高二数学教案：互斥事件有一个发生的概率(2)

件的概念理解互斥事件的概念设置练习及时进行巩固和反馈,加深理解利用实例和集合知识引导学生认识事件A B+的意义归纳：上述两个例子中事件A、B都不能同时发生，象这种不可能同时发生的事件称为互斥事件。

二、新课研究1、互斥事件的概念教学互斥事件：不可能同时发生的事件称为互斥事件。

判断引例2中：事件A与C，事件B与C是否互斥？结论：事件A、B、C，两两互斥，又称事件A、B、C，彼此互斥。

一般地，如果事件12,,,nA A AL的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,nA A AL彼此互斥．从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交．练习：1、（投影展示）判断下列每对事件是不是互斥事件：①将一枚硬币抛2次，记事件A：两次出现正面，事件B：只有一次出现正面②一射手进行一次射击，记事件A：中靶，事件B：不中靶③一射手进行一次射击，记事件A：命中的环数大于5，事件B：命中的环数小于52、一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件A ，“命中的环数大于5”为事件B,“命中的环数小于4”为事件C ，“命中的环数小于6”为事件D ．那么A,B,C,D 中有多少对互斥事件？2、互斥事件有一个发生的概率在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”思考：此事件与事件A、B是否互斥？此事件的结果组成的集合与事件A、B的结果组成的集合有何关系?设A、B是两个互斥事件，那么A B+表示这样一个事件：在同一试验中，与中有一个发生就表示它发生．那么事件A B+的概率是多少？用集合的观点加以理解与分析调动学生积极思考,口答理解互斥事件、对立事件的区别与联系分析:由于从盘中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7+2种，所以得到红球或绿球的概率：另一方面：由7272101010+=+，我们看到()()()P A B P A P B+=+这就是说，如果事件A、B互斥，那么事件A B+发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和．一般地，如果事件12,,,nA A AL彼此互斥，那么事件12nA A A+++L发生（即12,,,nA A AL中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和．即()1212()()()n nP A A A P A P A P A++=+++L L3、对立事件的教学思考:引例1、2中事件A、B能否都不发生?对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件.A的对立事件记作:A.探索:对立事件的概率加法公式有何特殊性呢?引导学生得出:()()()1()1()p A p A p A A p A p A+=+==-或归纳:互斥事件与对立事件的关系:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,两个对立事件之和为必然事件.三、例题分析例1某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：（1）求年降水量在[100,200]（mm）范围内的概率；（2）求年降水量在[150,300]（mm）范围内的概率师生互动完成对公式的探索72(),10P A B++=72(),()1010P A P B==。

高二数学互斥事件有一个发生的概率(第二课时)一 教学目标：理解对立事件的概念，理解对立事件的概率关系公式1)A P( P(A)=+ ，会利用对立事件的概率间关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率．二 教学重点：重点是对立事件的概率间关系。

三 教学难点：难点是用定义判断较复杂的事件是否互斥与对立，并会于把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率，突破重点和难点的关键是正确运用集合与分类的思想方法判断较复杂的事件的互斥与对立。

四 教学方法：启发式五 数学过程：I.复习回顾问题1 什么叫做互斥事件？问题2 怎样计算n 个互斥事件中有一个发生的概率？注意：⑴记准一些符号及其意义，比如“事件A+B ，表示事件A 与事件B 中至少有一个发生，而我们往往会想当然地认为是事件A 与B 同时发生，事实上当A 与B 互斥时，它们不可能同时发生．⑵从集会角度来看，事件A 、B 互斥，指事件A 、B 所含结果组成的集合交集为空集，所有事件的结果构成全集U ，则：问题3在一个盒内放有10个大小相同的小球，其中有6个红球，4个白球．记“从盒中摸出1个球，得到红球”为事件A ；“从盒中摸出1个球，得到白球”为事件B ．（1）事件A 与B 互斥吗？（2）事件A 与B 不可同时发生，那么它们可同时不发生吗？（3）这样的事件A 与B 的概率关系如何呢？Ⅱ. 讲授新课1．对立事件的概念对于上述问题中的事件A 与B ，由于它们不可能同时发生，所以它们是互斥事件；又由于摸出的1个球要么是红球，要么是白球，所以事件A 与B 必有一个发生．这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件．事件A 的对立事件通常记作A ．在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，只有两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件才叫做对立事件．例如某事件A ：某班今天下午第一节是语文课，事件B ：该班今天下午第一节是数学课。

这两个事件不可能同时发生，故A 、B 是互斥事件。

课 题： l1．2互斥事件有一个发生的概率(二) 教学目的： 掌握互斥事件概率的求法教学重点：互斥事件的概率的求法教学难点：互斥事件的概率的求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n =8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件.12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++ ＝12()()(n P A P A P A +++二、讲解范例：例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，则(1)摸出2个或3个白球的概率P 1＝Ｐ（A 2＋A 3）＝Ｐ（A 2）＋Ｐ（A 3）767373C C C C C C 481335482325=+=+=(2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ（B 4）＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ（A 4）＝1－1413C C 4845= 例2．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P =9436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =1-9891= 例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为 3536)1(C C 2362⨯-=x x x 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x 解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 总之，男女生相差6名三、课堂练习：1.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.2５＋0.５0＝0.7５，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1-221=43.这样做对吗?说明道理.2.战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少? (2)若事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率.4.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.5.某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.6.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.7.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 答案：1. (1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.(2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.2. (1)0.05 (2)P (C )=0.3 P (D )=0.253. 0.964. 全是同色球的概率为443，全是异色球的概率为113 5. 4534 6. (1) 157 （2）151 (3) 158 (4) 1514) 7. 9641 四、小结 ：互斥事件概率的求法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。

