岩石连续损伤统计本构模型

- ν(σ23
+ σ33 ) ] ,
σ13 = σ1/ (1 - D) ,
(6)
σ23 = σ2/ (1 - D) ,
σ33 = σ3/ (1 - D) .
由式 (5) , (6) 解得
σ13 = σ1 Eε1/ [σ1 - ν(σ2 + σ3) ] ,
σ23 = σ2 Eε1/ [σ1 - ν(σ2 + σ3) ] ,
3 ccos φ , 3 + sin2φ
收稿日期 :2003210222 基金项目 :国家杰出青年科学基金资助项目 (50125413) 和国家自然科学基金重点资助项目 (50234030) 作者简介 :张毅 (1963 - ) ,男 (汉族) ,山东邹平人 ,教授级高工 ,博士研究生 ,从事油田开发研究 。
量。
设岩石的屈服条件遵循 Drucker2Prager 准则 :
a0 I1 + J 2 - K = 0 ,
(3)
令
F = f (σ3 ) = a0 I1 + J 2 , 其中
a0 =
3
sin φ
,
3 + sin2φ
I1
= σi3δij ,
J2
=
1 12
[
(σi3
- σj3 )δij ]2 ,
K=
岩石连续损伤统计本构模型
张 毅1 , 廖华林1 , 李根生2
(1. 石油大学石油工程学院 ,山东东营 257061 ; 2. 石油大学石油天然气工程学院 ,北京 102249)
摘要 :基于岩石微元强度概率分布理论 ,以 Drucker2Prager 破坏准则为统计分布变量 ,建立了理论的岩石损伤变 量演化方程和三轴条件下岩石损伤弹性统计本构模型 。利用任意条件下的三轴试验数据 ,用曲线拟合法和极值法 求解了所建模型的参数 ,并用试验结果对所建模型进行了验证 。模型计算结果与试验结果吻合较好 ,这说明用 Drucker2Prager 准则为统计分布变量建立的损伤模型能够较好地反映岩石内部缺陷分布和变形特征 ,表征岩石材料 在弹性阶段的本构关系 。
[ 3 ] KRAJ CINOV IC D , SIL VA M A G. Statistical aspects of t he contivuous damage t heory [J ] . International Journal of Solids Structures ,1982 ,18(7) :551 - 562.
(3) 用 Drucker2Prager 准则为统计分布变量建 立的损伤模型能较好地反映岩石内部缺陷分布和变 形特征 , 表征岩石材料在弹性阶段的本构关系 。
参考文献 :
[ 1 ] 谢和平. 岩石 、混凝土损伤力学 [ M ] . 徐州 :中国矿业大 学出版社 ,1990.
[ 2 ] 王瑞和 ,倪红坚. 旋转水射流破岩的数值模拟分析 [J ] . 石油大学学报 (自然科学版) ,2003 ,27 (1) :33 - 35.
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第 28 卷 第 3 期 廖华林等 :岩石连续损伤统计本构模型
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ν(σ2 + σ3) . 利用该本构方程分别计算围压为 3. 45 M Pa 和 13. 8 MPa 时的理论曲线 ,将理论计算曲线和原试验曲线 进行比较 ,结果如图 1 所示 。
(7)
σ33 = σ3 Eε1/ [σ1 - ν(σ2 + σ3) ].
从而得到
I1 = (σ1 + σ2 + σ3) Eε1/ [σ1 - ν(σ2 + σ3) ]. (8)
J 2 = [ (σ1 - σ2) 2 + (σ2 - σ3) 2 +
(σ3 - σ1) 2 ]1/ 2 Eε1/ { 6 [σ1 - ν(σ2 + σ3) ]} .
号; i = 1 ,2 ,3; j = 1 ,2 ,3; k = 1 ,2 ,3。
2 三轴条件下岩石损伤统计本构方程
在三轴试验条件下可以测得岩石的表观应力 σ1 ,σ2 ,σ3 和应变 ε1 , 设 相 应 有 效 应 力 为 σ13 ,σ23 , σ33 ,由式 (5) 可得
ε1
=
1 E
[σ13
(9)
由式 (4) , (5) , (8) , (9) 得到三轴条件下岩石材料全
应力应变关系式为
σ1 = Eε1exp{ - [ ( a0 I1 + J2) / F0 ] m} +ν(σ2 +σ3) .
