二维形式的柯西不等式

y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(3) a2 b2 c2 d 2 ac bd (4)柯西不等式的向量形式 .
(5)二维形式的三角不等式
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(5)二维形式的三角形不等式 ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2.已知2x2 3y2 6, 求证x 2 y 11
当堂检测
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
B. 2 10,2 10
C. 10, 10
D. 5, 5
2.已知x y 1,那么2x2 3 y2的最小值是( B )
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量 a,b,
c, d ,
与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
作业： 书P36 ，T1，T3，T4，T5
没有付出，就没有收获。 少壮不努力，老大徒伤悲。
祝同学们学习进步，天天开心！
此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚 丰，共出版了七部著作和800多篇论文，1882年开始出 版他的全集，至1970年已达27卷之多。
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
变例式3 1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y 5 x 1 2 5 x
52 ( 2)2 ( x 1)2 ( 5 x )2
时，等号成2立7 ， 4即x63127时，函数取最大值为
27
6
3
变例式31: 求函数y x 1 10 x的最大值.
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证 明吗？
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
例 2:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！
A. 5
B. 6
C. 25
6
5
36
D. 36 25
3.函数y 2 1 x 2x 1的最大值为_3_____
4.设实数x, y满足3x2 2 y2 6,则P 2x y的最大
值 是 ___1_1__
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
二维形式的柯西不等式
大数学家柯西（Cauchy)
法国数学家、力学家。1789年8月 21日生于巴黎，1857年5月23日卒于 索镇。曾为巴黎综合工科学校教授， 当选为法国科学院院士。曾任国王查 理十世的家庭教师。
柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯 的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和 微分方程等方面。
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
二、二维柯西不等式应用
例1 已知a,b为实数,证明(a4 b4)(a2 b2) (a3 b3)2
变式1: a,b R ,证明 (a b)(a2 b2) a a b b 变式2: a,b R ,证明 (a b)(a2 b2) b a a b
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
变式1：求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y 5 x 1 2 5 x
52 ( 2)2 ( x 1)2 ( 5 x )2
27 4 6 3 当且仅当 2 x 1 5 5 x
时，等号成立，即 x
127 27
时，函数取最大值为
6
3
变式 3.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 4.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 5.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
练习：
1.已知a2 b2 1,求证|a cos b sin | 1
1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 2
, n) .
调 和 平 均 数
几
算
何
术
平
平
均
均
数
数
平 方 平 均 数
我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西
不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明
方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
思考:阅读课本第31页探究内容
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
你能写出这个定理的证明？
定理3 (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2, y2 R, 那么 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b源自文库)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
上面两个不等式等号何时取到