广东省实验中学2021届高三上学期第二次阶段性测试数学试卷 含答案

广东省实验中学2021届高三年级第一次阶段考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将答题卷收回。

第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知}1,log {2>==x x y y A ， ]2,1|{>==x xy y B ，则.B A =( )A ．),21[∞+B ．)21,0(C ．),0(∞+D ．),21[)0,(+∞-∞ 2．“542sin =α"是“2tan =α”的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了规定工时定额,需要确定加工某种零件所需的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据:,(),,(211x y x ),(),,(),,(),5544332y x y x y x y ，由最小二乘法求得回归直线方程为.9.5467.0+=x y若已知54321x x x xx ++++=250，则54321y y y yy ++++=（ ）A ．75B ．155.4C ．375D ．4424．命题p ：变量),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0543y x x y ,则x yz =的最小值为41，命题q :直线2=x 的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ )A ．q p ∧B ．)()(q p ⌝∧⌝C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧ 5．已知两个单位向量21,e e ，若121)2(e e e ⊥-，则21,e e 的夹角为（ )A ．32πB ．3πC ．4πD ．6π6．已知)2,0(πα∈，)0,2(πβ-∈，31)4cos(=+πα，33)24cos(=-βπ,则)2cos(βα+=( )A ．33 B ．33-C ．935 D ．96-7．已知长方形的四个顶点：)1,0(),1,2(C ),0,2(),0,0(D B A ．一质点从点A 出发,沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到DA CD 、和AB上的点432P P P 、、(入射角等于反射角)．设4P 的坐标为)0,(4x ，若214<<x ，则θtan 的范围是（)A ．)21,31( B ．)52,31( C ．)21,52( D ．)32,52(8．设*N n ∈，函数n x x x f ln )(=,函数)0()(>=x xe x g n x．若函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象分别位于直线y =1的两侧,则n 的取值集合为（ ) A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,1{ D ．}3,2,1{二、选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中，只有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错得得0分，部分选对得得3分．9．己知函数R x x x x x x f ∈-+=,cos cos sin 32sin )(22,则( )A ．2)(2≤≤-x fB ．)(x f 在区间),0(π上只有1个零点C ．)(x f 的最小正周期为πD ．3π=x 为)(x f 图象的一条对称轴10．已知空间中不同直线n m 、和不同平面βα、，下列命题中是真命题的是( )A ．若n m 、互为异面直线,ββαα//,//,//,//n m n m ，则βα//B ．若βα//,,n m n m ⊥⊥，则βα⊥C ．若αα//,m n ⊥，则m n ⊥D ．若m n m //,,αβα⊥⊥，则β//n11．设公差不为0的等差数列}{na 的前n 项和为nS ，若1817S S=,则下列各式的值为0的是（ )A ．17a B ．35S C ．1917a a- D ．1619S S-12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为c a 2,2，下列结论正确的是（ ） A ．卫星向径的取值范围是],[c a c a +-B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小第二部分 非选择题 (90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12,则它的内切圆面积为____．14．大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．15．如图，在四棱锥ABCD S -中，⊥SA 平面ABCD ，底面ABCD是菱形，且DAB ∠1,60===AB SA，则异面直线SD 与BC 所成的角的余弦值为 ，点C 到平面SAD 的距离等于 ．16．点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右支上，其左、右焦点分别为、1F 2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ,线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的离心率为____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分)设}{na 是公差大于零的等差数列，己知.27,32231-==a a a (1)求}{na 的通项公式;（2)设}{nb 是以函数x y π2sin 4=的最小正周期为首项,以2为公比的等比数列，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和nS .18．(本小题12分）在①41sin sin =C B ；②332tan tan =+C B 这两个条件中任选一个,补充到下面问题中，并进行作答．在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为32,31tan tan ,,,==a C B c b a ， .（1)求角C B A ,,的大小； （2)求ABC ∆的周长和面积．19．（本小题12分）在多面体111B A ABCC 中，四边形11A ABB 为菱形，601=∠BA B ，平面⊥11A ABB 平面,21,11C B BC ABC =.,1C B AB BC AC ⊥⊥(1）若O 是线段AB 的中点，证明：平面⊥ABC 平面;1OC B(2)求二面角B AC C--1的正弦值．20．（本小题12分）为了了解居民的家庭收入情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查，经调查发现,这些家庭的月收入在3000元到10000元之间,根据统计数据作出：（1)经统计发现，该社区居民的家庭月收入Z （单位:百元）近似地服从正态分布)196,(μN ，其中μ近似为样本平均数．若Z 落在区间)2,2(σμσμ+-的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径．若该社区A 家 庭月收入为4100元，试判断A 家庭是否属于“收入较 低家庭”,并说明原因;(2)将样本的频率视为总体的概率;①从该社区所有家庭中随机抽取n 户家庭，若这n户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50％， 求n 的最大值；②在①的条件下,某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动，赠送方式为：家庭月收入低于μ的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于μ的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：则A 家庭预期获得的购物卡金额为多少元?（结果保留整数）21．(本小题12分）已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1，0)的距离小1, （1)求曲线C 的方程；（2）过F 作弦RS PQ 、，设RS PQ 、的中点分别为B A 、,若0=⋅RS PQ ，求||AB 最小时，弦RS PQ 、所在直线的方程;（3)在（2）条件下，是否存在一定点T ，使得FT TB AF -=λ？若存在,求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．22．(本小题12分)已知函数22ln )42()(x x ax xx f +-=。

广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，3）C．（2，3）D．（﹣1，+∞）2．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y（万0.5 0.6 1 1.4 1.5辆）由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（）A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.83．“m≤0”是“函数f（x）＝lnx﹣mx在（0，1]上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8×101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（）A．101.35E B．1.35E C．100.9E D．90E5．已知三角形ABC的边长分别为AB＝3，AC＝4，BC＝5，＝3，则•＝（）A．1 B ．C．3 D ．6．设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若|PF|＝6，则△POF的面积为（）A．2 B．4C．4D．47．已知数列{a n}满足3a n﹣2a n﹣1＝a n+1，且a1＝0，a6＝2021，则a2＝（）A．B．C．D．8．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝2，∠ABC＝∠ACD＝60°，E、F分别为BC、AD的中点，且EF⊥BC，EF⊥AD，BC⊥AD，则异面直线BF与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的（）A．平均数相等B．中位数相等C．极差相等D．方差相等10．已知函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x，则下列正确的是（）A．f（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到B．x∈（，π）时，|g（x）|＞|f（x）|C．h（x）＝f（x）+g（x）的对称轴方程为：x＝+kπ（k∈Z）D．若动直线x＝a与函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（）A．f（x）的展开式中的常数项是56B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位12．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y＝x，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是（）A．双曲线的方程为﹣＝1B．＝2C．||＝3D．点P到x轴的距离为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：e iπ+1＝．14．写出一个对称中心为（，0）的函数f（x）＝．15．在矩形ABCD内有E、F两点，其中AB＝120cm，AE＝100cm，EF＝80cm，FC＝60cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该矩形ABCD的面积为cm2．（答案如有根号可保留）16．已知x＞0，f（x）＝x2+e x，g（x）＝（m2+1）x+lnx，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是．四、解答题：共70分。

广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期第二次阶
段测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
16．若实数a，b，．
【详解】
∵PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ，∴PA BC ^，
又AC BC ^，且PA AC A =I ，,PA AC Ì平面P AC ，∴BC ^平面P AC ，又AF Ì平面P AC ，BC Ì平面P AC ，则BC AF ^，
∵AF PC ^，且,,PC BC C PC BC =ÌI 平面PBC ，∴AF ^平面PBC ，又EF Ì平面PBC ，故AF EF ^；
∵PA AB =，E 为PB 的中点，∴AE PB ^，而AF ^平面PBC ，PB Ì平面PBC ，∴^AF PB ，又,,AE AF A AE AF =ÌI 平面AEF ，则PB ^平面AEF ，因为EF Ì平面AEF ，故PB EF ^；
在PBC V 中，由于PB EF ^，∴PC ，BC 不可能与EF 垂直；在AEF △中，由于AF EF ^，∴AE 不可能与EF 垂直；在PAC △中，P A ，AC ，PC Ì平面P AC ，PC 与EF 不垂直，∴EF 与平面P AC 不垂直，∴P A ，AC 不可能同时与EF 垂直；根据异面直线的定义可得AB 与EF 为异面直线，又AB 与平面PBC 不垂直，∴AB 与EF 不一定垂直．故答案为：AF （或PB ，答案不唯一）.。

广东省高中2021届上学期高三年级第二次质量检测考试数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则AB = ）A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 2．若复数(1i)(2i)z b =++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数b ＝ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2- 3．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ） A ．042,2≥+-∈∀x x R x B ．042,0200>+-∈∃x x R x C ．042,2≤+-∉∀x x R xD ．042,0200>+-∉∃x x R x4．已知f ＝错误!则ff 错误!＝A ．－2B ．－3C ．9D ．－9 5．已知平面向量m ，n 均为单位向量，若向量m ，n 的夹角为23π，则|23|+=m n ）A ．25B ．7C ．5D6．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S n N *∈，2576+=a a a ，则11S 的值为A ．11B ．12C ．20D ．227．在ABC ∆中，AB =1AC =，30B ∠=，则A ∠=（ ）A ．60B ．30或90C ．60或120D ．908．已知点是的边的中点,点在边上,且,则向量（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知,,,则ABCD10．已知函数是定义在上的偶函数,且当时,,则函数的大致图 象为（ ）A ． BC D11．一观览车的主架示意图如图所示,其中为轮轴的中心,距地面即长,巨轮的半径长为,巨轮逆时针旋转且每分钟转动一圈若点为吊舱的初始位置,经过分钟,该吊舱距离地面的高度为,则等于 ）A BCD12．若函数的图象总在直线的上方，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝3,4，b ＝,1，若a －b ⊥a ，则实数等于________． 14．已知i 是虚数单位，复数错误!的虚部为________．15．已知数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则数列{}n a 的通项公式是________ 16．函数的最大值为__________三、解答题：共70分。

