精心整理
第四章最小二乘法与组合测量
§1概述
最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。例如，取重复测量数据
其后在
x
x,
,
2
1
n
2
1
显然，最可信赖值应使出现的概率P为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即
权因子：
2
2
o
i
i
w
即权因子
i
w∝
2
1
i
，则
再用微分法，得最可信赖值x
11
n
i i
i n
i
i w x
x w
即加权算术平均值
这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。 特别是等权测量条件下，有：
以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法
1x +3x =0.5
2x +3x =-0.3
这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为4321,,,v v v v ，按最小二乘法原理
Min v
i 2
分别对321,,x x x 求偏导数，令它们等于零，得如下的确定性方程组。
(1x -0.3)+(1x +3x -0.5)=0 (2x +0.4)+(2x +3x +0.3)=0 (1x +3x -0.5)+(2x +3x +0.3)=0
可求出唯一解1x =0.325,2x =-0.425,3x =0.150这组解称之为原超定方程组的最小二乘解。 以下，一般地讨论线性参数测量方程组的最小二乘解及其精度估计。
即
x j
][][][][2211y a x a a x a a x a a t t t t t t 式中，j a ，y 分别为如下列向量
][k l a a 和][y a j 分别为如下两列向量的内积： ][k l a a =nk nl k l k l a a a a a a 2211 ][y a j =n nj j j y a y a y a 2211
正规方程组有如下特点：
（1）主对角线系数是测量方程组各列系数的平方和，全为正数。 （2）其它系数关于主对角线对称
（3）方程个数等于待求量个数，有唯一解。
由此可见，线性测量方程组的最小二乘解归结为对线性正规方程组的求解。 和n 令
x
1.矩阵的导数
设n t 阶矩阵。
1112121222122
()()
t i t ij t ni n nt a a a A a a a a A A A a a a
L L L L )
n 阶列向量（n+1阶矩阵）V 和t 阶列向量X
V 与X 的转置（行向量）记为T V 与T X . 关于向量X 的标量函数。 定义如下几个导数。
（1）矩阵对标量x 的导数
阵。
（3）行（列）向量对列（行）向量的导数
行向量T V 对列向量X 的导数等于行向量各组成元素，对列向量各组成元素分别求得
1111
2221n n i n n t
t v v x x v v v v v x x x x x x
v v x x
L
L
M L M L
T
V
(E-4) 1
11
t v v x x L （1（2（3（4()2 T T T T V V V V X X
(E-10) （5）关于常数矩阵与向量乘积的导数
()
T X A A X (E-11) () T T
T
A X =A X
(E-12)
() T T
V V AV =2AV X X
(E-13) () T T
T T
V AV =2V A X X
(E-14) 利用（E-1）、（E-4）、和（E-5）三个定义式，容易证明式（E-6）、（E-7）、（E-8）、和（E-11）、（E-11）成立。
①以下证明式（E-9）
由于1211121121212()()n n i i i T n i in n n nn i i i v v v a a a x x x V v v v x v v v a
a a x x x
L L L L
L AV
1111
1111n n i i n n n nn n i i v v a v a v x x v v a v a v x ax L L L L ＝11111111n n i i n n n nn n i n v v a v a v x x v v a v a v x x
L L L
L L 所以式（E-13）左()+2i i i AV x x x 右T T T V V AV V AV 2.正规方程
2,n l L 均令
g T T A A X =A L (E-18)
当T A A 满秩的情形，可求出
1() T T X A A A L (E-19)
一般地，可从式（E-15）出发，用稳定的数值解法，计算A 的广义逆阵1A 得
1A X L (E-20)
