数学不等式高考真题

高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。

专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x ，y 满足约束条件+O2,+2N4,O0,则=2−的最大值是（）A ．−2B ．4C ．8D ．122．【2021年乙卷文科】若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．43．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x xy -=+D ．4ln ln y x x=+4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称5．【2019年新课标2卷理科】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │6．【2022年新高考2卷】若x ，y 满足2+2−B =1，则（）A ．+≤1B ．+≥−2C ．2+2≤2D ．2+2≥17．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤8．【2020年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.9．【2020年新课标2卷文科】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．10．【2020年新课标3卷理科】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．12．【2019年新课标2卷文科】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.13．【2018年新课标1卷理科】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．【2018年新课标2卷理科】若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为__________．15．【2018年新课标3卷文科】若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．。

专题03等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（3）判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．83．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩，的最小值是（）A ．2B．CD ．4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．105．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．3+C．D ．3+6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在⎛⎝上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值-其中真命题的序号是____________．三、解答题13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若1+=-a b 4+≥ab ；(2)当a b ¹时，证明：>15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详解】当0c =时，22ac bc =，则A 错误；当0b <时，1ab<，则B 错误；当0a b >>时，22a b <，则C 错误；当0a b >>时，33a b >，当0a b >≥时，33330a b a b >≥⇒>，当0b a <≤时，()()3333330a b a b a b a b ≤-<-⇒-<-⇒--⇒，则D 正确.故选：D.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【答案】B 【解析】【分析】由题可得()210,0a b a b +=>>，然后利用基本不等式即得.【详解】圆()()22124x y +++=的圆心为()1,2--，依题意，点()1,2--在直线10ax by ++=上，因此210a b --+=，即()210,0a b a b +=>>，∴()1212222225529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时取“=”，所以12a b+的最小值为9.故选：B.3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩()()2211x y -+-的最小值是（）A ．2B ．22C 10D ．32【答案】B 【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条件，画出可行域（如图），()()2211x y -+-可看成可行域内的点(),x y 与定点()11，的距离，由图可知：当过点()11，的直线与20x y ++=垂直时，距离最小，此时最小距离为：=222故选：B4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．10【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求4x y +的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，111x y+=，所以11444(4)(5529y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=，当且仅当33,2x y ==时等号成立，所以4x y +的最小值为9.故选：B5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．322+C ．32D ．323+【答案】B 【解析】【分析】化简1212()()3m m nm n mn n m n m+=++=++，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得12212()33+22m m m n m n m nm n mn mn mn n m n m++++===++=++≥（当且仅当21,22m n -=.故选：B6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】讨论0a =和0a <两种情况，即可求解.【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-【答案】D 【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到()f x 在(],0-∞上单调递增，()()550f f =-=.把原不等式转化为()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩即可解得.【详解】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，且()()55f f =--，又()()55f f =-，所以()()550f f =-=.由()301f x x -≥+，得()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩所以535,10,x x -≤-≤⎧⎨+>⎩或3535,10,x x x -≤--≥⎧⎨+<⎩或解得18-<≤x 或2x -≤.故x 的取值范围是(](],21,8-∞-⋃-.故选：D.8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为()220x -≥，故不等式2(1)(2)0x x +->的解集为{1x x -且2}x ≠，故不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是{1x x -且2}x ≠的真子集，显然，满足题意的只有{}3x x .故选：D.二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③．【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，42222222x y x y x y +=+≥⋅=即422x y +≥2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得242x =，则132********xy +-=+-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=，∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.【答案】()(),24,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意可得()2min 23252x x m m -++<-，根据+≥-a b a b 可得()min23258x x -++=，代入求解．【详解】根据题意可得()2min 23252x x m m-++<-∵()()232523258x x x x -++≥--+=∴228m m ->，即2280m m -->，则4m >或2m <-故答案为：()(),24,-∞-+∞ ．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.【答案】1221【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为20x y ≥>，0z >，所以43223x y z x x y y z +++++223223x y y z x x y y z +++=+++231223y z xx y y z +=++++23231112223223y z x y z xx y z x y z++≥++=+⋅=+++当"232,223,2223y z xx y x y z x y x y z +==⇒=+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为12故答案为：1212．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在b a ⎛⎤⎝⎦上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值2ab -．其中真命题的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①②，判断()f x 的奇偶性即可；对③④，根据对勾函数的性质判断即可；【详解】由题，因为()()bf x ax f x x-=-+=-，且0ab ≠，故()f x 为奇函数，①错②对；当0,0a b ><时，由对勾函数的性质，()b f x ax x =-在ba⎛ ⎝上为减函数，故③正确；又当0x <时，若0,0a b ><，则()f x 在b x a=2b b a ab a b a⎛=- ⎝-，故④正确；故答案为：②③④13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,3(2)[]1,2【解析】【分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p ，q 为真时实数x 的取值范围，再求交集即可；（2）先求得[],3A a a =，再根据p 是q 的必要不充分条件可得A B ⊇，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可(1)当1a =时，2430x x -+≤，解得13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围为13x ≤≤．由302x x -<-，解得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围为23x <<．若p q ∧为真，则1323x x ≤≤⎧⎨<<⎩，解得实数x 的取值范围为()2,3．(2)若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒且p q ¿．设(){}A x p x =，(){}B x q x =，则A B ⊇，又()2,3B =．由22430x ax a -+≤，得()()30x a x a --≤，因为0a >，则[],3A a a =，有233a a ≤⎧⎨≤⎩，解得12a ≤≤因此a 的取值范围为[]1,2．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若12+=-a b ab ，证明：4≥b a a b ab ；(2)当a b ¹时，证明：+>a a b b b a a b 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据12+=-a b ab 1a b =，再结合b a a bab化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由12+=-a b ab ，得21a b+=1a b (11ab b a b a a b ab ab a b+==()2224b a b a a b a b a b ab==≥+⋅=，当且仅当14a b ==时“=”成立．所以4+≥b a b ab ．(2)要证+>+a a b b b a a b )()0--->a a b b a b ，即证)0->a b a b ，即证2)0a b a b >，因为20>+>a b a b ，所以上式成立，所以>a a b b b a a b 15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．【答案】(1)1a =-，2b =(2)221【解析】【分析】（1）分析可知1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得()21g x x x=+-，利用基本不等式可求得()g x 在()0,∞+上的最小值.(1)解：因为关于x 的不等式220x ax +->的解集为{1x x <-或}x b >，所以，1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，所以，12012a b --=⎧⎨-⋅=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩.(2)解：由题意知()()24221f x x x g x x xx x+-+===+-，因为0x >，由基本不等式可得()22121221g x x x x x=+-≥⋅=-，当且仅当2x x=时，即2x =故函数()g x 的最小值为221.16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【解析】【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.(1)当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-；当100x ≥时，45004500100120540020002034009090L x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪--⎝⎭.所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+.当90x =时，L 取得最大值，且最大值为950.当100x ≥时，(45002252034002090160020225160010009090L x x x x ⎛⎫=--+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭当且仅当105x =时，等号成立.因为1000950>，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