高二数学教案互斥事件有一个发生的概率［课型］新授［目标］⒈理解互斥事件及对立事件的概率，掌握互斥事件有一个发生的概率的计算方法；2．培养学生分析问题和解决问题的能力。

［重点］互斥事件的概率［难点］互斥事件的概率［教法］情境教学法［教程］一、课题引入：看下面的问题：在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球。

我们把“从盒子中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从盒子中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从盒子中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C。

问事件A和事件B可能同时发生吗？分析：二、新授（互斥事件）1、互斥事件：。

在上例中事件A和事件C及事件B和事件C是不是互斥事件？事件A、B、C之间的关系是怎样的？2、彼此互斥：。

从集合的角度怎样理解几个事件彼此互斥？3、对立事件：事件A的对立事件通常记作。

从集合的角度怎样理解两个对立事件的结果组成的集合的关系？4、互斥事件有一个发生的概率的计算方法在上面的问题中，“从盒子中摸出1个球，得到红球或绿球”是一个事件，当摸出的是红球或绿球时，表示这个事件发生，我们把这个事件记作A+B。

现在要问：事件A+B的概率是多少？［分析］：［结论］：它告诉我们：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和。

一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1 + A2 + … + A n）＝P（A1）+ P（A2）+ … + P（A n）5、对立事件的概率的和等于16、例题分析：［例1］某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：（1）求年降水量在［100，200］（mm）范围内的概率；（2）求年降水量在［150，300］（mm）范围内的概率。

［例2］在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少为二级品的概率是多少？［例3］由0，1，2，…，9这十个数字构成可重复数字的五位数，求：（1）“数字9至少出现一次”的概率；（2）“9至多出现一次”的概率。

互斥事件有一个发生的概率教学目标1．使学生了解互斥事件和对立事件的意义，能够运用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率，会利用两个对立事件的概率和等于1来简化一些概率的计算．2．通过互斥事件的概率的计算，进一步理解随机事件的概率的意义，提高分析问题和解决问题的能力．3.通过对互斥事件、对立事件概念的理解及其概率的计算，培养学生类比推理、信息迁移能力和转化的数学思想．4．结合互斥事件、对立事件的概念及其概率的计算，培养学生的辩证唯物主义观点和用对立统一规律分析问题的方法．教学建议（一）教材分析1．知识结构2．重点难点分析重点是互斥事件的概率加法公式的理解及运用的前提条件；难点是用定义判断较复杂的事件是否互斥，突破重点和难点的关键是正确运用集合与分类的思想方法判断较复杂的事件的互斥与对立。

（1）互斥事件的概率计算．一般地，如果事件彼此互斥，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即当直接计算某一事件的概率较为复杂时，可转而先求其对立事件的概率，可使概率的计算得到简化．（2）对互斥事件、对立事件的理解．从集合角度看，事件、互斥，就是它们相应集合的交集是空集（如图1）；事件、对立，就是事件包含的结果的集合是其对立事件包含的结果的补集（如图2）．（3）互斥事件与对立事件的区别和联系．互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．（4）怎样区分互斥事件与对立事件不能同时发生的事件与称为互斥事件。

例如某事件：某班今天下午第一节是语文课，事件：该班今天下午第一节是数学课。

这两个事件不可能同时发生，故、是互斥事件时，那么、同时发生的概率为0，而对立事件是互斥事件的特殊情况，是指两个互斥事件与，必有一个发生的事件．事件的对立事件记作：，对立事件是针对两个事件．一般地，两个事件对立是这两事件互斥的充分不必要条件．若、是对立事件，则与互斥，且A＋（A、中至少有一个发生的事件）是必然事件．如事件：某班今天下午第一节是数学课与事件：某班今天下午第一节不是数学课是对立事件．从集会的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是空集，事件的对立事件所包含的结果组成的集合，是全集中由事件所包含的结果组成的集合的补集．（5）如何正确使用互斥事件的概率加法公式如果事件、互斥，则：．如果事件是彼此互斥事件，则：特别地，若A、是对立事件，则：＝1，即：要想灵活运用此公式，必须把公式的含意理解透彻，如：在某一试验中，共有种等可能基本事件，其中事件包含个基本事件，事件包含有个基本事件．当、互斥时则中基本事件和中基本事件不存在相同的结果，事件＋的发生表示与中有一个发生．这就是说：中的这种结果，和中的这种结果中，有任意一个发生就表示事件发生了．所以：。

课题：互斥事件有一个发生的概率教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率 教学重点：会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率 .（一） 主要知识及主要方法：1.互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件.A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时()0P A B =，()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.2.对立事件的概念:事件A 和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生这时()0P A B =，()P A B +()P A = ()1P B +=，一般地,()()A P A p -=1.3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A A U =,A A =∅。

对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.当A 和B 互斥时，事件A B +的概率满足加法公式：()()()P A B P A P B +=+（A 、B 互斥）当计算事件A 的概率()P A 比较困难时，有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些，为此有()()1P A P A =-. 4.互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++.5.分类讨论思想：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.（二）典例分析：问题1．()1从装有2个红球和2各白球的口袋中任取两个球，那么下列事件中互斥事件的个数是 .A 0个 .B 1个 .C 2个 .D 3个①至少有1个白球，都是白球；②至少有1个白球，至少有1个红球；③恰有1个白球，恰有2个白球；④至少有1个白球，都是红球.()2将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不少于4，则.A A 与B 是互斥而非对立事件 .B A 与B 是对立事件.C B 与C 互斥而非对立事件 .D B 与C A 与B 是对立事件问题2．()1从分别写有0,1,2,3,4,5的六件卡片中，任取三张并组成三位数，计算：①这个三位数是偶数的概率；②这个三位数能被三整除的概率；③这个三位数比340小的概率.()2（07天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．①略；②求取出的4个球中恰有1个红球的概率；③略．()3（07重庆）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为.A 14.B79120.C34.D2324问题3．从男女生共有36人的班中，选出两名代表，每人当选的机会均等，如果选的同性代表的概率是12，求该班中男女相差几名？问题4．（07全国Ⅱ文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．()1求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；()2若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．（三）课后作业：1.()1袋中有9个编号为1,2,3，…，9的小球，从中任意随机取出2个，求至少有1个编号为奇数的概率；()2同时掷3枚骰子时，求出现的点数的和是5的倍数的概率.（四）走向高考：2.（05重庆文）若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为3.（06四川）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为.A 1954.B3554.C3854.D41604.（06浙江）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.()1若3n =，求取到的4个球全是红球的概率；()2若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n .。