广东省实验中学2021届第二次阶段考试高三数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20212020a b +=（ ） A.-1 B.0 C.1 D.22.下列判断正确的是（ ）A.若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B.命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x≤”C.“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件D.命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”3.已知4log 2a =，0.32b =，cos1c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.a b c <<D.a c b <<4.已知复数21iz i =+，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.12 B.2 C.1 D.25.已知向量m ，n 满足2m n m n +=-，且2m n =，则m 与n 的夹角的余弦值为（） A.13 B.14 C.16 D.186.函数()()22cos 1x x e x x f x e -=+的大致图象为（ ）A. B.C. D.7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为点F '，F ，过原点O 作直线l 交C 于A ，B 两点，若0AF AF '⋅=，34AF AF '=，5AB =，则C 的方程为（ ） A.22241155x y += B.22421313x y += C.2241911x y += D.2241496x y += 8.若关于x 的不等式()32ln 1230a x x x +-+>在区间()0,+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A.2780,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2780,2ln 2ln5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.2780,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.27,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.已知3nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项的系数之和为-512，则该展开式中二项式系数最大的项可以是（ ）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项 10.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且33a =，6218S S +=，21211n n n b a a -+=⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（ ）A.1n a n =-B.()12n n n S += C.112121n b n n =--+ D.101021T = 11.ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin :sin :sin ln2:ln4:ln A B C t =，有以下结论：其中正确结论有（ ）A.当6t =时，a ，b ，c 成等差数列B.28t <<A.函数()f x 的单调减区间是()0,2B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C.存在正实数k ，使得()f x kx >成立D.对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>第二部分 非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若曲线()32f x ax x =-在点()()2,2f 处的切线的斜率为1，则a =________.14.已知1tan 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________，22cos2sin 2cos ααα-=________.（本题第一空2分，第二空3分）15.为积板应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出3个问题，即停止答题，晋级下一轮.假定某选手正确回答每个问题的16.母线长为O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入________个.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在①12a =且5328S S S -=；②112n n S t -=-；③0n a >，321S =且2316a a a +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且________，则是否存在正整数n ，使1000n n S a -->成立？若存在，求出n 的最小值？若不存在，试说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin sin sin b a A B C b c -=-+. （1）求C .（2）若1a b -=，ABC △的面积为334，求c .19.（本小题满分12分）如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C ，60COB ∠=︒，点P 是弧AB 上的动点，点D 是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO 、PD 、CD .（1）当AB ∥平面PCD 时，求PC 的长；（1）当三棱锥P －COD 体积最大时，求二面角D －PC －O 的余弦值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD △的面积是BFD △的面积的2分，求AB .21.（本小题满分12分）已知函数()2cos f x x x =-.（1）求证：()f x 在[],ππ-上存在唯一的零点；（2）若存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得不等式()2f x ax +>成立，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广。

2021届广东省华附、省实、广雅、深中高三上学期四校联考数学试题一、单选题1．设集合{}02M x R x =∈≤≤，{}11N x R x =∈-<<，则M N =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<C ．{}12x x <≤D ．{}12x x -<<【答案】B【分析】由交集定义可直接得到结果.【详解】由交集定义可得：{}01M N x x ⋂=≤<. 故选：B.2．复数20213i z i=+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】利用复数的运算法则求出复数z ，然后得到对应点的坐标，从而可判断点所在的象限.【详解】复数()()()2021313133333101010i i i i i z i i i i i -+=====++++-， 所以复数z 对应的点为13,1010⎛⎫⎪⎝⎭，即复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A .3．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案.【详解】,m m n α⊥⊥, 不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ， 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从[)55,60，[)60,65，[]65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（ ）A ．815B ．920 C ．35D ．910【答案】B【分析】由频率之和为1求得a ，根据分层抽样可求得从[55,60)，[60,65)，[65,70)分别抽取3人，2人，1人，再从这6名学生中随机抽取3人，求出基本事件总数，再求出这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60包含的基本事件，即可求得概率.【详解】由频率分布直方图可得(0.010.070.060.02)51a ++++⨯=，解得0.04a =， 采用分层抽样的方法， 则从[55,60)中抽取0.06630.060.040.02⨯=++人，从[60,65)中抽取0.04620.060.040.02⨯=++人，从[65,70)中抽取0.02610.060.040.02⨯=++人，再从这6名学生中随机抽取3人，则基本事件共有3620C =个，这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60包含的基本事件有21339C C =个，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率为920. 故选：B.5．已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则kb a -的最小值为（ ） A ．14B ．12C ．34D ．32【答案】D【分析】根据公式22a a =对所求向量的模进行平方，然后结合二次函数的性质求kb a -的最小值. 【详解】因为a ，b 是两个单位向量，所以1a =，1b =， 所以()2222222222cos3kb a kb ak b a ka b k b a k a b π-=-=+-⋅=+-⋅221331244k k k ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以32kb a -≥. 故选：D.6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传播.受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离()()22222212112222L R h R R h R Rh h Rh h =+-++-=+++（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，为探测目标高度，2h 为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于1h ，2h .假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：28.49 4.12⨯≈）A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ．10000m【答案】C【分析】由已知可确定2,,L R h ，代入已知关系式可求得结果. 【详解】由题意知：390L km =，8490R km =，20.025h km =，(L R ==， 390∴解得：18.18100h km m ≈=． 故选：C.7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则直线PF 的倾斜角为（ ） A ．α B ．2αC ．πα-D ．2απ-【答案】D【分析】设出点P 坐标，求出F 坐标，由此求出点M 的坐标，进而得到点Q 坐标，则直线QF ，PF 的斜率即可求出，进而可以转化为直线的倾斜角的关系，再根据倾斜角的范围即可求解.【详解】设2,,,022y p P y F p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则可得PF 的中点M 的坐标为22,42y p y p+⎛⎫⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则直线QF 的斜率为QFy k p=-，直线PF 的斜率为222222211QFPF QF yk py pk y p k y p -===--⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线QF 的倾斜角为α，直线PF 的倾斜角为β，则22tan tan tan 21tan αβαα==-，所以2,k k Zβαπ=+∈，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2(,2)a ππ∈，又[0,)βπ∈，所以2βαπ=-.故选：D.8．已知点A ，B ，C 是函数,03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象和函数,06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】作出函数图象，结合锐角三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.【详解】作出两个函数的图象如图，则根据对称性可知AB BC =，即ABC 为等腰三角形， 函数的周期为2T πω=，且AC T =，取AC 中点M ，连接BM ，则BM AC ⊥，要使ABC 是锐角三角形，只需要45ABM ∠<即可，即tan 1AMABM BM ∠=<即可，即AM BM <， 由2sin 2sin 36x x ππωω⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得sin sin 36x x ππωω⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则7366x x x πππωπωω⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，可得512x πω=， 则5322sin 2sin 2sin 21312342y x ππππω⎛⎫⎛⎫=+=+==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即A 点的纵坐标为1，则2BM =，由AM BM <得12AC BM <，即122T <，则4T <， 即24πω<，得2πω>，即ω的取值范围为,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A.二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（ ）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．()20212f = D ．方程1()2f x x =只有4个实根 【答案】AC【分析】由()()2f x f x +=，()()2f x f x -=确定函数的周期性以及对称性，判断A 选项与B 选项的正误，又结合[]0,1x ∈时，()21f x x =+，可判断C 选项正误，根据函数性质及解析式作图，判断()f x 与12y x =的交点个数，进而判断D 选项. 【详解】A 选项：因为定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，故A 选项正确；B 选项：因为()()2f x f x -=，所以函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 是周期为2周期函数，所以函数()f x 关于直线1x =-对称，故B 选项错误；C 选项：()()220211112f f ==+=，C 选项正确； D 选项：在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图所示：由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程1()2f x x =有6个实根，故D 选项错误； 故选：AC.10．