1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：
0120121200102021101201220211,1,2,
()0,()3,()4;
()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)
()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--=
=-+-----=
=------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为
2
20()()k k k L x y l x ==∑
0223()4()
14(1)(2)(1)(1)235
37623l x l x x x x x x x =-+=-
--+-+=+
- 5设[]2(),f x C
a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21m ax ()()m ax ().8a x b a x b
f x b a f x ≤≤≤≤''≤
- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为
1010101
0()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b
x a
f a f b a b x a --=+--
1()()0
()0f a f b L x ==∴= 又 插值余项为1011
()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=
--
011
()()()()2f x f x x x x x ''∴=--
[]012
012
102
()()
1()()21()
41
()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫
≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=- 又 ∴2
1m ax ()()m ax ().8a x b a x b
f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 16．求一个次数不高于4次的多项式
P （x ），使它满足
(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
0101010,1
0,10,1
x x y y m m ======
11
300
201
00101
2
()()()
()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x
x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑
210
110102
()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-
2
021()(1)()(1)x x x x x x
ββ=-=-
22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+
设22
301()()()()P x H x A x x x x =+--
其中，A 为待定常数
3222(2)1
()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-
1
4A ∴= 从而2
21()(3)4P x x x =-
19．求4()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。
解：
在[,]a b 区间上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-
令01
max i i n h h ≤≤-= 43(),()4f x x f x x '==
∴函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的分段埃尔米特插值函数为
2111211112112111()(
)(12)()(
)(12)()(
)()()()()()i i h i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i i i i
x x x x I x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x ++++++++++++--=+----++---'+---'+-- 42
13421
1332
1232
1
12()(22)
()(22)4()()
4()()i
i i i i i i i i i
i i i i i i i i x x x h x x h x x x h x x h x x x x x h x x x x x h ++++++=-+-+--++--+-- 误差为
(4)221(4)4
()()
1()()()4!1
m ax ()()242h i i i a x b f x I x f x x x x h f ξξ+≤≤-=
--≤ 又4()f x x =
(4)4401()4!24
m ax ()()m ax 1616
i h a x b i n f x h h f x I x ≤≤≤≤-∴==∴-≤≤
