最新高三物理学案《第三讲机械能守恒定律功能关系》精编版

第四节功能关系能量守恒定律(对应学生用书第89页)[教材知识速填]知识点1 功能关系1．内容(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．2．做功对应变化的能量形式(1)合外力的功等于物体的动能的变化．(2)重力做功引起物体重力势能的变化．(3)弹簧弹力做功引起弹性势能的变化．(4)除重力和系统内弹力以外的力做功等于物体机械能的变化．易错判断(1)做功的过程一定会有能量转化．(√)(2)力对物体做了多少功，物体就有多少能．(×)(3)力对物体做功，物体的总能量一定增加．(×)知识点2 能量守恒定律1．内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．2．适用范围能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律．3．表达式ΔE减＝ΔE增，E初＝E末．易错判断(1)能量在转化或转移的过程中，其总量会不断减少．(×)(2)能量的转化和转移具有方向性，且现在可利用的能源有限，故必须节约能源．(√)(3)滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化．(√)[教材习题回访]考查点：对功能关系理解1．(粤教版必修2P89T2)(多选)平直公路上行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰；降落伞在空中匀速下降；条形磁铁在下落过程中穿过闭合线圈，线圈中产生电流．上述不同现象中所包含的相同的物理过程是( )A ．物体克服阻力做功B ．物体动能转化为其他形式的能量C ．物体势能转化为其他形式的能量D ．物体机械能转化为其他形式的能量 [答案] AD考查点：能量的转化与守恒2．(沪科版必修2P 77T 5改编)上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小，对此现象下列说法正确的是( )A ．摆球机械能守恒B ．总能量守恒，摆球的机械能正在减少，减少的机械能转化为内能C ．能量正在消失D ．只有动能和重力势能的相互转化 [答案] B考查点：功能关系的计算3．(沪科版必修2P 55T 1)(多选)某人用手将质量为1 kg 的物体由静止向上提起1 m ，这时物体的速度为2 m/s ，g 取10 m/s 2，下列说法中正确的是( )A ．手对物体做功12 JB ．合外力做功2 JC ．合外力做功12 JD ．物体克服重力做功10 J [答案] ABD考查点：能量的转化与守恒4．(人教版必修2P 82T 2改编)三峡水力发电站是我国最大的水力发电站，平均水位落差约135 m ，水的流量约1.35×104m 3/s.船只通航需要约3 500 m 3/s 的流量，其余流量全部用来发电．水流冲击水轮机发电时，水流减少的机械能有20%转化为电能．(1)按照以上数据估算，三峡发电站的发电功率是多少？(2)设三口之家生活用电平均为0.5 kW ，如果三峡电站全部用于城市生活用电，它大约可以满足多少个百万人口城市的生活用电？[解析](1)用于发电的水流量Q ＝(1.35×104－3.5×103) m 3/s ＝1.0×104m 3/s 发电功率P ＝mgh t ×20%＝ρVgh t ×20%＝ρQgh×20%＝2.7×109W.(2)可供给用户数n ＝2.7×1090.5×103＝5.4×106人口数为N ＝3n ＝16.2×106故可满足16个百万城市的生活用电[答案](1)2.7×109 W (2)16个(对应学生用书第90页)对功能关系的理解及应用几种常见功能关系的对比各种力做功对应能的变化定量关系合力的功动能变化合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝E k2－E k1重力的功重力势能变化重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且W G＝－ΔE p＝E p1－E p2弹簧弹力的功弹性势能变化弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2只有重力、弹簧弹力做功不引起机械能变化机械能守恒ΔE＝0非重力和弹力的功机械能变化重力和弹力之外的力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE一对相互作用的滑动摩擦力做的总功内能变化作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加Q＝fs相对[题组通关]1．(多选)悬崖跳水是一项极具挑战性的极限运动，需要运动员具有非凡的胆量和过硬的技术．跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设质量为m的运动员刚入水时的速度为v，水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( ) A．他的动能减少了(F－mg)hB．他的重力势能减少了mgh－12 mv2C．他的机械能减少了FhD．他的机械能减少了mghAC [合力做的功等于动能的变化，合力做的功为(mg－F)h，动能减少了(F－mg)h，A正确；重力做的功等于重力势能的变化，故重力势能减小了mgh，B错误；重力以外的力做的功等于机械能的变化，故机械能减少了Fh，C正确，D错误．]2．(2020·陕西西安联考)(多选)如图5­4­1所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B 点在A 点正下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( ) 【导学号：84370232】图5­4­1A ．环到达B 处时，重物上升的高度h ＝d2B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小相等C ．环从A 到B ，环减少的机械能等于重物增加的机械能D ．环能下降的最大高度为43d[题眼点拨] ①“轻绳”和“光滑直杆”说明质量为m 的环下滑过程中，与重物组成的系统机械能守恒；②“到达B 处”要利用环沿绳的速度分量等于重物上升的速度． CD [环到达B 处时，对环的速度进行分解，可得v 环cos θ＝v 物，由题图中几何关系可知θ＝45°，则v 环＝2v 物，B 错；因环从A 到B ，环与重物组成的系统机械能守恒，则环减少的机械能等于重物增加的机械能，C 对；当环到达B 处时，由题图中几何关系可得重物上升的高度h ＝(2－1)d ，A 错；当环下落到最解得H ＝43低点时，设环下落高度为H ，由机械能守恒有mgH ＝2mg(H 2＋d 2－d)，d ，故D 正确．]对能量守恒定律的理解及应用1．对能量守恒定律的两点理解(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等． (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．2．能量转化问题的解题思路(1)当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律．(2)解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE 减和增加的能量总和ΔE 增，最后由ΔE 减＝ΔE 增列式求解．[多维探究]考向1 能量守恒定律的简单应用1. 蹦极是一项既惊险又刺激的运动，深受年轻人的喜爱．如图5­4­2所示，蹦极者从P 处由静止跳下，到达A 处时弹性绳刚好伸直，继续下降到最低点B 处，B 离水面还有数米距离．蹦极者(视为质点)在其下降的整个过程中，重力势能的减少量为ΔE 1、绳的弹性势能的增加量为ΔE 2、克服空气阻力做的功为W ，则下列说法正确的是( )图5­4­2A ．蹦极者从P 到A 的运动过程中，机械能守恒B ．蹦极者与绳组成的系统从A 到B 的过程中，机械能守恒C ．ΔE 1＝W ＋ΔE 2D ．ΔE 1＋ΔE 2＝WC [下落过程中有空气阻力做功，所以机械能不守恒，A 、B 项错误；根据能量守恒，在下落的全过程，有ΔE 1＝W ＋ΔE 2，故C 项正确，D 项错误．]如图所示，A 、B 、C 质量分别为m A ＝0.7 kg ，m B ＝0.2 kg ，m C ＝0.1 kg ，B 为套在细绳上的圆环，A 与水平桌面的动摩擦因数μ＝0.2，另一圆环D 固定在桌边外侧，离地面高h 2＝0.3 m ．当B 、C 从静止下降h 1＝0.3 m ，C 穿环而过，B 被D 挡住，不计绳子质量和滑轮的摩擦，取g ＝10 m/s 2，若开始时A 离桌边足够远．试求：(1)物体C 穿环瞬间的速度；(2)物体C 能否到达地面？如果能到达地面，其速度多大？[解析](1)由能量守恒定律得：(m B ＋m C )gh 1＝12(m A ＋m B ＋m C )v 21＋μm A gh 1可求得：v 1＝256 m/s.(2)设物体C 到达地面时的速度为v 2，由能量守恒定律得： m C gh 2＝12(m A ＋m C )v 22－12(m A ＋m C )v 21＋μm A gh 2可求得：v 2＝6610 m/s ，故物体C 能到达地面，到达地面时的速度为6610m/s. [答案](1)25 6 m/s (2)能 6610m/s 考向2 涉及弹簧(或橡皮绳)类的能量守恒问题2．在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性绳和蹦床的协助下实现上下弹跳．如图5­4­3所示，某次蹦床活动中小孩静止时处于O 点，当其弹跳到最高点A 后下落可将蹦床压到最低点B ，小孩可看成质点，不计空气阻力，下列说法正确的是( )图5­4­3A．从A运动到O，小孩重力势能减少量大于动能增加量B．从O运动到B，小孩动能减少量等于蹦床弹性势能增加量C．从A运动到B，小孩机械能减少量小于蹦床弹性势能增加量D．若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床弹性势能减少量A [从A运动到O，小孩重力势能减少量等于动能增加量与弹性绳的弹性势能的增加量之和，选项A正确；从O运动到B，小孩动能和重力势能的减少量等于弹性绳和蹦床的弹性势能的增加量，选项B错误；从A运动到B，小孩机械能减少量大于蹦床弹性势能增加量，选项C错误；若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床和弹性绳弹性势能减少量之和，选项D错误．] 3．(2020·河南名校联考)如图5­4­4所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.2 m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数k＝100 N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐．一个质量为1 kg的小球放在曲面AB 上，现从距BC的高度h＝0.6m处静止释放小球，它与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，小球进入管口C 端时，它对上管壁有F N＝2.5mg的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能E p＝0.5 J．重力加速度g取10 m/s2.求：图5­4­4(1)小球在C处受到的向心力大小；(2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能E km；(3)小球最终停止的位置.【导学号：84370233】[题眼点拨] ①“对上管壁有F N的作用力”要想到在c点时向心力的来源；②“速度最大时弹簧的弹性势能E p＝0.5 J”要利用速度最大时小球重力等于弹簧弹力的条件分析弹簧的形变量．[解析](1)小球进入管口C端时，它与圆管上管壁有大小为F N＝2.5mg的相互作用力，故对小球由牛顿第二定律有F N＋mg＝F n解得F n＝35 N.(2)在压缩弹簧过程中，速度最大时合力为零．设此时小球离D 端的距离为x 0，则有kx 0＝mg 解得x 0＝mgk＝0.1 m 在C 点，有F n ＝mv 2Cr解得v C ＝7 m/s由能量守恒定律有mg(r ＋x 0)＝E p ＋(E km －12mv 2C )解得E km ＝mg(r ＋x 0)＋12mv 2C －E p ＝6 J.(3)小球从A 点运动到C 点过程，由动能定理得 mgh －μmgs＝12mv 2C解得B 、C 间距离s ＝0.5 m小球与弹簧作用后返回C 处动能不变，小球的动能最终消耗在与BC 水平面相互作用的过程中． 设小球与弹簧作用后在BC 上运动的总路程为s′，由能量守恒定律有 μmgs′＝12mv 2C解得s′＝0.7 m故最终小球在BC 上距离C 为0.5 m －(0.7 m －0.5 m)＝0.3 m(或距离B 端为0.7 m －0.5 m ＝0.2 m)处停下．