已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ） A ．114a b+≤B ．2222a b +≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线1ax by +=与圆224x y +=相切【答案】BC【分析】分别利用基本不等式可化简判断. 【详解】实数0a >，0b >，1a b +=，对A ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即12a b ==时等号成立，故A 错误；对B，22a b +≥12a b ==时等号成立，故B 正确； 对C ，可得01,01a b <<<<，则22log 0,log 0a b <<，()()222222222222log log log log 2log log log log 1222a b a b ab a b a b ⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥⋅=--≤=≤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当且仅当12a b ==时等号成立，故C 正确； 对D ，圆心()0,0到直线10ax by的距离2d =≤=<，2a b +），故直线与圆相交，故D 错误. 故选：BC.11．点C ，D 是平面α内的两个定点，2CD =，点A ，B 在平面α的同一侧，且24AC BC ==.若AC ，BC 与平面x 所成的角分别为512π，4π，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（ ） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．ABC 面积的最小值为2 C ．四面体ABCD体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π 【答案】ABD【分析】由题意画出图形，过C 作平面α的垂线l ，分析可知A 在以l 为轴线，以CA 为母线的上底面圆周上，判断A 正确；写出三角形ABC 的面积，求出ACB ∠的最小值，可得ABC ∆面积的最小值判断B ；当ACB ∠最大，且平面ACB CD ⊥时，四面体ABCD 体积取最大值，求出最大值判断C ；求出四面体ABCD 的体积达最大时其外接球的半径，进一步求得外接球的表面积判断D ． 【详解】解：如图，AC 与平面α所成的角为512π，过C 作平面α的垂线l ，则CA 与l 所成角为521212πππ-=， 则A 在以l 为轴线，以CA 为母线的上底面圆周上，故A 正确； 同理，B 在以l 为轴线，以CB 为母线的上底面圆周上，则1sin 2ABCS AC BC ACB =⋅⋅∠， 由图可知，412412ACBππππ-∠+，即63ACBππ∠，则11()42222ABC minS=⨯⨯⨯=，故B 正确； 当ACB ∠最大，且平面ACB CD ⊥时，四面体ABCD 体积取最大值为1134342232⨯⨯⨯=，故C 错误；当四面体ABCD 的体积达最大时，3ACB π∠=，4AC =，2BC =，求得21164242122AB =+-⨯⨯⨯=， 满足222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥，则三角形ABC 所在截面圆的圆心为AC 中点E ， 设四面体ABCD 外接球的球心为O ，则OE ⊥平面ABC ，则//OE CD ，112OE CD ==，在Rt OEC 中，求得225OC OE EC +ABCD 5 其表面积为24(5)20ππ⨯=，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数B ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()2f x g x x=，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的正整数n 的最小值是2 【答案】ABD【分析】选项A ：利用导数来证明单调性；选项B ：设()()4h x f x π=+，根据奇函数的定义()()h x h x -=-来说明；选项C ：根据极值点的性质：极值点的导数为0来验证极值点个数； 选项D ：把1n =和2n =代入验证然后用做差法比较大小.【详解】选项A ：因为sin cos ()x x f x e e =-，所以sin cos ()cos sin x x f x xe e x +'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，所以sin cos ()s s 0o n c i x x f x x xe e +'>=，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，选项A 正确；选项B ：易知函数()f x 的定义域为R ，又因为sin cos ()x x f x e e =-，所以sin cos 44()4x x f x eeπππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-，设sin cos 44()()4x x h x f x eeπππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=-，则sin cos sin cos cos sin 24244444()()x x x x x x h x h x e e e e e e ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭=-==--=--，所以4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，选项B 正确；选项C ：sin cos c 4os si ()n cos tan cos x xxxx x f x xeex eπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+=+ ⎝= '⎪⎪⎭由选项A 知()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，所以在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内不存在极值点；又cos2()21f e ππ'==，显然2x π=不是极值点；当3,4x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，3,424x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭(4x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，4x y e π⎛⎫- ⎪⎝⎭=> ，[)tan 1,0x ∈-，所以cos 4cos t n (a 0)xx x x f e x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭'=，所以此时不存在极值点；当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos cos 0xe x ≠，4x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭= 单调递增，tan y x =-单调递减，所以4x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭=与tan y x =-的图象最多有一个交点，所以最多有一个极值点，选项C 错误；选项D ：()()2f x g x x =()sin cos 2x x e e x-=，当1n =时，014g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1412g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭不成立；当2n =时，()1412g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3843g eππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()14842421110333e e e ee e e ππππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤---=--->--->⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦显然144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立. 故选：ABD.【点睛】用导数法研究函数极值存在性问题时，一要弄清导数法求函数极值时的一般步骤及关键步骤要注意的问题. 二在某区间上，函数存在极值点，则方程()0f x '= 一定有根，但方程有根并不一定有极值点，还要判断函数的单调性，看原函数在此根的左右两侧是否出现单调性改变的情况，通常要结合函数图象来解决. 三、填空题13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，计算得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元． 【答案】85【详解】由上表可知：2456830405060705,5055x y ++++++++====.得样本点的中心为()5,50，代入回归方程ˆˆˆybx a =+，得507515ˆa =-⨯=. 所以回归方程为ˆ715yx =+， 将10x =代入可得：ˆ85y=. 14．42212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________.【答案】56-【分析】因为4822112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以本题即求81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x 的项的系数，求出通项公式解出r ，带入计算可求出系数.【详解】解：48 22112x xx x⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通项公式为：()88218811rrr r r rrT C x C xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，令822r-=，解得：3r=，此时系数为()338156C-=-.故答案为：56-.15．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左焦点为1F，P为双曲线上一点，1PF与双曲线C的渐近线平行，且1PO FO=，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率e=_________【答案】5【分析】设直线1PF的方程为()by x ca=-+，与双曲线联立，求得点P坐标，取1PF中点M，由11OM PFk k⋅=-建立关系可求.【详解】由题意知，1(,0)F c-，双曲线的渐近线方程为by xa=±，不妨取直线1PF的方程为()by x ca=-+，联立2222()1by x cax ya b⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得()2222,22b c aa cx yc ac-+=-=-，即()2222,22b c aa cc aPc-⎛⎫-⎝-+⎪⎪⎭，取1PF中点M，连接OM，则()22223,44b c aa ccMac-⎛⎫+⎝--⎪⎪⎭，1PO FO=，1OM PF∴⊥，()122224134OM PFb c aback ka c ac--⎛⎫∴⋅=⋅-=-⎪+⎝⎭-，化简得5c a=，即离心率为5cea==.故答案为：5.四、双空题16．已知数列{}n a 的前n 项和2433n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________，1n n a a +的取值范围为__________.【答案】(2)1n -+ [)75,22,5⎛⎤--⋃-- ⎥⎝⎦【分析】利用1n n n a S S -=-可得数列{}1n a -是首项为2-，公比为2-的等比数列，即可求得n a ，化简得132(2)1n n n a a +=-+-+，讨论n 的奇偶可求得范围. 【详解】2433n n S a n =+-， 当1n =时，11124133S a a ==+-，解得11a =-， 当2n ≥时，1124133n n S a n --=+--， 两式相减得122133n n n a a a -=-+，即()1121n n a a ----=， ∴数列{}1n a -是首项为2-，公比为2-的等比数列，1(2)n n a -=-∴，(2)1n n a ∴=-+，11(2)132(2)1(2)1n n n n n a a ++-+==-+-+-+， 当n 为偶数时，13722,215n n n a a +⎛⎤=-+∈-- ⎥+⎝⎦， 当n 为奇数时，132[5,2)21n n n a a +=-+∈---+， 综上，可得1n n a a +的取值范围为[)75,22,5⎛⎤--⋃-- ⎥⎝⎦.故答案为：(2)1n -+；[)75,22,5⎛⎤--⋃-- ⎥⎝⎦.五、解答题17．已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：21a b =，238b b a -=. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T . 【答案】（1）1n a n=，1()2n n b =；（2）n T 1()12n n =+-.【分析】（1）等式两边同时乘以11n n a a -，可得1111(2)n n n a a --=，则数列1{}n a 为等差数列，从而求出1{}n a的通项，即可求出数列{}n a ；求出1b ，23b b -，带入q 可解出12q =，从而求出数列{}n b .（2）将n T 变形可得23231111111[()()()][()2()(1)()]2222222n n n T n n =⋅+++⋯+-+⋅+⋯+-⋅，前半部分用等比数列求和公式，后半部分用错位相减法求和计算可得结果.【详解】解：（1）证明：由题意，11n n n n a a a a ---=两边同时乘以11n n a a -， 可得1111(2)n n n a a --=，111a ，∴数列1{}na 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴111(1)nn n a =+⨯-=， 1n a n∴=，*n N ∈， 1212b a ∴==，23818b b a -==， 设等比数列{}n b 的公比为q ，则2111228q q -=， 化简整理，得24410q q -+=， 解得12q =， 1111()()222n n n b -∴=⋅=，*n N ∈，（2）解：由（1）可得：1211n n n n b b bT a a a -=++⋯+ 231111(1)()(2)()1()2222n n n n =⋅+-⋅+-⋅+⋯+⋅22331111111[()()][()2()][()(1)()]2222222n n n n n n n =⋅+⋅-+⋅-⋅+⋯+⋅--⋅23231111111[()()()][()2()(1)()]2222222n n n n =⋅+++⋯+-+⋅+⋯+-⋅12311()11122[()2()(1)()]122212n n n n +-=⋅-+⋅+⋯+-⋅- 231111[1()][()2()(1)()]2222n n n n =⋅--+⋅+⋯+-⋅，令23111()2()(1)()222nn M n =+⋅+⋯+-⋅，则34111111()2()(2)()(1)()22222n n n M n n +=+⋅+⋯+-⋅+-⋅， 两式相减，可得：23111111()()()(1)()22222n n n M n +=++⋯+--⋅ 21111()()122(1)()1212n n n ++-=--⋅-111(1)()22n n +=-+⋅， 11(1)()2n n M n ∴=-+⋅，1[1()]2n n n T n M ∴=⋅--11[1()]1(1)()22n n n n =⋅--++⋅1()12n n =+-． 