1.2弧度制(公开课课件)

AB 的长 OB旋转的方向
AOB
AOB
的弧度数 的度数
y
r 逆时针方向
180°
B
2 r 逆时针方向 2
r
逆时针方向
1
360° 57.3°
α
Байду номын сангаас
O
Ax
2r
顺时针方向 －2 114.6°
r 顺时针方向
180°
0
未旋转
0
r 逆时针方向
0°
180°
2 r 逆时针方向 2
360°
一般地，我们规定： 正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。 零角的弧度数是0。
22
2
4
∴
当 r = 15 2
时，扇形面积的最大值是 225 cm2 4
此时
α
=
l r
=
30
-2 15
15 2 = 2（弧度）。
2
课堂小结
1、弧度制的概念 2、弧度制和角度制的比较与换算
具体总结如下表：
弧度制
角度制
度量单位
弧度
角度
单位规定 等于半径的长的
圆弧所对应的圆
心角叫1 rad 的角
周角的 1 为1度的角 360
例4:利用弧度制证明扇形面积公式S = 1 lR 其中是l扇形弧长，R是圆的半径。 2
R
oS l
思考：若扇形的圆心角为 ，则扇形面积公式又怎样？
并比较弧度制和角度制下扇形的弧长及面积公式？
课堂练习
B 1、－300°化为弧度是（ ）
Ａ. - 4π
3
Ｂ．- 5π Ｃ．- 7π
3
4
Ｄ．- 7π
6
2.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm²，则扇形的
例1：将下列弧度转化为角度：
（1） 12
=15 °；
（2） 7 = －157 ° 30 ′； 8
（3） 13 = 390 °.
6
例2:将下列角度转化为弧度：
5 （1）36°= （rad）；
（2）－105°=
-
7π 12
（rad）；
（3）37°30′= 5π（rad）. 24
例3：请用弧度制表示下列角度的范围.
锐角： {θ|0°＜θ＜90°}， θ 0，π
2
直角： {θ|θ=90°} θ = π
2
钝角： {θ|90°＜θ＜180°} θ π，π
2
平角： {θ|θ=180°} θ = π
周角： {θ|θ=360°} θ = 2π
思考：终边落在第二象限的角的范围？
记一记
角 度
0 30 45 60 90 120135 150180270360
弧 度
0
ππ 64
π 3
π 2
2π 3π 5π 346
π
3 2π
2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”
二字或者“rad”通常省略不写，而只写这个角 所对应的弧度数.但如果以度（ 。）为 单位表 示角时，度（ 。）不能省略.
1、弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角
正实数
零角
零
负角
负实数
l 2、求弧长： = R
知识回顾
生活中，存在着各种不同的度量单 位制，比如度量长度用的千米、尺、码 等，度量重量用的吨、斤、磅等，不同 单位制能给解决问题带来便利，角的度 量除了用度之外，是不是还有其他的单 位制呢？
1.1.2 弧度制
角的 度量
角度制 1度的角等于周角的 1 360
弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做１弧度的角。
对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对
值是 l r
= 3，即∠AOB=－ l =－3弧度。
r
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角 的制度，角度制是以“度”为单位度量角的
制度；
2、1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心
角（或该弧）的大小，而1°是圆的 1 所对的
圆心角（或该弧）的大小；
360
3、不论是以“弧度”还是以“度”为单位
2
∴67o30' = π rad 67 1 = 3 πrad
180
28
4、 把 3 πrad 化成度。 5
解：3 πrad = 3 180o = 108o
5
5
5、如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇 形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为l ，则有
2r + l = 6 l =1 r
换算关系
π =180°
1rad=
180
57.30
1°= π rad=0.01745 rad
180
57°18′，
2、计算 tan1.5
解：1.5rad 57.30 1.5 85.95 85 57'
所以tan1.5 tan 85 57 ' 14.12
3、67°30′化成弧度。 解：∵67o30' = 67 1 o
用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
周角的弧度数是2π，而在角度制下的 度数是360。
弧度与角度的互化 如图，圆O的半径是1，
l 的长等于1,
B
l
1 rad
O
A
360°= 2π rad
1° = π rad ≈ 0.01745rad 180
180°= π rad
1rad =（180 ）° ≈57.30° π
12
6
思考题：已知扇形的周长为30cm，当它的
半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的 面积最大？最大面积是多少？
解：扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为 l，面积为S， 则有 l + 2r = 30
∴ l = 30 - 2r
∴ S = 1 rl = 1 (30 - 2r)
15 2 225 r=- r- +
r=2 l=2
∴ 扇形的面积 S = 1 rl = 2(cm)2.
2
A
B
o
6、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中 心角是1弧度,求该扇形的面积。
∵ 弧长 l
RR
∴ 3R 6, R 2
于是 S = 1 Rl = 2 cm2 2
7、已知扇形AOB的圆心角为120°，半 径为6，求此扇形所含弓形面积。
弧度数的绝对值公式
由上表可知，如果一个半径为ｒ的圆
的圆心角α所对的弧长是l,那么角α的弧度数
的绝对值是
||l
r
注：α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
如一个半径为6cm的圆的圆心角α所对的弧长是2 ,
那么角α的弧度数的绝对值是_________
3
用角度制和弧度制来度量零角，单位 不同，但数量相同（都是0）。
圆心角的弧度数是（ ） B
Ａ．1
Ｂ．1或4 Ｃ．4 Ｄ．2或4
例7:直径为20cm的圆中，求下列各圆
心所对的弧长⑴ 4π ⑵ 165o
3
解： r = 10cm
（1）l = α ×r = 4π 10 = 40π (cm)
3
3
（2）165o = π 165(rad) = 11π rad
180
12
所以l = 11π 10 = 55π (cm)
1、（1）π （2）- 7π
8
6
（3）
20π 3
2、（1）15°（2）－240°（3）54°
3、（1） α | α = kπ,k Ζ
（2）
α
|
α
=
π 2
+
kπ,
k
Ζ
4、（1） cos 0.75o cos 0.75
（2） tan1.2o tan1.2
5、 m
3
6、弧度数为1.2
的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的
定值．
y
y
B
α
O
A xx
Ｄ
α
O
Ｃ xx
（１）
（２）
当圆心角一定时，它所对弧长与半径的
比值是一定的，与所取圆的半径大小无关。
探究
y B
α
O
Ax
如图，半径为r的圆的圆心与原点 重合，角α的始边与x轴的正半轴重合， 交圆与点A，终边与圆交与点B.请在下 列表格中填空。
∴ ∴ 又∵
解：由 α = 120o = 2π ,r = 6
3
l = r | α |= 6 2π = 4π 3
11 S扇形 = 2 lr = 2 4π 6 = 12π
SΔΑΟΒ
=
1 2
r2sin
2π 3
=
1 2
62
3 =9 3 2
∴ S弓形 = S扇形 - SΔΑΟΒ = 12π - 9 3
教材习题答案
符号： rad 读作：弧度
如图，圆O的半径是1， l 的长等于1, AOB就是1弧度的角。
B
l
1 rad
O
A
若l=2r，则∠AOB= l = 2弧度； r
l 若l= 3r，则∠AOB= r = 3弧度。
B
l=2r
2弧度
O rA
3r
3rad
r
OrA
B
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所