互斥事件有一个发生的概率教学目标：1.理解互斥事件与对立事件的概念。

2.会用互斥事件和的概率加法公式与逆事件的概率公式计算概率。

教学重点、难点：会将复杂问题转化为几个简单问题来解决。

教学过程一基础知识1.互斥事件——不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

注意：1.彼此互斥 2. 会用集合的角度来理解互斥事件。

2.对立事件——必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

（A的对立事件记为A）3.如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和。

BPAP+=+A())((B)P4.对立事件的概率和等于1P+A=APAAP+)1())((=变形：)(P-=AP)(A1二应用例1 某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别为0.24, 0.28,0.19, 计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）不够8环的概率；例2 从0，1，2，3四个数字中任取3个进行排列，求取得的3个数字排成的数是三位数且是偶数的概率。

例3 由数字1，2，3组成可重复数字的三位数，求三位数中至多出现两个不同数字的概率例4 某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1.参加抽奖的每位顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码中任意抽出六个组成一组，如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与中奖号码相同（不计顺序）就可以得奖，则得奖的概率为（）A.1 B.321 C.354 D.4257例5 从5双不同号码的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有2只可配成一双的概率。

三练习1.盒中有3个白球、2个红球。

从中任取2个球，则至少有1个白球的概率（）A.9 B.53 C.103 D.52102.某家庭电话，打进的电话响第1声时被接听的概率为0.1，响第2声时被接听的概率为0.2，响第3声时被接听的概率为0.3,响第4声时被接听的概率为0.3，求电话在第5声之前被接听的概率。

互斥事件有一个发生的概率（2）一、课题：互斥事件有一个发生的概率（2）二、教学目标：1．理解对立事件的概念；2．理解对立事件的概率关系公式()()1P A P A +=；3．会利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率。

三、教学重点、难点：对立事件的概念和对立事件概率关系公式。

四、教学过程：（一）复习：1．什么叫做互斥事件？2．怎样计算n 个互斥事件中有一个发生的概率？（二）新课讲解：1．对立事件的概念：在一个盒内放有10个大小相同的小球，其中6个红球，4个白球，记“从盒中摸出1个球得到红球”为事件A ，“从盒中摸出1个球，得到白球”为事件B ，（1）事件A 和B 互斥吗？（2）事件A 和B 能同时发生吗？能同时不发生吗？（3）这样的事件A 和B 的概率关系如何？对于上述问题中的事件A 和B ，由于它们不可能同时发生，所以它们是互斥事件；又由于摸出的1个球要么是红球，要么是白球，所以事件A 和B 必有一个发生，这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件．事件A 的对立事件通常记作A ．在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，只有两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件才叫做对立事件。

也就是说，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件一定是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件。

从集合的角度看，有事件A 所含的结果组成的集合，是全集中有事件A 所含的结果组成的集合的补集。

2．对立事件的概率间关系：根据对立事件的意义，A A +是一个必然事件，它的概率等于1，又由于A 与A 互斥，于是()()()1P A P A A A +=+=，这就是说，对立事件的概率和等于1． 由上面的公式还可以得到()1()P A P A =-，这个公式很有用，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转化而求对立事件的概率，使概率的计算得到简化。

3．例题讲解：例1 从1，2，3，4，…，9这九个数中任取两个数，分别判断下列两个事件是否为互斥事件、对立事件：（1）恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；（互斥不对立）（2）至少有一个是奇数和两个都是奇数；（不互斥、不对立）（3）至少有一个是奇数和两个都是偶数；（互斥事件、对立事件）（4）至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。

互斥事件有一个发生的概率第一课时教学目标：理解互斥事件的概念，掌握互斥事件中有一个发生的概率的计算公式．教具准备：投影胶片．教学过程：【设置情境】1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，三个黄球，从中任取一个球．求：（1）得到红球的概率；（2）得到绿球的概率；（3）得到红球或者绿球的概率．师问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题（3）中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？【探索研究】1．互斥事件的定义我们把“从中摸出1个球，得到红球”叫做事件，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件．如果从盒中摸出1个球是红球，即事件发生，那么事件就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件发生，那么事件就不发生．就是说，事件与不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说彼此互斥．从集合的角度看，个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交．2．互斥事件有一个发生的概率设、是两个互斥事件，那么表示这样一个事件：在同一试验中，与中有一个发生就表示它发生．那么事件的概率是多少？在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件．由于从盘中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有种，所以得到红球或绿球的概率另一方面由，我们看到这就是说，如果事件互斥，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于事件分别发生的概率的和．一般地，如果事件，彼此互斥，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即3．例题分析例1 一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件，“命中的环数大于5”为事件,“命中的环数小于4”为事件，“命中的环数小于6”为事件．那么中有多少对互斥事件？（学生思考后再提问．答案：有四对，即）例2 某地区的年降水量在下列X围内的概率如下表所示：（1）求年降水量在（）X围内的概率；（2）求年降水量在（）X围内的概率；解：记这个地区的年降水量在、、、（）X围内分别为事件．这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有（1）年降水量在（）X围内的概率是（2）年降水理在（）X围内的概率是例3 一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4名．从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求代表队里男同学不超过2人的概率．解：代表队里男同学不超过2人，即男同学可以有2人、1人、或没有．记代表队里有2名男同学为事件，有1名男同学为事件，没有男同学为事件，则彼此互斥．所以代表队里男同学不超过2人的概率【演练反馈】1．把一枚硬币连续抛掷5次，求正面出现3次以上的概率．（由一名学生板演后，教师讲解）2．从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率．（由一名学生板演，教师订正）3．若、为互斥事件，则【参考答案】1．解：连续抛掷5次的结果数为，出现4次正面的结果数为，出现5次正面的结果数为，所以出现正面3次以上的概率为2．解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件，“排成的三位数的个位数字是2”为事件，且与B互斥，则“排成的三位数是偶数”为，于是教师点评：从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列的结果数是．3．0．3【总结提炼】不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求得它们的概率，然后计算．布置作业：1．课本P128习题10．6 3，4．2．、、、、五人分4本不同的书，每人至多分1本．求：（1）不要甲书，不要乙书的概率？（2）甲书不分给、，乙书不分给的概率？【参考答案】1．略． 2．（1）（2）板书设计10.6互斥事件有一个发生的概率（一）（一）设置情境问题（二）互斥事件（三）互斥事件有一个发生的概率（四）例题分析例1例2例3练习（五）小结。