18．已知函数()sin ,(,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭只能同时满足以下三个条件中的两个.①函数()f x 的最大值是2；②函数()f x 的图象可由函数22()cos2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是4π. （1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =，点D 为BC 的中点，且AD b ，求sin sin BACC∠的值.【答案】（1）①③，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）23【分析】（1）可得函数()f x 只能同时满足①③，结合最值可求A ，结合周期可求ω，然后结合正弦函数的性质可求；（2）由()1f B =可求B ，然后结合直角三角形性质及正弦定理可求.【详解】（1）由①得2A =，由②得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由③知12444T ππω=⨯=，则2ω=， 所以函数()f x 只能同时满足①③，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2sin 216f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1sin 262B π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴+，(0,)B π∈，132,666B πππ∴⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，5266B ππ∴+=，即3B π=， 设线段CD 的中点为E ，AD AC =，AE CD ⊥，cos3BEABπ=，即3142a c =，23a c =， 由正弦定理可得sin 2sin 3BAC a C c ∠==.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =.（1）求证：PO ⊥平面111A B C ； （2）求二面角111B PA C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25【分析】（1）证明11PO A C ⊥，1PO OB ⊥，可证得线面垂直；（2）以O 为坐标原点，11OB OC OP ，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦． 【详解】（1）证明：连接1OB .∵11PA PC =， O 为11A C 的中点， ∴11.PO AC ⊥ ∵1114,22AC PA ==， ∴22112PO PA OA =-=. ∵1111A B B C =， O 为11A C 的中点， ∴111.OB A C ⊥∵11123,2A B AO ==， ∴22111122OB A B OA =-=. 123,PB =∴22211=PB OB OP +， 1PO OB ∴⊥.∵11111,.PO AC AC OB O ⊥= 111,A C OB ⊂平面111A B C ， ∴PO ⊥平面111A B C .（2）以O 为坐标原点，11OB OC OP ，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则1(22,0,0)B ， 1(0,2,0)A -， (0,0,2)P . 则11(22,2,0)A B =， 1(0,2,2)A P =. 设平面11PA B 的法向量1(,,)n x y z =， 则1111102200220n A B x y n A P y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩.令1x =，则y z ==1(1,n =.易证1OB ⊥平面11PA C ，故取平面11PA C 的法向量2(1,0,0)n =.1212125cos ,5n n n n n n ⋅<>==⋅因为二面角111B PA C --的平面角θ为锐角，所以cos θ 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．20．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收.方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验.若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收.假设拟购进的这批原料，合格率为()01p p <<，并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担. （1）若23p =，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）方案二，理由见解析.【分析】（1）依题意，X 的可能取值为50，100. 分别求出概率即可求得分布列； （2）分别求出方案一和方案二的概率，作差比较大小即可求得结论. 【详解】（1）依题意，X 的可能取值为50，100.4151280(100)33243P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 80163(50)1(100)1243243P X P X ==-==-=. 故X 的分布列为：（2）方案一通过检验的概率为10199910110(1)(109)109P p C p p p p p p =+-=-=-；方案二通过检验的概率为5145591025(1)55P p C p p p p p p =+-⋅=+-.91059109105125545445234(109)(55)54(451)4(1)(1)(1)(14).P P p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p -=--+-=--⎡⎤=--+=--+-⎣⎦=--+++-由01p <<知：2341p p p p >>>>，所以234140p p p p +++->， 又50p >，10p ->，所以120P P -<，即12P P <， 所以供应商希望该工厂的质检部门采取方案二检验.21．已知离心率为12的椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与抛物线()22:20C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点()1,2P ，O 是坐标原点. （1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线:l x ty m =+与抛物线交于,A B 两点，与椭圆交于,C D 两点，若ABP △的内切圆圆心始终在直线PF 上，求OCD 面积的最大值.【答案】（1）椭圆221:143x y C +=；抛物线22:4C y x =；（2【分析】（1）将()1,2P 代入抛物线可求得p ，得到抛物线方程；由抛物线方程得()1,0F ，结合离心率和椭圆,,a b c 之间关系可求得椭圆方程；（2）根据内切圆圆心特点可确定PF 平分APB ∠，得到,PA PB 斜率之和为0，由此可构造方程得到4A B y y +=-，进而求得1AB k =-；将l 与抛物线和椭圆方程联立可求得m 范围，并得到韦达定理的形式；利用弦长公式和点到直线距离公式表示出CD 和O 到l 距离d ，将所求面积表示为关于m 的函数，由函数最值的求解方法可求得结果.【详解】（1）()1,2P 在抛物线上，42p ∴=，解得：2p =，∴抛物线方程为：24y x =； 由抛物线方程知：()1,0F ，即1c =，112c e a a ∴===，解得：2a =，2223b a c ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为：22143x y +=； （2）ABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，PF ∴平分APB ∠，设直线,PA PB 斜率为12,k k ，又PF x ⊥轴，120k k ∴+=；设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则22011A B A B y y x x --+=--， 又2244A A BB y x y x ⎧=⎨=⎩，2222440442244A B A B A B y y y y y y --∴+=+=--++，整理可得：4A B y y +=-； 22414B A B A AB B A B A A By y y y k y y x x y y --∴====---+，1t ∴=-，:l x y m ∴=-+； 由24x y m y x=-+⎧⎨=⎩得：2440y y m +-=，则116160m ∆=+>，解得：1m >-； 由22143x y m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22763120y my m -+-=，则()22236283120m m ∆=-->，解得：m <综上所述：1m -<<设(),C C C x y ，(),y D D D x ，则67C D m y y +=，23127C D m y y -=，7CD ∴=O 到直线l距离d =，12OCDSCD d ∴=⋅==由1m -<<207m ≤<，∴当272m =时，()42max 1473214m m -+=，OCDS∴的最大值为27=.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.22．已知函数2()(1)(1)ln ,22x f x a x a x a =--+->.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为1x ，2x ，3x ，若123x x x <<，证明：32x x -<【答案】（1）单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）求出函数导数，分别解出()0f x '>和()0f x '<即可得出单调区间； （2）易得ln 1≤-x x ，不等式转化为(1,)x m ∀∈，1(1)ln x a x -->，构造函数1(),1ln x g x x m x-=<<，利用导数可得()g x 在(1,)m 单调递增，可化为证11ln m a m-->，由()(1)f m f =，可得只需证()21ln 1m m m ->+，构造函数2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，利用导数即可证明； （3）令4a =，则()()2413ln 2x f x x x =--+，由（1）可知()f x 单调性，可判断123013x x x <<<<<，可知(1,)x m '∀∈，3ln 1x x >-，即(1,)x m '∀∈，2()332x f x x >-+，构造函数2()332xF x x =-+，可知()F x 的两个零点为,p q ，易知13p q m <<<'<，由23,p x q x <>可证. 【详解】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，1(1)(1)()a x x a f x x a x x---+'=-+=， 令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，2a >，11a ∴->，则由()0f x '>可解得01x <<或1x a >-，由()0f x '<可解得11x a <<-， 所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a - （2）令()ln 1h x x x =-+，则1()xh x x-'=， 由()0h x '>解得01x <<，由()0h x '<解得1x >，则()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即ln 1≤-x x ， 欲证：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-，即证：(1,)x m ∀∈，1(1)ln x a x-->， 令1(),1ln x g x x m x -=<<，则21ln 1()(ln )x x g x x +='-，ln 1≤-x x ，1ln 10x x-∴+≥，()0g x '>，故()g x 在(1,)m 单调递增， 1()()ln m g x g m m-∴<=，故只需证11ln m a m -->，()(1)f m f =，21(1)(1)ln 22m a m a m ∴--+-=，即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=---，1m >，ln 0m ∴>，ln 1m m <-，故1ln 0m m -->，则不等式等价于2(1)12(1ln )ln m m m m m -->--，整理得()21ln 1m m m ->+， 令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x H x x x -=>+'，则()H x 在()1,+∞单调递增，gm高三试题 ()()10H x H ∴>=，即2(1)ln 1x x x ->+，即()21ln 1m m m ->+， 综上可得：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）令4a =，则()()2413ln 2x f x x x =--+， 由（1）可知()f x 在(0,1),(3,)∞+单调递增，在()1,3单调递减， 由题易知，2421141720,(1)0,(3)3ln 30222f f f e e e⎛⎫=--<=>=-< ⎪⎝⎭， 故123013x x x <<<<<，因为()212f e >，故存在1m '>，使得()1(1)2f m f =='， 由（2）可知(1,)x m '∀∈，3ln 1x x >-，故(1,)x m '∀∈，22()4(1)13322x x f x x x x >--+-=-+， 令2()332x F x x =-+，易知()F x 在(,3)-∞单调递减，在()3,+∞单调递增， 即()F x 的两个零点为,p q ，易知13p q m <<<'<，故()()23()(),()()f p F p f x f q F q f x >=>=，()f x 在()1,3单调递减，在(3,)+∞单调递增，23,p x q x <∴>，32x x q p -<-=∴【点睛】关键点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造恰当的函数，利用导数判断单调性.。

2020-2021广东实验中学高三数学上期末试卷含答案一、选择题1．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－314．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99 B ．101C ．399D ．4015．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．106．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) ABCD7．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712 B ．714 C ．74D ．788．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞9．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．3110．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-11．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，12．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．14．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 15．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三角形的面积2223)4S a b c =+-，则角C =__________． 16．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 18．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{}nS 都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．19．设(32()lg 1f x x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）20．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .24．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积． 25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。