基本不等式及其应用1.(2019山东济南历下区校级月考)设a ,b ∈(0,+∞),则下列各式中不一定成立的是( ) A.a+b ≥2√abB.b a +a b≥2 C.22√ab≥2√abD.2aba+b ≥√ab2.若a ,b 都是正数,则1+b a 1+4a b的最小值为( ) A.7B.8C.9D.103.(2019四川成都模拟)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a+1b的最大值为( ) A.-1B.-32C.-4D.-24.(2019浙江丽水一模)已知正数a ,b 满足ab 2(a+b )=4,则2a+b 的最小值为( ) A.12B.8C.2√2D.√35.设正数x ,y 满足x>y ,x+2y=3,则1x -y +9x+5y 的最小值为( ) A.83B.3C.32D.2√336.若lg a+lg b=0且a ≠b ,则2a+1b的取值范围为( ) A.[2√2,+∞)B.(2√2,+∞)C.[2√2,3)∪(3,+∞)D.(2√2,3)∪(3,+∞) 7.已知a>b>0,则2a+3a+b +2a -b的最小值为( )A.2√2+2√3B.√2+√3C.2√2+√3D.√2+√328.(2019辽宁大连测试)已知E 为△ABC 的重心,AD 为BC 边上的中线,令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,过点E 的直线分别交AB ,AC 于P ,Q 两点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n b ,则1m +1n =( ) A.3B.4C.5D.139.已知x>0,y>0,xy=x+2y ,若xy ≥m-2恒成立,则实数m 的最大值是 . 10.已知x ,y ∈R 且满足x 2+2xy+4y 2=6,则z=x 2+4y 2的取值范围为 .11.(2019江苏无锡二模)经过长期观测,某一公路段在交通繁忙的时段内,汽车的车流量(千辆/时)与vv 2-5v+900成正比,其中v (千米/时)是汽车的平均速度.则该公路段在交通繁忙的时段内,汽车的平均速度v 为 时,车流量最大. 12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)1a +1b +1ab ≥8; (2)1+1a 1+1b≥9.13.(2019吉林长春模拟)设a ,b ,c ,d 均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a (b+c+d )+b (c+d )+cd ,则a 2+b 2+m 的最小值为( ) A.8 B.4+2√3 C.5+2√3D.4√314.(2019山东济南历下区模拟)设x ,y ∈(0,+∞),(x+y )1x +1y≥a 恒成立,则实数a 的最大值为( )A.2B.4C.8D.1615.(2019山东烟台质检)已知x>0,y>0,则代数式M=(3x+2y )·1x+6y中的x 和y 满足 时,M取得最小值,其最小值为 .16.(2019湖南郴州质检)已知△ABC 满足BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2√3=0,∠BAC=30°,点P 在△ABC 内且△PCA ,△PAB ,△PBC 的面积分别为12,x ,y. (1)求x+y 的值; (2)求1x +9y 的最小值.。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式目录题型一：不等式的性质及其应用.......................................1题型二：解不等式...................................................4题型三：基本不等式.................................................5题型四：简单的线性规划问题.........................................7题型五：不等式的综合问题 (34)题型一：不等式的性质及其应用一、选择题1．(2019·天津·理·第6题)已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为()A ．a c b <<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<【答案】A解析：5511log 2log ,0,22a a ⎛⎫=<=∴∈ ⎪⎝⎭，110.5222log 2log 50.log 5log 42b --===>=，即2b >，11520.211220.5,,12222c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>=∴∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<．2．(2019·全国Ⅰ·理·第3题)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则()A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b c a<<【答案】答案：B解析：22log 0.2log 10a =<=，0.20221b =>=，0.300.20.21,(0,1)c c =<=∴∈，故a c b <<．3．(2014高考数学四川理科·第4题)若0,0a b c d >><<，则一定有()A．a b c d >B．a b c d <C．a b d c >D．a b d c<【答案】D解析：由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第12题)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则()A ．0a b ab +<<B．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D．0ab a b<<+【答案】B解析：一方面()0.2log 0.30,1a =∈，()2log 0.32,1b =∈--，所以0ab <0.31log 0.2a =，0.31log 2b =，所以()()0.30.311log 0.22log 0.40,1a b+=⨯=∈所以1101a b <+<即01a b ab +<<，而0ab <，所以0a b +<，所以1a ba b ab ab+<⇒+>综上可知0ab a b <+<，故选B ．5．(2014高考数学湖南理科·第8题)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A．2q p +B．()()2111-++q p C．pqD．()()111-++q p 【答案】D解析：设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-,故选D．6．(2017年高考数学山东理科·第7题)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是()A．()21log 2a ba ab b +<<+B．()21log 2a b a b a b<+<+C．()21log 2a b a a b b +<+<D．()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+,所以选B．二、填空题1．(2017年高考数学北京理科·第13题)能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_________________________．【答案】1,2,3---(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-出现矛盾,所以验证是假命题．三、多选题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD一、选择题1．(2015高考数学北京理科·第7题)如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是()()A．{}|10x x -<≤B．{}|11x x -≤≤C．{}|11x x -<≤D．{}|12x x -<≤【答案】C解析：如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集，故选C．二、填空题1．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式422<-xx的解集为_______．【答案】(1,2).-解析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-2．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式11x x->的解集为________．【答案】(),0-∞【解析】111100x x x->⇒<⇒<,解集为(,0)-∞．一、填空题1．(2021高考天津·第13题)若0 , 0a b >>，则21a b a b ++的最小值为____________．【答案】解析： 0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=，当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为故答案为：．2．(2020天津高考·第14题)已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0a b a b >>∴+> ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=，或22a b ==时，等号成立．故答案为：43．(2020江苏高考·第12题)已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】22451x y y += ,0y ∴≠且42215y x y -=42222221144+5555y y x y y y y -∴+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号．22x y ∴+的最小值为45．故答案为：45．4．(2019·天津·理·第13题)设0,0,25x y x y >>+=，则的最小值为．【答案】解析：524x y =+≥，=====即31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立，因为2538<<5．(2019·上海·第7题)若x y R+∈、，且123yx+=，则yx的最大值为________.【答案】98【解析】法一：yxyx212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤xy；法二：由yx231-=，yyyyxy32)23(2+-=⋅-=(230<<y)，求二次最值89max=⎪⎭⎫⎝⎛xy. 6．(2019·江苏·第10题)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线()4y x xx=+>0上一动点，则点P到直线x y+=的距离最小值是______.【答案】4【解析】法1：由已知，可设4(,0P x x xx+>，，所以42+4xxd===.当且仅当42xx=，即x=时取等号，故点P到直线的距离的最小值为4.法2：距离最小时，24'11yx-=-=，则x=，所以P,所以最小值为4.7．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在ABC△中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，120ABC∠=︒，ABC∠的平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为．【答案】9解析：由题意可知，ABC ABD BCDS S S∆∆∆=+，由角平分线性质和三角形面积公式得，111sin1201sin60+1sin60222ac a c=⨯⨯⨯⨯，化简得+ac a c=，111a c+=，因此1144(4)()5c aa c a ca c a c+=++=++≥，当且仅当=2=3c a时取等号，所以4a c+的最小值为9．8．(2018年高考数学天津(理)·第13题)已知,a b∈R，且360a b-+=，则128ab+的最小值为．【答案】14解析：由360a b -+=，得36a b =-，所以3633112222284ab b b ---+=+=⨯=≥，当且仅当363b b -=-，即1,3b a =-=-时等号成立，故128ab +的最小值为14．9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨．【答案】20解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元，40044x x⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。

1.(2018•卷Ⅱ）设函数(1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围2。

（2013•辽宁)已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1(1）当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣｜x﹣4｜的解集；(2)已知关于x的不等式｜f(2x+a)﹣2f(x）|≤2的解集｛x｜1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ)［选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=｜x+1|﹣|x﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围．4.（2017•新课标Ⅱ)［选修4-5：不等式选讲]已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ)（a+b）（a5+b5)≥4；(Ⅱ）a+b≤2．5。

（2017•新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=﹣x2+ax+4,g（x）=|x+1｜+|x﹣1｜．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x)的解集;(2）若不等式f(x）≥g（x）的解集包含［﹣1，1］,求a的取值范围．6.(2017•新课标Ⅱ)［选修4—5：不等式选讲］已知a＞0，b＞0，a3+b3=2,证明：（Ⅰ）(a+b）(a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．7。

（2018•卷Ⅰ）已知（1）当时，求不等式的解集(2)若时，不等式成立，求的取值范围8.（2018•卷Ⅰ）已知f（x)=|x+1|—|ax-1｜(1)当a=1时,求不等式f(x)〉1的解集（2）若x∈（0，1）时不等式f(x）〉x成立,求a的取值范围9。

（2017•新课标Ⅲ)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2｜．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10。

