1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以
0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 222s h l +=
将上式对时间t 求导，得
t
s
s t l l
d d 2d d 2= 题1-4图
根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴ t
s
v v t l v d d ,d d 0-==-
=船绳 即 θ
cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-
=船 或 s
v s h s lv v 0
2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，
v =0，
求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t
v
a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d +=
积分，得 122
34c t t v ++=
由题知，0=t ,00=v ,∴01=c
故 22
34t t v +=
又因为 22
34d d t t t x v +==
分离变量， t t t x d )2
3
4(d 2+=
积分得 2322
12c t t x ++=
由题知 0=t ,50=x ,∴52=c
故 52
1232++=t t x
所以s 10=t 时
1-10 以初速度0v ＝201s m -⋅抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示． 题1-10图 (1)在最高点，
又∵ 1
2
11
ρv a n =
∴
m
10
10
)
60
cos
20
(2
2
1
1
1
=
︒
⨯
=
=
n
a
v
ρ
(2)在落地点，
20
2
=
=v
v1
s
m-
⋅,
而o
60
cos
2
⨯
=g
a
n
∴m
80
60
cos
10
)
20
(2
2
2
2
2
=
︒
⨯
=
=
n
a
v
ρ
1-13 一船以速率
1
v＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率
2
v＝40km·h-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解：(1)大船看小艇，则有
1
2
21
v
v
v
ρ
ϖ
ϖ
-
=，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
题1-13图
由图可知1
2
2
2
1
21
h
km
50-
⋅
=
+
=v
v
v
方向北偏西︒
=
=
=87
.
36
4
3
arctan
arctan
2
1
v
v
θ
(2)小船看大船，则有
2
1
12
v
v
v
ρ
ϖ
ϖ
-
=，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度
v运动，
v的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取
v
ϖ方向为
X轴，平行斜面与X
轴垂直方向为Y 轴.如图2-2. 题2-2图
X 方向： 0=x F t v x 0= ①
Y 方向： y y ma mg F ==αsin ②
0=t 时 0=y 0=y v
由①、②式消去t ，得
2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m
k e
v )(0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为
x ＝(k mv 0)［1-t m k e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)(0k m
v ；(4)证明当k m t =时速度减至0
v 的e
1
，式中m 为质点的质量． 答: (1)∵ t
v
m kv a d d =
-= 分离变量，得
即 ⎰⎰-=v
v t m
t k v v
00d d ∴ t
m k
e
v v -=0
(2) ⎰⎰---===t
t
t
m k m k
e k
mv t e
v t v x 000)1(d d
(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞， 故有 ⎰∞
-=
='00
0d k
mv t e
v x t
m k (4)当t=
k
m
时，其速度为
