．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”．“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度＝器皿中积雪体积除以器皿口面积)，已知数据如图(单位：cm)，则平地降雪厚度的近似值为()A.9112cm B.314cmC.9512cm D.9712cm答案C解析器皿中雪表面的半径为20＋404＝15(cm)，所以平地降雪厚度的近似值为13π×20×（102＋152＋10×15）π×202＝9512(cm)．故选C.5．(2024·武汉模拟)已知一个圆柱的侧面积等于表面积的23，且其轴截面的周长是16，则该圆柱的体积是()A．54πB．36πC．27πD．16π答案D解析设圆柱的底面半径为r，高为h，rh＝23（2πrh＋2πr2），r＋2h＝16，＝2，＝4，∴该圆柱的体积是πr2h＝16π.故选D.6.(2023·常州模拟)如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为13，则圆台的侧面积为()A.8π3B.35π2C.16π3D．8π答案C解析假设圆锥的半径为R，母线长为l，则R＝1.设圆台的上底面半径为r，母线长为l1，则r＝13.由已知可得，π3＝2πRl＝2πl，所以l＝6.如图，作出圆锥、圆台的轴截面，则l－l1l＝rR＝13，所以l1＝4.所以圆台的侧面积为π(R＋r)l1＝＝16π3.故选C.7．(2023·天津高考)在三棱锥P －ABC 中，线段PC 上的点M 满足PM ＝13PC ，线段PB 上的点N 满足PN ＝23PB ，则三棱锥P －AMN 和三棱锥P －ABC 的体积之比为()A.19B.29C.13D.49答案B解析如图，因为PM ＝13PC ，PN ＝23PB ，所以S △PMN S △PBC＝12PM ·PN sin ∠BPC12PC ·PB sin ∠BPC ＝PM ·PN PC ·PB ＝13×23＝29，所以V P －AMN V P －ABC ＝V A －PMN V A －PBC＝13S △PMN ·d13S △PBC ·d ＝S △PMN S △PBC ＝29(其中d 为点A 到平面PBC 的距离，因为平面PMN 和平面PBC重合，所以点A 到平面PMN 的距离也为d )．故选B.8．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为23的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为()A ．16B ．163C ．183D ．21答案D解析由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，∵正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，则S 1＝6×12×1×1×32＝332，S 2＝6×12×2×2×32＝63，故V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×33＋×23＝21.故选D.二、多项选择题9．(2023·黄冈模拟)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是()A ．圆柱的侧面积为2πR 2B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2答案CD解析∵圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，∴圆柱的侧面积为2πR ·2R ＝4πR 2，A 错误；圆锥的母线长l ＝R 2＋（2R ）2＝5R ，侧面积为πRl ＝5πR 2，B 错误；球的表面积为4πR 2，∴圆柱的侧面积与球的表面积相等，C 正确；∵V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，∴V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2，D 正确．故选CD.10．(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，∠APB ＝120°，PA ＝2，点C 在底面圆周上，且二面角P －AC －O 为45°，则()A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为43πC ．AC ＝22D ．△P AC 的面积为3答案AC解析依题意，∠APB ＝120°，PA ＝2，所以OP ＝1，OA ＝OB ＝3，对于A ，圆锥的体积为13×π×(3)2×1＝π，A正确；对于B ，圆锥的侧面积为π×3×2＝23π，B 错误；对于C ，设D 是AC 的中点，连接OD ，PD ，则AC ⊥OD ，AC ⊥PD ，所以∠PDO 是二面角P －AC －O 的平面角，则∠PDO ＝45°，所以OP ＝OD ＝1，故AD ＝CD ＝3－1＝2，则AC ＝22，C 正确；对于D ，PD ＝12＋12＝2，所以S △P AC ＝12×22×2＝2，D 错误．故选AC.11．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，AB ＝ED ＝2FB ，记三棱锥E －ACD ，F －ABC ，F －ACE 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则()A ．V 3＝2V 2B ．V 3＝V 1C ．V 3＝V 1＋V 2D ．2V 3＝3V 1答案CD解析设AB ＝ED ＝2FB ＝2a ，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，则V 1＝13ED ·S △ACD ＝13·2a ·12·(2a )2＝43a 3，V 2＝13FB ·S △ABC ＝13·a ·12·(2a )2＝23a 3，连接BD 交AC 于点M ，连接EM ，FM ，易得BD ⊥AC ，又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED ⊥AC ，又ED ∩BD ＝D ，ED ，BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又BM ＝DM ＝12BD ＝2a ，过F 作FG ⊥DE 于点G ，易得四边形BDGF 为矩形，则FG ＝BD ＝22a ，EG ＝a ，则EM ＝（2a ）2＋（2a ）2＝6a ，FM ＝a 2＋（2a ）2＝3a ，EF ＝a 2＋（22a ）2＝3a ，EM 2＋FM 2＝EF 2，则EM ⊥FM ，S △EFM ＝12EM ·FM ＝322a 2，AC ＝22a ，则V 3＝V A －EFM ＋V C －EFM ＝13AC ·S △EFM ＝2a 3，则2V 3＝3V 1，V 3＝3V 2，V 3＝V 1＋V 2.故选CD.三、填空题12．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．答案28解析解法一：由于24＝12，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为13×(4×4)×6＝32，截去的正四棱锥的体积为13×(2×2)×3＝4，所以棱台的体积为32－4＝28.解法二：棱台的体积为13×3×(16＋4＋16×4)＝28.13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形的边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm 3.答案123－π2解析正六棱柱的体积为6×34×22×2＝123(cm 3)，挖去的圆柱的体积为×2＝π2(cm 3)1233)．14.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体．其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝4cm.3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案118.8解析由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．四、解答题15．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠CAB＝120°.(1)求直三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)求直三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．解(1)AB＝AC＝1，AA1＝2，∠CAB＝120°，则直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为S△ABC·AA1＝12AB·AC sin∠CAB·AA1＝1 2×1×1×32×2＝64.(2)AB＝AC＝1，∠CAB＝120°，则BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠CAB＝3，解得BC＝3.