（2014•新课标II）设函数f（x)=｜x+ |+｜x﹣a|(a＞0)．（1）证明：f（x）≥2;（2）若f(3）＜5，求a的取值范围．11。

专题03 不等式一、单选题1．（2022·江苏宿迁·高三期末）不等式10x x->成立的一个充分条件是（ ） A ．1x <- B ．1x >- C ．10x -<< D ．01x <<【答案】C 【分析】 首先解不等式10x x->得到1x >或10x -<<，再根据充分条件定理求解即可. 【详解】()()211001101x x x x x x x x-->⇒>⇒+->⇒>或10x -<<， 因为{}{|01x x x x ≠<<⊂或}10x -<<， 所以不等式10x x->成立的一个充分条件是01x <<. 故选：C2．（2022·江苏如皋·高三期末）已知a b ＝3－ln4，c ＝32，则下列选项正确的是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】C 【分析】由e 2.718,ln 20.69≈≈及不等式性质，进行计算即可得出结果. 【详解】 229e, 2.254a c ===，∴22a c >,即a c >， 2222(3ln 4) 1.62 2.6244b a =-==<，∴a b >，331e 1193ln 4 1.52ln 2ln ln 02216216b =--=-=>>，∴b c >，∴a b c >>，故选：C3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知11a b >+> 则下列不等式一定成立的是（ ） A ．b ab B ．11a b a b+>+ C ．1e 1ln bb a a+<- D ．ln ln a b b a +<+【答案】C 【分析】错误的三个选项ABD 可以借助特殊值法进行排除，C 可以利用求导得出证明. 【详解】取10,8a b ==，则b a b ，故A 选项错误；取3a =，13b =，11a b a b+=+，则B 选项错误； 取3a =，1b =，则ln 3a b ，2ln 1ln31ln 3b a e ，即ln ln a b b a +>+，故D 选项错误；关于C 选项，先证明一个不等式：e 1x x ≥+，令e 1x y x =--，e 1xy '=-， 于是0x >时0y '>，y 递增；0x <时0y '<，y 递减； 所以0x =时，y 有极小值，也是最小值0e 010--=， 于是e 10x y x =--≥，当且仅当0x =取得等号，由e 1x x ≥+，当1x >-时，同时取对数可得，ln(1)x x ≥+， 再用1x -替换x ，得到1ln x x -≥，当且仅当1x =取得等号， 由于11a b >+>，得到e 1bb ，ln 1a a <-，111ln e b a b a ，即1e 1ln bb a a+<-， C 选项正确. 故选：C.4．（2022·湖南郴州·高三期末）已知函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，则2m n +的最小值是（ ） A．6 B ．C ．8 D ．【答案】D 【分析】有()()f x f x =-可得m 、n 的关系，再用均值不等式即可. 【详解】因为函数()()0,0,1,1x xf x m n m n m n =+>>≠≠是偶函数，所以()()f x f x =-，xxxxm n m n --+=+，x xxxx xm n m n m n ++=因为0,0,1,1m n m n >>≠≠，所以1x x m n =，即1mn =，2m n +≥m n =. 故选:D.5．（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a ，b 满足28log 3log 6a =+，6810a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2a b >> D ．2b a >>【答案】C 【分析】根据对数和指数的单调性可判断2a >，2b >；在构造函数()6810x x xf x =+-，2x >，再根据换元法和不等式放缩，可证明当2x >时，()68100x x xf x =+-<，由此即可判断,a b 的大小.【详解】因为()28221log 3log 6log 3log 233a =+=+⨯2241414317log 3log 233333233=+>=⨯+=>，所以2a >； 由6810a a b +=且2a >，所以683664100a a +>+=，所以2b >，令()6810x x xf x =+-，2x >，令20t x =-> ，则2x t =+，则()6810x x x f x =+-，2x >等价于()36664810010t t tg t =⨯+⨯-⨯，0t >；又()366648100101008100100t t t t tg t =⨯+⨯-⨯<⨯-⨯<，所以当2x >时，()68100x x xf x =+-<，故681010a a b a +=<，所以2a b >>． 故选：C ．6．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x ，y 满足115x y x y+++=，则x y +的最小值与最大值的和为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】利用基本不等式进行变形得4x y xy x y+≥+，然后将115x y x y +++=进行代换得45x y x y++≤+，继而解不等式可得答案. 【详解】 因为0,0x y >>,所以x y +≥，即2()2x y xy +≤ ， 所以214()xy x y ≥+，即4x y xy x y+≥+， 又因为115x yx y x y x y xy++++=++=， 所以45x y x y++≤+，即2()5()40x y x y +-++≤ ， 解得14x y ≤+≤ ，故x y +的最小值与最大值的和为5， 故选：B7．（2022·山东青岛·高三期末）已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．a <c <b D ．c <a <b【答案】D 【分析】先通过简单的放缩比较c 和a 的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较b 和a 的大小，由此可得答案. 【详解】 293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a ∴<3132π2a π==⨯， 设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯= ()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点 ∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x x π> 10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a > ∴c a b <<故选：D.8．（2022·山东枣庄·高三期末）已知1x >，则11x x +-的最小值是（ ）． A ．6 B ．5 C ．4D ．3【答案】D 【分析】 由于1x >，把11x x +-转化为11++11x x --，再利用基本不等式求出最小值即可得到答案. 【详解】1x >，故110,01x x ->>-，111121=31x x ∴-++≥=+-，当且仅当1121x x x -=⇒=-时，等号成立，故11x x +-的最小值是3. 故选：D.9．（2022·河北张家口·高三期末）已知102,105x y ==，则（ ） A ．1x y +< B ．14xy >C ．2212x y +> D ．25y x ->【答案】C 【分析】结合指数运算、基本不等式、对数运算、比较大小等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】因为10101010x y x y +⋅==，所以1x y +=，所以A 错误；又102,105x y ==，所以0,0x y >>，又,1x y x y ≠+=>，所以14xy <，所以B 错误； 因为222()12x y x y xy +==++，所以2212x y xy +=-，又14xy <，所以2212x y +>，故C 正确； 因为lg5,lg2y x ==，所以2552lg ,lg1025y x -==，故只要比较52和2510的大小即可，又55255312510010232⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52lg 25y x -=<，故D 错误.故选: C二、多选题10．（2022·江苏无锡·高三期末）已知e e 1b a <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b aa b+>C ．2ab b >D ．2lg lg()a ab <【答案】ABD 【分析】先根据函数单调性，得到0b a <<，AC 选项用作差法比较大小；B 选项用基本不等式求取值范围；D 选项，先用作差法，再结合函数单调性比大小. 【详解】e e 1b a <<，则0b a <<，因为22()()0a b a b a b -=-+<，所以22a b <，A 选项正确；因为0b a <<，所以0,0b a a b >>，由基本不等式得：2a b b a +>=，B 选项正确； 2()0ab b b a b -=-<，2ab b ∴<，C 选项错误；2()0a ab a a b -=-<，2a ab ∴<，2lg lg a ab ∴<，D 选项正确，故选：ABD11．（2022·广东·铁一中学高三期末）若0,0a b >>．且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1104ab <≤ B 2< C ．111a b+≥D ．22118a b ≤+ 【答案】CD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立， 则2442ab ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭或222422a b+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则222211112,8,48a b ab a b ≥≤+≥≤+， 即AB 错误，D 正确.对于C 选项，1141414a b a ab ab b ++==≥⨯=，C 选项正确. 故选：CD12．（2022·广东汕尾·高三期末）已知a ，b 都是不等于1的正实数，且a >b ，0<c <1，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a b c c > B ．c c a b >C ．log log c c a b >D ．11()()4a b ab++>【答案】BD 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合题意，可判断A 、B 、C 的正误，根据基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】函数x y c =，因为01c <<，所以x y c =是减函数， 因为a >b ，所以a b c c <，故A 错．函数c y x =，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞是增函数， 因为a >b ，所以c c a b >，故B 正确．函数log c y x =，因为01c <<，所以log c y x =在(0,)+∞是减函数， 因为a >b ，所以log log c c a b <，故C 错．11()1124a b a b a b b a ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，又a b >，所以11()4a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD13．（2022·湖南常德·高三期末）若0a >，0b >，111a b+=，则（ ）A ．4ab ≤B ．4a b +≥C ．228a b +≤D ．22log log 2a b +≥【答案】BD 【分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项分析即得. 【详解】∵0a >，0b >，111a b +=≥∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，故A 错误；由()1124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即2a b ==时取等号，故B 正确；因为228a b ≥=+，当且仅当2a b ==时取等号，故C 错误； 因为()2222log log log log 42a b ab +=≥=，当且仅当2a b ==时取等号，故D 正确. 故选：BD.14．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知()lg f x x =，当a b <时，()()f a f b =，则（ ） A ．01a <<，1b >B ．10ab =C ．2114b a -<D ．224a b +>【答案】ACD 【分析】利用()()f a f b =，可得lg lg a b -=，从而得到1ab =，再对每一个选项进行分析即可. 【详解】因为()()f a f b =，且a b <，可得lg lg lg lg 0a b a b -=⇒+=，从而得到1ab =， 因为0a b <<，所以01a b <<<，所以2221111()244b b b b a -=-+=--+<，而12a b b b +=+>，（1b >，等号不成立）所以422a b >==+. 从而可知选项ACD 正确. 故选：ACD15．（2022·山东泰安·高三期末）若,,0a b R a b ∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．11a b a>- B ．11a b > C ．2a bb a+>D ．a b >【答案】BCD【分析】以求差法判断选项AB ；以均值定理判断选项C ；以绝对值的几何意义判断选项D. 【详解】 选项A ：()()11()a a b b a b a a b a a b a ---==---，由0a b <<，可知0a <，0b <，0a b -<，则()0ba b a <-，即11a b a<-.选项A 判断错误；选项B ：11b a a b ab --=，由0a b <<，可知0a <，0b <，0b a ->，则0b aab ->，即11a b>.选项B 判断正确；选项C ：当0a b <<时，2a b b a +>=.选项C 判断正确；选项D ：当0a b <<时，a b >.选项D 判断正确. 故选：BCD16．（2022·山东德州·高三期末）已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是（ ） A．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C D ．lg lg a b +的最小值为3lg 2【答案】ACD 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式判断AD C ，由对数的运算结合基本不等式判断B. 【详解】由2a b ab +=可得，211b a +=，212()3322a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭（当且仅当2b =等号），故A 正确；214(2)44248a b ab a b b a b a ⎛⎫=++=+++= ⎪⎝⎭（当且仅当24b a ==时，取等号），即lg lg lg lg83lg 2a b ab +=≥=，故D 正确；222a b ab +≥（当且仅当3b a ==时，取等号），8ab （当且仅当24b a ==时，取等号），即2216a b +>，故B 错误；2212112b a b =+++=≤1212a b ==时，取等号），故C 正确； 故选：ACD17．（2022·山东烟台·高三期末）已知0a >，0b >，则下列命题成立的有（ ） A ．若1ab =，则222a b +≥ B ．若1ab =，则112a b +≥C ．若1a b +=，则2212a b +≤ D ．若1a b +=，则114a b+≥【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐项判断. 【详解】A.若1ab =，则2222a b ab +≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；B.若1ab =，则112a b +≥当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确；C.若1a b +=，则()2221122=+≥+a b a b ，当且仅当1a b ==时，等号成立，故错误； D.若1a b +=，则2111421a b ab a b ab a b +==≥++⎛⎫⎪⎝⎭=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故正确； 故选：ABD18．（2022·山东济南·高三期末）已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()11a c abc a <--B ．b bc a a c+<+ C ．2ab c ac bc +>+ D ．()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为4【答案】BC 【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于BC ，作差判断即可，对于D ，利用基本不等式判断 【详解】对于A ，因为0a b c >>>，所以11a b <，10c a<-，所以()()11a c a b c a >--，所以A 错误， 对于B ，因为0a b c >>>，所以()0,()0c a b a a c ->+>， 所以()()()0()()()b c b a b c b a c ab ac ab bc c a b a c a a a c a a c a a c ++-++----===>++++，所以b b ca a c+<+，所以B 正确， 对于C ，因为0a b c >>>，所以0,0a c b c ->->，所以2()()()()()0ab c ac bc a b c c b c a c b c +-+=---=-->，所以2ab c ac bc +>+，所以C 正确，对于D ，因为0,0a b >>，所以()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，因为a b >，所以取不到等号，所以()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值不为4，所以D 错误，故选：BC三、填空题19．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则23x y xy++的最小值为__________．【答案】9+ 【分析】利用基本不等式来求得最小值. 【详解】 由题意可知，23x y xy ++＝233x y x y xy +++＝45x y xy +＝4y ＋5x ＝（4y ＋5x）（x ＋y ）＝4＋5＋4x y ＋5y x ≥9＋9+，当且仅当4x y ＝5yx，2x =时取等号， 此时54x y =-=，故23x y xy++的最小值为9+故答案为：9+20．（2022·广东罗湖·高三期末）已知存在实数(),0,1x y ∈，使得不等式21121y yt x x-+<+-成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(3,)+∞ 【分析】根据基本不等式求得111x x+-的最小值为4，将问题转化为只需存在实数(0,1)y ∈，使得224y y t -+>成立即可，即242y yt ->-，再根据二次函数和指数函数的性质可求得答案.【详解】解：∵11111(1)()224111x x x x x x x x x x -+=+-+=++≥+=---，当且仅当11x x x x -=-，即()01x =，时取等号， ∴111x x+-的最小值为4， ∴只需存在实数(0,1)y ∈，使得224yyt -+>成立即可，即242yyt ->-，又当01y <<时，20y y -<，所以20221y y -<=，∴2423y y -->，∴3t >，∴实数t 的取值范围为(3,)+∞， 故答案为：(3,)+∞.21．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6 【分析】利用已知化简可得24224222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式计算即可. 【详解】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号． 故答案为：6.22．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设0x >，0y >，且2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1x y +取最小值时，221x y +=______. 【答案】12 【分析】当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最小值，变形可得21416=x y x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由基本不等式和等号成立的条件可得答案． 【详解】解析：∵0x >，0y >，∴当1x y +取最小值时，21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值，∵222112x x x y y y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又2116yx y x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴221216x y x y y x +=+，∴21416x y x y y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭16≥=， ∴14x y+≥，当且仅当416x y y x=，即2x y =时取等号， ∴当1x y +取最小值时，2x y =，221216x x y y++=， ∴2212216y x y y ⋅++=，∴22116412x y +=-=. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题． 23．（2022·山东日照·高三期末）已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为_______.【答案】7 【分析】 由54x >，得450x ->，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 【详解】 法一：54x >，450x ∴->， 114(45)52574545y x x x x =+=-++≥+=--， 当且仅当14545x x -=-，即32x =时等号成立，故答案为：7. 法二：54x >，令2440(45)y x '=-=-得1x =或32x =， 当5342x <<时'0y <函数单调递减， 当32x >时'0y >函数单调递增， 所以当32x =时函数取得最小值为：314732452⨯+=⨯-， 故答案为：7. 【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.24．（2022·河北深州市中学高三期末）已知正实数a ，b 满足321a b +=，则6a +1b 的最小值为______． 【答案】32 【分析】利用“1"的代换，将6a +1b 转化为6a +1b =(6a +1b )(3a +2b)，然后化简整理，利用均值不等式即可求出结果. 【详解】由0a >，0b >且321a b +=，得 6a+1b =(6a +1b )(3a +2b)=18+12b a+3a b+2≥20+2√12b a⋅3a b=32，当且仅当12b a =3a b ，即2a b =时，取等号，此时{a =14b =18，则6a +1b 的最小值为32．故答案为：32.25．（2022·河北保定·高三期末）22244x x x+++的最小值为___________.【答案】9 【分析】由222224445x x x x x+++=++结合基本不等式得出答案.【详解】因为22222444559x x x x x +++=++≥=，当且仅当224x x =，即22x =时，等号成立，所以22244x x x+++的最小值为9. 故答案为：9。