互斥事件有一个发生的概率●教学目标(一)教学知识点1.互斥事件的概念.2.互斥事件有一个发生的概率的定义.(二)能力训练要求1.理解互斥事件的定义.2.会求若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，事件A1，A2，…，A n中有一个发生的概率.(三)德育渗透目标1.培养学生的逆向思维能力.2.增强学生的科学素质.●教学重点1.不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.2.几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.3.若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1，A2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A+A2+…+A n) =P(A1)+P(A2)+…+P(A n).1●教学难点对两事件是否互斥的判断.●教学方法讨论法师生共同讨论，从而使学生对互斥事件有一定的认识.●教学过程Ⅰ.课题导入通过前几节课的学习，我们掌握了等可能性事件的概率的基本求法，即从某事件发生所包含的结果数与其试验的结果总数之比，便可求得某事件发生的概率，与此同时，同学们是否考虑过他们所包含的各个结果的关系呢？Ⅱ.讲授新课比如，在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，若我们把“从盒中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从盒中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从盒中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C，则从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生；如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生；如果从盒中摸出的1个球是黄球，即事件C发生.不难发现，事件A、事件B、事件C包含的结果不可能同时出现，即事件A、B、C均不可能同时发生.那么，像这样的不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件，也可称为互不相容事件.例如，上述事件A与B是互斥事件，事件B与C是互斥事件，事件A与C也是互斥事件，即对于事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，所以也可以说事件A、B、C彼此互斥.一般地，如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，A彼此互斥.n从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果所组成的集合彼此互不相交.若将某试验的所有结果所组成的集合称为全集I，某事件A所含的结果所组成的集合称为集合A ，某事件B 所含的结果所组成的集合为B .那么，若A ∩B =∅,则称事件A 与B 互斥;若A ∩B =∅,且A ∪B =I ,即B 为A 在I 中的补集.那么事件A 与事件B 又是什么关系呢？在上面的问题中，若我们把“从盒中摸出1个球，得到的不是红球(即绿球或黄球)”记作事件B ,则事件A 与事件B 不可能同时发生，它们是互斥事件. 但又由于摸出的1个球要么是红球，要么不是红球，即事件A 与B 中必有一个发生.像这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件.事件A 的对立事件通常又记作A . 从集合的角度看，由事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果所组成的集合的补集.即若A ∩B =∅,且A ∪B =I ,则事件A 与事件B 互为对立事件.看来，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件. ［师］研究这些问题对于我们想要研究的概率问题有何价值呢？ 在上面的问题中，事件A 、事件B 、事件C 的概率分别是多少呢？［生］P (A )=107，P (B )=102，P (C )=101.［师］“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”是一个事件，当摸出的是红球或绿球时，表示这个事件发生，若把这个事件记为A +B ，则事件A +B 的概率是多少？［生］因为从盒中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有7+2种，所以得到红球或绿球的概率P (A +B )=1021071027==+. 而P (A )=107，P (B )=102.［师］不难发现P (A +B )=P (A )+P (B ).它告诉我们：如果事件A 、B 互斥，那么事件A +B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和.一般地，如果事件A 1，A 2，…,A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1，A 2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P (A 1+A 2+…+A n ) =P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).根据对立事件的意义，A +A 是一个必然事件，则P (A +A )=1.又由于A 与A 互斥，P (A )+P (A )=P (A +A )=1,∴P (A )=1-P (A ),即对立事件的概率的和等于1，这是一重要结论. 下面,我们结合一个例子来理解.［例］某人参加某抽奖活动,现有300张抽奖券,其中有1个一等奖、2个二等奖、3个三等奖,试求:(1)某人抽一次奖中奖的概率; (2)某人抽一次奖不中奖的概率.分析:由题意可知某人抽一次奖,可能中一等奖,可能中二等奖,也可能中三等奖,还可能不中奖,且这些事件是不可能同时发生的,即为互斥事件.而中奖事件发生即中一等奖、中二等奖、中三等奖三事件之一发生.解法一:设事件A :“中一等奖”, 事件B :“中二等奖”, 事件C :“中三等奖”, 则A 、B 、C 三事件互斥.事件A 、B 、C 之一发生,则“某人中奖”事件发生.且P (A )=3001,P (B)=3002,P (C)=3003.所以,某人抽一次奖中奖的概率为 P =P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C ) =300330023001++ =501. (2)某人抽一次奖而不中奖的概率为1-5049501=. 解法二:(1)由等可能性事件的概率公式可得 某人抽一次奖中奖的概率为 P =501300321=++. 某人抽一次奖不中奖的概率为5049.Ⅲ.课堂练习 ［师］(提问) ［生］(回答)课本P 131 练习1、2.解：1.(1)是互斥事件，但不是对立事件.因为在所取的2件产品中恰有1件次品系指1件是次品，另1件是正品，它同2件全是次品不可能同时出现，即互斥.又因为2件全是次品的对立事件为其中含有正品(或1件或2件全是正品)，所以不对立. (2)不是互斥事件.因为“至少有1件次品”包括1件是次品、另1件是正品或2件全是次品这2种结果. (3)不是互斥事件.因为“至少有1件正品”和“至少有1件次品”均包括1件是正品，1件是次品的结果. (4)是互斥事件，且是对立事件.因为“至少有1件次品”和“全是正品”不可能同时发生，且必有一个发生. 2.(1)是互斥事件，也是对立事件. 因为事件A 、B 不可能同时发生，且必有一个发生(即落地时向上的数不是奇数就是偶数). (2)不是互斥事件.因为当落地时向上的数为3时，事件A 、C 同时发生. (3)不是互斥事件.因为当落地时向上的数为6时，事件B 、C 同时发生. Ⅳ.课时小结通过本节课的学习，需掌握如下知识：1.互斥事件、对立事件的概念.2.互斥事件、对立事件的关系.3.