[答案](1)35 N (2)6 J (3)停在BC 上距离C 端0.3 m 处(或距离B 端0.2 m 处)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ＝32，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2m ，B 的质量为m ，初始时物体A 到C 点的距离为L.现给A 、B 一初速度v 0>gL ，使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点．已知重力加速度为g ，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度； (2)弹簧的最大压缩量； (3)弹簧的最大弹性势能．[解析](1)A 与斜面间的滑动摩擦力F f ＝2μ mgcos θ，物体A 向下运动到C 点的过程中，根据能量守恒定律可得：2mgLsin θ＋12·3mv 20＝12·3mv 2＋mgL ＋F f L解得v ＝v 20－gL.(2)从物体A 接触弹簧，将弹簧压缩到最短后又恰回到C 点，对系统应用动能定理 －F f ·2x＝0－12×3mv 2 解得x ＝v 202g －L2.(3)弹簧从压缩到最短到恰好能弹到C 点的过程中，对系统根据能量守恒定律可得：E p ＋mgx ＝2mgxsin θ＋F f x 所以E p ＝F f x ＝3mv 204－3mgL4.[答案](1)v 20－gL (2)v 202g －L2(3)3mv 204－3mgL 4考向3 能量守恒定律与图象的结合问题4．(多选)如图5­4­5所示，一质量为m 的小球以初动能E k0从地面竖直向上抛出，已知运动过程中受到恒定阻力f ＝kmg 作用(k 为常数且满足0<k<1)．图中两条图线分别表示小球在上升过程中动能和重力势能与其上升高度之间的关系(以地面为零势能面)，h 0表示上升的最大高度．则由图可知，下列结论正确的是( )图5­4­5A ．E 1是最大势能，且E 1＝E k0k ＋2B ．上升的最大高度h 0＝E k0k ＋1mgC ．落地时的动能E k ＝kE k0k ＋1D ．在h 1处，物体的动能和势能相等，且h 1＝E k0k ＋2mgBD [因小球上升的最大高度为h 0，由图可知其最大势能E 1＝E k0k ＋1，又E 1＝mgh 0，得h 0＝E k0k ＋1mg ，A 项错误，B 项正确．由图可知，小球上升过程中克服阻力做功为E k0－E k0k ＋1，因小球所受阻力恒定，且上升和下落高度相等，则小球下落过程中克服阻力做功为E k0－E k0k ＋1，则小球落地时的动能E k ＝E k0k ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫E k0－E k0k ＋1＝1－k k ＋1E k0，C 项错误．在h 1处，小球的动能和势能相等，则有E k0－(mg ＋f)h 1＝mgh 1，解得h 1＝E k0k ＋2mg，D 项正确．]摩擦力做功与能量的转化关系1．对摩擦生热的理解(1)从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量．(2)从能量的角度看，是其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．2．两种摩擦力做功情况比较静摩擦力滑动摩擦力不同点能量的转化方面只有能量的转移，而没有能量的转化既有能量的转移，又有能量的转化一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数和等于零一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－F f·l相对，产生的内能Q＝F f·l相对相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功[母题] 如图5­4­6所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C 是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg 可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5.sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：图5­4­6(1)小物体第一次通过C点时对轨道的压力；(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面至少要多长；(3)若斜面已经满足(2)要求，请首先判断小物体是否可能停在斜面上．再研究小物体从E点开始下落后，整个过程中系统因摩擦所产生的热量Q.【导学号：84370234】[题眼点拨] ①“粗糙斜面”要利用μ＝0.5分析物体是否会停在斜面上；②“光滑圆弧”要想到物体有可能最终在圆弧上往复性运动．[解析](1)小物体从E点到C点，由能量守恒定律得mg(h＋R)＝12mv2C①在C点，由牛顿第二定律得F N－mg＝mv2CR②联立①②式解得F N＝12.4 N.根据牛顿第三定律可知小物体对轨道的压力大小为12.4 N，方向竖直向下．(2)从E→D→C→B→A 过程，由动能定理得 W G ＋W f ＝0③ W G ＝mg[(h ＋Rcos 37°)－L AB sin 37°] ④ W f ＝－μmgcos 37°·L AB⑤联立③④⑤式解得L AB ＝2.4 m.(3)因为mgsin 37°>μmgcos 37°(或μ<tan 37°)，所以，小物体不会停在斜面上．小物体最后以C 为中心，B 为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动，从E 点开始直至运动稳定，系统因摩擦所产生的热量Q ＝ΔE p⑥ΔE p ＝mg(h ＋Rcos 37°)⑦联立⑥⑦式解得Q ＝4.8 J.[答案](1)12.4 N 方向竖直向下 (2)2.4 m (3)小物体不会停在斜面上 4.8 J[母题迁移]迁移1 传送带问题中摩擦力做功分析1.如图5­4­7所示，质量为m 的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v 匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体经过一段时间能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是( )图5­4­7A ．电动机做的功为12mv 2B ．摩擦力对物体做的功为mv 2C ．传送带克服摩擦力做的功为12mv 2D ．电动机增加的功率为μmgvD [由能量守恒可知，电动机做的功等于物体获得的动能和由于摩擦而产生的内能，选项A 错误；对物体受力分析知，仅有摩擦力对物体做功，由动能定理知，其大小应为12mv 2，选项B 错误；传送带克服摩擦力做功等于摩擦力与传送带对地位移的乘积，可知这个位移是物体对地位移的两倍，即W ＝mv 2，选项C 错误；由功率公式知电动机增加的功率为μmgv，选项D 正确．]如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v 0＝2 m/s 的速率运行，现把一质量为m ＝10 kg 的工件(可看做质点)轻轻放在皮带的底端，经过时间1.9 s ，工件被传送到h ＝1.5 m 的高处，g 取10 m/s 2，求：(1)工件与传送带间的动摩擦因数； (2)电动机由于传送工件多消耗的电能． [解析](1)由题图可知，皮带长x ＝hsin θ＝3 m ．工件速度达v 0前，做匀加速运动的位移x 1＝v t 1＝v 02t 1 匀速运动的位移为x －x 1＝v 0(t －t 1) 解得加速运动的时间t 1＝0.8 s 加速运动的位移x 1＝0.8 m 所以加速度a ＝v 0t 1＝2.5 m/s 2由牛顿第二定律有：μmgcos θ－mgsin θ＝ma 解得：μ＝32. (2)从能量守恒的观点，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能、势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量． 在时间t 1内，皮带运动的位移 x 皮＝v 0t 1＝1.6 m在时间t 1内，工件相对皮带的位移 x 相＝x 皮－x 1＝0.8 m 在时间t 1内，摩擦生热 Q ＝μmgcos θ·x 相＝60 J 工件获得的动能E k ＝12mv 20＝20 J工件增加的势能E p ＝mgh ＝150 J电动机多消耗的电能W ＝Q ＋E k ＋E p ＝230 J. [答案](1)32(2)230 J 迁移2 “滑块—木板”问题中摩擦力做功分析2．(2020·衡水四调)如图5­4­8甲所示，质量M ＝1.0 kg 的长木板A 静止在光滑水平面上，在木板的左端放置一个质量m ＝1.0 kg 的小铁块B ，铁块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，对铁块施加水平向右的拉力F ，F 大小随时间变化如图乙所示，4 s 时撤去拉力．可认为A 、B 间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：甲 乙 图5­4­8(1)0～1 s 内，A 、B 的加速度大小a A 、a B ； (2)B 相对A 滑行的最大距离x ； (3)0～4 s 内，拉力做的功W ； (4)0～4 s 内系统产生的摩擦热Q.[题眼点拨] ①“木板A 静止在光滑水平面上”说明若水平方向对木板A 施力，木板A 会做加速运动；②“F 大小随时间变化如图乙所示”，要根据数据分析A 、B 两物体是否发生相对滑动． [解析](1)在0～1 s 内，A 、B 两物体分别做匀加速直线运动 根据牛顿第二定律得μmg＝Ma A F 1－μmg＝ma B代入数据得a A ＝2 m/s 2，a B ＝4 m/s 2.(2)t 1＝1 s 后，拉力F 2＝μmg，铁块B 做匀速运动，速度大小为v 1： 木板A 仍做匀加速运动，又经过时间t 2，速度与铁块B 相等． v 1＝a B t 1又v 1＝a A (t 1＋t 2) 解得t 2＝1 s设A 、B 速度相等后一起做匀加速运动，运动时间t 3＝2 s ，加速度为a F 2＝(M ＋m)a a ＝1 m/s 2木板A 受到的静摩擦力f ＝Ma<μmg，A 、B 一起运动 x ＝12a B t 21＋v 1t 2－12a A (t 1＋t 2)2 代入数据得x ＝2 m.(3)时间t 1内拉力做的功W 1＝F 1x 1＝F 1·12a B t 21＝12 J时间t 2内拉力做的功W 2＝F 2x 2＝F 2v 1t 2＝8 J 时间t 3内拉力做的功W 3＝F 2x 3＝F 2(v 1t 3＋12at 23)＝20 J4 s 内拉力做的功W ＝W 1＋W 2＋W 3＝40 J.(4)系统的摩擦热Q 只发生在t 1＋t 2时间内，铁块与木板相对滑动阶段，此过程中系统的摩擦热Q ＝μmg·x＝4 J.[答案](1)2 m/s 24 m/s 2(2)2 m (3)40 J (4)4 J3利用Q＝F f x相对计算热量Q时，关键是对相对路程x相对的理解.例如：如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和；如果一个物体相对另一个物体往复运动，则x相对为两物体相对滑行路径的总长度.2019-2020学年高考物理模拟试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，已知电源的内阻为r，外电路的固定电阻R0＝r，可变电阻Rx的总电阻为2r，在Rx的滑动触头从A端滑向B端的过程中（）A．Rx消耗的功率变小B．电源输出的功率减小C．电源内部消耗的功率减小D．R0消耗的功率减小2．如图所示，在铁芯上、下分别绕有匝数n1=800和n2=200的两个线圈，上线圈两端u=51sin314tV的交流电源相连，将下线圈两端接交流电压表，则交流电压表的读数可能是A．2.0V B．9.0VC．12.7V D．144.0V3．如图，两个小球分别被两根长度不同的细绳悬于等高的悬点，现将细绳拉至水平后由静止释放小球，当两小球通过最低点时，两球一定有相同的( )A．速度B．角速度C．加速度D．机械能4．下列说法正确的是（）A．β衰变所释放的电子是原子核外电子电离形成的B．贝克勒尔通过实验发现了中子C．原子从a能级状态跃迁到b能级状态时吸收波长为λ1的光子；原子从b能级状态跃迁到c能级状态时发射波长为λ2的光子，已知λ1＞λ2，那么原子从a能级状态跃迁到c能级状态时将要吸收波长为212λλλ-的光子D．赫兹首次用实验证实了电磁波的存在5．人类对物质属性的认识是从宏观到微观不断深入的，下列说法正确的是（）A．晶体的物理性质都是各向异性的B．露珠呈现球状是由于液体表面张力的作用C．布朗运动是固体分子的运动，它说明分子永不停歇地做无规则运动D．当分子力表现为斥力时，分子力和分子势能总是随分子间距离的减小而减小6．地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。