高考数学不等式练习题及答案解析：一、选择题1.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ，且当 x 2 时， f (x) 单调递增，如果 x1 x2 4 且 (x1 2)(x2 2) 0 ，则 f (x1) f (x2 ) 的值 （）A、恒大于 0 B、恒小于 0 C、可能为 0 D、可正可负2.已知函数 f (x) x x3 , x1 、 x2 、 x3 R ,且 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，则 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) 的值（）A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有 3.设 M x, y y x2 2bx 1 ， P x, y y 2ax b， S a,bM P ，则 S 的面积是 （ ）A. 1B. C. 4D. 44.设f (x) 是 (x2 1 )6 2x 展开式的中间项，若 f (x) mx 在区间 2, 2数 m 的取值范围是（） 2 上恒成立，则实A． 0, B． 5 4, C． 5 4,5D． 5, 5.若不等式x2logmx0在 0,1 2 内恒成立,则实数m的取值范围是1 m1 A. 160m 1B.160m 1C.4m 1 D. 16()6.已知实数 x，y 满足 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的最大值是( )9 A、 2B、4C、5D、27.若 0 < a，b，c < 1，并且 a + b + c = 2，则 a 2 + b 2 + c 2 的取值范围是（ ）4 （A）[ 3 ，+ ∞ )4 （B）[ 3 ，2 ]4 （C）[ 3 ，2 )4 （D）( 3 ，2 )8.不等式 1 log2 x > 1 – log 2 x 的解是（（A）x ≥ 2（B）x > 1） （C）1 < x < 8（D）x > 2sin cossin 29.设 a = f (2)，b = f ( sin cos )，c = f ( sin cos )，其中 f ( x ) = log sin θ x， θ∈( 0， 2 )，那么（ （A）a ≤ c ≤ b） （B）b ≤ c ≤ a（C）c ≤ b ≤ a（D）a ≤ b ≤ c11110.S = 1 + 2 + 3 + … + 1000000 ，则 S 的整数部分是（ ）（A）1997（B）1998（C）1999（D）200011n 11.设 a > b > c，n∈N，且 a b + b c ≥ a c 恒成立，则 n 的最大值为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）51 12.使不等式 2 x – a > arccos x 的解是– 2 < x ≤ 1 的实数 a 的值是（ ） （A）1 – 22 2 （B） 2 – 32 5 （C） 2 – 61 （D） 2 – π13.若不等式 a b m4 a2 b2 对所有正实数 a，b 都成立，则 m 的最小值是（ ）33A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 45 xi R, xi 0(i 1,2,3,4,5)14.设 xii 11 ，则 ma xx1 x2 , x2 x3 , x3 x4, x4 x5的最小值等于（）1 A． 41 B． 31 C． 61 D． 415.已知 x, y, z 满足方程 x2 ( y 2)2 (z 2)2 2 ，则 x2 y2 z2 的最大值是A．4 2B．2 3C． 3 2D． 216. 若 直 线 y kx 1 与 圆 x2 y 2 kx my 4 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线kkxx y2 my 00x y 0 对称,动点 P a,b 在不等式组 y 0表示的平面区域内部及边界上运动，则w b2 a 1 的取值范围是（）A．[2,) B． (,2] C．[2,2] D． (,2] [2,)17.已知x0,y0，且2 x1 y1，若x2ym22m 恒成立，则实数 m的取值范围是( )A． m 4或 m 2 B． m 2或 m 4 C． 2 m 4 D． 4 m 218.关于 x 的不等式 cos x lg(9 x2) cos x lg(9 x2) 的解集为（）A． (3, 2 2) (2 2,3)(2 2, ) ( , 2 2)B．22C． (2 2, 2 2)D． (3,3)19. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，其中 、 分别表示不大于 、的最大整数，例如 （），， 则 与 的关系A．B.C.D.20. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，（其中 、 分别表示不大于 、的最大整数），则点一定在（）A．直线左上方的区域内B．直线上C．直线右下方的区域内D．直线左下方的区域内0 21.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则北S 可以用不等式组表示为（0 x 20 A. 0 y 20x2 y2 400 x0 y0C.）x2 y2 400 B. x y 20x y 20 x 20 y 20D.yP. (x, y)东Ox(m)0 22.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则 S 的面积（单位：平方米）等于（ ）A. 100B. 100 200C. 400 100D. 200北yP. (x, y)东Ox(m)23.定义：若存在常数 ，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 ， 均有成立，则称函数在定义域 D 上满足利普希茨条件．对于函数满足利普希茨条件、则常数 k 的最小值应是A．2 B．1 C． D．24.如果直线 y＝kx＋1 与圆交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线x＋y＝0 对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ）A．B．25. 给出下列四个命题：①若C．1 ；D．2②“a<2”是函数“无零点”的充分不必要条件；③若向量 p=e1+e2，其中 e1，e2 是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若 lgx>lgy，则 x>y”的逆命题.其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．③④D．①②③26.已知点（x, y）构成的平面区域如图（阴影部分）所示， 区域内取得最大值优解有无数多个，则 m 的值为A．B．C．D．（m 为常数），在平面27. 若 A．228.2C．4B．3 D．229. 如果正数满足A、，且等号成立时B、，且等号成立时C、，且等号成立时的最大值为C．4D．5，那么 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一（）D、，且等号成立时的取值不唯一30. 设 变 量 （）最小值为A.9B.431.设两个向量C.3 和D.2其中为实数.若则的取值范围是()A.B.C.D.32.某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料和原料 分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总 额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（A） 33.若（B） 且（C） ，则（D） 的最小值是（A）（B）3 （C）2 （D）34.若且则的最小值为（ ）（A）（B）35. 对任意实数 x,不等式（C）（D）恒成立，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题36.已知函数 y f x是定义在 R 上的偶函数，当 x ＜0 时， f x 是单调递增的，则不等式 f x 1 ＞ f 1 2x 的解集是_________________________. 37.已知集合 A x x2 ax x a ，集合 B x1 log2 x 1 2 ，若 A B ，则实数a 的取值范围是________________________.38.设 A {x 1 x 2}, B {x f (x) m 3}，若 f (x) x2 1, A B ，则 m 的取值范围是_____39.已知 x 0, y 0 ，且 x y xy ，则 u x 4 y 的取值范围是_____________. xy02x y 2 y040.若不等式组 x y a 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范围是． 41.不等式 loga x2 2x 3 1 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是_________________.42. 下 列 四 个 命 题 中 : ① a b 2ab②sin2x4 sin2x4③设x, y都是正整数,若1 x9 y1 ,则 x y的最小值为12④若x2,y2,则xy 2其中所有真命题的序号是___________________.a b 1 43.已知 x, y 是正数, a, b 是正常数,且 x y , x y 的最小值为______________.44.已知 a,b, a b 成等差数列, a,b, ab 成等比数列,且 0 logm ab 1,则 m 的取值范围是______.45.已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为 三、解答题 46.（本小题满分 12 分）已知数列{an }和{bn }中， a1 t(t 0), a2 t 2 .当x t时, 函数 f (x) 1 3(an1an )x3(anan1 )x(n2)取得极值。