故直三棱柱ABC－A1B1C1的表面积为2×12×1×1×32＋2×(1＋1＋3)＝22＋6＋32.16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，BD⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．解解法一(分割法)：由AB＝8，AC＝6，BC＝10，得AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC.因为BD⊥平面ABC，AE∥BD，所以AE ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以AE ⊥AB ，又AB ⊥AC ，AE ∩AC ＝A ，AE ，AC ⊂平面ACFE ，所以AB ⊥平面ACFE .如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥，则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题意知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72，四棱锥D －MNEF 的体积为V 2＝13S 梯形MNEF ·DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则此几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二(补形法)：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.17．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6m ，PO 1＝2m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO 1＝2m 知O 1O ＝4PO 1＝8m.因为A 1B 1＝AB ＝6m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0＜h ＜6，O 1O ＝4h m ．连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0＜h ＜6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)．当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是增函数；当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此当PO 1＝23m 时，仓库的容积最大．。
最新整理高三数学2017高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积2017高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πR²h (R为圆柱体上下底圆半径,h 为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR²+πR[(h²+R²)的平方根] 体积:πR²h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a² ,V=a³4、长方体a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc5、棱柱S-底面积 h-高 V=Sh6、棱锥S-底面积 h-高 V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积 ,S2-下底面积 ,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径 ,h-高 ,C—底面周长S底—底面积 ,S侧—侧面积 ,S表—表面积 C=2πrS底=πr²,S侧=Ch ,S表=Ch+2S底 ,V=S底h=πr²h10、空心圆柱R-外圆半径 ,r-内圆半径 h-高 V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径 h-高 V=πr^2h/312、圆台r-上底半径 ,R-下底半径 ,h-高 V=πh(R²+Rr+r²)/313、球r-半径 d-直径 V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径 V=πh(3a²+h²)/6 =πh²(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r1²+r2²)+h²]/616、圆环体R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径V=2π2Rr² =π2Dd²/417、桶状体D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D²+d²)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D²+Dd+3d²/4)/15 (母线是抛物线形)。
高中数学立体几何体积和表面积计算技巧在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中计算几何体的体积和表面积是必不可少的技巧。
本文将介绍一些常见的计算技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。
一、立体几何体的体积计算技巧1. 直接计算法对于常见的几何体，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体，可以直接使用相应的公式进行计算。
举例来说，如果要计算一个长方体的体积，可以使用公式 V = lwh，其中 l、w 和 h 分别表示长方体的长、宽和高。
如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到体积 V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³。
2. 分割法对于复杂的几何体，可以通过将其分割成若干简单的几何体来计算体积。
这种方法常用于计算不规则体的体积。
举例来说，如果要计算一个由三棱锥和一个正方体组成的复合体的体积，可以先计算三棱锥的体积，再计算正方体的体积，最后将两者相加。
3. 单位体积法对于一些特殊的几何体，可以利用单位体积的性质来计算体积。
这种方法常用于计算球台、球冠等几何体的体积。
举例来说，如果要计算一个球台的体积，可以先计算整个球的体积，再减去球冠的体积。
具体计算步骤如下：步骤一：计算整个球的体积，使用公式V = (4/3)πr³，其中 r 表示球的半径。
步骤二：计算球冠的体积，使用公式V = (1/3)πh²(3r - h)，其中 h 表示球台的高度。
步骤三：将步骤一的结果减去步骤二的结果，即可得到球台的体积。
二、立体几何体的表面积计算技巧1. 直接计算法对于常见的几何体，可以直接使用相应的公式进行表面积的计算。
举例来说，如果要计算一个长方体的表面积，可以使用公式 S = 2lw + 2lh +2wh，其中 l、w 和 h 分别表示长方体的长、宽和高。
如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到表面积 S = 2(6×4) + 2(6×3) +2(4×3) = 108 cm²。
高中数学立体几何体的表面积与体积求解在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，涉及到的知识点包括立体的表面积与体积的求解。
本文将通过具体的例题来说明如何求解不同类型的立体几何体的表面积与体积，并提供一些解题技巧和指导。
一、长方体的表面积与体积求解长方体是最常见的立体几何体之一，它的六个面都是矩形。
我们可以通过求解长方体的表面积与体积来熟悉立体几何的计算方法。
例题1：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的表面积和体积。
解析：长方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于底面积乘以高。
根据题目给出的数据，我们可以计算得到该长方体的表面积和体积。
表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高) = 2(3×4 + 3×5 + 4×5) = 94cm²体积 = 长×宽×高 = 3×4×5 = 60cm³通过这个例题，我们可以看到求解长方体的表面积和体积的方法是比较简单的，只需要根据公式进行计算即可。
在实际应用中，我们可以通过测量长方体的边长来求解它的表面积和体积。
二、正方体的表面积与体积求解正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。
与长方体类似，我们也可以通过求解正方体的表面积与体积来加深对立体几何的理解。
例题2：一个正方体的边长为6cm，求它的表面积和体积。
解析：正方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于边长的立方。
根据题目给出的数据，我们可以计算得到该正方体的表面积和体积。
