随机过程-正态马尔可夫过程

于是， 于是，
C(t2, t3) +∞ +∞ C(t1, t3) = ∫−∞ ∫−∞ x1x2 f (x1) f (x2 | x1)dx1dx2 C(t2, t2 ) C(t2, t3) +∞ +∞ = ∫−∞ ∫−∞ x1x2 f (x1, x2)dx1dx2 C(t2, t2 ) C(t1, t2 )C(t2, t3) = C(t2, t2 )
由此可见， 无关。 由此可见，条件方差已与ξ1无关。条件均值为
E{ξ (t3 ) | ξ (t1) = x1,ξ (t2 ) = x2} x1 µ1 = µ3 + B B − x µ 2 2
−1 21 11
b23 x1 − µ1 b23 = µ3 + (0 ) x − µ = µ3 + b (x2 − µ2 ) b22 2 2 22
点在时间轴上平移h， 把 n 点在时间轴上平移 ，得t1+h，t2 +h ， … ，tn +h ， ， 显然平移后 n 点的概率密度函数对应的特征函数与平移 前的特征函数相等
φ(u1, u2,⋯, un;t1 + h, t2 + h,⋯, tn + h)
= φ(u1, u2,⋯, un;t1, t2,⋯, tn )
因为分布函数由其特征函数唯一确定， 因为分布函数由其特征函数唯一确定，因此有
f ( x1, x2,⋯, xn;t1 + h, t2 + h,⋯, tn + h) = f (x1, x2,⋯, xn;t1, t2,⋯tn ]
是严平稳过程。 这说明ξ(t)是严平稳过程。
3.3.2 正态马尔可夫过程
定理3.8 零均值实随机过程ξ(t)，它既是正态过程，又是 它既是正态过程， 定理 马尔可夫过程的充要条件为
C(τ ) = eaτ C(0)
因为|C(τ)|<C(0)，故τ >0 时，a<0 ， 因为 充分性：如果 充分性：如果C(τ)=eaτC(0) ，则
C(τ + s) C(τ ) C(s) = ea(τ +s) = eaτ eas = C(0) C(0) C(0)
即
C(τ )C(s) C(τ + s) = C(0)
即满足了马尔可夫过程的条件。 即满足了马尔可夫过程的条件。
定理3.10 设ξ(t)是一均方连续、平稳、实正态随机过程， 是一均方连续、平稳、实正态随机过程， 定理 C(τ)为其协方差函数 ， 则 C(τ)=eaτC(0)是该过程具有马 为其协方差函数， 为其协方差函数 是该过程具有马 尔可夫性的充分必要条件。 尔可夫性的充分必要条件。 证明：必要性： 是均方连续、平稳、 证明 ： 必要性 ： 因为 ξ(t)是均方连续 、 平稳 、 实正态过 程 ， 则其协方差函数是连续函数 ， 又因为是马尔可夫 则其协方差函数是连续函数， 过程，因此， 过程，因此，
C(0)
经过线性系统， 仍是正态过程， 因为正态过程ξ(t)经过线性系统， η(t)仍是正态过程，且 平稳、 均方连续。 所以， 根据定理3.10可知 η(t) 是马尔 平稳 、 均方连续 。 所以 ， 根据定理 可知 可夫过程。 可夫过程。
bik ⇒ Rξ (ti − tk )
宽平稳
µi = µ (i = 1,⋯, n)
则这n点的概率密度函数对应的特征函数为 则这 点的概率密度函数对应的特征函数为
φ(u1,u2,⋯,un;t1,t2,⋯,tn )
n 1 n n = exp jµ∑uk − ∑∑bikuiuk 2 i=1 k=1 k=1 n 1 n n = exp jµ∑uk − ∑∑Rξ (ti − tk )uiuk 2 i=1 k=1 k=1
+∞ +∞ +∞
∫ ∫
dx3
Байду номын сангаас
由马尔可夫性可得
+∞ +∞x f (x | x )dx dx dx C(t1, t3 ) = ∫ x1 f (x1)∫ f (x2 | x1) ∫ 3 3 2 3 2 1 −∞ −∞ −∞
+∞ +∞ = ∫ x1 f (x1)∫ f (x2 | x1)E{ (t3 )ξ(t2 ) = x2}dx2 dx1 ξ −∞ −∞
是输出为
α2 Sη ( f ) = H( jf ) Sξ ( f ) = 2 α + (2π f )2
2
由此可得
Rη (τ ) =
α
2
e
−α τ
由E{ξ(t)}=0得E{η(t)}=0 ，因此 得
Cη (τ ) = Rη (τ ) ⇒ Cη (0) =
α
2
于是， 于是，
Cη (τ ) = e
−α τ
实际上，没有零均值的条件该结论也成立。 实际上，没有零均值的条件该结论也成立。 下面证明充分性：即若正态过程且有 下面证明充分性：即若正态过程且有b13= b12 b23/ b22 ，
证明“马尔可夫性” 证明“马尔可夫性”， 即
fξ3 ξ1=x1,ξ2=x2 (x3 | x1, x2 ) = fξ3 ξ2 (x3 | ξ2 = x2 )
所以， 是马尔可夫过程。 所以， ξ(t) 是马尔可夫过程。
例3.6
图示电路，输入为零均值平稳正态白噪声， 图示电路， 输入为零均值平稳正态白噪声，求