(10)
3 参数 m 和 F0 的求解方法
岩石损伤统计本构方程中参数 m 和 F0 可以用 岩石三轴条件下全应力试验数据来计算 。文献 [7 ] 介绍了围压条件下用线性回归求解 m 和 F0 的方法 , 其基本假设为
低围压条件下近似求解参数 , 而 σ23 和 σ2 是有区别
的 ,这样容易产生误差 。用本文所得统计本构方程 ,
采用任意三轴条件下的试验数据进行线性回归 , 即
可求出 m 和 F0 。由式 (10) , (11) 可得
Y
= ln
-
ln σ1
-
ν(σ2 Eε1
+ σ3)
,
(12)
X = ln ( a0 I1 + J2) . 由式 (8) , (9) , (10) , (12) 便可以用任意三轴条件下 的试验数据拟合得出模型参数 。由于采用线性回归
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石油大学学报 (自然科学版) 2004 年 6 月
i = 1 ,2 ,3 , j = 1 ,2 ,3.
式中 , I1 为应力张量第一不变量 ; J 2 为应力偏量张 量第二不变量 ;σi3 为有效主应力 ; c 和φ分别为岩石 粘聚力和摩擦角 。
图 1 试验曲线与理论曲线对比
由图 1 可以看出 ,所建立的损伤模型可以较好 地反映在压缩载荷条件下岩石强度的变化特征 ,特 别是在岩石屈服破坏前 ,理论曲线和试验曲线吻合
较好 ,说明所建模型是合理的 。另外 ,微元本构关系 的线性假设反映出宏观的塑性 ,表明岩石宏观塑性 变形是裂纹扩展或闭合效应的结果 。
微元体数目 N 之比 , 即
D
=
Nf N
, 这样在任意区间
[ F , F + d F ] 内已破坏的微元数目为 N P ( F) d F ,当
加载到某一水平 F 时 ,已破坏的微元数目为
∫F
N f ( F) = N P( y) d y = N{ 1 - exp[ - ( F/ F0) m ]} .
0
(1) 损伤变量 D 为
D
=
Nf N
=1-
exp [ -
( F/ F0) m ].
(2)
岩石的强度可以用岩石的破坏准则来表示 。岩
石破坏准则的通式为
f (σ3 ) - K = 0 , 若 f (σ3 ) - K ≥0 , 说明岩石已经屈服或破坏 , 因 此 , f (σ3 ) 可以作为岩石微元强度随机分布的变
由式 (1) , (2) 得到损伤变量演化方程为
m
D = 1 - exp - a0 I1 + J 2
.
(4)
F0
岩石微元破坏前服从胡克定律 , 其本构关系可
表示为
σij = σi3j (1 - Dδij) =
E(1 (1
- Dδij) + ν)
1 -ν2νδiεj kk +εij
.
(5)
式中 , E 为弹性模量 ;ν为泊松比 ;δij 为 Kronecker 符
5σ1 5ε1
=
Eexp
-
a0 I1 + F0
m
J2
+
m
Eε1exp -
a0 I1 + J2 F0
( - m) a0 I1 + J2 ×
F0
{ [ a0 (σ1 + σ2 + σ3) E (σ1 - ν(σ2 + σ3) ) - 1 +
[ (σ1 - σ2) 2 + (σ2 - σ3) 2 + (σ3 - σ1) 2 ]1/ 2 E[ 6 (σ1 -
方法进行曲线拟合 ,过程较为麻烦 ,这里介绍一种更
为简便的极值求解法来计算 m 和 F0 。岩石在载荷的 作用下应力 σ1 存在峰值 ,在应力应变曲线上的应力
峰值点为极大值 ,对于脆性岩石 ,屈服点和峰值点接
近 ,由数学知识可知 ,在峰值点其应力对应变的导数
为 0 。所以对式 (10) 求导并令等式为 0 ,即
5 结 论
(1) 建立了岩石连续损伤统计本构模型 , 用任 意三轴条件下的试验参数来确定模型中的参数 ,使 建立的模型在某种程度上能够更真实地反映岩石破 坏的过程 ,表征岩石强度的变化特征 。
(2) 用极值法来求解模型中参数更加方便 , 在 工程上易于应用 ,为减少误差 ,可取多组试验数据计 算模型参数 。
ν(σ2 +σ3) ) ]- 1 ]/ F0} = 0.