表面积 = 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 + 6×6 = 216cm²体积 = 边长的立方 = 6³ = 216cm³从这个例题中，我们可以看到正方体的表面积和体积是相等的，这是因为它的六个面都是正方形，所以每个面的面积都相等。
【高考地位】空间几何体的表面积和体积是立体几何的重要内容之一，空间几何体的表面积、体积的计算是高考常考的热点．解决这类问题的方法主要有：基本几何体的求积公式法、分形割补法、等体积法等. 在高考中多以选择题、填空题出现，其难度属中档题.【方法点评】方法一公式法使用情景：几何体是规则的几何体解题模板：第一步先求出几何体表面积和体积公式中的基本量；第二步再代入几何体的表面积和体积公式即可得出结论. 例1 三棱锥A BCD-的外接球为球O，球O的直径是AD，且,ABC BCD∆∆都是边长为的等边三角形，则三棱锥A BCD-的体积是（）A．26B．212C.24D．3【答案】B【解析】考点：三棱锥体积【点评】（1）对于表面积的公式不要死记硬背，多面体的表面积就是表面的几个面的面积直接相加，旋转体的就是展开再求；（2）直接求解该题的关键是正确求出三棱锥底面的垂线.例2 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．3B 2C 2D 2【答案】B 【解析】试题分析：因为ABC ∆是边长为的正三角形，所以ABC ∆外接圆的半径为3r =O 到面ABC 的距离是2216133d R r =-=-=，又因为SC 是圆的直径，所以S 到面ABC 的距离是262d =因此三棱锥的体积是113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=，故选B.考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式.【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质22d R r =-.【变式演练1】在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且::1:2:3PA PB PC =，设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21V V =（ ） A ．714π B ．113π C ．77πD ．83π【答案】A 【解析】考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．【变式演练2】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，2h r π<，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）A ．1ππ+B ．12ππ+C ．122ππ+D ．142ππ+【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知22r h r h ππ=∴=，侧面积为2rh π，底面积为22r π，所以圆柱的表面积与侧面积的比是22212r rh rh πππππ++=.考点：圆柱表面积侧面积.方法二 割补法使用情景：几何体是不规则的几何体或者直接求比较困难 解题模板：第一步 先分割或补形；第二步 再求分割的各部分的面积和体积或求补形后的几何体的体积；第三步 最后求出所求的几何体的体积.例2 如图1，已知三棱锥P ABC -中，10PA BC PB AC ====，PC AB ==P ABC -的体积.【答案】详见解析.【点评】（1）补形法是立体几何中最为常用的辅助工具，它能将一般几何体的有关问题通过补形成特殊的几何体再求解。
如何通过面积与体积解决高考数学中的几何问题数学作为一门智力体育，一直是历史上最重要的学科之一。
特别是几何学，在人类的数学研究中占有着重要的地位。
从古希腊的欧几里得几何到现代的微积分，几何学一直在数学领域成为了解决各种复杂问题和许多实际问题的重要工具。
然而，对于大多数人来说，几何学常常是数学难题的主要来源，尤其是在高考中。
本文将介绍如何使用面积与体积解决一些高考数学几何问题。
一、在计算平行六面体的表面积时应该注意的问题高考几何题中，计算三维对象的表面积是一种典型问题。
对于立体图形，我们想要计算的表面积实际上是每个面的面积之和。
在某些情况下，我们可以使用平行六面体来解决这个问题。
由于平行六面体有六个相等的矩形面，即可得到如下公式：表面积=2(底面积+侧面积)。
这个公式通常是高考中使用最多的公式之一。
但是，在实践中使用这个公式时我们需要注意特殊情况。
例如，当平行六面体的六个侧面不是矩形而是梯形、菱形或者任何其他不规则形状时，我们不应该使用这个公式。
二、如何计算三棱锥或四棱锥的体积计算三棱锥或四棱锥的体积也是高考的经典问题。
通过学习基础性的数学概念，我们知道这些形状的体积是由底面面积和高度共同决定的。
我们通常将底面面积与高度乘起来并除以三，得到锥形体积的公式。
但是，该公式存在一些限制。
这个公式仅适用于三棱锥和四棱锥。
如果我们想计算其他形状的锥体积，应该使用相关几何知识和数学方法。
例如，计算圆锥体积需使用底面积与高度的乘积再除以三点一四一六。
同样的，计算棱锥的体积需要选择正确的公式并理解正确的数学概念。
三、如何计算狭长立体体积在解决高考几何问题时，有时我们需要计算狭长立体体积，例如旋转体、柱体等。
在这种情况下，我们需要使用平面图形的相关概念。
如果我们有一个平面图形，可以通过它与某条轴线做旋转以获得立体形状，那么该立体形状的体积就等于获得该形状时固定边的长度和旋转轴线之间的距离乘以平面图形的面积。
这个公式对于高考几何学习非常重要，以便使学生了解立体形状的体积与其它平面图形（例如圆）之间的关系。
解题技巧如何巧妙解决立体几何中的体积与表面积问题立体几何是数学中一个重要的分支，它研究物体的形状、体积、表面积等性质。
在解决立体几何中的体积与表面积问题时，我们需要掌握一些解题技巧，以便更加高效地解决这类问题。
本文以此为出发点，介绍一些巧妙的解题技巧，帮助读者在解决立体几何中的体积与表面积问题时更加得心应手。
一、立体几何基础知识回顾在介绍解题技巧之前，我们先来回顾一些立体几何的基础知识。
在三维空间中，我们常见的几何体包括立方体、圆柱体、锥体、球体等。
这些几何体的体积和表面积是解题的关键。
二、体积问题的解题技巧1. 立方体的体积首先来看立方体的体积计算。
立方体的体积等于边长的立方，即V = a³。
当只给出边长的一半或者三分之一时，可以通过平方或者立方计算，再乘以相应的系数得到体积。
2. 圆柱体的体积圆柱体的体积计算公式为V = πr²h，其中π取近似值3.14，r为底面圆的半径，h为圆柱体的高。
当只给出直径或者底面周长时，可以通过相关公式计算得到半径，再代入体积公式求解。
3. 锥体的体积锥体的体积计算公式为V = (1/3)πr²h，其中r为底面圆的半径，h为锥体的高。
当只给出锥体的半径或者底面周长时，同样可以通过相关公式计算得到半径，再代入体积公式求解。
4. 球体的体积球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中r为球体的半径。
当只给出球体的直径时，可以通过直径与半径的关系计算得到半径，再代入体积公式求解。
三、表面积问题的解题技巧1. 立方体的表面积立方体的表面积等于6倍的边长的平方，即S = 6a²。
当只给出边长的一半或者三分之一时，可以通过平方或者立方计算，再乘以相应的系数得到表面积。
2. 圆柱体的表面积圆柱体的表面积计算公式为S = 2πrh + 2πr²，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高。
当只给出直径或者底面周长时，可以通过相关公式计算得到半径，再代入表面积公式求解。
高中数学的归纳立体几何中的常见体积和表面积公式总结立体几何是高中数学中的一个重要的部分，它主要研究各种几何体的性质和计算相关的参数，如体积和表面积等。
在归纳立体几何的学习过程中，了解和掌握常见的体积和表面积公式是非常关键的。
本文将总结和归纳高中数学中常见的立体几何体的体积和表面积公式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、三角柱和三棱柱：三角柱和三棱柱是最简单的几何体之一，它们的体积和表面积计算公式如下：三角柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三角柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和三棱柱的体积公式为：V = 底面积 ×高三棱柱的表面积公式为：S = 2 ×底面积 + 三个侧面的面积之和其中，底面积可以根据给定的形状进行计算，高是指底面到上底的垂直距离。
二、长方体和正方体：长方体和正方体是具有六个面的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：长方体的体积公式为：V = 长 ×宽 ×高长方体的表面积公式为：S = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)正方体的体积公式为：V = 边长^3 (边长的三次方)正方体的表面积公式为：S = 6 ×边长^2 (边长的二次方)其中，长、宽、高、边长分别表示长方体和正方体的相关参数。
三、圆柱体和圆锥体：圆柱体和圆锥体是由圆形底面和侧面组成的立体体，它们的体积和表面积计算公式如下：圆柱体的体积公式为：V = 圆底面积 ×高圆柱体的表面积公式为：S = 2 ×圆底面积 + 侧面积圆锥体的体积公式为：V = 1/3 ×圆底面积 ×高圆锥体的表面积公式为：S = 圆底面积 + 侧面积其中，圆底面积可以根据给定的半径计算，高是指底面到上底的垂直距离，侧面积是指侧面的曲面积分。
