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2 5 X 5 10 5 （2）P(2 X 10) P 3 3 3 X 5 P 1 1.67 3 (1.67) (1) 0.7938
设X~N(80，16)，求以下概率：
2
a 2 ( 2 2 ) b 2 ( 2 2 )
注：要熟悉掌握正态分布的定义和性质。
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正态分布典型例题解答
允许 最大为多少？ .
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2. 某工厂生产的电子管的寿命 X(小时)服从 N (160, 2 ), 若要求概率 P{120 X 200} 0.80
(1) P(X 80) ； (2) P(70<X <86)
70 80 X 80 86 80 （1）P(70 X 86) P 4 4 4 (1.5) (-2.5) 0.927
X 80 （2）P( X 80) P 0 (0) 0.5 4
设X~N(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2<X <10)
X 5 10 5 解：（1）P( X 10) P 3 3 X 5 P 1.67 (1.67) 0.9525 3
E ( aX bY )( aX bY ) E (a 2 X 2 b 2Y 2 ) a 2 E ( X 2 ) b 2 E (Y 2 ) a 2 D( X ) E ( X ) (a 2 b 2 )( 2 2 )
2
b 2 D (Y ) E (Y )
正态分布典型例题解答
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6. 某产品成箱包装，每箱重量是随机变量。假设每箱平均重量为50千克，标准 差为5千克。若用载重为5吨的汽车承运，试问每辆汽车最多可运多少箱， 才能保证不超载的概率大于97.7%.
解：设 X i是第 i 箱的重量 (i 1, 2,, n) ，各箱重量相互独立，n 箱总重量
1 (2) 设随机变量 X N (20, 22 )，若 P{ X a} ，则 a ______.
下一页
1 e ,( x )，则 P{X 5} ____. 8 2 (4) 设随机变量 X 与 Y 独立且都服从 N (, ) ，则 2 X Y 3 _______. 2 2 (5) 设随机变量 X N (3, 4 )，则 E ( X ) ______. (6) 设 X , Y 服从相同分布 N (, 2 )，则 E (aX bY )(aX bY ) ______.
2
5 9
5 (98.6 32) 37 9
25 50 5 D(S ) D(T ) 2 81 81 9
所以随机变量的概率密度为 1 ( y 37)2 1 f S ( y) e 2 50 81 2 50 81
81 ( y 37)2 9 e 100 , ( y ) 10
D(Z ) 4 2 2 5 2 ，所以 2 X Y 3 N ( 3,5 2 )
(5) E( X ) 3, D( X ) 16, E( X 2 ) D( X ) [ E( X )]2 16 9 25
2 2 (6) E ( X ) , D ( X ) , E (Y ) , D(Y )
最大为31.25.
注：计算公式根据实际需要可以从两方面使用。
正态分布典型例题解答
足 S 5 (T 32) ，求S的概率密度。
9
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3. 某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知 T N (98.6, 2)，又随机变量S(。 C)满
解： E ( S ) [ E (T ) 32]
(3) 随机变量 X 的概率密度 f ( x)
( x 5)2 8
2
解： (1) P{| X | 1} P{1 X 1} (1) (1) 2(1) 1 0.6826 a 20 a 20 1 (2) P{ X a} (0) 0 a 20 2 2 2 1 55 (3) X N (5, 22 ), P{ X 5} 1 1 (0) 2 2 (4) 2 X Y 3 Z 服从正态分布，且 E (Z ) 2 3 3
正态分布考题
1. 填空 (1) 设随机变量 X N (0,1)，则 P{| X | 1} _______.
1 (2) 设随机变量 X N (20, 22 )，若 P{ X a} ，则 a ______.
1 e ,( x )，则 P{X 5} ____. 8 2 (4) 设随机变量 X 与 Y 独立且都服从 N (, ) ，则 2 X Y 3 _______. 2 2 (5) 设随机变量 X N (3, 4 )，则 E ( X ) ______. (6) 设 X , Y 服从相同分布 N (, 2 )，则 E (aX bY )(aX bY ) ______.
(3) P(-1<X 3)= P(X 3)- P(X <-1) = (3)- (-1)= (3) – [1-(1)] = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| X | 2) = P(-2 X 2)= (2)- (-2)
= (2)- [1-(2)]=2 (2)- 1=0.9545
(3) 随机变量 X 的概率密度 f ( x)
( x 5)2 8
2
2. 某工厂生产的电子管的寿命 X(小时)服从 N (160, 2 ), 若要求概率 P{120 X 200} 0.80 允许 最大为多少？
3. 某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知 T N (98.6, 2)，又随机变量S(。 C)满
1000 10n 2 n
n 98.02
从而，每辆汽车最多装98箱才能够保证不超载的概率大于97.7%.
设X~N(80，16)，求以下概率： (1) P(X 80) ； (2) P(70<X <86)
5.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标 准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的 电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的 概率不小于0.9 6.某产品成箱包装，每箱重量是随机变量。假设每箱平均重量为50千克， 标准差为 5千克。若用载重为5吨的汽车承运，试问每辆汽车最多可运多 少箱，才能保证不超载的概率大于97.7%.
足 S 5 (T 32) ，求S的概率密度。
9
4.计算
设X~N(0，1)，求以下概率：
(1) P(X <1.5) ；(2) P(X >2)； (3) P(-1<X 3) ； (4) P(| X | 2) 设X~N(5，32)，求以下概率:
(1) P(X 10) ； (2) P(2<X <10)
X X i . 已知 E( X i ) 50, D( X ) 52. 由中心极限定理，总重量 X
2 近似服从正态分布 N (50n,5 n)，则所求概率为 P{ X 5000} 0.977
i 1
nБайду номын сангаас
或 得 解出
5000 50n 1000 10n (2) n 5 n
200 160 120 160 解： P{120 X 200} 40 40 40 2 1
40 2 于是，要使 P{120 X 200} 0.80，即 1 0.80， 40 40 或 ，反查标准正态分布表得 ，因为 0.90 1.28 40 x 是单调非降函数，所以 1.28 ，得 31.25 ，故允许
(1)=0.8413 (1.28)=0.9 (1.5)=0.9332 (1.645)=0.95 (1.67)=0.9525 (2)=0.9772 (2.5)=0.9938 (3)=0.9987
正态分布典型例题解答
1. 填空 (1) 设随机变量 X N (0,1)，则 P{| X | 1} _______.
注：正态分布的定义与性质要牢记。
4.计算 设X~N(0，1)，求以下概率： (1) P(X <1.5) ；(2) P(X >2)； (3) P(-1<X 3) ； (4) P(| X | 2) 解：(1) P(X <1.5) = (1.5)=0.9332
(2) P(X >2)=1- P(2 X)=1-0.9973=0.0227