(13)
联立方程式 (10) , (13) ,求解得
m
=
-
ln{ [σ1
1 - ν(σ2 + σ3) ]/
Eε1} ,
(14)
F0 = m 1/ m ( a0 I1 + J 2 ) .
因此 ,只要知道三轴条件下岩石破坏时的峰值载荷σ1
和对应的ε1 ,σ2 ,σ3 ,将岩石材料弹性阶段参数 E ,ν及
[ 4 ] 唐春安. 岩石破裂过程中的灾变[ M ] . 北京 :煤炭工业 出版社 ,1993.
关键词 :岩石破坏 ;岩石变形 ; Weibull 分布 ;本构模型 ;三轴试验 中图分类号 : TE 21 文献标识码 :A
岩石的破坏是原生裂纹的扩展和新裂纹的产生 与发展的结果 。对于岩石等脆性材料已建立了不少 损伤本构模型 ,如 J . Mazars 模型 、Loland 模型 、Bui 模型 和 Frant xikonis 模 型 等[1 ,2 ] 。1982 年 Krajci2 novic 等[3 ]从岩石材料内部所含缺陷分布的随机性 出发 ,将连续损伤理论和统计强度理论有机结合起 来 ,建立了一种简单的统计损伤模型 ,该模型具有形 式简单 、参数易于获取等特点 。文献[ 4 ,5 ]基于微元 强度理论 ,提出了一种适合于岩石冲击破坏的统计 损伤模型 ,但涉及参数多 ,具体实现困难 。另外 ,上 述模型只适用于单轴或拉伸条件 。文献 [ 6 ,7 ]从岩 石微元强度随机性出发 ,建立了三轴条件下岩石损 伤破坏统计本构模型 ,但模型参数的求解只适合低 围压条件 。笔者拟在文献[ 7 ]的基础上 ,建立岩石损 伤统计模型 ,可用任意三轴条件下的试验数据对模 型中参数进行求解并提出新的求解方法 ,得出模型 参数的数学算式 。
1 损伤演化方程及岩石本构关系
岩石微元强度服从 Weibull 分布 ,其表达式为
P ( F)
=
m F0
F F0
m- 1
exp
-
Fm
F0
.
式中 , m , F0 , F 为表征材料强度的参数 ; P ( F) 为岩
石微元强度分布函数 。
岩石材料的损伤是由微元体的不断破坏引起
的 ,设在某一级载荷作用下已破坏的微元体数目为 N f ,定义统计损伤变量为已破坏的微元体数目与总
2004 年 第 28 卷 石油大学学报 (自然科学版) Vol. 28 No. 3 第 3 期 Journal of t he University of Petroleum , China J un. 2004
文章编号 :100025870 (2004) 0320037203
Y = mX + b,
(11)
F0 = exp ( - b/ m ) .
由于计算 F 的表达式中含有σ23 ,在围压条件下
σ23 = σFra Baidu bibliotek3 ,σ23 近似等于 σ2 。从计算方法可知 , 用 σ23
代替σ2 , 在理论上存在不足 , 因为损伤变量的定义
就是用有效应力来代替表观应力 , 而且只适合在较
其他参数 a0 ,φ代入式 (14) 便可以计算出 m 和 F0 。
4 算例验证与分析
为了验证所提出的损伤统计模型及参数计算方 法的可靠性 , 引用文献 [8 ] 的资料 , 其中 E = 90 GPa ,ν = 0. 25 ,φ = 31. 303 9 ,用围压为 6. 9 M Pa 的 试验曲线来计算模型参数 ,得到三轴条件下岩石连 续损伤统计本构方程为 σ1 = Eε1exp{ - [ ( a0 I1 + J 2 ) / 305. 25 ]3. 805 7} +