四、球体：球体是由曲面构成的立体体，它的体积和表面积计算公式如下：球体的体积公式为：V = 4/3 × π × 半径^3 (半径的三次方)球体的表面积公式为：S = 4π × 半径^2 (半径的二次方)其中，π是一个常数，约等于3.14159，半径是指从球心到球面上的任意一点的距离。
简单几何体的表面积与体积考纲解读 1.结合三视图求几何体的表面积与体积；2.利用几何体的线面关系求表面积和体积；3.求常见组合体的表面积或体积．[基础梳理]1．多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表面积与侧面积名称侧面积 表面积 圆柱(底面半径r ，母线长l ) 2πrl 2πr (l ＋r ) 圆锥(底面半径r ，母线长l ) πrl πr (l ＋r ) 圆台(上、下底面半径r 1，r 2，母线长l )π(r 1＋r 2)lπ(r 1＋r 2)l ＋π(r 21＋r 22) 球(半径为R )4πR 23.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh .特别地，V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径)． (2)V 锥体＝13Sh .特别地，V 圆锥＝13πr 2h (r 为底面半径)．(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．特别地，V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)(r ，r ′分别为上、下底面半径)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．[三基自测]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144答案：A2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案：1∶473．一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．答案：3365π cm 24．(必修2·1.3A 组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为________． 答案：3π5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)所有棱长都为2的三棱锥的体积为________． 答案：223考点一 几何体的表面积与侧面积|易错突破[例1] (1)(2018·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋23B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋43(2)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2 B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 (3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[解析] (1)直观图是四棱锥P ABCD ，如图所示，S △P AB ＝S △P AD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故此棱锥的表面积为6＋42＋23，故选A.(2)该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2(cm 2)． (3)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1， 侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. [答案] (1)A (2)C (3)38 [易错提醒]1．以三视图为载体的几何体的表面积或侧面积问题，要分清三视图中的量是否为各表面计算面积所用的量．2．几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加．3．组合体的表面积，要注意衔接部分分散在哪个面中来计算．[纠错训练]1．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，求该斜三棱柱的表面积．解析：由题意知，斜三棱柱的直观图如图中ABC A 1B 1C 1所示．易知正方体的棱长为2.斜三棱柱的两个底面积的和为2S △ABC ＝2×12×AB ×AC ＝2，侧面ABB 1A 1的面积S 侧面ABB 1A 1＝2×1＝2，侧面ACC 1A 1为矩形，S 侧面ACC 1A 1＝AA 1·AC ＝25，侧面BCC 1B 1是边长为5的菱形，连接CB 1、BC 1，易得CB 1＝23，BC 1＝22，且CB 1⊥BC 1，所以S 侧面BCC 1B 1＝12CB 1·BC 1＝12×23×22＝26，所以斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的表面积为4＋2(5＋6)．2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，求它的表面积．解析：该几何体是一个球体挖掉18剩下的部分，如图所示，依题意得78×43πR 3＝28π3，解得R ＝2，所以该几何体的表面积为4π×22×78＋34π×22＝17π.考点二 空间几何体的体积|方法突破[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥C 1B 1DA 的体积为( )A ．3 B.32 C ．1D.32(3)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] (1)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B.(2) 在正△ABC 中，D 为BC 中点， 则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A B 1DC 1底面上的高．∴VC 1B 1DA ＝VA C 1B 1D ＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.(3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案] (1)B (2)C (3)2＋π2[方法提升]求几何体的体积的方法 方法解读适合题型 直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解 规则 几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则 几何体 等积转换法 利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算三棱锥[跟踪训练]1．(2018·大连双基检测)如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．15B ．13C ．12D ．9解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD 是一个矩形(其中AB ＝5，BC ＝2)，棱EF ∥底面ABCD ，且EF ＝3，直线EF 到底面ABCD 的距离是3.连接EB ，EC ，则题中的多面体的体积等于四棱锥E ABCD 与三棱锥E FBC 的体积之和，而四棱锥E ABCD 的体积等于13×(5×2)×3＝10，三棱锥E FBC 的体积等于13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.答案：B2．如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V圆台＝13×(π×AD 2＋π×AD 2×π×BC 2＋π×BC 2)×AB ＝13×π×(AD 2＋AD ×BC ＋BC 2)×AB＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×AD 3×12＝43π×23×12＝163π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积V ＝V 圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．答案：1403π(cm 3)考点三 有关球的组合体及面积、体积最值问题|思维突破[例3] (1)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．33 B.3 C ．2 6D ．23(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．(3)正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为________．