保密★启用前 试卷类型：A2021年深圳市高三年级第二次调研考试数学2021.4本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要 求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知A={x ∈N|x<7},B={5,6,7,8},则集合A ∪B 中的元素个数为A.7B.8C.9D.102.已知复数i(i 为虚数单位），设z 是z 的共轭复数，则z·z=A. B. C.2 D.33.五一国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为A.16 B. 13 C. 12 D. 234.函数y=23x ·sin(πx)·log 2|x|的图象大致为5.已知cosx=13,则sin(2x-2π)= A. 79 B.- 79 C. 89 D.- 89 6.设α,β为两个不同的平面，直线l ⊂α,则“l //β”是“α//β”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.F 1、F 2分别为双曲线C:x 2-22y ＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A 、B 两点，若l ⊥F 2B,则22F A F B ⋅=B. 4+C.6-28.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为A. 4B.1C. 2D. 4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

⼴东省全省2021届⾼三（12⽉3⽇百校联考）数学试卷（含答案）保密★启⽤前⼴东省2021届⾼三综合能⼒测试数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（⾮选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬.2.选择题每⼩题选出答案后，⽤2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案⽆效4.请考⽣保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第I卷（选择题共60分）⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题意要求的.1.设集合M = {x|l≤x≤3},N = {x|2 < x≤4}，则M∩N=( )A. {x|1≤x < 2}B. {x |2 < x < 3}C. {x|3D. {x |1≤x≤4}2. (i-2)(l +2i)=( )A. -4 -3iB.-5iC. 5iD. 4 + 3i3. 已知a=55，b=235-，c = log2 3，则( )A.aB. aC. cD. b4.如图是某市2015年⾄2019年⽂化产业的发展状况统计图，根据下图，下列说法正确的是（）A.2015年⾄2019年，该市⽂化产业从业⼈⼝逐年增长B.2015年⾄2019年，该市⽂化产业总产值增长率逐年提⾼C.2015年⾄2019年，该市⽂化产业从业⼈⼝数量的变化趋势与总产值的变化趋势基本⼀致D.2019年，该市⽂化产业从业⼈员⼈均⽣产总值⽐上⼀年约减少了 3.5%5.已知圆C1:x2+(y-2)2=4 ,抛物线C2:y2 =2px（p>0）,C1与C2相交于A,B两点，且|AB|=23，则抛物线C2的⽅程为（）A.y2 =3xB. y2 = 2xC. y2 = 33xD. y2 = 8x6.⼀⽣产过程有4道⼯序，每道⼯序需要安排⼀⼈操作，现从甲、⼄、丙等5名⼯⼈中安排4⼈分别操作⼀道⼯序，甲⽆法操作第⼀道⼯序，⼄只能操作第四道⼯序，则不同的安排⽅案共有（）A.24 种B. 36 种C. 48 种D.72 种数学试卷第1页共4页7. 7.设2()121x f x =+- ，则/(x )的图像⼤致为( )8. 8.球O 与棱长为2的正⽅体ABCD-A 1B 1C 1A 1的各个⾯都相切，点M 为棱DD 1的中点，则平⾯9. AMC 截球O 所得截⾯的⾯积为( )A.π3B.2π3C.π D .4π3 ⼆、选择题：本题共4⼩题,每⼩题5分，共20分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.10.9.已知函数f (x ) = sin(3x -φ)(?π2<φ<π2)的图像关于直线x = π4对称，则( )A.函数y= f(x)的图像向左平移π12个单位长度得到的图像关于原点对称B. 函数y = f (x )在［0, π4］上单调递增C. 函数y = f(x)在［0,2π］有且仅有3个极⼤值点D.若|f (x 1)-f (x 2)|=2，则|x 1-x 2| 的最⼩值为2π310. 已知双曲线C :22221x y a b-= (a >0,b >0)满⾜条件：(1)焦点为F 1(-5,0),F 2(5,0);(2)离⼼率为53，求得双曲线C 的⽅程为f (x ,y ) = 0 .若去掉条件(2)，另加⼀个条件求得双曲线C 的⽅程仍为f(x,y)= 0，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为( )A. 双曲线C 上的任意点P 都满⾜||PF 1|-|PF 2||=6B. 双曲线C 的虚轴长为4C. 双曲线C 的⼀个顶点与抛物线y 2=6x 的焦点重合D. 双曲线C 的渐近线⽅程为4x±3y =011.下表为森德拉姆(Sundaram, 1934)素数筛法矩阵，其特点是每⾏每列的数均成等差数列，下⾯结论正确的是( )A.第3⾏第10列的数为73 B.第2⾏第19列的数与第6⾏第7列的数相等 C.第13⾏中前13列的数之和为2626 D. 200会出现在此矩阵中数学试卷第2页共4页12. 某地下车库在排⽓扇发⽣故障的情况下测得空⽓中⼀氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排⽓扇恢复正常，排⽓4分钟后测得车库内的⼀氧化碳浓度为64 ppm,继续排⽓4分钟后⼜测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库⼀氧化碳浓度y (ppm)与排⽓时间Z (分钟)之间存在函数关系y =f (t )，其中y =f ′(t )f (t )=R (R 为常数).若空⽓中⼀氧化碳浓度不⾼于0.5ppm 为正常，⼈就可以安全进⼊车库了.则( )A .R =14e - B.ln 24R =- C.排⽓12分钟后，⼈可以安全进⼊车库D.排⽓32分钟后，⼈可以安全进⼊车库第II 卷(⾮选择题共90分)三、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，13. 曲线y = ln(2x + l)在点(0,0)处的切线⽅程为 .14. 长⽅体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB = BC = 2，AC 1与B 1C 所成⾓的正切值为2，则该长⽅体的体积为 .15.已知向量a ，b 满⾜|a -b |=2且0≤a ? b ≤1，则|a + b |的取值范围是，|3a +b |的最⼤值是 .16. 甲、⼄两队进⾏篮球冠军争夺赛，⽐赛采取三局⼆胜制，甲队每局取胜的概率为12，甲队有⼀名核⼼球员，如果核⼼球员在⽐赛中受伤，将不能参加后续⽐赛，甲队每局取胜的概率降为14.若核⼼球员在每局⽐赛受伤的概率为12，则甲队获得冠军的概率为 .四、解答题：本题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.17. (10 分)在①a = 23, ②sin B = 2sin C ,③b sin B =8这三个条件中任选两个．．，补充在下⾯问题中，若问题中的三⾓形存在，求三⾓形的⾯积；若问题中的三⾓形不存在，说明理由.问题：是否存在?ABC,它的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ，且b sin2A=a sin B , ，注：如果选择多种⽅案分别解答，那么按第⼀种⽅案解答计分. 18. （12 分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧⾯ABB 1A 1,BCC 1B 1,ACC 1A 1的⾯积依次为16,12,20, E ，F 分别为A 1C ,BC 的中点.(1) 求证：平⾯ABE 丄平⾯BB 1C 1C ；(2) 求证：C 1F / / 平⾯ABE .B数学试卷第3页共4页。

2021年10月广东省普通高中2022届高三上学期10月阶段性质量检测数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形,解答题高考范围。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U ＝{x|－1≤x ≤5,x ∈Z},集合A ＝{0,1,2,3,4},B ＝{－1,0,1,2},则A ∩(∁U B)＝A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{3,4,5}2.设命题p ：∃n ∈N *,n 2＋2n>3,则命题p 的否定是A.∃n ∉N *,n 2＋2n>3B.∃n ∈N *,n 2＋2n ≤3C.∀n ∈N *,n 2＋2n ≤3D.∀n ∈N *,n 2＋2n>33.函数f(x)＝1x＋4x 在[1,2)上的值域是 A.[5,172) B[4,172) C.(0,172) D.[5,＋∞) 4.已知sinθ－2cosθ＝0,θ∈(0,2π),则cos sin 2sin2θθθ--5.若1和2是函数f(x)＝4lnx ＋ax 2＋bx 的两个极值点,则log 2(2a －b)＝A.－3B.－2C.2D.36.已知函数f(x)＝lnx ＋ax 在函数g(x)＝x 2－2x ＋b 的递增区间上也单调递增,则实数a 的取值范围是A.(－∞,－1]B.[0,＋∞)C.(－∞,－1]∪[0,＋∞)D.(－1,0]7.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,则“acosA ＝bcosB ”是“△ABC 是以A 、B 为底角的等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若对任意的x 2,x 2∈(m,＋∞),且x 1<x 2,都有122121x lnx x lnx x x --<2,则m 的最小值是(注：e ＝2.71828…为自然对数的底数) A.1e B.e C.1 D.3e二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

广东实验中学2023 届高三第二次阶段考试（数学）第一部分 选择题（共60 分）一.单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U B A ⋂=ð（）A.{1}B.{4}C.{0,5}D.{0,1,4,5}2.如图，角,αβ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA OB ⋅=uu r uu u r（）A.cos()αβ-B.cos()αβ+C.sin()αβ-D.sin()αβ+ 3.已知π02αβ<<<，()4cos 5αβ-=，2sin 2β=，则sin α=（）A.210 B.7210C.10-D.7210-4.下列函数中，其图象与函数()2xf x -=的图象关于y ＝－x 对称的是（）A.()()2log g x x =--B.()2log g x x =C.()2log x xg =- D.()()2log g x x =-5.已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象在区间423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ϕ的取值范围为（）A.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,36ππ⎡⎤⎢⎣⎦C.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（）.A.()e,+∞ B.(),e -∞ C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞7.已知函数()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠的图象关于6x π=对称，且()085f x a =，则0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A.725-B.2425-C.725D.24258.设14411,ln ,2ln sin cos 33366a b c ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，则（）A.b a c <<B.c<a<bC.a c b<< D.b<c<a二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知向量(43)a m =-，，(1)b m = ，，则下列说法正确的是（）A .若a b ⊥，则4m= B.若35m =，则a b∥ C.2a b +的最小值为6D.若a 与b的夹角为锐角，则14-<<m 10.为了得到函数()2ln e y x =的图象，可将函数ln y x =的图象（）A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2e 倍B.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e C.向下平移两个单位长度D.向上平移两个单位长度11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）A .若a >b ，则cos cos A B<B.c ＝10，a ＝12，∠A ＝60°，则ABC 有唯一解C.若a ，b ，c 成等比数列，ba 的取值范围为5151,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.若222sin sin cos 1A B C ++>，则△ABC 为锐角三角形12.已知数列{}n a 满足1a a =，121n n na a a +=+-，记数列{}2n a -的前n 项和为n S ，n S λ>对N n *∈恒成立，则下列说法正确的有（）A.若0a >，则数列{}2n a -为递减数列B.2a <<，则数列{}n a 为递增数列C.若a ＝3，则λ的可能取值为3512D.若a ＝3，则155232n n S -≥-⋅第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针针尖的坐标为P （x ，y ），若秒针针尖的初始坐标为022,22P ⎛⎝⎭当秒针由点P 0的位置（此时t ＝0）开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t （单位：秒）的函数关系为______.14.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =___________.15.计算：()23sin124cos 122︒-=︒︒-_______.16.