高中数学不等式、推理与证明、复数（含高考真题及解析）1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i )+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0 ,即{a =1b =−2 故选:A6．【2022年新高考1卷】若i (1−z)=1，则z +z̅=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i )(1−2i )=（ ） A ．−2+4i B ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ). 【详解】(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ， 故选：D.8．【2022年北京】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B 【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y −z =0过A 时z 有最大值. 由{x =22x +y −7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)， 故z max =3×2+4×3=18， 故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x −b|+|x −4|−|2x −5|≥0，则（ ） A ．a ≤1,b ≥3 B ．a ≤1,b ≤3 C ．a ≥1,b ≥3 D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】 【分析】将问题转换为a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|恒成立．设f(x)=a|x −b|，g(x)=|2x −5|−|x −4|={1−x,x ≤523x −9,52<x <4x −1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3a≤3，故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y =±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ,√32y=sinθ，所以x=cosθ+√3y=√3，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ√3=1+√3−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23,2]，所以当x=√33,y=−√33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限. 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-， 所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限. 故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅. 【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-， 所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．15【答案】A 【解析】 【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-， 所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】 【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++.【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++， 33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（） ，则z =（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-， 故i z =-， 故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（ ）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n ++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】 【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可. 【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+= 从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．c ca b> B ．2ab b < C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】 【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2. 故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值 【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=- 又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥=当且仅当()221141a a =--即a = 故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．32【答案】B【解析】 【分析】将已知的式子12x y ==()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果 【详解】因为()21x y =，所以12x y ==设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 所以2x y +的最小值为2． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】 【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值 【详解】1212i,3i z z m =+=+，23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4##4+【解析】 【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】 【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】2222222122233abbc ab bca b ca b b c++=≤++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3()33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.故答案为：9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足11iz≤++≤则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z 满足11z i ≤++()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：。

专题二不等式2.1 不等式及其解法基础篇考点一不等式的概念与性质考向一利用不等式性质比较大小1.(多选)(2023届福建龙岩一中月考,9)若1a <1b<0,则下列结论中正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|D.a3>b3答案ABD2.(2022山东日照二模,4)若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是( )A.a+c<b+cB.1a <1bC.ac>bcD.b-a>c答案A3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ac >bdB.ac<bdC.ad >bcD.ad<bc答案D4.(多选)(2022广东汕头二模,9)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是( ) A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac答案BCD5.(多选)(2022河北承德模拟,9)若实数a,b满足a4<a3b,则下列选项中一定成立的有( ) A.a2<b2 B.a3<b3C.e a-b<1D.ln ab<0答案 AD考向二 作差(商)法比较大小问题1.(2023届安徽十校联考,5)已知实数a >b >c ,abc ≠0,则下列结论一定正确的是 ( )A.ab >ac B.ab >bc C.1a <1c D.ab +bc >ac +b 2 答案 D2.(2022重庆育才中学开学练,9)若M =x 2+y 2+1,N =2(x +y -1),则M 与N 的大小关系为( )A.M <NB.M >NC.M =ND.不能确定 答案 B3.(2021江苏滨海中学月考,6)下列命题为真命题的是 ( )A.若a <b <0,则1a<1bB.若a >b >0,则ac 2>bc 2C.若c >a >b >0,则ac−a <bc−b D.若a >b >c >0,则ab >a+c b+c 答案 D4.(多选)(2022福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是 ( )A.若1x >1y ,则x <y B.若xy >0,则x y+y x≥2 C.若x >y >0,c >0,则yx <y+cx+c D.若xy +1>x +y ,则x >1,y >1 答案 BC5.(2022全国甲理,12,5分)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14,则 ( )A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 答案 A考点二不等式的解法考向一解一元二次不等式1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为( ) ]A.(−2,65]B.[−2,65,+∞)C.(-∞,-2)∪[65,+∞)D.(-∞,-2]∪[65答案C2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则( ) A.a2-b2≤4≥4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4答案ABD3.(多选)(2021南京一中阶段练,10)对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(ax-1)·(x+1)<0的解集可能是( )} B.{x|x≠-1}A.{x|−1<x<1a<x<−1} D.RC.{x|1a答案AB4.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.)答案(−1,23考向二三个“二次”之间的关系应用1.(2021山东师范大学附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为( ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3}D.{x|0<x<3}答案C2.(2022山东新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|−1<x<12},则函数y=cx2-x-a的图象可以为( )A BC D答案C3.(多选)(2021广东东莞中学检测,10)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是( )A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}D.a+b+c>0答案AC4.(多选)(2021江苏盐城11月练习,10)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m>0,则以下选项正确的有( )A.a<0B.c>0C.cx2+bx+a>0的解集为{x|1n <x<1m}D.cx2+bx+a>0的解集为{x|x<1n 或x>1m}答案AC5.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,13)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为.答案{x|x<−1或x>13}6.(2023届山东潍坊五县联考,14)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值不大于2,则实数m的最大值与最小值的和为.答案47.(2022山东潍坊安丘等三县测试,17)已知函数f(x)=ax2+bx+2,关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集为A,关于x的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A⊆B,求实数m的取值范围.解析(1)由题意知,-2,1是关于x的方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以{−2+1=−ba,(−2)×1=2a,所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={x|x>−m3},因为A⊆B,所以-m3≤-1,解得m≥3.故m的取值范围为{m|m≥3}.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题考向一直接转化为函数求最值1.(2022湖北恩施高中、荆州中学等四校联考,6)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意的x ∈{x|1≤x≤3},f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )A.{m|m≤0}B.{m|0≤m<57}C.{m|m<0或0<m<57}D.{m|m<57}答案D2.(2022福建龙岩模拟,4)∀x∈(1,3],一元二次不等式x2-(m+2)x+m+2≥0恒成立,则m 的取值范围是( )A.(-2,2)B.(−∞,52]C.[-2,2]D.(-∞,2]答案D3.(2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二,5)当x∈(1,2)时,x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是( )A.m≤-4B.m<-4C.m<-5D.m≤-5答案D考向二分离出参数后求最值1.(2022湖南岳阳模考,3)若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则m的取值范围是( ) A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,4]D.(-∞,2]答案A2.(2021河北唐山模拟,6)若∀x∈{x|1≤x≤5},不等式x2+ax-2≤0恒成立,则a的取值范围是( )A.{a|a>−235} B.{a|−235≤a≤1}C.{a|a>1}D.{a|a≤−235}答案D3.(2022北京师大附中模拟,4)关于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,3]B.(-∞,3]C.(-∞,1]D.(-∞,1]∪[3,+∞)答案B4.(2022天津滨海新区塘沽一中阶段练,5)已知“∃x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-5] B.(-∞,-2]C.(-5,+∞)D.[-5,+∞)答案A5.(2022重庆南开中学模拟,13)当x∈[0,3]时,不等式x2+(a-4)x+4>0恒成立,则a的取值范围为.答案(0,+∞)。

