【高考地位】
空间几何体的表面积和体积是立体几何的重要内容之一，空间几何体的表面积、体积的计算是高考常考的热点．解决这类问题的方法主要有：基本几何体的求积公式法、分形割补法、等体积法等. 在高考中多以选择题、填空题出现，其难度属中档题.
【方法点评】
方法一 公式法
使用情景：几何体是规则的几何体
解题模板：第一步 先求出几何体表面积和体积公式中的基本量； 第二步 再代入几何体的表面积和体积公式即可得出结论.
例1 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且,ABC BCD ∆∆都是边长为的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是 （ ）
A ．
6 B ．12 C.4
D ．12
【答案】B 【解析】
考点：三棱锥体积
【点评】（1）对于表面积的公式不要死记硬背，多面体的表面积就是表面的几个面的面积直接相加，旋转体的就是展开再求；（2）直接求解该题的关键是正确求出三棱锥底面的垂线. 例2 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，
SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）
A B D 【答案】B 【解析】
试题分析：因为ABC ∆是边长为的正三角形，所以ABC ∆
外接圆的半径为r =
O 到面ABC
的距离是3
d ===又因为SC 是圆的直径，所以S 到面ABC 的
距离是23
d =
，因此三棱锥的体积是11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=，故选B.
考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面
上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质d =
.
【变式演练1】在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且
::1:2:3PA PB PC =，设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积
为2V ，则
2
1
V V =（ ） A
B ．113π C
D ．8
3
π 【答案】A 【解析】
考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．
【变式演练2】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，2h r π<，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A ．
1π
π
+ B ．
12π
π
+ C ．
122ππ+ D ．142ππ
+ 【答案】A
【解析】
试题分析：由题意可知22r h r h ππ=∴=，侧面积为2rh π，底面积为22r π，所以圆柱的表
面积与侧面积的比是22212r rh rh πππ
ππ
++=.
考点：圆柱表面积侧面积.
方法二 割补法
使用情景：几何体是不规则的几何体或者直接求比较困难 解题模板：第一步 先分割或补形；
第二步 再求分割的各部分的面积和体积或求补形后的几何体的体积； 第三步 最后求出所求的几何体的体积.
例2 如图1，已知三棱锥P ABC -中，10PA BC PB AC ====，
PC AB ==P ABC -的体积.
【答案】详见解析.
【点评】（1）补形法是立体几何中最为常用的辅助工具，它能将一般几何体的有关问题通过补形成特殊的几何体再求解。如本题将三棱锥补成特殊的长方体便可轻松求解。当然补形前
后的两种图形的内在联系应该非常熟悉是求解关键。（2）若按常规方法利用体积公式求解，底面积可以设法求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。若能换个角度来思考，注意到三棱锥有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。 【变式演练3】四边形ABCD 中，A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.
【答案】详见解析.
考点：空间立体几何的体积、表面积；割补法；
【变式演练4】如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60,DAB PAB ∠=∆是边长为的正三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ,已知点M 是PD 的中点. （1） 证明:PB 平面AMC ; （2） 求三棱锥P AMC -的体积.
【答案】(1)见解析；（2）2
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a . 【解析】
试题分析：(1) 连结BD 交AC 于O ，连结OM ,由三角形中位线性质可得OM
PB ，由线
面平行的判定定理可得PB 平面ACM .(2) 取AB 中点N ,连接PN ,则PN AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可知PN ⊥平面ABCD ,利用求之即可.
考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.多面体体积.
【名师点睛】本题考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、多面体体积，属中档题；线面平行是空间位置关系中一种重要的关系，也是高考常考知识点之一，高考对线面平行的考查常有以下两个命题角度：1.以多面体为载体，证明线面平行；2.以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题.
方法三 等体积法
使用情景：一般三棱锥
解题模板：第一步 先变换三棱锥的顶点； 第二步 运用等体积法求出几何体的体积.