功能关系能量守恒定律【学习目标】1. 理解功是能量转化的量度.2. 理解功能关系.3. 理解能量守恒定律.4. 能运用功能关系求解生活和生产中的实际问题.【自主复习】1. 做功的过程就是转化的过程，功是能量转化的.热传递是能量在物体之间的.2. 功能关系:除重力、弹力以外的其他力对系统做功的等于系统的变化.关系式:W其他力= .3. 功能关系的意义:当其他力的功为正时，系统机械能.当其他力的功为负时，系统机械能.当其他力的功为零时，系统内各种形式机械能相互转化、但没有机械能与其他形式能量之间的相互转化.即机械能.4. 能量守恒定律:能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式为另一种形式，或从一个物体到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量保持.【课堂探究】活动一:对功能关系的理解1.一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍,则此过程中铁块损失的机械能为：A.mgR/8B.mgR/4C.mgR/2D.3mgR/42.如图，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动．在移动过程中，下列说法中正确的是:A．木箱克服重力所做的功等于木箱机械能的增加B．F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和C．F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和D．Ｆ对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和活动二:关于摩擦生热的问题1.图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。

斜面轨道倾角为30°，质量为M。

木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。

下列选项正确的是：A．m＝M B．m＝2MC．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能2.电机带动水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示.当小木块与传送带相对静止时，求：（1）小木块的位移；（2）传送带转过的路程；（3）小木块获得的动能；（4）摩擦过程产生的摩擦热；（5）因传送物块电机多输出的能量.活动三:关于力学中的功能关系的应用1.如图所示，倾角为30°、高为L 的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m 、m 的两个小球A 、B 用一根长为L 的轻绳连接，A 球置于斜面顶端，现由静止释放A 、B 两球，球B 与弧形挡板碰撞过程中无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，它们最终均滑至水平面上.重力加速度为g ，不计一切摩擦.则：A.AB.BC.小球A 、B 在水平面上不可能相撞D.在A 球沿斜面下滑过程中，轻绳对B 球先做正功，后不做功2.如图所示，半径R ＝0.4 m 的光滑圆弧轨道BC 固定在竖直平面内，轨道的上端点B 和圆心O 的连线与水平方向的夹角θ＝30°，下端点C 为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在竖直挡板上．质量m ＝0.1 kg 的小物块(可视为质点)从空中A 点以v 0＝2 m/s 的速度被水平抛出，恰好从B 点沿轨道切线方向进入轨道，经过C 点后沿水平面向右运动至D 点时，弹簧被压缩至最短，C 、D 两点间的水平距离L ＝1.2m ，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g 取10 m/s 2.求：(1)小物块经过圆弧轨道上B 点时速度v B 的大小； (2)小物块经过圆弧轨道上C 点时对轨道的压力大小； (3)弹簧的弹性势能的最大值E pm .【当堂检测】1.一物体放在升降机底板上，随同升降机由静止开始竖直向下运动，运动过程中物体的机械能与物体位移关系的图象如图所示，其中0-s 1过程的图线为曲线， s 1-s 2过程的图线为直线.根据该图象，下列判断正确的是 A ．0-s 1过程中物体所受合力一定是变力 B ．s 1-s 2过程中物体可能在做匀速直线运动 C ．s 1-s 2过程中物体可能在做变加速直线运动 D ．0-s 2过程中物体的动能可能在不断增大2.如图所示，质量为M =4kg 的木板静止在光滑的水平面上，在木板的右端放置一个质量m =1kg 大小可以忽略的铁块，铁块与木板之间的摩擦因数μ=0.4，在铁块上加一个水平向左的恒力F =8N ，铁块在长L =6m 的木板上滑动。

学习资料第3节机械能守恒定律及其应用一、重力做功与重力势能1．重力做功的特点（1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2．重力势能(1）公式：E p＝mgh。

(2)特性：①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同.②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。

③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。

重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。

3．重力做功与重力势能变化的关系（1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功,重力势能就增加。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。

即W G＝E p1－E p2＝－ΔE p.二、机械能守恒定律1．机械能动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。

2．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。

（2）守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。

（3）守恒表达式：mgh1＋错误!mv错误!＝mgh2＋错误!mv错误!。

1．思考辨析（正确的画“√"，错误的画“×”)（1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。

（√）（2)重力势能的变化与零势能参考面的选取有关。

（×）(3)克服重力做功,物体的重力势能一定增加。

（√）（4)做曲线运动的物体机械能可能守恒。

（√)（5)物体初、末状态的机械能相等,则物体的机械能守恒. (×)(6)只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒。

（×)2．（粤教版必修2P70讨论与交流改编）在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。

不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小（）A．一样大B．水平抛出的最大C．斜向上抛出的最大D．斜向下抛出的最大［答案］ A3．（人教版必修2P78T3改编）如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。

功能关系能量守恒定律知识点功能关系Ⅱ1．能的概念：一个物体能对外做功，这个物体就具有能量。

2．功能关系(1)功是01能量转化的量度，即做了多少功就有02多少能量发生了转化。

(2)做功的过程一定伴随着03能量的转化，而且04能量转化必通过做功来实现。

知识点能量守恒定律Ⅱ1．内容：能量既不会凭空01产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式02转化为其他形式，或者从一个物体03转移到别的物体，在04转化或转移的过程中，能量的总量05保持不变。

2．适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中06普遍适用的一条规律。

3．表达式(1)E初＝E末，初状态各种能量的07总和等于末状态各种能量的08总和。

(2)ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。

一堵点疏通1．物体下落h，重力做功mgh，物体具有了能量mgh。

()2．在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。

()3．一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。

()4．滑动摩擦力做功时，一定会产生热量。

()5．重力和弹簧弹力之外的力做功的过程是机械能和其他形式能量转化的过程。

()答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√二对点激活1．有关功和能，下列说法正确的是()A．力对物体做了多少功，物体就具有多少能B．物体具有多少能，就一定能做多少功C．物体做了多少功，就有多少能量消失D．能量从一种形式转化为另一种形式时，可以用功来量度能量转化的多少答案 D解析功是能量转化的量度，力对物体做了多少功，就有多少能量发生了转化；并非力对物体做了多少功，物体就具有多少能；也并非物体具有多少能，就一定能做多少功，所以A、B错误。

做功的过程是能量转化的过程，能量在转化过程中总量守恒，并不消失，所以C错误，D正确。

2. (2018·浙江11月选考)奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示。

下列说法不正确的是()A．加速助跑过程中，运动员的动能增加B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加答案 B解析加速助跑过程中，运动员的速度增大，动能增加，A正确；起跳上升过程中，杆的形变程度减小，杆的弹性势能减小，运动员的重力势能增加，B错误，C正确；越过横杆后下落过程中，运动员的高度降低，重力势能转化为动能，重力势能减少，动能增加，D正确。

§3 机械能守恒定律及其应用教学目标：理解和掌握机械能守恒定律，能熟练地运用机械能守恒定律解决实际问题教学重点：机械能守恒定律的应用教学难点：判断被研究对象在经历的研究过程中机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能教学方法：复习、讨论、总结、巩固练习、计算机辅助教学教学过程：一、机械能守恒定律1．机械能守恒定律的两种表述（1）在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

（2）如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

2．对机械能守恒定律的理解：（1）机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。

通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。

另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

（2）当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

（3）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。

在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。

3．对机械能守恒条件的认识如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律．没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件．具体的讲，如果一个物理过程只有重力做功，是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其它形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变．如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其它形式的能发生转化，所以弹性势能和动能总和保持不变．分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能．如果只是动能和势能的相互转化，而没有与其它形式的能发生转化，则机械能总和不变．如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化．【例1】 如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。

27机械能守恒定律--功能关系导学案必修21、知道能量的定义，理解不同能量之间的转化，知道转化中总能量守恒。

2、理解功是能量转化的量度。

3、从能量及能量转化的角度来分析物体的运动，解决有关问题。

教学重点1、理解功和能的关系2、知道能量的转化用做功来量度教学难点在具体的物理现象中能确认具体能量的转化情况，能用做功来定量地反映这种转化、学法指导精讲精练教学准备教学设想知识要点展示→典型例题分析→达标提升→巩固知识教学过程师生互动补充内容或错题订正知识要点1、做功的过程就是的转化过程。