互斥事件有一个发生的和概率公式： P (A 1+A 2+…A n ) =P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ) (A 1，A 2，…，A n 彼此互斥).4.对立事件的概率的和等于1, 即P (A )+P (A )=1.Ⅴ.课后作业(一)课本P 132习题11.2 1、2. (二)1.预习：课本P 126~P 127. 2.预习提纲：(1)怎样利用互斥事件有一个发生的和概率公式求一些事件的概率？ (2)如何求对立事件的概率？一、参考例题［例1］判断下列事件是否是互斥事件. (1)将一枚硬币连抛2次，设事件A ：“两次出现正面”，事件B ：“只有一次正面”； (2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A ：“两次都击中敌机”, 事件B ：“至少有一次击中敌机”. 分析：(1)中两事件不可能同时发生;(2)因为事件B 中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A 、B 有可能同时发生. 解：(1)事件A 与B 是互斥事件. (2)事件A 与B 不是互斥事件.评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：(1)摸出红球或黑球的概率.(2)摸出红球或黑球或白球的概率. 分析：(1)设事件A ：“摸出一球是红球”，事件B ：“摸出一球是黑球”. 因为事件A 与B 不可能同时发生，所以它们是互斥的. (2)设事件C ：“摸出一球是白球”，则A 、B 、C 彼此互斥. 解：设事件A ：“摸出一球是红球”，设事件B ：“摸出一球是黑球”，设事件C ：“摸出一球是白球”.∵A 与B 、B 与C 、C 与A 两两互斥,且P (A )=125，P (B )=124，P (C )=122,∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为P (A +B )=P (A )+P (B )=43124125=+. (2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为P (A +B +C ) =P (A )+P (B )+P (C ) =1211122124125=++.. (2)派出医生至少2人的概率.分析：设“不派出医生”为事件A ，“派出1名医生”为事件B ，“派出2名医生”为事件C ，“派出3名医生”为事件D ，“派出4名医生”为事件E ，“派出5名以上医生”为事件F ，则有P (A )=0.1，P (B )=0.16，P (C )=0.3，P (D )=0.4，P (E )=0.2，P (F )=0.04.由于事件A 、B 、C 、D 、E 、F 彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.解：设事件A ：“不派出医生”，事件B ：“派出1名医生”，事件C ：“派出2名医生”，事件D ：“派出3名医生”，事件E ：“派出4名医生”，事件F ：“派出5名以上医生”.∵事件A 、B 、C 、D 、E 、F 彼此互斥，且 (A )=0.1,P (B )=0.16,P (C )=0.3,P (D )=0.4, P (E )=0.2,P (F )=0.04,∴“派出医生至多2人”的概率为P (A +B +C ) =P (A )+P (B )+P (C ) =0.1+0.16+0.3=0.56, “派出医生至少2人”的概率为P (C +D +E +F ) =P (C )+P (D )+P (E )+P (F ) =0.3+0.4+0.2+0.04=0.94.［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A ：“出现一个次品”和事件B ：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.解：设事件A ：“出现一个次品”, 事件B ：“出现两个次品”, ∴事件A 与B 互斥.∵“出现次品”是事件A 和B 中有一个发生,∴P (A )=25014515C CC ⋅=499,P (B )=2452C C 25025=.∴所求的“出现次品”的概率为P (A +B )=P (A )+P (B ) =245472452499=+.评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用. 二、参考练习1.选择题(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为A.452B.152C.31D.157 答案：D(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为A.21B.32C.157D.31 答案：B(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为A.0.50B.0.98C.0.97D.0.2 答案：B(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是①恰有一个奇数和恰有一个偶数 ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数 ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数 ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A.①B.②④C.③D.①③ 答案：C 2.填空题(1)若事件A 与B ________，则称事件A 与B 是互斥的；若事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，则P (A 1+A 2+…+A n )=________.答案：不可能同时发生P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则乙输的概率是________.答案：61(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.答案：0.32(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.答案：853.解答题(1)②降水量在［１００，２５０］范围内的概率. 解：①P =0.20+0.12=0.32，∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32. ②P =0.10+0.25+0.20=0.55,∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0.55.(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.解：记“取出2个球为红球”为事件A , “取出2个球为白球”为事件B , “取出2个球为黄球”为事件C , 则A 、B 、C 彼此互斥,且P (A )=152C C 21024=,P (B )=151C C 21023=,P (C )=151C C 21023=.“2个球颜色相同”则可记为A +B +C ,∴P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=154.(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算： ①至少有2枚币值相同的概率； ②3枚币值的和为7分的概率.分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况; ②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A ，则“至少有2枚币值相同”为事件A .又∵P (A )=41C C C C 310121315=⋅⋅, ∴P (A )=1-4341=.②设“3枚币值和为7分”为事件B ,则P (B )=61C C C 3102512=⋅. 评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.。