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率()(){}3221x f x f K ''=⎡⎤+⎣⎦'，则曲线()f x =1，1）处的曲率为______；正弦曲线()sin g x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值为______.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin b A a B =.（1）求sin A ；（2）若5,b c a +==，求ABC 的面积.18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为132n nS b =⋅+（b 为常数）．（1）求b 的值和数列{}n a 的通项公式；（2）记m c 为{}n a 在区间()3,3mmm N*⎡⎤-∈⎣⎦中的项的个数，求数列{}m ma c 的前n 项和nT ．19.如图，三棱台ABC －DEF 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2AB ＝2DF ，四边形ACFD 为等腰梯形，∠ACF ＝45°，平面ABED ⊥平面ACFD .（1）求证：AB ⊥CF ；（2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值.20.已知函数()22cos cos f x x x x a ωωω=++（0ω>，a ∈R ）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-；条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2．求：（1）函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12个单位，得到函数()g x 的图像，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，求m 的最大值．21.已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.（I ）证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线32y x b =-+最多只有一个交点；（II ）若方程()44log 23xf x a a ⎛⎫⎪⎝=⋅⎭-有且只有一个解，求实数a 的取值范围.22.已知函数11()t tttf x x x x+=+-(0, x t >为正有理数)．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2x 时，()0f x ．广东实验中学2023届高三第二次阶段考试（数学）命题：徐妮、杨晋鹏审定：夏嵩雪校对：徐妮、杨晋鹏第一部分选择题（共60分）一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则()U B A ⋂=ð（）A.{1}B.{4}C.{0,5}D.{0,1,4,5}【答案】B 【解析】【分析】由补集、交集的概念运算【详解】{0,4,5}U A =ð，则(){4}U A B ⋂=ð．故选：B2.如图，角,αβ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA OB ⋅=uu r uu u r（）A.cos()αβ-B.cos()αβ+C.sin()αβ-D.sin()αβ+【答案】A 【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义写出,A B 两点的坐标，再求向量数量积即可【详解】由图可知(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ所以cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-，故选：A.3.已知π02αβ<<<，()4cos 5αβ-=，2sin 2β=，则sin α=（）A.10 B.10C.10-D.10-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，求得()sin ,cos αββ-的值，再由sin sin[()]ααββ=-+，结合两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由02παβ<<<，可得02παβ-<-<，因为()4cos 5αβ-=，2sin 2β=，可得()3sin 5αβ-=-，2cos 2β=，所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-32422525210=-⨯+⨯=.故选：A.4.下列函数中，其图象与函数()2xf x -=的图象关于y ＝－x 对称的是（）A.()()2log g x x =--B.()2log g x x =C.()2log x x g =-D.()()2log g x x =-【答案】D 【解析】【分析】将函数()2xf x -=中的x 变为y -，y 变为x -，整理可得答案.【详解】将函数()2xf x -=中的x 变为y -，y 变为x -得2yx -=整理得()2log y x =-，即图象与函数()2xf x -=的图象关于y ＝－x 对称的是()()2log g x x =-故选：D.5.已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象在区间423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ϕ的取值范围为（）A.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,36ππ⎡⎤⎢⎣⎦C.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.【详解】由函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4π，则函数()f x 的周期44T ππ=⨯=，则22πωπ==，则()()cos 2f x x φ=+，由将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，可得()cos 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，272,336x πππϕϕϕ⎡⎤-+∈++⎢⎥⎣⎦，函数()g x 的图象在区间423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，故2237226k k πππϕπϕππ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得52236k k πππϕπ+≤≤+，由0ϕπ<<，当0k =时，5,36ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B .6.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（）.A.()e,+∞ B.(),e -∞ C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求a 的范围即可.【详解】设切点为(),ln m m m ，()ln f x x x =的导函数为()1ln f x x '=+，可得切线的斜率1ln k m =+，由切线经过点(),P a a ，可得ln 1ln m m am m a-+=-，化简可得1ln m a m=①，由题意可得方程①有两解，设()ln mg m m=，可得()21ln m g m m -'=，当e m >时，()0g m '<，所以()g m 在()e,+∞上递减，当0e m <<时，()0g m '>，所以()g m 在()0,e 上递增，可得()g m 在e m =处取得最大值1e，如图所示，所以110ea <<，解得e a >.故选：A.7.已知函数()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠的图象关于6x π=对称，且()085f x a =，则0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A .725-B.2425-C.725D.2425【答案】C 【解析】【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得6f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得b =，再由()085f x a =可得04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，0ab ≠其中sin ϕ=，cos ϕ=由于函数的图象关于6x π=对称，所以6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1322a b +=，化简得b =，所以()00008sin cos 2sin 35f x a x x a x a π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，即04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以20000227sin 2sin 2cos 22sin 16323325x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.8.设14411,ln ,2ln sin cos 33366a b c ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，则（）A.b a c <<B.c<a<bC.a c b <<D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】法一：构造()()ln 1f x x x x =--，求导分析单调性，结合441ln 333>可得b a >，再构造()()ln sin cos g x x x x =+-，求导分析单调性可得106g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，进而判断出c a <即可.【详解】法一：若4,1,ln 3x a x b x x ==-=，令()()ln 1f x x x x =--()()ln 110,1,f x x x f x ==='+-在()1,+∞上单调递增，()()10f x f >=441ln 333∴>，即b a >，比较a 与c 的大小，先比较16与11ln sin cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭若()111,ln sin cos ln sin cos 666x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令()()()cos sin 2sin ln sin cos ,1sin cos sin cos x x xg x x x x g x x x x x--=+-=-=++'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()0,g x g x '<单调递减，10,,6g c a c a b ⎛⎫<<∴<< ⎪⎝⎭.法二：秒杀211111ln sin cos ln 1sin sin ,66333c a c a⎛⎫⎛⎫=+=+<<=∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另一方面由0x >时，144431ln 1ln 133343x b a b a x ⎛⎫>-⇒=>⨯-==⇒> ⎪⎝⎭，c a b ∴<<.故选：B二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知向量(43)a m =-，，(1)b m = ，，则下列说法正确的是（）A.若a b ⊥，则4m= B.若35m =，则a b∥C.2a b +的最小值为6D.若a 与b的夹角为锐角，则14-<<m 【答案】BC 【解析】【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：若a b ⊥，故可得()430m m +-=，解得1m =-或4m =，故A 错误；B ：当35m =时，1234,,1,55a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时31241055⨯-⨯=，则a b ∥ ，故B 正确；C ：()26,3a b m +=+ ，故2a b +6=≥，当3m =-时，取得最小值，故C 正确；D ：若a 与b 的夹角为锐角，则()430a b m m ⋅=+->，解得14m -<<；当a 与b共线时，43m m =-，解得35m =，故331,,455m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；综上所述，正确的选项是：BC .故选：BC.10.为了得到函数()2ln e y x =的图象，可将函数ln y x =的图象（）A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2e 倍B.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e C.向下平移两个单位长度 D.向上平移两个单位长度【答案】BD 【解析】【分析】()2ln e ln 2y x x ==+，可通过平移，也可通过伸缩得到.【详解】()22ln e ln e ln ln 2y x x x ===++,可将函数ln y x =的图象向上平移两个单位长度得到ln 2y x =+，也可将函数ln y x =的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e得到()2ln e y x =.故选：BD11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）A.若a >b ，则cos cos A B<B.c ＝10，a ＝12，∠A ＝60°，则ABC 有唯一解C.若a ，b ，c 成等比数列，ba 的取值范围为5151,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.若222sin sin cos 1A B C ++>，则△ABC 为锐角三角形【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项利用三角形中大边对大角即可判断出.B ，D 选项利用正余弦定理可判断.C 选项，由a ，b ，c 成等比数列，用等比中项的性质，再结合三角形边的性质，两边之和大于第三边列不等式组即可.【详解】对于A ：a >b 可知A >B ，由余弦函数单调性可知故A 正确；对于B，在ABC 中，c ＝10，a ＝12，sin sin a c A C =，得sin 122C =<，所以△ABC 有唯一解，故B 正确；对于C，∵a ，b ，c 成等比数列，设b cq a b==，q >0，则b ＝aq ，2c aq =，∴222a aq aq aq aq a a aq aq ⎧+>⎪+>⎨⎪->⎩，∴222101010q q q q q q ⎧--<⎪+->⎨⎪-+>⎩，∴515122q +<<，故C 正确；对于D，若222sin sin cos 1A B C ++>，则222sin sin 1cos A B C +>-，故222sin sin sin 0A B C +->，由正弦定理得：2220a b c +->，由余弦定理得2222cos ab C a b c =+-，则cos 0C >，C 为锐角，另外两个角不能确定为锐角还是钝角，故D 错误；故选：ABC12.已知数列{}n a 满足1a a =，121n n na a a +=+-，记数列{}2n a -的前n 项和为n S ，n S λ>对N n *∈恒成立，则下列说法正确的有（）A.若0a >，则数列{}2n a -为递减数列B.2a <<，则数列{}n a 为递增数列C.若a ＝3，则λ的可能取值为3512D.若a ＝3，则155232n n S -≥-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，取特殊情况，可得答案；对于B ，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；对于C 、D ，同B ，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.