做了多少功，就有多少转化。

功是能量转化的量度。

（“增量”是终态量减去始态量）（1）物体动能的增量由合外力做的总功来量度：W总= ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= （弹力功是弹性势能变化的量度，即：W弹＝=EP初一EP 末）⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其= ，（W其表示除重力以外的其它力做的功）⑷当W其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

例题分析FGva例1：质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有A、物体的重力势能增加了mgHB、物体的动能减少了FHC、物体的机械能增加了FHD、物体重力势能的增加小于动能的减少例2：如图所示，小球自点由静止自由下落，到点与竖直放置的轻弹簧接触，到点时弹簧被压缩到最短，不计空气阻力，则小球在的运动过程中（）A、小球和弹簧组成的系统总机械能守恒B、小球在b点时动能最大C、小球的弹性势能，在段不断增大，动能不断减小D、小球的重力势能，在过程中不断减小例3、质量为m的物体以速度v0竖直向上抛出，物体落回到地面时，速度大小为，（设物体在运动过程中所受空气阻力大小不变）如图所示，求（1）物体运动过程中所受空气阻力的大小？（2）物体以初速度2v0竖直向上抛出时的最大高度？达标提升1某人将重物由静止开始举高H，并获得速度V，则下列说法中不正确的是（）A 人对物体做的功等于物体机械能的增量B物体所受合外力对它做的功等于物体动能的增量C克服物体重力做的功等于物体势能的增量D合外力的功等于物体动能和势能的总和的增量2、一个质量为m的物体以的加速度竖直向下运动，则在此物体下降高度的过程中，物体的（）A重力势能减少了B、动能增加了C、机械能保持不变D、机械能增加了3、如下图所示，用轻弹簧和不能伸长的轻细线分别吊质量相同的小球A、B，将两球拉开使细线与弹簧都在水平方向上，且高度相同，而后由静止放开A、B两球，两球在运动中空气阻力不计，关于两球在最低点时速度的大小是（）A、A球的速度大B、B球的速度大C、A、B球的速度大小相等D、无法判定4、如图所示、一质量为m的物体以某一速度冲上倾角300的斜面、其运动的加速度为3g／4，这物体在斜面上上升的最大高度为h、则在这过程中（）A、重力势能增加了3mgh／4B、机械能损失了mgh／2300C、动能损失了mgh D 重力势能增加了mgh5、如图所示，电梯质量为M，它的水平地板上放置一质量为m的物体，电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动。

第3节功能关系能量守恒定律知识点一| 对功能关系的理解及其应用1．内容（1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。

（2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现.2．做功对应变化的能量形式（1)合外力对物体做的功等于物体的动能的变化。

(2）重力做功引起物体重力势能的变化。

(3)弹簧弹力做功引起弹性势能的变化.（4）除重力和系统内弹力以外的力做的功等于物体机械能的变化.错误!(1)做功的过程一定会有能量转化。

(√）(2)力对物体做了多少功，物体就有多少能. (×)（3)力对物体做功,物体的总能量一定增加. (×)考法对功能关系的理解及其应用1．（2018·天津高考）滑雪运动深受人民群众喜爱.某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB,从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变,则运动员沿AB下滑过程中( )A．所受合外力始终为零B．所受摩擦力大小不变C．合外力做功一定为零D．机械能始终保持不变C［运动员做匀速圆周运动，所受合外力指向圆心，A项错误；由动能定理可知，合外力做功一定为零,C项正确；运动员所受滑动摩擦力大小等于运动员重力沿滑道向下的分力，随滑道与水平方向夹角的变化而变化,B项错误；运动员动能不变，重力势能减少，所以机械能减少，D项错误。

］2。

（2018·全国卷Ⅰ）如图所示，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平,长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧,与ab相切于b点.一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用,自a点处从静止开始向右运动。

重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点,机械能的增量为( )A．2mgR B．4mgR C．5mgR D．6mgRC[设小球运动到c点的速度大小为v c,则对小球由a到c的过程，由动能定理有F·3R－mgR＝错误!mv错误!，又F＝mg,解得v c＝2错误!，小球离开c点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g，则由竖直方向的运动可知,小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为t＝v cg＝2错误!，在水平方向的位移大小为x＝错误!gt2＝2R.由以上分析可知,小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为5R，则小球机械能的增加量为ΔE＝F·5R＝5mgR，C正确，A、B、D错误。