[解析] (1)设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332(9－h 24)h ＝332(－h 34＋9h )． 令y ＝h 34＋9h ，∴y ′＝－3h 24＋9.令y ′＝0，∴h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大，故选D.(2)设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB (图略)，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V SABC ＝V ASBC ＝13×S △SBC×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.(3)如图，截面图为长方形ACC 1A 1和其外接圆．球心为EE 1的中点O ， 则R ＝OA .设正四棱柱的侧棱长为b ，底面边长为a ，则AC ＝2a ，AE ＝22a ，OE ＝b2，R 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 22， ∴4R 2＝2a 2＋b 2，则正四棱柱的侧面积： S ＝4ab ＝2·2a ·2b ≤2(a 2＋2b 2)＝42R 2，故侧面积有最大值，为42R 2，当且仅当a ＝2b 时等号成立． [答案] (1)D (2)36π (3)大 42R 2 [思维升华]1．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．2．解决几何体最值问题的方法 方法解读适合题型基本不等式法根据条件建立两个变量的和或积为定值，然后利用基本不等式求体积的最值(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值；(2)求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值函数法通过建立相关函数式，将所求的组合体中的最值问题最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛几何法 由图形的特殊位置确定最值，如垂直图形位置变化中的最值[跟踪训练](2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：△AOB 的面积为定值，当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O ABC 的体积取得最大值．由16R 3＝36得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.故选C.答案：C1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r＝1－(12)2＝32，故该圆柱的体积V ＝π×(32)2×1＝3π4，故选B.答案：B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知圆锥的高为23，底面半径为2，则圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为12×4π×4＝8π.圆柱的底面积为4π，圆柱的侧面积为4×4π＝16π，从而该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案：C3.[考点二](2015·高考全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×13πR 2×5＝16×203π(立方尺)，因此堆放的米约有16×203×1.62×3≈22(斛)．故选B.答案：B4.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π.答案：14π5.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值．解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝25－533a ， ∴25－533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝36BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝23x ·3x ·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.。
高中数学中的立体几何体积与表面积计算技巧立体几何是中学数学中的重要内容，其中计算立体几何体积与表面积是关键的技巧。
本文将介绍高中数学中立体几何体积与表面积的计算技巧，希望能够帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、体积计算技巧1.1 直接计算公式在体积计算中，有一些几何体具有直接计算公式，我们可以直接利用这些公式进行计算。
下面是一些常见的几何体的体积计算公式：- 立方体：V = 边长³- 正方体：V = 边长³- 长方体：V = 长 ×宽 ×高- 圆柱体：V = π × 半径² ×高- 圆锥体：V = 1/3 × π × 半径² ×高- 球体：V = 4/3 × π × 半径³利用这些公式，我们可以轻松地计算出各种几何体的体积。
1.2 分割相加法有些情况下，几何体的体积无法直接利用公式计算，但我们可以通过分割相加的方法来计算。
比如，一个不规则的立方体，我们可以将其分割成多个规则的长方体，然后计算各个长方体的体积，最后相加得到整个立方体的体积。
这种方法需要我们灵活掌握几何体的分割技巧和计算公式，可以通过将几何体分割成更简单的子几何体，再计算子几何体的体积，最后相加得到总体积。
1.3 代入计算法对于一些特殊形状的立体几何体，我们可以通过代入计算法来计算其体积。
比如，一个棱锥形的几何体，我们可以将其当作一个三角形的面积乘以高来计算。
为了能够应用这种方法，我们需要将立体几何体转化为更简单的几何形状，然后利用已知的计算公式进行计算。
二、表面积计算技巧2.1 直接计算公式与体积计算类似，有些几何体的表面积也有直接计算公式。
下面是常见几何体的表面积计算公式：- 立方体：A = 6 ×边长²- 正方体：A = 6 ×边长²- 长方体：A = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)- 圆柱体：A = 2 × π × 半径² + 2 × π × 半径 ×高- 圆锥体：A = π × 半径 ×斜高+ π × 半径²- 球体：A = 4 × π × 半径²利用这些公式，我们可以快速计算出各几何体的表面积。
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题34 空间几何体的表面积和体积【考纲要求】1．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.【知识清单】知识点1．几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 知识点2．几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【考点梳理】考点一 ：几何体的面积【典例1】（2020·天津高考真题）若棱长为则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514-B ．512-C ．514+D ．512+ 【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==， 由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得14b a +=（负值舍去）. 故选：C.【规律方法】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【答案】【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB ，因为SAB 的面积为,l 所以221802l l ⨯==，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos,4l =因此圆锥的侧面积为2ππ.2rl l ==2．（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD ，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【答案】16π【解析】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高.所以11323DC ⨯=,解得DC =所以4AD ==. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.【总结提升】计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 高频考点二 ：几何体的体积【典例3】（2019·北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【典例4】（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为2624⨯⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π【总结提升】 （1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．