第六章 量纲分析和相似原理答案
6-1由实验观测得知，如图6-1所示的三角形薄壁堰的流量Q 与堰上水头H 、重力加速度g 、堰口角度θ以及反映水舌收缩和堰口阻力情况等的流量系数m 0（量纲一的量）有关。试用π定理导出三角形堰的流量公式。
解：()00θ=,,,,f Q H g m
选几何学的量H ，运动学的量g 作为相互独立的物理量，有3个π项。
111πa H g Q β=，
22
2
a H g
，3330πa H g m
对1π，其量纲公式为
11000-23-1L T M =L (LT )L T
11L :03αβ=++，1T :021β=--
解出152α=-
，11
2β=-，则可得 1
52
πQ
g H
对2π，其量纲公式为
220002L T M L (LT )
22L :0αβ=+，2T :02β=-
联立解上述方程组，可得02=α,02=β,02=γ，则可得
2π
对3π，其量纲公式为
33000
-2L T M L (LT )
33L :0αβ=+，3T :02β=-
联立解上述方程组，可得03=α,03=β,03=γ，则可得
3
0πm
123
πππ0
F ,,
即
052
(
)
0Q F m ,,
或
1052
()Q F m ,
2
501),(H g m F Q θ=
式中，θ要视堰口的实际角度而定，量纲一的量0m 要由实验来确定。 第十章三角形薄壁堰的理论分析解5
204
tan 252
Q
m gh 与上式形状相同。 6-2 根据观察、实验与理论分析，认为总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度
ρ、动力粘度μ、断面平均流速v ，断面特性几何尺寸（例如管径d 、水力半径R ）及壁面粗
糙凸出高度Δ有关。试用瑞利法求τ0的表示式； 若令沿程阻力系数8(,
)λ∆
=f Re d
，可得208
λ
τρ=
v 。
解：35
1
2
40
τk
v d
将上式写成量纲方程形式后得
35124-1-23-1-110dim ML T =(ML )(ML T )(LT )(L)(L)ααααατ--=
根据量纲和谐原理可得：
12M :1αα=+
12345L :13ααααα-=--+++ 23T :2αα-=--
选53αα、为参变量，联立解上述方程组可得：131αα=-，232αα=-，
4352ααα=-+-。
将上面求得的指数代入指数乘积形式的关系式可得：
3
3
3
35
51220k v d αααα
αατρμ---+-=∆
μρν=，又因3
3
22v v v
αα-=
,故
5533
22
2
022(,)α
α
ααρρτρν--∆∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭v v k k f Re v d d Re
d vd 若令8(,)λ∆
=f Re d
，代入上式可得
208
v λ
τρ=
6-3试用π定理求习题6-2中的τ0表示式。 解：0(,,,,,)0f v d τρμ∆=
选取d 、v 、ρ为基本物理量，因此有三个π项
11110πd v αβγρτ= 2222πd v αβγρμ= 3333πd v αβγρ=∆
先求π1，其量纲式为
11113-121dim πL (LT )(ML )(ML T )αβγ---=
111L :031αβγ=+--
1T :02β=-- 1M :01γ=+
解上述方程组可得：1112,1,0βγα=-=-=，所以有0
12πv
τρ= 再求π2，其量纲式为
22213-1-12dim π(L)(LT )(ML )(ML T )αβγ--=
222L :031αβγ=+--
2T :01β=-- 2M :01γ=+
解上述方程组可得：21γ=-，21β=-，21α=-，所以有
21πμνρ=
==d v vd Re
再求π3，其量纲式为
333133dim πL (LT )(ML )L αβγ--=
333L :031αβγ=+-+ 3T :0β=-
3M :0γ=
解上述方程组可得：30γ=，30β=，31α=-，所以有
3πd
∆=
由此可得量纲一的量所表达的关系式为
021(
,,)0τρ∆
=F v Re d
或
02
(,)τρ∆
=f Re v d
，或20
(,
)f Re v d
若令8(,)λ∆
=f Re d
，则可得
2
08
v λτρ=
6-4文丘里管喉道处的流速v 2与文丘里管进口断面管径d 1、喉道直径d 2、流体密度ρ、动力粘度μ及两断面间压差Δp 有关，试用π定理求文丘里管通过流量Q 的表达式。