第3讲功能关系能量守恒定律一．几种常有的功能关系及其表达式力做功能的变化定量关系合力的功动能变化W＝E k2－E k1＝ΔE k重力的功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少(2)重力做负功，重力势能增加(3)W G＝－ΔE p＝E p1－E p2弹簧弹力的功弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少(2)弹力做负功，弹性势能增加(3)W F＝－ΔE p＝E p1－E p2只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化机械能守恒ΔE＝0 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少(3)W其他＝ΔE一对相互作用的滑动摩擦力的总功机械能减少内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力必然做负功，系统内能增加(2)摩擦生热Q＝F f·x相对[深度思虑]一对相互作用的静摩擦力做功能改变系统的机械能吗？答案不能够，因做功代数和为零．二、两种摩擦力做功特点的比较种类比较静摩擦力滑动摩擦力不相同点能量的转变方面只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转变为其他形式的能(1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体(2)一部分机械能转变为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数和总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体均能够做正功，做负功，还可以够不做功三、能量守恒定律1．内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转变为另一种形式，也许从一个物体转移到其他物体，在转变或转移的过程中，能量的总量保持不变．2．表达式ΔE减＝ΔE增．3．基本思路(1)某种形式的能量减少，必然存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量必然相等；(2)某个物体的能量减少，必然存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量必然相等．1．上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摇动，摇动的幅度越来越小，对此现象以下说法可否正确．(1)摆球机械能守恒．(×)(2)总能量守恒，摆球的机械能正在减少，减少的机械能转变为内能．(√)(3)能量正在消失．(×)(4)只有动能和重力势能的相互转变．(×)2．如图1所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧形轨道，半径OA水平、OB 竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P至B的运动过程中()图1A．重力做功2mgR B．机械能减少mgRC．合外力做功mgR D．战胜摩擦力做功12mgR答案D3．如图2所示，质量相等的物体A、B经过一轻质弹簧相连，开始时B放在地面上，A、B均处于静止状态．现经过细绳将A向上缓慢拉起，第一阶段拉力做功为W1时，弹簧变为原长；第二阶段拉力再做功W2时，B刚要走开地面．弹簧素来在弹性限度内，则()图2A．两个阶段拉力做的功相等B．拉力做的总功等于A的重力势能的增加量C．第一阶段，拉力做的功大于A的重力势能的增加量D．第二阶段，拉力做的功等于A的重力势能的增加量答案B4．(多项选择)如图3所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体．物体在A处时，弹簧处于原长状态．现用手托住物体使它从A处缓慢下降，到达B处时，手和物体自然分开．此过程中，物体战胜手的支持力所做的功为W.不考虑空气阻力．关于此过程，以下说法正确的有()图3A．物体重力势能减少量必然大于WB．弹簧弹性势能增加量必然小于WC．物体与弹簧组成的系统机械能增加量为WD．若将物体从A处由静止释放，则物体到达B处时的动能为W答案AD解析依照能量守恒定律可知，在此过程中减少的重力势能mgh＝ΔE p＋W，因此物体重力势能减少量必然大于W，不能够确定弹簧弹性势能增加量与W的大小关系，故A正确，B错误；支持力对物体做负功，因此物体与弹簧组成的系统机械能减少W，因此C错误；若将物体从A处由静止释放，从A到B的过程，依照动能定理：E k＝mgh－W＝mgh－ΔE p＝W，因此D正确．弹命题点一功能关系的理解和应用在应用功能关系解决详尽问题的过程中：(1)若只涉及动能的变化用动能定理．(2)只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系解析．(3)只涉及机械能变化，用除重力和弹簧的弹力之外的力做功与机械能变化的关系解析．(4)只涉及电势能的变化，用电场力做功与电势能变化的关系解析．例1(多项选择)如图4所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长．圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC＝h.圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A.弹簧向来在弹性限度内，重力加速度为g.则圆环()图4A．下滑过程中，加速度素来减小B．下滑过程中，战胜摩擦力做的功为14mv2C．在C处，弹簧的弹性势能为14mv2－mghD．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度经过B处的速度最大，到达C处的速度为零．答案BD解析由题意知，圆环从A到C先加速后减速，到达B处的加速度减小为零，故加速度先减小后增大，故A错误；依照能量守恒，从A到C有mgh＝W f＋E p，从C到A有12mv2＋E p＝mgh＋W f，联立解得：W f＝14mv2，E p＝mgh－14mv2，因此B正确，C错误；依照能量守恒，从A到B的过程有12mv B2＋ΔE p′＋W f′＝mgh′，B到A的过程有12mv B′2＋ΔE p′＝mgh′＋W f′，比较两式得v B′>v B，因此D正确．1．(多项选择)如图5所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和圆滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装必然滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块、经过不能伸长的轻绳超出定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()图5A ．两滑块组成的系统机械能守恒B ．重力对M 做的功等于M 动能的增加C ．轻绳对m 做的功等于m 机械能的增加D ．两滑块组成系统的机械能损失等于M 战胜摩擦力做的功答案 CD解析 两滑块释放后，M 下滑、m 上滑，摩擦力对M 做负功，系统的机械能减少，减少的机械能等于M 战胜摩擦力做的功，选项A 错误，D 正确．除重力对滑块M 做正功外，还有摩擦力和绳的拉力对滑块M 做负功，选项B 错误．绳的拉力对滑块m 做正功，滑块m 机械能增加，且增加的机械能等于拉力做的功，选项C 正确．2．(多项选择)如图6所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O 点(图中未标出)．物块的质量为m ，AB ＝a ，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点，拉力做的功为W .撤去拉力后物块由静止向左运动，经O 点到达B 点时速度为零．重力加速度为g .则上述过程中( )图6A ．物块在A 点时，弹簧的弹性势能等于W －12μmgaB ．物块在B 点时，弹簧的弹性势能小于W －32μmgaC ．经O 点时，物块的动能小于W －μmgaD ．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B 点时弹簧的弹性势能 答案 BC命题点二 摩擦力做功的特点及应用1．静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转变为内能．2．滑动摩擦力做功的特点相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能收效：(1)机械能全部转变为内能；(2)有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，别的一部分转变为内能．例2 如图7所示，质量为m ＝1kg 的滑块，在水平力作用下静止在倾角为θ＝30°的圆滑斜面上，斜面的尾端B 与水平传达带相接(滑块经过此地址滑上传达带时无能量损失)，传达带的运行速度为v 0＝3 m/s ，长为l ＝1.4 m ；今将水平力撤去，当滑块滑到传达带右端C 时，恰好与传达带速度相同．滑块与传达带间的动摩擦因数为μ＝0.25，g 取10 m/s 2.求：图7(1)水平作用力F 的大小；(2)滑块下滑的高度；(3)若滑块滑上传达带时速度大于3m/s ，滑块在传达带上滑行的整个过程中产生的热量．答案 (1)1033N (2)0.1m 或0.8m (3)0.5J解析 (1)滑块碰到水平力F 、重力mg 和支持力F N 作用途于平衡状态，水平力F ＝mg tan θ，F ＝1033N.