（3）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（4）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.（5）三视图形式：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．【变式探究】1．（2020·全国高一课时练习）已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，故A 正确，B 错误； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确. 故选：AD.2.（2019·湖南高三月考（理））正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，以EFG ∆为底面作直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱），若此直三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则该直三棱柱的体积为（ ）B.2C.32D.34【答案】C【解析】如图，连接11A C ，1C D ，1AC , 1BC ,分别取11A C 、1BC 、1C D 中点M 、N 、Q ，连接MQ ，MN ，NQ ,FQ ,EN ,GM由中位线定理可得111111111//,,//,,//,222GM AC GM AC FQ AC FQ AC EN AC EN AC === 又1AC EFG ⊥平面，∴三棱柱EFG NQM —是正三棱柱2EFG S ∆==112h GM AC ===，∴三棱柱32EFG NQM V =— 答案选C【方法总结】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.高频考点三 ： 几何体的展开、折叠、切、截问题【典例5】（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】 设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【典例6】（2019·天津高考真题（理））已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.【答案】4π. 【解析】2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【规律方法】几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【典例7】（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．86π B ．46πC ．26πD 6π【答案】D 【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++= 364466633R V R =∴=π==ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D.【典例8】（2019·四川高三月考（理））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为10cm .打印所用部料密度为30.9g/cm ．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g .（π取3.14）【答案】358.5 【解析】设被挖去的正方体的棱长为xcm ，圆锥底面半径为r ，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则10210x xh x x r h --=⇒=，解得5x =．模型的体积为(223311500105125333V r h x πππ=-=⨯⨯-=-， 因此，制作该模型所需材料质量约为5000.91251500.9125358.5g 3ππ⎛⎫⨯-=-⨯≈⎪⎝⎭． 故答案为：358.5. 【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【典例9】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥-，则其外接球的体积为（）B ACD【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【总结提升】解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：【变式探究】1．（2018届河南省洛阳市高三期中）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是直角三角形，其斜边4AB =， SC ⊥平面ABC ，且3SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 25π B. 20π C. 16π D. 13π 【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于43AB SC ==，，且ABC ∆是直角三角形， SC ⊥平面ABC ， ∴长方体的对角线长为∴三棱锥的外接球的半径 ∴三A.2．（2018·天津高考真题（文））如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．【答案】13【解析】如图所示，连结11A C ，交11B D 于点O ，很明显11A C ⊥平面11BDD B ，则1A O 是四棱锥的高，且111122A O A C ===，1111BDD B S BD DD =⨯==四边形，结合四棱锥体积公式可得其体积为1113323V Sh ===，故答案为13.3．（2018届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研）在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑M ABC-中, MA⊥平面ABC, 2MA AB BC===,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．【解析】由题意，MC为球O的直径，O∴球O的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ，【典例10】（2017课标1，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【变式探究】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）ABCD AC ABC ⊥ADC BD B ACD -【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【典例11】（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正，所以该多面体的体积为21421.33⨯⨯⨯=【变式探究】（2020·山东省滨州市三模）已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为__________．PA⊥,26,ABC PA BC==AB AC⊥【答案】 【解析】由于平面，所以，而，故可将补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥的外接球，也即球. 由于，设，则，所以长方体的对角设球的半径为，则所以球的表面积为. 故答案为：【典例12】（2020·山东省泰安市6月三模）已知球O是正三棱锥的外接球，，E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是_______. 【答案】45πPA ⊥ABC ,PA AB PA AC ⊥⊥AB AC ⊥P ABC -P ABC -O 26,3PA BC BC ===,AB a AC b ==2229a b BC +===O R 2R =O 2445R ππ=45πP ABC -3AB =PA =94π【解析】如图，设三棱锥的外接球半径为R ，正三角形的外接圆圆心为，因为，三角形是正三角形，为正三角形的外接圆圆心， 所以因为所以，解得，，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值，在中，故，截面面积， 故答案为：. 【总结提升】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【变式探究】1.（2020·安徽马鞍山�高三三模（文））已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）ABC D 3AB =ABC D ABC DA =PA =3PD =()223R R +-=2R =1OD =E O OE OE Rt EDO ∆OE ==32r ==294S r ππ==94πA ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D 【答案】D【解析】如图在正方体中1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形 当截面为正六边形EFNMGH 时，截面面积有最大，由题可知：21sin 45==NM ，则133611sin 6022=⨯⨯⨯⨯=EFNMGH S 故选：D2．（2020·江苏苏州�高一期末）已知在球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，则球O 的表面积为________，若P 为线段AD 的中点，则过点P 的平面截球O 所得截面面积的最小值为______．【答案】17π9π4【解析】如图，因为球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，所以12=DB R = 所以球的表面积2=417S R ππ=， 当OP ⊥球的截面，即P 为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离d OP =时最大， 此时截面圆的半径22d R r -=最小，此时截面圆的面积最小，而OP ===所以32r ==， 所以截面圆面积294S r ππ==. 故答案为：17π；94π。