互斥事件有一个发生的概率-教学探讨【基础知识精讲】1.事件的和设A ，B 是两个事件，那么A+B 表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生.“事件的和”教材中是结合实例说明A+B 的意义的，它可以进一步推广，“A 1+A 2+…+A n ”表示这样一个事件，在同一试验中，A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生即表示它发生.2.互斥事件与彼此互斥不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 中任何两个都是互斥事件，那么说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥.说明 ①事件的互斥是对两个事件说的.②对立事件一定是互斥事件，事件A 的对立事件记作A ，但互斥事件未必是对立事件.3.互斥事件有一个发生的概率如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即 P(A+B)＝P(A)+P(B) (1)如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1，A 2，……，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和.即 P(A 1+A 2+…+A n )＝P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (2)对于公式(1)，我们可以用古典概型的例子加以证明：设在某一随机试验之下，共有N 种等可能出现的结果，其中有m 1个结果属于事件A(也就是这m 1个结果中任何一个发生都表示A 发生)，有m 2个结果属于事件B(也就是这m 2个结果中任何一个发生都表示B 发生).这里A 与B 互斥，所以属于事件A 的m 1个结果与属于事件B 的m 2个结果中不存在相同的结果，事件A+B 的发生表示A 与B 中有一个发生，即在上述属于A 的m 1个结果连同属于B 的m 2个结果中，有任何一个发生都表示A+B 发生(或者说，凡属于A 的结果和属于B 的结果都属于A+B)，因此.P ＝(A+B)＝N m m 21+. 又 已知P(A)＝N m 1,P(B)＝Nm2.从而P(A+B)＝N m m 21+＝N m 1+Nm 2＝P(A)+P(B) 值得注意的是：①上面证法虽然是用古典概型的例子加以证明，但公式(1)对于非古典概型的互斥事件仍然是成立的，公式(2)在等可能事件的情形下，不难用数学归纳法在公式(1)的基础上加以证明.②两个事件不互斥，就不能用公式(1). 4.对立事件的概率根据对立事件的意义，A+A 是一个必然事件，它的概率等于1，又由于A 与A 互斥，从而 P(A)+P(A )＝P(A+A )＝1.即两个对立事件的概率的和等于1，该公式还可以写为P(A )＝1-P(A).【重点难点解析】本节重点是互斥事件的概率加法公式的应用，难点是对互斥事件的概率的理解.例1 10件产品中有2件次品，任取2件检验，求至少有一件是次品的概率. 解 全是正品的概率为21028C C ，则至少有一件次品的概率为1-21028C C .例2 由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：求：(1)至多2人排队的概率 (2)至少2人排队的概率解 (1)记没有人排队为事件A ，1人排队为事件B. 2人排队为事件C ，A 、B 、C 彼此互斥. P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C) ＝0.1+0.16+0.3＝0.56(2)记至少2人排队为事件D ，少于2人排队为事件A+B ，那么事件D 与A+B 是对立事件，则 P(D)＝P(B A +)＝1-(P(A)+P(B))＝1-(0.1+0.16)＝0.74.例3 甲袋装有m 个白球，n 个黑球，乙袋装有n 个白球，m 个黑球，(m ≠n),现从两袋中各摸一个球，A ：“两球同色” B ：“两球异色”，则P(A)与P(B)的大小关系为( )A.P(A)＜P(B)B.P(A)＝P(B)C.P(A)＞P(B)D.视m 、n 的大小而定解 应将A 、B 分别分解为互斥事件之前，利用公式E ∩F ＝F 时，P(E ∪F)＝P(E)+P(F). 解法一：以A 1表示取出的都是白球.A 2表示取出的都是黑球，则A 1，A 2互斥且A ＝A 1∪A 2，P(A)＝P(A 1)+P(A 2)＝2)(n m mn ++2)(n m nm +＝2)(2n m mn+.以B 1表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，B 2表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，则B 1、B 2到斥且B ＝B 1∪B 2，P(B)＝P(B 1)+P(B 2)＝22)(n m m ++22)(n m n +＝222)(n m n m ++.由于m ≠n ，故2mn ＜m 2+n 2.故P(A)＜P(B).∴选A. 解法二：显然B ＝A ，所以按解法一解出P(A)后，可得P(B)＝1-P(A).＝222)(n m n m ++.比较P(A)、P(B)即可选A.例4 甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为( )A.1437B.4435C.4425D.449分析 需将所求的比较复的事件分解为相对简单一些的事件之后，分别予以计算，最后再综合起来得结论. 解法一：甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件E ，此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋，甲袋中的白球不会减少，另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，此事件用F 1表示，并由乙袋取白球放入甲，用F 2表示，令F ＝F 1F 2.则所求事件为E ∪F ，且E 与F 互斥，显然P(E)＝85，下面计算P(F)，记F 1′为由甲袋取出白球(不放入乙袋)，F 2′为当乙袋内有5个白球，6个黑球时取出一球为白球，则显然有P(F 1F 2)＝P(F 1′F 2′).而F 1′与F 2′独立，故P(F 1′F 2′)＝83·115.所以有： P(E ∪F)＝P(E)+P(F)＝85+83·115＝85(1+113)＝4435.∴应选B.解法二：先计算白球减少的概率，甲袋内白球减少只能是从甲袋取出的球为白球放入乙袋(E )，再由乙袋(此时乙袋内已有5个白球，6个黑球)内取黑球放回甲袋(F )，故甲袋白球减少的概率为P(EF )＝83·116，从而甲袋内白球没减少的概率为1-83·116＝4435. ∴选B.【难题巧解点拨】例1 一盒中标有1至9号的小球9个，任取两个，小球上的所有标号之积为偶数的概率是多少? 解法一：①记标号之积为偶数为事件A.②P(A )＝2925C C ＝185.③P(A)＝1-P(A )＝1813. 解法二：①基本事件有C 92种；②标号之积为偶数的事件共有两类：一类有C 42种，另一类有C 41C 51种.③P ＝29151424C C C C +＝1813例2 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一排，则得到的数能被5或2整除的概率是多少?