【详解】对于A ，令121n n n na a a a +=+-=，解得2n a =，即数列{}n a 的不动点为2，所以当a ＝2时，2n a =，此时{}2n a -为常数列，A 错误；对于B ，作出函数21y x x=+-与函数y ＝x 的图像如图：由图可知B 正确；对于C ，作出函数21y x x=+-与函数y ＝x 的图像如图：由图可知：123n n a a +<<≤，∴11132n a ≤<，∴21221117812,1489n n n n n a a a a a +⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，即189n n n a a a +≤<，又∵1221n n n n na a a a a +--=-=，∴()12n n n n a a a a +-=-，一方面，由189n n a a +≥得1179n n n a a a ++≥，∴()1917n n n a a a +≤+，()()21219217n n n n n n a a a a a a ++-=-≤-，∴()()()()()()()2222222121223119922291717n n n n n S a a a a a a a a a a ++=-+-++-≤-+-+⎡+-=-⎤⎣⎦ ∵12n a +>，且当n →＋∞，12n a +→，∴()945941717n S <-=，∵35451217>，∴另一方面，由()()212132223n n n n n nn n n a a a a a a a a a +---+-=+-==，23n a <≤，得12112n n n a a a +-=--，112123n a <-≤，又∵121a -=，2223a -=，35212a -=，且()11222n n a a +->-⋅，∴()()()3121225151552221312122122232n n n n S a a a --⎛⎫=-+-++-≥+++⋅++⋅=- ⎪⋅⎝⎭，所以CD 正确.故选：BCD.第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针针尖的坐标为P （x ，y ），若秒针针尖的初始坐标为022,22P ⎛ ⎝⎭当秒针由点P 0的位置（此时t ＝0）开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t （单位：秒）的函数关系为______.【答案】sin 304y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0t ≥【解析】【分析】确定(),P x y 对应的角度，再根据点P 在单位圆上，写出函数的解析式.【详解】由题意，半径1r ==，函数的周期60T =，所以t 时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角度为26030t tππ⨯=，以x 轴正半轴为始边，(),P x y 所在射线为终边，得0P 对应的角度为4π，秒针是顺时针，则(),P x y 对应的角度为430t ππ-，所以t 时刻(),P x y 的纵坐标sin 304y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0t ≥.故答案为：sin 304y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0t ≥.14.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =___________.【答案】52【解析】【分析】由281112a a a ++=结合等差数列的性质可得74a =，然后利用等差数列的求和公式可求得结果【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a =()1131371313134522a a S a +∴===⨯=故答案为：5215.计算：()23sin124cos 122︒-=︒︒-_______.【答案】-【解析】【分析】把tan12︒化为sin12tan12cos12︒︒︒=，逆用二倍角的余弦公式和正弦公式，运用辅助角公式，最后化简求值.【详解】原式13(sin12)3cos1248)cos12221sin122cos 24sin 24cos 24sin 48sin 482︒-︒︒-︒-︒︒=====-︒⋅︒︒︒︒︒【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.16.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率()(){}3221x f x f K ''=⎡⎤+⎣⎦'，则曲线()f x =1，1）处的曲率为______；正弦曲线()sin g x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值为______.【答案】①.3225②.1【解析】【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.【详解】（1）由题意得()f x '=，()3214f x x -''=-，则()112f '=，()114f ''=-，则()()()3322225111f K f ''=='+⎡⎤⎣⎦.（2）由题意得，()cos g x x '=，()sin g x x ''=-，∴()()2223322sin sin 1cos 2sin xx K xx==+-，令[]22sin 1,2t x =-∈，则232t K t -=，令()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，显然当t ∈[1,2]时，()0p t '<，p （t ）单调递减，所以()()max 11p t p ==，∴2K 的最大值为1.故答案为：3225，1.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin b A a B =.（1）求sin A ；（2）若5,b c a +==，求ABC 的面积.【答案】（1）154；（2）3154.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】由2sin 2sin b A a B =，故4sin cos sin b A A a B =由正弦定理知：sin sin b A a B =，所以1cos 4A =.因为cos 0A >，所以A 为锐角，故15sin 4A ==；【小问2详解】由（1）及余弦定理知：2211024b c bc =+-⋅，故221102b c bc +=+，故25()102b c bc +=+.由5b c +=，所以6bc =，所以ABC 的面积11sin 62244S bc A ==⨯⨯=.18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为132n nS b =⋅+（b 为常数）．（1）求b 的值和数列{}n a 的通项公式；（2）记m c 为{}n a 在区间()3,3mmm N*⎡⎤-∈⎣⎦中的项的个数，求数列{}m ma c 的前n 项和nT ．【答案】（1）12b =-；1*3,n n a n N -=∈（2）113.244n n n T ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）依题意等比数列{}n a 的公比不为1，再根据等比数列前n 项和公式得到1111nn a a q S q q=---，即可得到1112a b q ==--且3q =，从而求出1a 、b ，即可得解；（2）首先令1333m n m --≤≤，n N *∈，即可求出n 的取值范围，从而求出m c ，即可得到()113m m m a c m -=+⨯，再利用错位相减法求和即可；【小问1详解】解：由题设132n nS b =⋅+，显然等比数列{}n a 的公比不为1，若{}n a 的首项、公比分别为1a 、q ，则()1111111n nn a q a a q S qq q-==----，∴1112a b q ==--且3q =，所以11a =，故{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈．当1*3,n n a n N -=∈时，()1131131322nnn S -==⨯--；【小问2详解】解：令1333m n m --≤≤，n N *∈，解得01n m ≤-≤，所以11n m ≤≤+数列{}n a 在()*3,3mmm N⎡⎤-∈⎣⎦中的项的个数为1m +，则1mcm =+，所以()113m m m a c m -=+⨯，∵()0112.33313n n T n -=+⋅+++⋅ ，①∵()123233313nn T n =⋅+⋅+++⋅ ②两式相减得∴()()()0111231132233313113132n n n nnn n T n n ---⋅+--=⋅+++-+⋅=+-+⋅=- ．∴113.244n n n T ⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭19.如图，三棱台ABC －DEF 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2AB ＝2DF ，四边形ACFD 为等腰梯形，∠ACF ＝45°，平面ABED ⊥平面ACFD .（1）求证：AB ⊥CF ；（2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】(1)延长AD 、BE 、CF 交于点P ，由平面ABED ⊥平面ACFD 推导出CP ⊥平面ABED ，进而可得出CP ⊥AB ；(2)设DF ＝a ，可得出PA =，BC =，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，计算出点D 到平面ABC 的距离h ，即可求得直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：延长AD 、BE 、CF 交于点P，∵四边形ACFD 为等腰梯形，∠ACF ＝45°，∴∠APC ＝90°，即CP ⊥AP ，∵平面ABED ⊥平面ACFD ，平面ABED ⋂平面ACFD ＝AP ，CP ⊂平面ACFD ，∴CP ⊥平面ABED ，∵AB ⊂平面ABED ，∴CP ⊥AB .【小问2详解】由AC ＝2AB ＝2DF ，可知D 为PA 的中点，设AB ＝DF ＝a ，则PA =，BC =，由（1）知，CP ⊥AB ，∵∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，CP BC C = ，CP 、BC ⊂平面PBC ，∴AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB，∴PB a ==，122BD PA a ==，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，∵AB ⊥平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，∴AB ⊥PM ，又AB BC C = ，AB 、BC ⊂平面ABC ，∴PM ⊥平面ABC ，∴PM ⊥BC ，由（1）知，CP ⊥平面ABED ，∴CP ⊥PB ，∴PM BC CP PB ⋅=⋅，即PM a =⋅，∴3PM a ==，∵D 为PA 的中点，∴D 到平面ABC 的距离1626h PM ==，∴直线BD 与平面ABC所成角的正弦值为66322ah BD ==.20.已知函数()22cos cos f x x x x a ωωω=++（0ω>，a ∈R ）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-；条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2．求：（1）函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12个单位，得到函数()g x 的图像，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，求m 的最大值．【答案】（1）选择条件①③得()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；（2）3π【解析】【分析】（1）由题知()2sin 216f x x a πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，进而结合已知条件选择①③能确定函数()f x 解析式，再求解即可；（2）结合函数平移变换得()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而根据题意得74660m m ππ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：()22cos cos f x x x x a ωωω=++cos 2212sin 216x x a x a πωωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，当选条件②，()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-时，π2,Z 1262k k ππωπω⎛⎫⋅-+=+∈ ⎪⎝⎭，即0,Z 2k k ππ=+∈，显然不成立，条件①③能确定函数()f x 解析式，因为()f x 的最大值为1，()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2所以211++=a ，22T ππω==，解得1ω=，2a =-，所以，()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【小问2详解】解：根据题意得()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[]0,x m ∈，所以4,4666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g 所以，74660m m ππ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得03m π<≤.所以，m 的最大值为3π.21.已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数.（I ）证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线32y x b =-+最多只有一个交点；（II ）若方程()44log 23xf x a a ⎛⎫⎪⎝=⋅⎭-有且只有一个解，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）证明见解析；（II ）{}()31,-⋃+∞.【解析】【分析】（I ）先利用偶函数的定义()()f x f x =-结合对数的运算性质求出k 的值，然后利用定义法证明函数()y f x =在R 上单调递增，即可证明出所证结论；（II ）由()44log 23xf x a a ⎛⎫⎪⎝=⋅⎭-，得出142223x x x a a +=⋅-，令20x t =>，将问题转化为关于t 的方程()241103aa t t ---=有且只有一个正根，然后分三种情况讨论：①10a -=；②10a -≠，Δ0=；③10a -≠，方程有一个正根一个负根.分析这三种情况，可求出实数a 的取值范围.【详解】（I ）由函数()f x 是偶函数可得：()()f x f x =-，()()44log 41log 41xxkx kx -∴++=+-，441log 241x x kx-+∴=-+，即2x kx =-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-.由题意可知，只要证明函数()()43log 412x xf x x +=++在定义域R 上为单调函数即可.任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()212142141log 41x x y y x x +-=+-+，21x x > ，210x x ∴->，2141141x x +>+，即21441log 041x x +>+，21y y ∴>.