A．(−∞，12)C．(12，+∞)D．(0，12)A．(2，114)C．(−∞，2)∪(114，+∞)D．(−∞，2]∪(114，+∞)（2017春•东湖区校级月考）不等式|x|•（1-2x）＞0的解集是（ ）题型：计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．答案：B思路：将不等式等价变形为1-2x＞0且x≠0然后求解集．解析：解：不等式变形为1-2x＞0且x≠0，解得x＜12且x≠0，所以不等式的解集为（-∞，0）∪（0，12）；故选：B．总结：本题考查了不等式的解法；关键是等价变形．（2021秋•单县校级期末）若不等式（a-2）x2+4（a-2）x+3＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）题型：分类讨论；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．答案：B思路：讨论二次项系数a-2，①a-2=0，②a-2≠0，列出满足要求的不等式，求解即可．解析：解：①当a-2=0，即a=2时，不等式为3＞0恒成立，∴a=2符合题意；②当a-2≠0，则V WX a−2>0Δ=16(a−2)2−12(a−2)<0，解得2＜a＜114，综上所述，实数a的取值范围是[2，114），故选：B．总结：本题考查了不等式恒成立问题的解法，关键是讨论二次项系数，属于中档题．（2022•浦东新区校级模拟）不等式x3x−2＞2的解集是（23，45）．A．x≥−53B．x≥−53或x≤-2C．x≤-53题型：计算题；转化思想；整体思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：（23，45）．思路：通过作差化简x3x−2-2=−5x+43 x−2＞0，从而转化为整式不等式（3x-2）（5x-4）＜0，从而解得．解析：解：∵x3x−2＞2，∴x3x−2-2=−5x+43 x−2＞0，即（3x-2）（5x-4）＜0，即23＜x＜45，故答案为：（23，45）．总结：本题考查了分式不等式的解法，考查了转化思想的应用，注意分式不等式应通过作差转化为整式不等式求解．是基础题．（2022•弋江区校级开学）不等式1x+2≤3的解为（ ）题型：对应思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：D思路：将不等式1x+2≤3等价变形为V WX(3x+5)(x+2)≥0x+2≠0，求解即可．解析：解：1x+2≤3⇔1x+2-3≤0⇔-3x+5x+2≤0⇔3x+5x+2≥0⇔V WX(3x+5)(x+2)≥0x+2≠0，解得：x＜-2或x≥−53．故选：D．总结：本题考查了分式不等式的解法，易错点在于直接去分母，属于基础题．（2023春•金东区校级期中）关于x的不等式ax＞3，当a＜0时的解集为{x|x<3a}．C ．若a+1a>2，则a ＞1题型：转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：{x |x <3a}．思路：由题意，利用不等式的性质可得不等式ax ＞3的解集．．解析：解：当a ＜0时，解不等式ax ＞3，解得x <3a ，即原不等式的解集为{x |x <3a}．故答案为：{x |x <3a }．总结：本题主要考查不等式的性质，属于基础题．（2023春•浙江期中）以下四个命题中，真命题的是（ ）题型：转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：ABD思路：由题意，利用不等式的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解析：解：不等式xx −1<0，即x （x-1）＜0，∴0＜x ＜1，故不等式的解集为（0，1），故A 正确；若a ＜b ＜0，则1a ＞1b，故B 正确；若a +1a >2，则a ＞1错误，例如当a=13时，也有若a +1a >2，故C 错误；若1＜a ＜2，-1＜b ＜0，则2＜2a ＜4，b 2-b=(b −12)2-14∈（0，2），故有2a ＞b 2-b,则2a+b ＞b 2，故D 正确．故选：ABD ．总结：本题主要考查不等式的性质，其它不等式的解法，属于基础题．A．（1，a）（2022秋•枣庄期末）已知a∈R，关于x的不等式a(x−1)x−a＞0的解集可能是（ ）题型：计算题；转化思想；分类法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：BCD思路：分类讨论a的值，再把分式不等式转化为二次不等式求解即可．解析：解：当a=0时，则x∈∅，当a＞0时，则a(x−1)x−a＞0⇔（x-1）（x-a）＞0，①若a＞1时，则x＞a或x＜1，②若0＜a＜1时，则x＞1或x＜a,③若a=1时，则x≠1，当a＜0时，则a＜x＜1，综上，当a=0，不等式的解集为∅，当a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a或x＜1}，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＞1或x＜a}，当a＜0时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，故选：BCD．总结：本题考查不等式的解法，主要考查分式不等式转化为二次不等式，考查运算能力，属于中档题．（2023春•徐汇区校级期末）记关于x的不等式1−a+1x+1<0的解集为P，不等式|x+2|＜3的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若P∪Q=Q，求正数a的取值范围．题型：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．答案：见试题解答内容思路：（1）当a=3时，分式不等式可化为x−3x−1<0，结合分式不等式解法的结论，即可得到解集P；（2）由含有绝对值不等式的解法，得Q=（-5，1）．根据a是正数，得集合P=（-1，a），并且集合P是Q的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数a的取值范围．解析：解：（1）a=3时，1−a+1x+1<0即1−4x+1<0，化简得x−3x−1<0∴集合P={x|x−3x+1<0}，根据分式不等式的解法，解得-1＜x＜3B ．m ＜-32，或m ＞3C ．-32＜m ＜3D ．-3＜m ＜32由此可得，集合P=（-1，3）．（2）Q={x||x+2|＜3}={x|-3＜x+2＜3}={x|-5＜x ＜1}可得Q=（-5，1）∵a ＞0，∴P={x |x −ax +1<0}=（-1，a ），又∵P ∪Q=Q ，得P ⊆Q ，∴（-1，a ）⊆（-5，1），由此可得0＜a≤1即正数a 的取值范围是（0，1]．总结：本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题．（2023•龙口市模拟）若正实数x,y 满足x+y=1，且不等式4x +1+1y ＜m 2+32m 有解，则实数m 的取值范围是（ ）题型：转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：A思路：先拼凑，利用“乘1法”求得4x +1+1y 的最小值，从而将问题转化为92＜m 2+32m 成立，再解关于m 的一元二次不等式，即可．解析：解：因为x+y=1，所以（x+1）+y=2，所以4x +1+1y =12（4x +1+1y ）•[（x+1）+y]=12（4+4y x +1+x +1y +1）≥12•（5+24）=92，当且仅当4y x +1=x +1y ，即x=13，y=23时，等号成立，此时4x +1+1y 取得最小值92，原不等式有解，可转化为92＜m 2+32m 成立，即2m 2+3m-9＞0，所以m ＜-3或m ＞32．故选：A ．√总结：本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（2023春•黄浦区期末）不等式xx +1＜0的解是（-1，0）．题型：不等式的解法及应用．A．(−12，3]B．(−12，3)D．(−∞，23]答案：见试题解答内容思路：不等式xx+1＜0，即 x（x+1）＜0，由此求得它的解集．解析：解：不等式xx+1＜0，即 x（x+1）＜0，求得-1＜x＜0，故答案为：（-1，0）．总结：本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．（2023•宝山区二模）不等式xx−1＜0的解集为（0，1）．题型：不等式的解法及应用．答案：见试题解答内容思路：由不等式xx−1＜0可得 x（x-1）＜0，由此解得不等式的解集．解析：解：由不等式xx−1＜0可得 x（x-1）＜0，解得 0＜x＜1，故答案为：（0，1）．总结：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．（2021春•赣县区校级期末）不等式3−x2x+1≥1的解集为（ ）题型：转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：C思路：解不等式，求出不等式的解集即可．解析：解：∵3−x2x+1≥1，∴3x−22x+1≤0，解得：-12＜x≤23，故选：C．总结：本题考查了分式不等式的解法，考查转化思想，是基础题．A．(−∞，−3)∪(13，3)B．(−∞，14)∪(16，+∞)D．不能确定（2022秋•普陀区校级期末）设关于x的不等式ax−1x2−a<0的解集为S，且3∈S，4∉S，则实数a的取值范围为（ ）√√题型：计算题．答案：C思路：由已知中关于x的不等式ax−1x2−a<0的解集为S，且3∈S，4∉S，将3，4分别代入可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．解析：解：∵关于x的不等式ax−1x2−a<0的解集为S，若3∈S，则3a−19−a<0，解得a∈（-∞，13）∪（9，+∞）若4∉S，则16-a=0，或4a−116−a≥0，解得a∈[14，16]∵[（-∞，13）∪（9，+∞）]∪[14，16]=[14，13)∪(9，16]故实数a的取值范围为[14，13)∪(9，16]故选：C．总结：本题考查的知识点是分式不等式的解法，元素与集合关系的判定，其中根据已知条件构造关于a的不等式是解答本题的关键，本题易忽略4∉S时，包括4使分母为0的情况，而错解为[14，13)∪(9，16)（2017•上海）不等式x−1x＞1的解集为（-∞，0）．题型：转化思想；转化法；不等式的解法及应用．答案：见试题解答内容思路：根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．解析：解：由x−1x＞1得：1−1x>1⇒1x<0⇒x<0，A．