高中数学中的立体几何体积与表面积解题技巧立体几何是高中数学中的一个重要部分，它涉及到体积和表面积的计算。
在解题过程中，掌握一些技巧可以帮助我们更轻松地解决问题。
本文将探讨在高中数学中解决立体几何体积和表面积问题的一些技巧。
一、计算立体几何体积的技巧1. 确定基本单位体积：在计算复杂立体的体积时，可以将其分解为较简单的立体体积进行计算，然后再进行求和。
这个简单立体可以视为基本单位体积，比如长方体、正方体等。
将复杂立体按照基本单位体积进行分解，可以简化计算过程。
2. 运用基本立体体积的公式：掌握各种基本立体的体积公式是解决立体几何体积问题的基础。
比如，长方体的体积公式为V = lwh，其中l、w、h分别表示长、宽和高。
同时，正方体的体积公式为V = a³，其中a表示边长。
3. 利用立体几何相似性质：当两个立体形状相似时，它们的体积之比等于边长之比的立方。
这个性质在解决一些复杂立体体积的问题时非常有用。
4. 十进制与立体几何的转化：在实际问题中，有时需要将立体几何的体积转化为十进制数或分数进行计算。
在这种情况下，需要注意单位的转换，并运用基本运算法则进行计算。
二、计算立体几何表面积的技巧1. 运用基本立体表面积的公式：和体积计算类似，掌握各种基本立体的表面积公式是解决立体几何表面积问题的基础。
比如，长方体的表面积公式为S = 2lw + 2lh + 2wh，其中l、w、h分别表示长、宽和高。
同时，正方体的表面积公式为S = 6a²，其中a表示边长。
2. 利用立体几何的展开图：对于某些复杂立体，可以根据其展开图来计算表面积。
展开图是将立体展开成一个平面图形，然后计算各个图形的面积再求和。
这个技巧在解决某些多面体和圆柱体表面积的问题时非常实用。
3. 利用立体几何的旋转对称性质：当立体具有旋转对称性时，可以只计算一部分表面积，然后再进行乘法运算得到整个表面积。
这个技巧可以简化计算步骤。
4. 注意单位的转换：在计算表面积时，要注意单位的转换。
高中数学的归纳立体几何中的体积与表面积立体几何是数学的一个重要分支，其中体积和表面积是我们常常接触到的概念。
在高中数学中，学生在几何学习的过程中，会遇到对各种立体图形的体积和表面积求解问题。
本文将通过归纳的方式，介绍高中数学中常见的立体几何体积与表面积的求解方法。
首先，我们来讨论一下常见几何体的体积计算方法。
在立体几何中，常见的几何体包括立方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
对于这些几何体，我们可以根据其特征来推导出相应的体积公式。
首先考虑立方体，它的六个面都是相等的正方形，所以它的体积可以通过边长的立方来计算。
假设立方体的边长为a，则它的体积V为V = a³。
接下来是长方体，它的六个面包括三个相等的矩形和两个相等的长方形。
假设长方体的长、宽、高分别为l、w、h，则它的体积V等于长、宽、高的乘积，即V = lwh。
对于圆柱体，它包括一个圆底和一个平行于底的圆盖，并且它的侧面是一个矩形。
假设圆柱体的底面半径为r，高度为h，则它的体积V等于底面积和高度的乘积，即V = πr²h。
再考虑圆锥体，它包括一个圆底和一个顶点，并且它的侧面是一个扇形。
假设圆锥体的底面半径为r，高度为h，则它的体积V等于底面积和高度的乘积除以3，即V = πr²h/3。
最后，我们来讨论球体的体积计算方法。
假设球体的半径为r，则它的体积V等于4/3乘以π乘以半径的立方，即V = (4/3)πr³。
除了体积，我们还需要了解立体几何中的表面积计算方法。
对于常见的几何体，它们的表面积公式如下：立方体的表面积公式为S = 6a²，其中a为边长。
长方体的表面积公式为S = 2lw + 2lh + 2wh，其中l、w、h分别为长方体的长、宽、高。
圆柱体的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h为高度。
圆锥体的表面积公式为S = πr² + πrl，其中r为底面半径，l为斜高。
高考数学技巧如何快速计算几何体的表面积和体积几何体的表面积和体积是高考数学中的重要考点，掌握快速计算的技巧对于提高解题效率和得分至关重要。
本文将介绍几种常用的数学技巧，帮助考生们在高考数学中快速计算几何体的表面积和体积。
一、计算长方体的表面积和体积长方体是一种最基本的几何体，计算其表面积和体积是高考中常见的考题。
首先，我们来介绍如何计算长方体的表面积。
长方体具有六个面，即前后面、上下面和左右面。
每个面的面积都等于其对应边长的乘积。
因此，长方体的表面积等于每个面积的和。
具体计算步骤如下：1. 首先，计算前后面的面积，即长乘以高；2. 接着，计算上下面的面积，即宽乘以高；3. 最后，计算左右面的面积，即长乘以宽。
将上述三个面积相加，即可得到长方体的表面积。
下面，我们来介绍如何计算长方体的体积。
长方体的体积等于底面积乘以高度。
具体计算步骤如下：1. 首先，计算底面的面积，即长乘以宽；2. 接着，将底面积乘以高度，即可得到长方体的体积。
二、计算圆柱的表面积和体积圆柱也是高考数学中常见的几何体之一。
计算圆柱的表面积和体积同样需要掌握一些技巧。
先来介绍计算圆柱的表面积的方法。
圆柱的表面积由三部分组成，即上下底面积和侧面积。
具体计算步骤如下：1. 首先，计算上下底面的面积，即底面的面积乘以2；2. 接着，计算侧面的面积。
侧面是一个矩形，其长等于底边的周长，宽等于圆柱的高度。
因此，侧面的面积等于底边周长乘以高度；3. 最后，将上下底面积和侧面积相加，即可得到圆柱的表面积。
接下来，我们来介绍计算圆柱的体积的方法。
圆柱的体积由底面积和高度决定。
具体计算步骤如下：1. 首先，计算底面的面积，即底面的半径的平方乘以π；2. 接着，将底面积乘以高度，即可得到圆柱的体积。
三、计算球体的表面积和体积球体是一种特殊的几何体，其计算方法与其他几何体略有不同。
首先，我们来介绍计算球体的表面积的方法。
球体的表面积等于其半径的平方乘以4π。
高中数学中的立体几何体积与表面积解题方法在高中数学中，立体几何体的体积与表面积是一个重要的解题内容。
准确计算和解答立体几何体的体积与表面积问题，不仅需要掌握相关的公式和方法，还需要灵活运用数学思维和推导能力。
本文将从四个方面介绍高中数学中立体几何体积与表面积的解题方法。
一、立体几何体的体积计算方法立体几何体的体积是指该几何体所包含的三维空间的容积大小。
常见的立体几何体包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
针对每一种立体几何体，都有相应的体积计算公式。
1. 长方体和正方体的体积计算长方体和正方体的体积计算公式非常简单，即体积 = 长 ×宽 ×高。
其中，长方体的长、宽、高分别代表立方体的长、宽、高。
2. 圆柱体的体积计算圆柱体的体积计算公式为体积 = 底面积 ×高。
其中，底面积是指圆柱体的底部面积，可以用半径的平方乘以π来表示。
3. 圆锥体的体积计算圆锥体的体积计算公式也是体积 = 底面积 ×高。
底面积可以用半径的平方乘以π来表示。
而在计算底面积时，需要注意底面是个圆形。
4. 球体的体积计算球体的体积计算公式为体积= 4/3 × π × 半径的立方。
其中，半径是指球体的半径。
二、立体几何体的表面积计算方法立体几何体的表面积是指该几何体所有表面的总面积大小。
不同的几何体有不同的表面积计算公式。
1. 长方体和正方体的表面积计算长方体的表面积计算公式为表面积 = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×高)。
正方体的表面积与长方体相同，即表面积 = 6 ×边长的平方。
2. 圆柱体的表面积计算圆柱体的表面积计算公式为表面积= 2π×半径×高+ 2π×半径的平方。
其中，第一项代表圆柱体侧面的面积，第二项代表圆柱体底面和顶面的面积。
3. 圆锥体的表面积计算圆锥体的表面积计算公式为表面积= π×半径×斜高+ π×半径的平方。
