第一章 实数集与函数
§1实数
1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：
⑴x a +是无理数.
⑵当0≠a 时，ax 是无理数.
证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =−+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.
⑵假设ax 是有理数，则x a
ax =为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.
1、 试在数轴上表示出下列不等式的解：
⑴ 0)1(2>−x x ；⑵
⑶
2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<−b a ，则b a =.
证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <;
若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a −=−.
令b a −=ε,则ε为正数,但这与ε<−=−b a b a 矛盾;
若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a −=−.
令a b −=ε,则ε为正数,但这与ε<−=−a b b a 矛盾;
从而必有b a =.
3、 设0≠x ,证明21≥+x
x ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+x
x x x x x , 等号当且仅当x
x 1=
,即1±=x 时成立.
4、 证明:对任何R x ∈,有 ⑴ 121≥−+−x x ；⑵2321≥−+−+−x x x
证: ⑴因为21111−=+−≤−−x x x , 所以121≥−+−x x . ⑵因为21132−+−≤−≤−−x x x x , 所以2321≥−+−+−x x x
5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:
c b c a b a −≤+−+2222 证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,
两端同时加244c b a +,有2
24222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++,
即))(()(222222c a b a bc a ++≤+ bc c a b a a 2))((2222222−≤++−,
两端再同加22c b +,则有c b c a b a −≤+−+2222
其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边.
当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立
6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明
x b x a ++介于1与b a 之间. 证:因为x b a b x b x a +−=++−1,)
()(x b b a b x b a x b x a +−=−++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b
a x
b x a <++<1; 当b a <时, 1<++b x a b a ; 故x b x a ++总介于1与b a 之间.
7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则
p 是无理数 证:假设
p 是有理数,则存在正整数m 、n 使n m p =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .
由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .
从而m mnv u m =+2
因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n
因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故
p 是无理数
8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x −<−；⑵b x a x −<−；⑶b a x <−2. 解: ⑴原不等式等价于11<−−−b x b a 这又等价于20<−−x b a 即 −<−<>b x b a b x 220或 −>−>x b a b x 220
即 >+>>b a b a x b x 2或 <+<a b a x b x 2 故当b a >时,不等式的解为2
b a x +> 当b a <时,不等式的解为2
b a x +< 当b a =时,不等式无解.
⑵原不等式等价于 −<−>b x a x b x 且 −<−>b
x x a b x
即 >>b a b x 且
+>>2b a x b x 故当b a >时,2
1b x +>; 当b a ≤时,不等式无解.
⑶当0≤b 时,显然原不等式无解, 当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<−2 因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解
②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<− 即b a x b a +<<−或b a x b a +>>−−
Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+−