（-1，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．（0，1）故不等式的解集为：（-∞，0），故答案为：（-∞，0）．总结：本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．（2020•全国）不等式组V Y WY X x2−2x−3>0，−x2−3x+4≥0的解集为{x|-4≤x＜-1}．题型：转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：{x|-4≤x＜-1}．思路：由一元二次不等式的解法和集合的交集运算可得所求．解析：解：由x2-2x-3＞0可得x＞3或x＜-1；由-x2-3x+4≥0可得-4≤x≤1．所以不等式组V Y WY X x2−2x−3>0，−x2−3x+4≥0即为V WX x>3或x<−1−4≤x≤1，解得-4≤x＜-1．故答案为：{x|-4≤x＜-1}．总结：本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．（2020•北京）已知函数f（x）=2x-x-1，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）题型：转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析．答案：D思路：不等式即 2x＞x+1．由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），数形结合可得结论．解析：解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1．由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），如图所示：不等式f（x）＞0的解集是（-∞，0）∪（1，+∞），故选：D．A．（0，+∞）B．（1，+∞）D．（0，12）总结：本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．（2023•全国）不等式1x>1x−1的解集为（ ）题型：转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：C思路：根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解．解析：解：1x>1x−1，则1x−1x−1=−1x(x−1)>0，解得0＜x＜1，故原不等式的解集为（0，1）．故选：C．总结：本题主要考查不等式的解法，属于基础题．（2021•上海）不等式2x+5x−2＜1的解集为（-7，2）．题型：转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．答案：（-7，2）．思路：由已知进行转化x+7x−2＜0，进行可求．解析：解：2x+5x−2＜1⇒2x+5x−2−1＜0⇒x+7x−2＜0，解得，-7＜x＜2．故答案为：（-7，2）．A．（-∞，-2）∪（3，+∞）B．（-∞，-3）∪（2，+∞）D．（-3，2）A．2f(−π6)>f(−π4)总结：本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．（2023•日喀则市模拟）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对于任意实数x都有f′（x）=e x（2x-1）+f （x），f（0）=-1，则不等式f（x）＜5e x的解集为（ ）题型：计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．答案：C思路：构造函数g(x)=f(x)ex，依题意可得g′(x)=2x−1⇒g(x)=x2−x+c=f(x)ex，再利用f（0）=-1，可求得c=-1，从而可求得不等式f（x）＜5e x的解集．解析：解：令g(x)=f(x)ex，①则g′(x)=f′(x)−f(x)ex，∵f′（x）=e x（2x-1）+f（x），∴f′(x)−f(x)ex=2x−1，即g′（x）=2x-1，∴g（x）=x2-x+c,②由①②知，f(x)ex=x2−x+c，∴f（x）=e x（x2-x+c），又f（0）=-1，∴e0⋅c=-1，即c=-1，∴f(x)ex=x2−x−1，∴不等式f（x）＜5e x⇔f(x)ex=x2−x−1<5，∴-2＜x＜3，即不等式f（x）＜5e x的解集为（-2，3）．故选：C．总结：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．（2023春•成都期末）记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）为奇函数，且当x∈(−π2，0)时恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（ ）√C．2f(π3)>3f(π4)D．f(−π3)<3f(−π6)√√√题型：计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．答案：B思路：由已知可得f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，所以构造函数g(x)=f(x)sinx，求导后可判断出g(x)=f(x)sinx在x∈(−π2，0)上单调递增，然后利用函数的单调性逐个分析判断即可．解析：解：由f（x）＜f′（x）tanx,得f(x)<f′(x)⋅sinxcosx，因为x∈(−π2，0)，所以cosx＞0所以f（x）cosx＜f′（x）sinx,所以f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，令g(x)=f(x)sinx，x∈(−π2，0)，则g′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin2x>0，所以g(x)=f(x)sinx在x∈(−π2，0)上单调递增，对于A，因为−π2<−π4<−π6<0，所以g(−π4)<g(−π6)，所以f(−π4)sin(−π4)<f(−π6)sin(−π6)，f(−π4)−22<f(−π6)−12，所以2f(−π6)<f(−π4)，所以A错误；对于C，因为−π2<−π3<−π4<0，所以g(−π3)<g(−π4)，所以f(−π3)sin(−π3)<f(−π4)sin(−π4)，f(−π3)−32<f(−π4)−22，所以2f(−π3)>3f(−π4)，因为f（x）为奇函数，所以−2f(π3)>−3f(π4)，所以2f(π3)<3f(π4)，所以C错误；对于BD，因为−π2<−π3<−π6<0，所以g(−π3)<g(−π6)，所以f(−π3)sin(−π3)<f(−π6)sin(−π6)，f(−π3)−32<f(−π6)−12，所以3f(−π6)<f(−π3)，√√√√√√√√√√√√因为f（x）为奇函数，所以f(−π3)>−3f(π6（2023春•双流区月考）已知a>1，b>1，且e aa =eb+1b，则下列结论一定正确的是（ ）B．2a+1<2b C．2a+2b<23D．a<b A．[-1，0）∪（0，1]C．（-∞，-1]∪（0，1]√答案：A思路：由eaa=eb+1b可得eaa−ebb=1b>0，构造函数f(x)=exx，x>1，求导后判断函数的单调性，由此证明a>b,结合指数函数性质判断BC．解析：解：由eaa=eb+1b，化简可得eaa=ebb+1b，故eaa−ebb=1b>0，又a>1，b>1，故考虑构造函数f(x)=exx，x>1，则当x>1时，f′(x)=ex(x−1)x2>0恒成立，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，因为f(a)−f(b)=eaa−ebb=1b>0，即f（a）>f（b），所以a>b,A正确，D错误；因为a>b,所以2a+1>2a>2b，B错误；取b=3，则eaa=e3+13>e33，因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，且f(3)=e33，f(4)=e44>e3+13，存在a=a0∈（3，4）满足该方程，此时2a+2b=2a0+23>23，C错误．故选：A．总结：本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．（2023春•鼓楼区校级期末）设函数y=f（x），（x≠0），对于任意正实数x1，x2（x1≠x2），都有x32f(x1)−x31f(x2)lnx1−lnx2<0．已知函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）中心对称，且f（1）=1，则不等式f（x3题型：函数思想；构造法；导数的综合应用；数学运算．答案：B思路：先判断函数y=f（x）的奇偶性，构造函数g（x）=f(x)x3，判断g（x）的单调性和奇偶性，分情况讨论，利用单调性即可求解．解析：解：函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）成中心对称，故函数y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，记y=f（x）是奇函数，f(x)f(x)f(x)A．C．2D．3A．a2>b B．a2<bD．log a b<2记g（x）=f(x)x3，g（-x）=f(−x)(−x)3=f(x)x3=g（x），所以g（x）是偶函数，对于任意正数x1，x2（x1≠x2），都x32f(x1)−x31f(x2)lnx1−lnx2<0，即x13x23•f(x1)x13−f(x2)x22lnx1−lnx2<0，所以g（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（1）=1，所以g（1）=1，因为g（x）是偶函数，故g（x）在（-∞，0）单调递增，且g（-1）=1，当x>0时，f（x）⩽x3⇔g（x）≤1=g（1）⇒x≥1，当x<0时，f（x）⩽x3⇔g（x）≥1=g（-1）⇒-1≤x<0，故f（x）⩽x3的解集为[-1，0）∪[1，+∞）．故选：B．总结：本题考查了导数的应用，函数单调性和奇偶性的综合，属于中档题．（2022秋•临汾期末）已知函数f（x）=xlnx-lnx-x+1，f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）（ ）答案：B思路：先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，然后结合函数零点判定定理可求．解析：解：因为f（x）=xlnx-lnx-x+1，则f′（x）=lnx+1-1x-1=lnx-1x，f″(x)=1x+1x2=x+1x2>0在x>0时恒成立，故f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）=-1<0，f′（e）=1−1e>0，所以f'（x）在x>0时有唯一零点．