解 ①记被5整除的事件为A ，被2整除的事件为B ，A 、B 互斥②P(A)＝5544A A ＝0.2 (B)＝55442A A ＝0.4③P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.6例3 书包里有中文书5本，英文书2本，日文书3本，从中抽取1本，求抽得外文书的概率是多少? 解法一：①基本事件有n ＝C 101种 ②抽得外文书的事件有m ＝C 21+C 31＝5种 ③P ＝n m ＝21解法二：①记抽得英文书为事件A ，抽得日文书为事件B ，A 、B 互斥.②P(A)＝11012C C ＝51 P(B)＝11013C C ＝103③P(A+B)＝P(A)+P(B)＝21【课本难题解答】某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别为0.24，0.28，0.19计算这一射手在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率 (2)不够8环的概率解 (1)记射中10环为事件A ，射中9环为事件B ，A 、B 互斥 则 P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.24+0.28＝0.52(2)记不够8环为事件D ，射中8环为事件C ，则D 与A+B+C 为相互独立事件. P(D)＝P(C B A ++)＝1-P(A+B+C)＝1-(P(A)+P(B)+P(C)) ＝1-(0.24+0.28+0.19)＝0.29【命题趋势分析】本节是新增内容，主要考查互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.【典型热点考题】例1 产品中有一、二、三等品及废品4种，一、二、三等品率和废品率分别为60%，10%，20%，10%，任取一个产品检验其质量，那么取到一等品或二等品的概率是 .解 这是互斥事件，记取一个产品为一等品记为事件A ，取一个产品为二等品记为事件B ，又A 、B 为互斥事件，则P(A+B)＝P(A)+P(B)＝6%+10%＝0.6+0.1=0.7.例2 一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为( )A.152 B.158 C. 52 D.157解 记没有取出绿球的事件为A.则至少取出1个绿球的事件为A ，首先任取2个球的取法为C 102，任取2个球，没有取到绿球的取法为C 72.∴P(A)＝21027C C ＝157则 P(A )＝1-P(A)＝1-157＝158【生活实际运用】设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人是纯隐性，具有rd 基因的人为混合性.纯显性与混合性的人都露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性，问：(1)1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少? (2)2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少?解 孩子的一对基因为dd,rr,rd 的概率分别为41，41，21，孩子有显性决定的特征是具有dd,rd,所以 (1)1个孩子有显性决定的特征的概率为41+21＝43.(2)因为2个孩子如果都不具有显性决定的特征.即2个孩子都具有rr 基因的纯隐性特征，其概率为41·41＝161.所以2个孩子中至少有一个显性决定特征的概率为1-161＝1615.【知识验证实验】甲、乙两人相约在0时至1时之间在某地碰头，早到者到达后应等20分钟方可离去，如果两人到达的时刻是相互独立的，且在0时到1时之间的任何时刻是等概率的，问他们两人相遇的可能性有多大?解 设两人到达约会地点的时刻分别为x,y ，依题意，必须满足｜x-y ｜≤31才能相遇. 我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形Ⅰ内，如图所示，而相遇现象则发生在阴影区域G 内，即甲、乙两人的到达时刻(x,y)满足｜x-y ｜≤31，所以两人相遇的概率为区域G 与区域Ⅰ的面积之比： P ＝I G S S ＝1)32(12＝95. 也就是说，他们相遇的可能性过半.【知识探究学习】1.每张中国邮政贺年(有奖)明信片上附有一个六个数组成的号码，1997年、1998年公布的获奖号码(其尾数)如下：试问：(1)哪一年获奖的概率大?(注：发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5%) (2)若不考虑1997年纪念奖、1998年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少?解 (1)由于两年发行明信片数为n ＝106，为了比较获奖概率大小，只须比较获奖明信片张数的多少. 1997年获奖明信片张数为1+1+20+200+1000+10000+100000＝111222(张) 1998年获奖明信片张数为1+10+300+5000+100000＝105311(张) 故1997年获奖概率大于1998年获奖概率. (2)1997年不包含纪念奖的概率为61011222＝1.12%，1998年不包含五等奖的概率为6105311＝0.53%，相差为1.12%-0.53%＝0.59%.2.父、母、子三人举行比赛，每局总有一人胜一人负(没有平局).每局的优胜者就与未参加此局的人再进行比赛，如果某人首先胜了两局，则他就是整个比赛的优胜者.由父决定第一局由哪两人参加，其中儿子实力最强，所以父为了使自己得胜的概率达到最大，就决定第一局由他与妻子先比赛.试证父的决策为最优策略(任何一对选手中一人胜对方的概率在整个比赛中是不变的)解 设A 、B 、C 分别表示父、母、子得胜的事件，又设父胜母的概率为a ，那么母胜父的概率为1-a ；父胜子的概率为b ，那么子胜父的概率为1-b ；母胜子的概率为c ，子胜母的概率为1-c.由于儿子实力最强，有b ＜21，c ＜21. (1)若第一局先由父与母比赛，则父得胜的可能情况为：AA ，ACBA ，BCAA ，即概率为 P 1＝ab+a(1-b)ca+(1-a)(1-c)ba ＝ab+a 2c(a-b)+ab(1-a)(1-c).(2)若第一局先由父与子比赛，则父得胜的可能情况为：AA ，ABCA ，CBAA ，即概率为 P 2＝ba+b(1-a)(1-c)b+(1-b)cab ＝ab+b 2(1-a)(1-c)+abc(1-b)(3)若第一局先由母与子比赛，则父得胜的可能性的情况为：BAA ，CAA ，即概率为 P 3＝cab+(1-c)ba.从而有P 1-P 2＝ab+a 2c(1-b)+ab(1-a)(1-c)-ab-b 2(1-a)(1-c)-abc(1-b) ＝ac(1-b)(a-b)+b(1-a)(1-c)(a-b) ＝(a-b)［ac(1-b)+b(1-a)(1-c)］.P 1-P 3＝ab+a 2c(1-b)+ab(1-a)(1-c)-cab-(1-a)ba＝ab(1-c)+a 2c(1-b)+ab(1-a) ＝ab(a-c)+a 2c(1-b).由于儿子的实力最强，有a ＞b ，所以P 1＞P 2.又有a ＞c ，所以P 1＞P 3. 故第一种情况得胜的概率最大，即父的决策是最佳决策.。

