4.1证明所有的循环群是ABEL 群 证明：
n
n ,,**×x ,x m n
m n
a b G G a b b a x x
a b b a ++∈==∴=m
m
m 循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意是循环群，有成立，因为循环群中的元素可写成a=x 形式所以等式左边x 等式右边x ＝，，即所有
的循环群都是ABEL 群。4.2
x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m =e ，则称m 为x
的阶，试证：
C=｛e,x,x 2, …,x m-1｝ 证：
x 是G 的元素，G 满足封闭性所以，xk 是G 中的元素 C ∈G
再证C 是群：
1、x i , x j ∈C , x i ·x j = x i+j 若i+j<=m-1,则x i+j ∈C
若i+j>m,那么x i+j =x m+k =x m ·x k =x k ∈C 所以C 满足封闭性。 2、存在单位元e.
3、显然满足结合性。
4、存在逆元， 设x a ·x b =e=x m x b =x m-a
x a ∈C, (x a )-1= x b =x m-a
4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n.
证明：设G 是阶为n 的有限群，a 是G 中的任意元素，a 的阶素为k ， 则此题要证n k ≤
首先考察下列n+1个元素
a a a a a n 1
432,....
,,,+
由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G ,，而G 中仅有n 个元素，所
以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为
a
a
j
i i
+=
（n j ≤≤1）
a
a a
j
i
i
*=
由群的性质3可知，a j
是单位元，即a j
=e ，又由元素的阶数的定义可知，当a 为k 阶元素时a k
=e ，且k 是满足上诉等式的最小正整数，由此可证n j k ≤≤ 4.4 若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的
幂：
a,a2……..an
解：设n=p 1a1…….p k ak ，共n 个素数的乘积，所以群G 中每个元素都以用这k 个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有 Φ(n)=n(1-1/p 1)………(1-1/p k )
所以群G 中母元素的数目为n(1-1/p 1)………(1-1/p k )个. 4.5
证明循环群的子群也是循环群
证明：设H 是G=的子群，若H=,显然H 是循环群，否则取H 中最小的正方幂元m a ，下面证明m a 是H 的生成元,易见m a ⊆H ，只要证明H 中的任何元素都可以表成m a 的整数次方，由除法可知存在q 和r,使得l=qm+r,其中0≤r ≤m-1,因此有r a =qm l a -，因为m a 是H 中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出
l
a
=mq a }{m a ∈证明完毕。
4.6 若H 是G 的子群，x 和y 是G 的元素，试证yH xH ⋂或为空，或yH xH = 4.7 若H 是G 的子群,|H|=k,试证：
|xH|=k 其中x ∈G .
证明：∵H 是G 的子群，x ∈G ∴|xH|≤k
如果|xH|.4.8 有限群G 的阶为n ，H 是G 的子群，则H 的阶必除尽G 的阶。 答案：已知|G|=n, |H|<=|G| 设G={1210.......,,-n a a a a }， H={1210......,,-n b b b b }
因为H 是G 的子群，所以在H 中的一个r m b )(一定在G 中对应一个m a 使得
m
r
m
a
b =)(，
所以有m rm a b =，则rm 一定是m 的倍数，所以则H 的阶必除尽G 的阶。
4．9 G 是有限群，x 是G 的元素，则x 的阶必除尽G 的阶。
解：证： 设|G|=g,则231,,,,g x x x x + 中必有相同元。设k l x x =, 11k l g ≤<≤+，
则l k x e -=，1l k g ≤-≤。
对于给定的x ，存在最小的正整数r ，使得r x e =。于是23{,,,,}r H x x x x = 是G 的子群，
若H G ≠，则a H ∃∉，显然，a H H ⋂=∅，2a H H r +=。 若a H H G +=， 则
2,|r g r g =，否则a b H H ∃∉+，()b a H H H ⋂+=∅。 于是a b H H H G +++= ，(1)r k g
+=，|r g 。证毕。
4.10 若x 和y 在群G 作用下属于同一等价类，则x 所属的等价类Ex ，y 所属的等价类Ey 有
|Ex| = |Ey|
解：因为x 和y 在群G 作用下属于同一等价类，所以x 和y 在群G 作用下存在置换P 1使x 和y 互相转变，即
Ex = Ey={x,y}
所以|Ex| = |Ey|。
4．11 有一个3х3的正方形棋盘,若用红,蓝色对这9个格进行染色,要求两个格着红色,其余染蓝色,问有多少种着色方案?
解: 对于一个3×3的正方形棋盘,要求两个格着红色,其余染蓝色,如下图所示.
