精心整理
第四章最小二乘法与组合测量
§1概述
最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据
其后在
x
x,
,
2
1
n
2
1
显然，最可信赖值应使出现的概率P为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即
权因子：
2
2
o
i
i
w
即权因子
i
w∝
2
1
i
，则
再用微分法，得最可信赖值x
11
n
i i
i n
i
i w x
x w
即加权算术平均值
这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。
特别是等权测量条件下，有：
以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法
1x +3x =0.5
2x +3x =-0.3
这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为4321,,,v v v v ，按最小二乘法原理
Min v
i 2
分别对321,,x x x 求偏导数，令它们等于零，得如下的确定性方程组。
(1x -0.3)+(1x +3x -0.5)=0 (2x +0.4)+(2x +3x +0.3)=0 (1x +3x -0.5)+(2x +3x +0.3)=0
可求出唯一解1x =0.325,2x =-0.425,3x =0.150这组解称之为原超定方程组的最小二乘解。
以下，一般地讨论线性参数测量方程组的最小二乘解及其精度估计。
即
x j
][][][][2211y a x a a x a a x a a t t t t t t 式中，j a ，y 分别为如下列向量
][k l a a 和][y a j 分别为如下两列向量的内积： ][k l a a =nk nl k l k l a a a a a a 2211 ][y a j =n nj j j y a y a y a 2211
正规方程组有如下特点：
（1）主对角线系数是测量方程组各列系数的平方和，全为正数。
（2）其它系数关于主对角线对称
（3）方程个数等于待求量个数，有唯一解。
由此可见，线性测量方程组的最小二乘解归结为对线性正规方程组的求解。
和n 令
x
1.矩阵的导数
设n t 阶矩阵。
1112121222122
()()
t i t ij t ni n nt a a a A a a a a A A A a a a
L L L L )
n 阶列向量（n+1阶矩阵）V 和t 阶列向量X
V 与X 的转置（行向量）记为T V 与T X . 关于向量X 的标量函数。
定义如下几个导数。
（1）矩阵对标量x 的导数
阵。
（3）行（列）向量对列（行）向量的导数
行向量T V 对列向量X 的导数等于行向量各组成元素，对列向量各组成元素分别求得
1111
2221n n i n n t
t v v x x v v v v v x x x x x x
v v x x
L
L
M L M L
T
V
(E-4) 1
11
t v v x x L （1（2（3（4()2 T T T T V V V V X X
(E-10) （5）关于常数矩阵与向量乘积的导数
()
T X A A X (E-11) () T T
T
A X =A X
(E-12)
() T T
V V AV =2AV X X
(E-13) () T T
T T
V AV =2V A X X
(E-14) 利用（E-1）、（E-4）、和（E-5）三个定义式，容易证明式（E-6）、（E-7）、（E-8）、和（E-11）、（E-11）成立。
①以下证明式（E-9）
由于1211121121212()()n n i i i T n i in n n nn i i i v v v a a a x x x V v v v x v v v a
a a x x x
L L L L
L AV
1111
1111n n i i n n n nn n i i v v a v a v x x v v a v a v x ax L L L L ＝11111111n n i i n n n nn n i n v v a v a v x x v v a v a v x x
L L L
L L 所以式（E-13）左()+2i i i AV x x x 右T T T V V AV V AV 2.正规方程
2,n l L 均令
g T T A A X =A L (E-18)
当T A A 满秩的情形，可求出
1() T T X A A A L (E-19)
一般地，可从式（E-15）出发，用稳定的数值解法，计算A 的广义逆阵1A 得
1A X L (E-20)
要进一步去研究此问题，可参阅有关近代矩阵分析及其数值方法的专着3．待求量X的协方差矩阵。
已知测量向量L协方差矩阵。
()()T D E E E
L L L L L=
11121
21222
12
n
n
n n nn Dl Dl Dl Dl Dl Dl Dl Dl Dl
L
L
L L
L
ij
Dl
所以
2 .无偏性
对X的估计式（E-19）求数学期望。
3 .有效性
设另有X的无偏估计
则有
故G I A
又
而12()D T X A A 引入单位向量
其中第i 行为1，其它为0
*
X 的y 的。
二是1对t 个未知量的线性测量方程组 AX Y 进行n 次独立的等精度测量，得12,,,n l l l K 其残余误差
12,,,n v v v K 标准偏差 。
如果i v 服从正态分布，那么2][ vv 服从2 分布，其自由度n-t ，有2 变量
的数学期望t n vv E }/]{[2 ，以S 代 。
即有t
n vv S
]
[
令t=1，由上式又导出了Bessel 公式。
2．待求量的精度估计
按照误差传播的观点，估计量12,,,t x x x K 的精度取决于直接测量数据12,,,n l l l K 的精度以及建立它们之间联系的测量方程组。
可求待求量的协方差（见二·3） 矩阵
测量。
测得1号电容值1C =0.3，2号电容值2C =-0.4，1号和3号并联电容值3C =0.5，2号和3号并联电容值4C =-0.3。
试用最小二乘法求123,,x x x 及其标准差。
解：
①列出残差方程组
为计算方便，将数据列表如下：
②按上表计算正规方程组各系数和常数项后，列出正规方程组 解出1x =0.325,2x =-0.425,3x =0.150 ③由 Y AX V 求得V (14)i v i ～
④t
n v i
2
⑤由1() T D A A ，jj d 可得112233,,d d d ⑥ jj xj d
⑦写出结果。
§4非线性参数的最小二乘法
在例5-1中，除了进行4次测量外，又对1号和2号电容器的串联电容)/(2121x x x x 进行测量，测得5y ，方差仍为2 ，那么如何处理呢？简单的办法是把它线性化。
所谓线性化，就是在未知量的附近，按泰勒级数展开取一次项，然后按线性参数最小二乘法进行迭代求解。
则有4-3），式（例5-2在例5-1的基础上，再增加一次测量串联电容)/(2121x x x x ，测得5y =0.14。
试用最小二乘法求123,,x x x 及其标准差
解：先列出测量方程组
1x =0.32x =-0.4 1x +3x =0.52x +3x =-0.3
对前4个线性测量方程组，按例5-1求出解，作为初次近似解
在(0.325,-0.425,0.150)附近，取泰勒展开的一阶近似，
写出线性化残差方程组
整理得正规方程组
解出
例4-3如图所示，要求检定线纹尺0,1,2,3刻线间的距离x1,x2,x3。
已知用组全测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。
L1=1.01,L2=0.98,L3=1.02
L4=2.02,L5=1.98,L6=3.03
解：按前述方法，可以解得
x 1=1.028(0.011)，x 2=0.983(0.011)，x 3=1.013(0.011) 这里，着重说明组合测量方法的优点。
本例对刻度间隔x 1,x 2与x 3分别测了3次，总共测量6次。
若不采用组合测量，按每刻度间隔重复测量3次计，共需作9次测量，比组合测量法多测3次。
如果待检定的刻度间隔远多于3个。
那么可以类似分析得出，采用组合测量法可以大大减少测
t n v 2
有2S jj 相近，
A=48.0933,w 1=1 B=60.4233,w 2=2 A+B=109.298,w 3=3
按下表运算，写出不等权的正规方程组
4A+3B=375.9873
3A+5B=448.7406 解出A=48.5195,B=60.6364。