输出过程的特性。 输出过程的特性。
R
ξ(t)
C
η(t)
解：系统传递函数的模平方为
α2 H( jf ) = 2 α + (2π f )2
2
1 α 其中， 输入平稳正态白噪声， 1。 其中， = 。输入平稳正态白噪声，即Sξ ( f ) = 1。于 RC
必要性：如果为正态马尔可夫过程，则根据定理 有 必要性：如果为正态马尔可夫过程，则根据定理3.8有
C(t1, t2 )C(t2 , t3 ) C(t1, t3 ) = C(t2 , t2 )
是平稳的， 由于ξ(n)是平稳的，故
C(t2 − t1)C(t3 − t2 ) C(t3 − t1) = C(0)
C(t1, t3 ) = Cov{ξ (t1),ξ (t3 )} = C(t1, t2 )C(t2 , t3 ) C(t2 , t2 )
其中， 其中，t1 < t2 < t3 。 证明： 证明：首先证明必要性
C(t1, t3) = E{ξ(t1)ξ(t3)} = ∫ x x f (x1, x2, x3)dx1 dx2 −∞ −∞ −∞ 1 3
2 n
设 a= C(1)/C(0)，由于 C(1) ≤C(0)，故|a|≤1 ，因此 ， ，
C(n) = anC(0)(n ≥ 0)
充分性：如果 C(n)/C(0)=an，设n=n1+n2，则 充分性：
C(n1) C(n2 ) C(n1)C(n2 ) C(n) = an1 an2 = ⇒ C(n) = C(0) C(0) C(0) C(0)
C(τ )C(s) C(τ + s) C(τ ) C(s) C(τ + s) = ⇒ = C(0) C(0) C(0) C(0)
C(τ ) 设 f (τ ) = ，则 C(0)
f (τ + s) = f (τ ) f (s)
满足上式条件的函数为指数函数， 满足上式条件的函数为指数函数，即f(τ)=eaτ 。于是
b12b23 b13 = ⇒b31b22 − b12b32 = 0 b22
以及
b2 b23 − 12 + b b32 11 b −b31b + b b32 b22 12 11 = = 23 b22 b b22 −b2 b b22 −b2 11 12 11 12
可得
2 b23 D{ξ(t3 ) | ξ (t1) = x1ξ (t2 ) = x2} = b33 − b22
§3.3 正态马尔可夫过程
3.3.1 高斯随机过程
如果随机过程{ ξ(t)，t∈T }的任意有限维分布都是正 ，∈ 态分布，则称之为“高斯过程” 态分布，则称之为“高斯过程”或“正态过程”。 正态过程” 定理3.7 宽平稳实高斯随机过程也是严平稳随机过程。 宽平稳实高斯随机过程也是严平稳随机过程。 定理 证明： 任取n个时刻 个时刻t 证明 ： 对于一宽平稳实高斯随机过程 ξ(t) 任取 个时刻 1, t2, … ，tn ，其协方差阵 B 的元素
b22 2 b11b22 − b12 = b33 − (b31 b32 ) − b21 b b − b2 11 22 12
2 b b11b22 − b12 13 b b11 23 2 b11b22 − b12
− b12
利用
设
b11 b12 B11 = b 21 b22
B21 = (b31 b32 )
b13 B = 12 b23
B22 = (b33 )
根据例3.4的结果可得条件方差 根据例 的结果可得条件方差
D{ξ (t3) ξ(t1) = x1,ξ (t2 ) = x2} = B22 − B21B−1B 11 12
无关。 也与ξ1无关。因此
fξ3 ξ1=x1,ξ2 =x2 (x3 | ξ1 = x1,ξ2 = x2 ) = fξ3 ξ2 (x3 ξ2 = x2 )
具有马尔可夫性。 证毕 证毕>。 这说明ξ(t)具有马尔可夫性。<证毕 。 定理3.9 设{ξ(n)，n =0, ±1, ±2,… }为正态分布平稳实 定理 ， 随机序列， 随机序列，且C(0)≠0，则C(n)=anC(0) (n≥0，|a|≤1)是ξ(n) ， ， 是 为马尔可夫序列的充要条件。 为马尔可夫序列的充要条件。 证明： 是平稳序列，所以C(i， 只用两点时间 证明：因为ξ(n)是平稳序列， 所以 ，j)只用两点时间 差表示C(i - j) 。 差表示
+∞
是联合正态的。 因为ξ(t)是正态过程，则ξ(t1)和ξ(t2)是联合正态的。利用 是正态过程， 例3.5的结果可得 的结果可得
C(t2 , t3 ) E{ξ (t3 )ξ (t2 ) = x2} = x2 = x2 2 C(t2 , t2 ) E{[ξ (t2 )] } E{ξ (t3 )ξ (t2 )}
，，则 设t = t3- t2，s = t2 -t1，，则
C(t)C(s) C(t + s) = C(0)
由此可得， 由此可得，
C(n −1)C(1) C(n) = C(0)
于是， 于是，
C(1) C(n) C(n −1) C(1) C(n − 2) C(1) = = C(0) = ⋯= C(0) C(0) C(0) C(0) C(0)