(2)设滑块从高为h 处下滑，到达斜面底端速度为v ，下滑过程机械能守恒mgh ＝12mv 2，得v ＝2gh若滑块冲上传达带时的速度小于传达带速度，则滑块在传达带上由于碰到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动；依照动能定理有μmgl ＝12mv 02－12mv 2则h ＝v 202g －μl ，代入数据解得h ＝0.1m若滑块冲上传达带时的速度大于传达带的速度，则滑块由于碰到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动；依照动能定理：－μmgl＝12mv02－12mv2则h＝v202g＋μl代入数据解得h＝0.8m.(3)设滑块在传达带上运动的时间为t，则t时间内传达带的位移x＝v0t，mgh＝1 2mv2，v0＝v－at，μmg＝ma滑块相对传达带滑动的位移Δx＝l－x相对滑动生成的热量Q＝μmg·Δx代入数据解得Q＝0.5J.摩擦力做功的解析方法1．无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计看作功时都是用力与对地位移的乘积．2．摩擦生热的计算：公式Q＝F f·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传达带上做往来运动时，则x相对为总的相对行程．3．如图8所示，某工厂用传达带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传达带底端，第一阶段物体被加速到与传达带拥有相同的速度，第二阶段与传达带相对静止，匀速运动到传达带顶端．以下说法正确的选项是()图8A．第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功B．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量C．第一阶段物体和传达带间摩擦产生的热等于第一阶段物体机械能的增加量D．物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功答案C解析 对物体受力解析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A 错误；由动能定理知，外力做的总功等于物体动能的增加量，B 错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D 错误；设第一阶段运动时间为t ，传达带速度为v ，对物体：x 1＝v 2t ，对传达带：x 1′＝v ·t ，摩擦产生的热Q ＝F f x 相对＝F f (x 1′－x 1)＝F f ·v 2t ，机械能增加量ΔE ＝F f ·x 1＝F f ·v 2t ，因此Q ＝ΔE ，C 正确．4．(多项选择)如图9所示，一块长木块B 放在圆滑的水平面上，在B 上放一物体A ，现以恒定的外力F 拉B ，由于A 、B 间摩擦力的作用，A 将在B 上滑动，以地面为参照系，A 、B 都向前搬动一段距离．在此过程中( )图9A ．外力F 做的功等于A 和B 动能的增量B ．B 对A 的摩擦力所做的功等于A 的动能的增量C ．A 对B 的摩擦力所做的功等于B 对A 的摩擦力所做的功D ．外力F 对B 做的功等于B 的动能的增量与B 战胜摩擦力所做的功之和 答案 BD解析 A 物体所受的合外力等于B 对A 的摩擦力，对A 物体运用动能定理，则B 对A 的摩擦力所做的功等于A 的动能的增量，B 正确．A 对B 的摩擦力与B 对A 的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A 在B 上滑动，A 、B 对地的位移不等，故二者做功不等，C 错误．对B 应用动能定理W F －W f ＝ΔE k B ，W F ＝ΔE k B ＋W f ，即外力F 对B 做的功等于B 的动能的增量与B 战胜摩擦力所做的功之和，D 正确．由上述谈论知B 战胜摩擦力所做的功与A 的动能的增量(等于B 对A 的摩擦力所做的功)不等，故A 错误．命题点三 能量守恒定律及应用例3 如图10所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ＝32，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点．用一根不能伸长的轻绳经过轻质圆滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2m ，B 的质量为m ，初始时物体A 到C 点的距离为L .现给A 、B 一初速度v 0＞gL ，使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点．已知重力加速度为g ，不计空气阻力，整个过程中轻绳向来处于挺直状态，求：图10(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度；(2)弹簧的最大压缩量；(3)弹簧的最大弹性势能．答案 (1)v 20－gL (2)v 202g －L 2 (3)3mv 204－3mgL 4解析 (1)A 与斜面间的滑动摩擦力F f ＝2μmg cos θ物体A 从初始地址向下运动到C 点的过程中，依照功能关系有2mgL sin θ＋12×3mv 02＝12×3mv 2＋mgL ＋F f L解得v ＝v 20－gL(2)从物体A 接触弹簧到将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C 点的整个过程中，对A 、B 组成的系统应用动能定理－F f ·2x ＝0－12×3mv 2解得x ＝v 202g －L 2(3)弹簧从压缩到最短到恰好能弹到C 点的过程中，对A 、B 组成的系统依照功能关系有E p ＋mgx ＝2mgx sin θ＋F f x因此E p ＝F f x ＝3mv 204－3mgL 4应用能量守恒定律解题的基本思路1．分清有多少种形式的能量[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等]在变化．2．明确哪一种形式的能量增加，哪一种形式的能量减小，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．3．列出能量守恒关系：ΔE减＝ΔE增．5．如图11所示，质量为m的滑块从斜面底端以平行于斜面的初速度v0冲上固定斜面，沿斜面上升的最大高度为H，已知斜面倾角为α，斜面与滑块间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取斜面底端为零势能面，则能表示滑块在斜面上运动的机械能E、动能E k、势能E p与上升高度h之间关系的图象是()图11答案D解析重力势能的变化不过与重力做功有关，随着上升高度h的增大，重力势能增大，选项A错误；机械能的变化仅与重力和系统内弹力之外的其他力做功有关，上滑过程中有－F fhsinα＝E－E0，即E＝E0－F fhsinα；下滑过程中有－F f2H－hsinα＝E′－E0，即E′＝E0－2F f Hsinα＋F fhsinα，故上滑和下滑过程中E－h图线均为直线，选项B错误；动能的变化与合外力做功有关，上滑过程中有－mgh－F f sinαh＝E k－E k0，即E k＝E k0－(mg＋F fsinα)h，下滑过程中有－mgh－F f 2H－hsinα＝E k′－E k0，即E k′＝E k0－2F f Hsinα－(mg－F fsinα)h，故E k－h图线为直线，但下滑过程斜率小，选项C错误，D正确．6．如图12所示，在竖直方向上A、B两物体经过劲度系数为k＝16N/m的轻质弹簧相连，A放在水平川面上，B、C两物体经过细线绕过轻质定滑轮相连，C 放在倾角α＝30°的固定圆滑斜面上．用手拿住C，使细线恰好拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m＝0.2 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后它沿斜面下滑，A刚走开地面时，B获得最大速度，求：图12(1)从释放C到物体A刚走开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；(2)物体C的质量；(3)释放C到A刚走开地面的过程中细线的拉力对物体C做的功．答案(1)0.25m(2)0.8kg(3)－0.6J解析(1)设开始时弹簧的压缩量为x B，得kx B＝mg ①设物体A刚走开地面时，弹簧的伸长量为x A，得kx A＝mg ②当物体A刚走开地面时，物体C沿斜面下滑的距离为h＝x A＋x B ③由①②③解得h＝2mgk＝0.25m ④(2)物体A刚走开地面时，物体B获得最大速度v m，加速度为零，设C的质量为M，对B有F T－mg－kx A＝0 ⑤对C有Mg sinα－F T＝0 ⑥由②⑤⑥解得M＝4m＝0.8kg(3)由于x A＝x B，物体B开始运动到速度最大的过程中，弹簧弹力做功为零，且B 、C 两物体速度大小相等，由能量守恒有Mgh sin α－mgh ＝12(m ＋M )v m 2 解得v m ＝1m/s对C 由动能定理可得Mgh sin α＋W T ＝12Mv m 2 解得W T ＝－0.6J.题组1 功能关系的理解和应用1．如图1所示，一质量为m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O 点．将小球拉至A 点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O 点正下方与A 点的竖直高度差为h 的B 点时，速度大小为v .已知重力加速度为g ，以下说法正确的选项是( )图1A ．小球运动到B 点时的动能等于mgh B ．