∴函数()4log 41x y x =++在R 上为单调增函数.∴对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线32x y b =-+最多只有一个交点；（II ）若方程()44log 23x a f x a ⎛⎫ ⎪⎝⋅-⎭=有且只有一解，也就是方程142223x x x a a +=⋅-有且只有一个实根.令20x t =>，问题转化为方程：()241103a a t t ---=有且只有一个正根.（1）若1a =，则34t =-，不合题意；（2）若1a ≠时，由304a ∆=⇒=或3-，当34a =时，2t =-不合题意；当3a =-时，12t =；（3）若1a ≠时，0∆>，若方程一个正根与一个负根时，则1011a a -<⇒>-.综上：实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题，涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题，解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理，属于中等题.22.已知函数11()t t t t f x x x x+=+-(0, x t >为正有理数)．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2x 时，()0f x ．【答案】（1）()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由于()f x 在[2,)+∞单调递减，所以11()(2)222t t t t f x f +=+-，令11(0)()222t t t t g t t +=+>-，所以只要证()0g t ≤即可，而(1)0g =，所以只要证明：当1t 时，()0g t ，而1111()2222221t t t t t t tt g t +-⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭=，所以令122)1(1)(t t t h t t -+=-≥，然后利用导数求()h t 的最大值小于等于零即可.【小问1详解】函数的定义域为(0,)+∞．()111111111111()11t t t t t t t t f x tx x t x tx x x t t t-+-'--⎛⎫⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0,x t >为正有理数)，当01x <<时，110t x ->，10t x ->，所以()0f x '>；当1x >时，110t x -<，10t x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；【小问2详解】因为()f x 在[2,)+∞单调递减，所以11()(2)222t t t t f x f +=+-．记11(0)()222t t t t g t t +=+>-，因此要证()0f x ≤，只要证()0g t ≤即可而1()g t g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭且(1)0g =，因此只要证明：当1t 时，()0g t ．而1111()2222221t t t t t t t t g t +-⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭=．令122)1(1)(t t t h t t -+=-≥，则1121()2(ln 2)12t t t h t t -'⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1m t =，则01m <．令()212(01)m F m m m =+-<，则()22ln 2m F m m '=-，令()22ln 2(01)m G m m m =-<，则2()22(ln 2)0m G x '=->，所以()G m 在(0，1]上单调递增，又(0)ln 20,(1)22ln 20G G =-<=->，又()G m 在(0，1]上连续，故存在0(0,1]m ∈，使得当()00,m m ∈时，()0G m <，当(]0,1m m ∈时，()0G m >，所以()F m 在()00,m 上单调递减，在(]0,1m 单调递增．又(0)(1)0F F ==，所以()0F m ．即()0h t '，所以()h t 在[1,)+∞单调递减，所以()(1)0h t h =，即()0g t ．综上所述，当2x 时，()0f x ．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为证明当1t 时，1111()22222210t t t t t t tt g t +-⎛⎫=+--+≤ ⎪⎝⎭=，构造函数122)1(1)(t t t h t t -+=-≥，然后转化为利用导数求其最大值不大于零即可，考查数学转化思想，属于难题.。

华南师大附中2021届高三综合测试（二）数学满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，请务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡和 答卷上。

2．选择题在选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合},04|{)},1ln(|{2≤-=-==x x B x y x A 则B A =( )A ．}2|{-≥x xB ．}21|{<<x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{≥x x 2．己知i 是虚数单位，复数|i |i1-=z ，下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为-iB ．z 对应的点在第一象限 C ．z 的实部为-1D ．z 的共轭复数为l+i 3．“0sin =α”是“1cos =α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．己知向量21,e e 是两个不共线的向量，若21212e e b e e a λ+=-=与共线，则=λ( )A ．2B ．2-C ．21-D ．215．己知函数)sin()(2π-⋅=x x x f ，则其在区间],[ππ-上的大致图象是( ) 6．若数列}{n a 满足nn a a 111-=+，且21=a ，则a 2021=( ) A ．-1B ．2C ．2D ．217．f (x )是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足0)()('<+x f x xf ，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．bf (b )<af (a )D ．af (a )<bf (b )8．己知α是第四象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+为( )A ．αtan 2-B ．αtan 2C ．αtanD ．αtan -二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -3) =-f (x )，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(2-=，下列等式成立的是( )A ．f (2019)+f (2020)=f (2021)B ．f (2019)+f (2021)=f (2020)C ．2f (2019)+f (2020)=f (2021)D ．f (2019)=f (2020)+f (2021)10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，若b =10，A =45°，则使此三角形有两解的a 的值可以是( ) A ．5B ．26C ．8D ．21011．己知数列}{n a 的首项为4，且满足*)(0)1(21N n na a n n n ∈=-++，则( )A ．}{nan为等比数列B ．}{n a 为递增数列 C ．}{n a 的前n 项和42)1(1+⋅-=+n n n S D ．}2{1+n na 的前n 项和22n n T n +=12．设函数)0(1||ln 2)(2>+-=a ax eax x f ，若f (x )有4个零点，则a 的可能取值有（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知向量a =(1，m )，b =（3，-2），且b b a ⊥+)(，则m =．14．若}{},{n n b a 满足n n a b a n n n +==2,1，则}{n b 的前2020项和为．15．甲船在A 处观察到乙船在它北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=（填角度）． 16．函数x x x x x x f ln 2131)(223--+=在],21[e 上的最小值是，最大值是（第一空3分，第二空2分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①26,7753=+=a a a ；②63,371==S a ；③n n S n 22+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知S n 为等差数列}{n a 的前n 项和，若． (1)求a n ； (2)令*)(112N n a b n n ∈-=，求数列}{n b 的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，己知bc C a A 1cos cos =+，且b =2，a >b >c ． (1)求ac 的值； (2)若△ABC 的面积27=S ，求a 和c 的值． 19．（12分）如图，在四棱锥S - ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，SA =AB =3，BC =2，AD =1． (1)若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ; (2)当SM =MB ，DN =3NC 时，求平面AMN 与 平面SAB 所成的锐二面角的余弦值． 20．（12分）己知定点A (-2，0)，F (l ，0)，定直线l ：x =4，动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的21．设点P 的轨迹为C ，过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点．(1)求C 的方程；(2)若x 轴上点Q 满足0=⋅QN QM ，求点Q 的坐标． 21．（12分）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望；(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为P n ，即P 1 =1．(i )求P 2，P 3（直接写出结果即可）；(ii )证明：数列}31P {-n 为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大． 22．(12分) 己知函数)(ln )(1R a ax x ex f x ∈-+=-,)('x f 是)(x f 的导函数，且)('x f 有两个零点)(,2121x x x x <．( I)讨论)('x f 的单调性； (II)若4121>x x ，求证：.6)()(1212a x x x f x f -<-- 数学参考答案一、选择题：1．C2．D3．B4．C5．D6．D7．C 8．B 二、选择题：9．ABC10．BC11．ABD12．BCD 三、填空题：13．814．2021202015．30°16．61-，e e e --232131四、解答题： 17．（10分）解：(1)若选择条件(1)，在等差数列}{n a 中⎩⎨⎧=+=267753a a a ，⎩⎨⎧=+=+∴261027211d a d a ，解得⎩⎨⎧==231d a 若选择条件(2)，在等差数列}{n a 中⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==6326773171d a S a ，解得⎩⎨⎧==231d a 122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n ；若选择条件(3)，在等差数列}{n a 中a l =S l =3，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n 2+2n -[(n -l)2 +2(n -1)]= 2n +l ，a 1也符合， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得)111(41)1(411)12(11122+-=+=-+=-=n n n n n a b n n ，)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n b b b T n n 18．（12分）(1)解法一、由己知及正弦定理，得BC C A A sin 1sin cos sin cos =+ 因为cA B cA C A CA AC C A CC AA sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos =+=+=+所以C A B Bc A B sin sin sin ,sin 1sin sin sin 2==由正弦定理得b 2= ac ，即ac =4．解法二、由己知及余弦定理，得babc c b a abc a c b 12222222=-++-+，得ac = b 2 =4， (2)27sin 2sin 21===∆B B ac S ABC ，得47sin =B ．又ac =4且b =2，a >b >c ，∴B 为锐角，⋅-+=-+==-=∴812)(243sin 1cos 22222c a ac b c a B B 19．（12分）(1)证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ． 在△SBC 中，ME 为中位线，∴ME / /BC 且ME =21BC ， ∵AD //BC 且AD =21BC ，∴ME //AD 且ME = AD ， ∴四边形AMED 为平行四边形．∴AM / /DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴AM / /平面SCD .(2)解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)3,0,0(),0,0,1(),0,3,2(),0,3,0(),0,0,0(S D C B A ,于是),23,23,0(21=+=BS AB AM设平面AMN 的一个法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AN n AM将坐标代入并取y =7，得)7,7,33(--=n ．另外易知平面SAB 的一个法向量为)0,0,1(=m 所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为25153=⋅nm n m 20．（12分）(1)F (1，0)，设P (x ，y )为C 上任意一点，依题意有21|4|)1(22=-+-x y x(2)易知直线DE 斜率不为0，设DE 方程为x =ty +1由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x ty x ，得096)43(22=-++ty y t设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则436221+-=+t t y y ，439221+-=t y y 由A (-2，0)，知AD 方程为)2(20011++-=-x x y y ，点M 坐标为)26,4(11+x yM同理，点N 坐标为)26,4(22+x y N ， 设点Q (m ，0)， 则)2)(2(36)4()26,4()26,4(212122211+++-=+-⋅+-=⋅x x y y m x y m x y m QN QM 因为9)43(9)6(39)9(3622-=++-+--⨯t t t t ，所以m=l 或m=7 ∴点Q 坐标为(1，0)和(7，0)。