利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

f n x1k , x2k , , xnk
n f1 x1k , x2k ,
j1
x
, xnk
x
k j
0
n f 2 x1k , x2k ,
j1
x
, xnk
x
k j
0
（3-4 ）
n f n x1 k , x2k , , xnk
j1
x
x
k j
0
这是关于 xi k xi xi k i 1,2, ,n 的线性方程组，如果它的系数矩阵
（6）再通过 x3 求出 f(x 3)，…一直求下去，直到接近真正的根。当两
次求出的根之差 |xn+1-xn| ≤就ε认为 xn+1 足够接近于真实根。
牛顿迭代公式是：
xn 1 xn
f (xn) f ' (xn )
程序流程图 ：
运行 NT 程序 → 求非线性方程组的雅克比矩阵 → 代入牛顿迭代公
式 → 输出解
收敛速度快，但每次都要求导，求逆，计算量大。
在这段学习的过程中，感谢王老师给予我们耐心而清晰的讲解，
使我们掌握了一些数值分析的基本方法， 学有收获。 我感到这些数学
方法在我们今后的实际工作和学习中有非常重要的作用。 因此，再次
感谢老师给予的帮助！
xi k 1
xi k
xi k i 1,2, , n
（3-7 ）
则式（ 3-6 ）可写为
xk
F' xk
1
F
xk
（3-8 ）
或
xk 1
xk
F' xk
1
F
xk
（3-9 ）
称式（ 3-9 ）为求解非线性方程组（ 3-2 ）的牛顿迭代法，而线性方程
组（ 3-4 ）称为牛顿方程组。
三、 算法描述
（1） 在真实根 x 附近选取一个近似根 x1；
（ 2） 通过 x1 求出 f(x 1)。
（3）过 f(x 1)作 f(x) 的切线，交 x 轴于 x2。假设 x1 ，x2 很接近，可
以用公式求出 x2。由于 f ' ( x1 )
f ( x1 ) 故 x2
x1 x2
x1
f ( x1 ) f ' (x1)
（ 4）通过 x2 求出 f(x 2)； （5）再过 f(x 2)作 f(x) 的切线交 x 轴于 x3；
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
一、 问题描述
在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问
题。由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。牛顿迭代法
是求解非线性方程组的有效方法。下面具体对牛顿迭代法的算法
进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。
二、 算法基本思想
牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函
四、 举例
例：是用牛顿迭代法求解下列方程组：
2 x13 x22 1 0
x1
x
3 2
x2
4
0
初始值为
(
x1(0
)
,
x( 0) 2
)
(1.6,1.5) 。
(4-1)
运行 Newton程序得：
x1(2) 1.2366
x
(2 2
)
1.6593
x1(3) 1.2343 x2(3) 1.6615
x1(4) 1.2343
数线性化。下面我们具体讨论线性化过程：
令：
f1 x
x1
0
Fx
f 2 x , x x2 , 0 0
fn x
xn
0
则非线性方程组（ 3-2 ）
（3-1 ）
f1 x1 , x2 , , xn 0 f 2 x1 , x2 , , xn 0
f n x1 , x2 , , xn 0
可写为向量形式
（3-2 ）
Fx 0
（3-3 ）
F x 0 成为向量函数。
设
x1k
,
x
k 2
,
,
x
k n
是方程组（ 3-2 ）的一组近似解，把它的左端
在
x1k
,
x
k 2
,
, xnk 处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部
分，便得方程组（ 3-2 ）得近似方程组
f1 x1k , x2k , , xnk f 2 x1k , x2k , , xnk
x
(4 2
)
1.6615
所以取迭代次数为 3，且可取（1.2343 ，1.6615 ）为非线性方程组（4-1 ）
的近似解。
五、心得体会：
通过学习，我们认识到牛顿迭代法是求解非线性代数方程组的一
种简单而有效的方法。 我们通过将非线性代数方程组的系数矩阵求导
来使方程组线性化， 从而求得方程组的近似解。 牛顿迭代法的优点是
f1
f1
f1
x1
x2
xn
f2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f2
f2
x1 x2
xn
（3-5 ）
fn
fn
fn
x1 x2
xn
非奇异，则可解得
f1
f1
x1k
x1 x2
x2k
f2
f2
x1 x2
xnk
fn
fn
x1 x2
1
f1
xn
f1
f2 xn
f2
fn
fn
xn
（ 3-6 ）
矩阵（ 3-5 ）称为向量函数 F x 的 Jacobi 矩阵，记作 F ' x 。又记