小球由A 点到B 点重力势能减少12mv 2 C ．小球由A 点到B 点战胜弹力做功为mgh D ．小球到达B 点时弹簧的弹性势能为mgh －12mv 2 答案 D解析 小球由A 点到B 点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A 项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B 项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，D 项正确；弹簧弹性势能增加量等于小球战胜弹力所做的功，C 项错误．2．(多项选择)如图2所示，质量为m 的物体(可视为质点)以某一速度由底端冲上倾角为30°的固定斜面，上升的最大高度为h ，其加速度大小为34g .在这个过程中，物体( )图2A ．重力势能增加了mghB ．动能减少了mghC ．动能减少了3mgh 2D ．机械能损失了3mgh2 答案 AC解析 物体重力势能的增加量等于战胜重力做的功，选项A 正确；合力做的功等于物体动能的变化，则可知动能减少量为ΔE k ＝ma h sin30°＝32mgh ，选项B 错误，选项C 正确；机械能的损失量等于战胜摩擦力做的功，由于mg sin30°＋F f ＝ma ，a ＝34g ，因此F f ＝14mg ，故战胜摩擦力做的功W f ＝F f h sin30°＝14mg h sin30°＝12mgh ，选项D 错误．3．小车静止在圆滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上由图3中地址无初速度释放，在小球下摆到最低点的过程中，以下说法正确的选项是( )图3A ．绳对球的拉力不做功B ．球战胜绳拉力做的功等于球减少的机械能C ．绳对车做的功等于球减少的重力势能D ．球减少的重力势能等于球增加的动能 答案 B解析 小球下摆的过程中，小车的机械能增加，小球的机械能减少，球战胜绳拉力做的功等于减少的机械能，选项A 错误，选项B 正确；绳对车做的功等于球减少的机械能，选项C 错误；球减少的重力势能等于球增加的动能和小车增加的机械能之和，选项D 错误．4.(2015·福建理综·21)如图4，质量为M 的小车静止在圆滑水平面上，小车AB 段是半径为R 的四分之一圆弧圆滑轨道，BC 段是长为L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B 点．一质量为m 的滑块在小车上从A 点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g .图4(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；(2)若不固定小车，滑块仍从A 点由静止下滑，尔后滑入BC 轨道，最后从C 点滑出小车．已知滑块质量m ＝M2，在任一时辰滑块相对地面速度的水平重量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ，求： ①滑块运动过程中，小车的最大速度大小v m ； ②滑块从B 到C 运动过程中，小车的位移大小s . 答案 (1)3mg (2)①gR 3 ②13L解析 (1)滑块滑到B 点时对小车压力最大，从A 到B 机械能守恒 mgR ＝12mv B 2滑块在B 点处，由牛顿第二定律知N －mg ＝m v 2BR解得N ＝3mg 由牛顿第三定律知 N ′＝3mg(2)①滑块下滑到达B 点时，小车速度最大．由机械能守恒mgR ＝12Mv m 2＋12m (2v m )2解得v m ＝gR 3②设滑块运动到C 点时，小车速度大小为v C ， 由功能关系mgR －μmgL ＝12Mv C 2＋12m (2v C )2设滑块从B 到C 过程中，小车运动加速度大小为a ， 由牛顿第二定律μmg ＝Ma 由运动学规律v C 2－v m 2＝－2as 解得s ＝13L .题组2 摩擦力做功的特点及应用5．足够长的水平传达带以恒定速度v 匀速运动，某时辰一个质量为m 的小物块以大小也是v 、方向与传达带的运动方向相反的初速度冲上传达带，最后小物块的速度与传达带的速度相同．在小物块与传达带间有相对运动的过程中，滑动摩擦力对小物块做的功为W ，小物块与传达带间因摩擦产生的热量为Q ，则以下判断中正确的选项是( ) A ．W ＝0，Q ＝mv 2 B ．W ＝0，Q ＝2mv 2 C ．W ＝mv 22，Q ＝mv 2 D ．W ＝mv 2，Q ＝2mv 2答案 B解析 对小物块，由动能定理有W ＝12mv 2－12mv 2＝0，设小物块与传达带间的动摩擦因数为μ，则小物块与传达带间的相对行程x 相对＝2v 2μg ，这段时间内因摩擦产生的热量Q ＝μmg ·x 相对＝2mv 2，选项B 正确．6．(多项选择)如图5，质量为M 、长度为L 的小车静止在圆滑的水平面上．质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现用一水平恒力F 作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为F f ，物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s .在这个过程中，以下结论正确的选项是( )图5A ．物块到达小车最右端时拥有的动能为F (L ＋s )B ．物块到达小车最右端时，小车拥有的动能为F f sC ．物块战胜摩擦力所做的功为F f (L ＋s )D ．物块和小车增加的机械能为F f s 答案 BC解析 对物块解析，物块有关于地的位移为L ＋s ，依照动能定理得(F －F f )(L ＋s )＝12mv 2－0，则知物块到达小车最右端时拥有的动能为(F －F f )(L ＋s )，故A 错误；对小车解析，小车对地的位移为s ，依照动能定理得F f s ＝12Mv ′2－0，则知物块到达小车最右端时，小车拥有的动能为F f s ，故B 正确；物块有关于地的位移大小为L ＋s ，则物块战胜摩擦力所做的功为F f (L ＋s )，故C 正确；依照能量守恒得，外力F 做的功转变为小车和物块的机械能和摩擦产生的内能，则有F (L ＋s )＝ΔE ＋Q ，则物块和小车增加的机械能为ΔE ＝F (L ＋s )－F f L ，故D 错误． 7．如图6所示，一物体质量m ＝2 kg ，在倾角θ＝37°的斜面上的A 点以初速度v 0＝3 m/s 下滑，A 点距弹簧上端B 的距离AB ＝4 m ．当物体到达B 后将弹簧压缩到C 点，最大压缩量BC ＝0.2 m ，尔后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高地址为D 点，D 点距A 点AD ＝3 m ．挡板及弹簧质量不计，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，求：图6(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ； (2)弹簧的最大弹性势能E pm . 答案 (1)0.52 (2)24.4J解析 (1)最后的D 点与开始的地址A 点比较： 动能减少ΔE k ＝12mv 02＝9J.重力势能减少ΔE p ＝mgl AD sin37°＝36J. 机械能减少ΔE ＝ΔE k ＋ΔE p ＝45J机械能的减少量所实用来战胜摩擦力做功，即 W f ＝F f l ＝45J ，而行程l ＝5.4m ，则 F f ＝W fl ≈8.33N.而F f ＝μmg cos37°，因此 μ＝F fmg cos37°≈0.52.(2)由A 到C 的过程：动能减少ΔE k ′＝12mv 02＝9J. 重力势能减少ΔE p ′＝mgl AC sin37°＝50.4J. 机械能的减少用于战胜摩擦力做功 W f ′＝F f l AC ＝μmg cos37°·l AC ＝35J. 由能量守恒定律得：E pm ＝ΔE k ′＋ΔE p ′－W f ′＝24.4J. 题组3 能量守恒定律及应用8．(2014·广东·16)图7是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( )图7A ．缓冲器的机械能守恒B ．摩擦力做功耗资机械能C ．垫板的动能全部转变为内能D ．弹簧的弹性势能全部转变为动能 答案 B解析 由于车厢相互撞击弹簧压缩的过程中存在战胜摩擦力做功，因此缓冲器的机械能减少，选项A 错误，B 正确；弹簧压缩的过程中，垫板的动能转变为内能和弹簧的弹性势能，选项C 、D 错误．9．如图8为某飞船先在轨道Ⅰ上绕地球做圆周运动，尔后在A 点变轨进入返回地球的椭圆轨道Ⅱ运动，已知飞船在轨道Ⅰ上做圆周运动的周期为T ，轨道半径为r ，椭圆轨道的近地址B 离地心的距离为kr (k ＜1)，引力常量为G ，飞船的质量为m ，求：图8(1)地球的质量及飞船在轨道Ⅰ上的线速度大小；(2)若规定两质点相距无量远时引力势能为零，则质量分别为M 、m 的两个质点相距为r 时的引力势能E p ＝－GMmr ，式中G 为引力常量．求飞船在A 点变轨时发动机对飞船做的功．答案 (1)4π2r 3GT 2 2πrT (2)2(k －1)π2mr 2(k ＋1)T 2解析 (1)飞船在轨道Ⅰ上运动时，由牛顿第二定律有 G Mm r 2＝mr (2πT )2求得地球的质量M ＝4π2r 3GT 2在轨道Ⅰ上的线速度大小为v ＝2πrT .(2)设飞船在椭圆轨道上远地址速度为v 1，在近地址的速度为v 2，则由开普勒第二定律有rv 1＝krv 2 依照能量守恒有12mv 12－G Mm r ＝12mv 22－G Mm kr 求得v 1＝2GMk (k ＋1)r ＝2πrT2kk ＋1因此飞船在A 点变轨时，依照动能定理，发动机对飞船做的功为W ＝12mv 12－12mv 2＝2(k －1)π2mr 2(k ＋1)T 2.。