故选：B．总结：本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题．（2023春•青羊区校级月考）已知实数a>0，b>0，a≠1，且满足a•lnb=a2-1，则下列判断正确的是（ ）答案：C思路：由lnb−ln a2=a2−1a−ln a2，构造函数f(x)=x2−1x−2lnx，通过函数的单调性和值域求解判断．解析：解：因为a⋅lnb=a2-1，所以lnb=a2−1a，则lnb−lna2=a2−1a−lna2，令f(x)=x2−1x−2lnx，则f′(x)=2x2−x2+12−2x=(x−1)22≥0，A．a<c<bC．b<a<c D．c<a<bA．2B．3D．e3xxx所以f（x）在（0，+∞）上递增，且f（1）=0，当0<x<1时，f（x）<0，当x>1时，f（x）>0，所以当0<a<1时，f（a）<0，即lnb-lna2<0，则b<a2，所以lnb<lna2，则lnblna>2，即log a b>2，当a>1时，f（a）>0，即lnb-lna2>0，则b>a2，所以lnb>lna2，则lnblna>2，即log a b>2，故选：C．总结：本题主要考查了利用导函数判断函数单调性以及对数函数相关知识，属于中档题．（2023•贵阳模拟）已知实数a=e0.9−22，b=log5.14，c=log65，则a,b,c的大小关系为（ ）√答案：B思路：先利用对数函数性质证明0<b<log54，c>0，利用比商法结合基本不等式比较b,c,结合指数函数性质证明e0.9<e<22，由此证明a<0，即可得出答案．√解析：解：∵函数y=log4x为（0，+∞）上的增函数，∴0=log41<log45<log45.1，故0<1log45.1<1log45，即0<b<log54，又c=log65>0，∴log54log65=lg4lg5⋅lg6lg5<(lg4+lg62)2lg25=lg2244lg25=lg224lg225<1，故log54<log65，即0<b<c,∵7<e2<8，故e<22，∴e0.9<e<22，则a=e0.9−22<0，故a<b<c,故选：B．√√√总结：本题考查对数函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（2023春•商丘期末）3-a lnb=e2-lnb（a,b∈R），则ab=（ ）答案：C思路：根据题意，构造函数f（x）=x-e3-x，由其单调性可得a=1+lnb,然后代入计算，即可得到结果．解析：解：由题意可知，1+lnb=e2-lnb=e3-（1+lnb），可设f（x）=x-e3-x，则f′（x）=1+e3-x>0，即y=f（x）单调递增，由a=e3-a⇒f（a）=a-e3-a=0，由1+lnb=e3-（1+lnb）⇒f（1+lnb）=1+lnb-e3-（1+lnb）=0，所以f（a）=f（1+lnb），于是有a=1+lnb,又lna=lne3-a=3-a,故lna+lnb=lnab=3-a+（a-1）=2，所以ab=e2．故选：C．总结：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．（2023•临河区校级模拟）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R f（1-2x）为A．[−52，32]C．[−2，32]D．[−32，2]A．c<a<bC．a<b<c D．c<b<a（2023临河区校级模拟）已知函数f（x）及其导函数f（x）的定义域均为R，f（12x）为奇函数，f（2x-1）为偶函数．记 g（x）=f'（x），当-1<x≤1时，g（x）=x+1，则满足g （x）≥|x|-2的）答案：B思路：根据函数f（1-2x）为奇函数，得出f（1+x）=-f（1-x），两边同时求导数得出g （x）的图象关于x=1对称，根据f（2x-1）为偶函数，得出f（-1-x）=f（-1+x），两边同时求导数，得出g（x）的图象关于点（-1，0）成中心对称，结合-1<x≤1时g（x）=x+1，在同一坐标系内作出函数y=g（x）和y=|x|-2的图象，结合图象求出g（x）≥|x|-2解集．解析：解：因为函数f（1-2x）为奇函数，所以f（1+2x）=-f（1-2x），即f（1+x）=-f（1-x），两边同时求导数，得f′（1+x）=f′（1-x），所以g（x）的图象关于x=1对称，又因为f（2x-1）为偶函数，所以f（-2x-1）=f（2x-1），即f（-x-1）=f（x-1），即f（-1-x）=f（-1+x），两边同时求导数，得-f′（-1-x）=f′（-1+x），所以g（x）的图象关于点（-1，0）成中心对称，当-1<x≤1时，g（x）=x+1，在同一坐标系内作出函数y=g（x）和y=|x|-2的图象，如图所示：由图象知，-3≤x<-1时，g（x）=x+1，y=|x|-2=-x-2，由V WX y=−x−2y=x+1，解得A（-32，-12）；1<x≤3时，g（x）=-x+3，y=|x|-2=x-2，由V WX y=−x+3y=x−2，解得B（52，12），所以满足g（x）≥|x|-2的x的取值范围是[-32，52]．故选：B．总结：本题考查了函数的奇偶性与对称性的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．（2023•雨花区校级一模）已知a=（e-0.1）e+0.1，b=e e，c=（e+0.1）e-0.1，则a,b,c的大小关系为（ ）答案：B思路：对a,b,c变形后构造函数f（x）=lnxx，利用极值点偏移证a,b,c的大小关系．解析：解：要比较a,b,c等价于比较lna,lnb,lnc的大小，等价于比较lna(e+0.1)(e−0.1)，lnb(e+0.1)(e−0.1)，lnc(e+0.1)(e−0.1)，即比较，ln(e−0.1)e−0.1，ee2−0.01，ln(e+0.1)e+0.1，构造函数f（x）=lnxx，f′（x）=1−lnxx2，令f′（x）>0，得0<x<e,令f′（x）<0，得x>e,所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，所以f（x）max=f（e）=1e，因为ln(e−0.1)e−0.1=f（e-0.1），ee2−001>ee2=1e=f（x）max，ln(e+0.1)e+0.1=f（e+0.1），B．（ln2，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）e0.e−0.01e e e+0.所以ee2−0.01最大，即a,b,c中b最大，设x1=e-0.1，x2=e+0.1，f（x1）=f（x3）=m,m<1e，x1≠x3，结合f（x）的单调性得x1<e<x3，先证明x1−x3lnx1−lnx3<x1+x32，其中0<x1<e<x3，即证lnx1x3<2(x1−x3)x1+x3=2(x1x3−1)x1x3+1，令t=x1x3∈（0，1），h（t）=lnt-2(t−1)t+1，其中0<t<1，则h′（t）=1t-4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以函数h（t）在（0，1）上为增函数，当0<t<1时，h（t）<h（1）=0，所以x3>x1>0时，x1−x3lnx1−lnx3<x1+x32，则2×x1−x3lnx1−lnx3<x1+x3，由f（x1）=f（x3）=m,可知lnx1x1=lnx3x3=m,所以2×x1−x3lnx1−lnx3=2×x1−x3m(x1−x3)=2m<x1+x3，因为m1<e,f（x）在（0，e）单调递增，所以f（x1）>f（2e-x3），即f（x1）>f（2e-x3），因为x1+x2=2e,所以x1=2e-x2，所以f（2e-x2）>f（2e-x3），即2e-x2>2e-x3，所以x2<x3，因为e<x2<x3，所以f（x）在（e,+∞）单调递减，所以f（x2）>f（x3）=f（x1），即ln(e+0.1)e+0.1>ln(e−0.1)e−0.1，即c>b,综上所述，a<c<b,故选：B．总结：本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．（2023春•重庆期中）已知定义在R上的函数f（x）满足：xf'（x）-f（x）>0，且f（1）x x（ ）学运算．答案：A思路：由题意设g（x）=f(x)，函数定义域为{x|x≠0}，则g'（x）=xf′(x)−f(x)2，可得g（x）B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>bx x2在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，题意转化为f(ex)ex>2，结合单调性，即可得出答案．解析：解：由题意设g（x）=f(x)x，函数定义域为{x|x≠0}，则g'（x）=xf′(x)−f(x)x2，∵xf'（x）-f（x）>0，∴g'（x）>0在（-∞，0）∪（0，+∞）上恒成立，即g（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，又f（1）=2，则g（1）=2，∵f（e x）>2e x，即f(ex)ex>2，∴g（e x）>g（1），∴e x>1，解得x>0，又当x=0时，f（1）=2，不符合f（e x）>2e x，故f（e x）>2e x的解集为（0，+∞）．故选：A．总结：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（2023•泸县校级模拟）设a=111e0.1，b=110，c=ln1110，则（ ）答案：A思路：根据a=111e0.1=0.11+0.1e0.1，b=0.1，c=ln（1+0.1），构造函数f(x)=xx+1[e x−(x+1)]，（x≥0），令g（x）=x-ln（x+1），（x≥0），研究h（x）=e x-（x+1），g（x）在[0，+∞）上的单调性，且f（0）=g（0）=0，即可得到f（0.1）> 0，g（0.1）>0，由此即可得到结论．解析：解：由题意得a=111e0.1=0.11+0.1e0.1，b=0.1，c=ln（1+0.1），构造函数f(x)=xx+1[e x−(x+1)]，（x≥0），令g（x）=x-ln（x+1），（x≥0），g（0）=0，且g′(x)=1−1x+1≥0，所以g（x）在[0，+∞）单调递增，所以g（0.1）>0，即g（0.1）>0，得b>c；令h（x）=e x-（x+1），x≥0，由h′（x）=e x-1≥0在[0，+∞）上恒成立，得h（x）在[0，+∞）上单调递增，由h（0）=0，所以h（0.1）>0，即f（0.1）=0.11+0.1e0.1−0.1>0，故a>b；所以a>b>c.故选：A．总结：本题考查利用导数研究函数的单调性，进而解决数的大小比较问题，属于较难的题目．。