相互独立事件同时发生的概率(一)一、素质教育目标（一）知识教学点使学生了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

（二）能力训练点通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟练概率的计算方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

（三）德育渗透点结合二项分布公式与二项展开式的关系，理解事物之间相互联系的观点和运用对立统一规律分析问题的辩证方法。

二、重点、难点、疑点及解决办法1．重点相互独立事件概率的计算一般地，如果事件，，…，相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即对于n个随机事件，，…，，由互斥事件和相互独立事件的意义以及两个对立事件的关系，有。

这个公式叫做概率的和与积的互补公式，它在概率的计算中经常用到。

如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是2．难点对相互独立事件的理解。

理解相互独立事件应当注意区别“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念。

前者指两个事件不可能同时发生，后者指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

一般，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果其中没有不可能事件）为前提的。

要通过实例对比，加深理解。

3．疑点二项分布与二项式定理的联系由于在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为。

如果令q = 1 – p，利用二项展开式。

可见就是展开式中的第k + 1项。

三、课时安排3课时四、教学步骤第一课时（一）复习提问问题1 什么样的两个事件是互斥事件？对立事件？问题2 互斥事件的概率是怎样计算的？（由一名学生回答，教师补充）（二）相互独立事件同时发生的概率看下面的问题甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球。

从这两个坛子里分别摸出一个球，它们都是白球的概率是多少？我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件A，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件B，很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

高二数学互斥事件有一个发生的概率【本讲主要内容】互斥事件有一个发生的概率事件的和的意义、互斥事件的概念、对立事件的概念、互斥事件的概率的求法。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 事件的和的意义对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的。

A+B 表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生。

例如抛掷一个六面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，如果掷出奇数点，记作事件A ；如果掷出的点数不大于3，记作事件B ，那么事件A+B 就是表示掷出的点数为1、2、3、5当中的一个。

事件“12n A A A +++”表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A 中至少有一个发生即表示它发生。

2. 互斥事件的概念不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,nA A A 彼此互斥。

3. 对立事件的概念事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件。

从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A 。

由于事件Ａ和事件A 不可能同时发生，它们是互斥事件。

又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A 必有一个发生。

象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

4. 互斥事件的概率的求法一般地：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生（即Ａ，Ｂ中有一个发生）的概率，等于事件Ａ，Ｂ分别发生的概率的和。

如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生（即12,,,n A A A 中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和，即12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++由对立事件的意义：Ａ＋A 是一个必然事件，它的概率等于１，又由于Ａ与A 互斥，我们得到：P(A)+P(A )＝P(A ＋A )＝１对立事件的概率的和等于１。

《互斥事件有一个发生的概率》教学设计（一）演讲稿一、教材结构与内容分析：（一）本节内容在全书及章节中的地位：《互斥事件有一个发生的概率》是高中数学新教材第二册（下册）第十章第六节的内容，按大纲要求需两节课,本节课为第一节。

在此之前，学生已学习了排列组合的有关知识及随机事件中等可能性事件的概率,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是概率中的一个重要类型，关系到以后有关概率的学习，在本章中占据极其重要的地位。

（二）数学思想方法分析：（1）在教材提供的材料中，从建构的手段分析，可以看到观察、分析、归纳、猜想、类比等数学思想方法，（2）化归思想，在求某些稍复杂的事件的概率时，通常将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和，此时应达到不重不漏的要求，或转化为求对立事件的概率，（3）集合思想，用集合的关系对事件的关系进行分析。

二、学生结构和心理特征分析：针对本届学生学习水平参差不齐的实际情况，教学时，我尽量选择大多数学生都能适应的教学方法，以实现其成绩的整体提高。

尽量调动学生的学习积极性，培养他们的主人翁责任感，使学生在轻松、愉快的氛围中自觉探究、自主学习。

三、 教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构与心理特征 ，制定如下教学目标：（一）基础知识目标：掌握互斥事件、对立事件的概念，互斥事件有一个发生的概率公式,对立事件的概率公式,能应用它们解决有关的概率问题；进一步提高对分析、归纳、猜想、类比、化归等数学思想方法的认识。

（二）能力目标：学生在参与探究数学问题的过程中，培养学生观察、分析、归纳、猜想、类比等能力，提高学生在认知过程中的自我觉察、自我评价、自我调节能力（元认知能力），从而提高探究数学问题的能力。

（三）德育情感目标：培养学生善于发现、勇于探索、勇于克服困难的坚强意识；让学生体会学习数学知识的重要性，增强学习数学的兴趣和自信心；学会合作，学会交流；同时通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。