专题09机械能守恒定律和功能关系一•功功率力对物体所做的功，等于力的大小、位移大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。

功跟完成这些功所用的时间的比值叫做功率。

1•功(1)对功的计算式w=Fs cos e的认识：计算式中的F必须是恒力，即F的大小和方向都不能变化，否则F、cos 0都不是定值，利用艸二Fscos & 就不能计算功了。

一个力厂做功的多少与其他力及物体的运动状态无关。

比如，外力厂作用在水平面上一物体，物体前进的位移是s,那么F所做的功等于尸・s。

水平而光滑与否不彫响功的人小。

如图所示，在其他条件相同的情况下，如果〃工0,则水＞以o在有些情况下，将s看作力F作用点移动的位移，可以使问题变得简单。

如图所示，一根十分细软的质量不能忽略的弹费平放在粗糙的水平而上，恒定外力尸作用其一端，并使得弹簧在平移中冇形变。

如果用力尸和力的作用点移动的位移s,求尸所做的功，显然是比较简单的。

(2)怎样计算物体在力作用下沿圆周运动的功：如图所示，质点在人小不变，方向始终沿圆周的切线方向的外力尸作用下，沿半径为斤的圆周运动一周，那么外力F做的功等于多少呢？能否以为质点运动一周的位移为零，尸所做的功也等于零呢？如果不等于零，如何计算呢？由于尸是变力，是大小不变，而方向始终变化着的力，所以不能直接应用公式胆尸・scos 0求解，而应该将I员1周分割成无穷多等份，每一等份大小等于△$,方向为圆周的切线方向，和此时的外力F方向相同。

力〃、在这段位移内所做的功为炉八A51,同样，在其他“位置”，尸做的功为K4F• A 52, 炉尸・A 53……，時F・g,力尸在质点运动一周后，外力尸累积做的功为：/ 、2/rR门鬥%+他+・・・+炽F( A S+ A s2+・・・A S》=F・刀・——二2兀n(3)对形变物体做功的讨论：划船、引船靠岸、登山、爬楼梯等都属于形变物体自身的不同部分交替做功的实例，如图「卩所示，某人划小船前行，当人奋力向前推桨柄时，桨叶向后拨水，假设水并没有移动，但水给了桨一个反作用力，方向向前推动船前行。