【高考地位】空间几何体的表面积和体积是立体几何的重要内容之一，空间几何体的表面积、体积的计算是高考常考的热点．解决这类问题的方法主要有：基本几何体的求积公式法、分形割补法、等体积法等. 在高考中多以选择题、填空题出现，其难度属中档题.【方法点评】方法一 公式法使用情景：几何体是规则的几何体解题模板：第一步 先求出几何体表面积和体积公式中的基本量； 第二步 再代入几何体的表面积和体积公式即可得出结论.例1 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且,ABC BCD ∆∆都是边长为的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是 （ ）A ．6 B ．12 C.4D ．12【答案】B 【解析】考点：三棱锥体积【点评】（1）对于表面积的公式不要死记硬背，多面体的表面积就是表面的几个面的面积直接相加，旋转体的就是展开再求；（2）直接求解该题的关键是正确求出三棱锥底面的垂线. 例2 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A B D 【答案】B 【解析】试题分析：因为ABC ∆是边长为的正三角形，所以ABC ∆外接圆的半径为r =O 到面ABC的距离是3d ===又因为SC 是圆的直径，所以S 到面ABC 的距离是23d =，因此三棱锥的体积是11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=，故选B.考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式.【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质d =.【变式演练1】在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且::1:2:3PA PB PC =，设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21V V =（ ） AB ．113π CD ．83π 【答案】A 【解析】考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．【变式演练2】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，2h r π<，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A ．1ππ+ B ．12ππ+ C ．122ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22r h r h ππ=∴=，侧面积为2rh π，底面积为22r π，所以圆柱的表面积与侧面积的比是22212r rh rh πππππ++=.考点：圆柱表面积侧面积.方法二 割补法使用情景：几何体是不规则的几何体或者直接求比较困难 解题模板：第一步 先分割或补形；第二步 再求分割的各部分的面积和体积或求补形后的几何体的体积； 第三步 最后求出所求的几何体的体积.例2 如图1，已知三棱锥P ABC -中，10PA BC PB AC ====，PC AB ==P ABC -的体积.【答案】详见解析.【点评】（1）补形法是立体几何中最为常用的辅助工具，它能将一般几何体的有关问题通过补形成特殊的几何体再求解。
如本题将三棱锥补成特殊的长方体便可轻松求解。
当然补形前后的两种图形的内在联系应该非常熟悉是求解关键。
（2）若按常规方法利用体积公式求解，底面积可以设法求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。
若能换个角度来思考，注意到三棱锥有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。
【变式演练3】四边形ABCD 中，A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.【答案】详见解析.考点：空间立体几何的体积、表面积；割补法；【变式演练4】如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60,DAB PAB ∠=∆是边长为的正三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ,已知点M 是PD 的中点. （1） 证明:PB 平面AMC ; （2） 求三棱锥P AMC -的体积.【答案】(1)见解析；（2）2116a . 【解析】试题分析：(1) 连结BD 交AC 于O ，连结OM ,由三角形中位线性质可得OMPB ，由线面平行的判定定理可得PB 平面ACM .(2) 取AB 中点N ,连接PN ,则PN AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可知PN ⊥平面ABCD ,利用求之即可.考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.多面体体积.【名师点睛】本题考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、多面体体积，属中档题；线面平行是空间位置关系中一种重要的关系，也是高考常考知识点之一，高考对线面平行的考查常有以下两个命题角度：1.以多面体为载体，证明线面平行；2.以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题.方法三 等体积法使用情景：一般三棱锥解题模板：第一步 先变换三棱锥的顶点； 第二步 运用等体积法求出几何体的体积.例3 在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为梯形，23AB DC AB CD M =∥，，为AE 的中点，设E ABCD -的体积为V ，那么三棱锥M EBC -的体积为（ ）. （Ａ）25V （Ｂ）13V （Ｃ）23V （Ｄ）310V 【答案】详见解析.【变式演练5】在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为SAC ⊥平面ABC ，2==SC SA ，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ； （Ⅱ）求三棱锥CMN B -的体积.【答案】【解析】试题分析：（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC ⊥SB；（2）由V B-CMN=V N-CMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取中点，连结，.∵，∴.又∵是正三角形，∴.∵，∴⊥平面又在平面内，∴⊥.考点：直线与平面垂直的性质及棱锥体积.【变式演练6】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=， 2,AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PD ∥平面EAC ,求三棱锥P EAD -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II ）22. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得BD AC PD AC ⊥⊥,，由此能证明平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）由已知得PD ∥OE ，取AD 中点H ，连结BH ，由此利用12P EAD E PAD B PAD V V V ---==即可求得三棱锥P EAD -的体积.BH AB ==.12P EAD E PAD B PAD V V V ---==1123PAD S BH =⨯⨯⨯△112622=⨯⨯=. 考点：1.平面与平面垂直的判定；2.棱柱，棱锥，棱台的体积.【高考再现】1. 【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(4)cos 2222PD PB BD x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=.设t ==，因为0x ≤≤12t ≤≤.则|x =（2x <≤|x x ==故x .此时，16V t =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12.考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．2.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE【答案】（I ）见解析（II ）作图见解析,体积为43【解析】所以AB ⊥平面PED ,故.AB PG ⊥又由已知可得,PA PB =,从而G 是AB 的中点.在等腰直角三角形EFP 中,可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.3. 2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；． 【解析】（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S ， 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . 考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．4. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
