8 应力状态与应变状态分析
1、应力状态概念，
2、平面应力状态下应力分析，
3、主平面是切应力为零平面，主应力是作用于主平面上正应力。
（1）过一点总存在三对互相垂直主平面，相应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:
321σσσ≥≥
最大切应力为
13
2
max σστ-=
（2）任斜截面上应力
α
τασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
α
τασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
（3) 主应力大小
2
2min
max )2
(
2
xy
y
x y
x τσσσσσ+-±+=
主平面方位
y
x xy
tg σστα--=
220
4、主应变
12
2122x y x y xy xy
x y
()()tg εεεεεεγγϕεε⎡
=
+±-+⎣
=
-
5、广义胡克定律
)](
[1
z y x x E σσμσε+-=
)]([1
x z y y E σσμσε+-=
)]([1
y x z z E σσμσε+-=
G zx
zx τγ=
G yz
yz τγ=
，
G xy
xy τγ=
6、应力圆与单元体之间相应关系可总结为“点面相应、转向相似、夹角两倍。”
8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处原始单元体。
图8.1
[解]（1）原始单元体规定其六个截面上应力应已知或可运用公式直接计算，因而应选用如下三对平面：A 点左右侧横截面，此对截面上应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行一对平面，其中靠前平面是自由表面，因此该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下一对与xz 平行平面。截取出单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上应力:
A 点偏右横截面正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面应力为：
z
M
y I σ=
b I QS z z *=
τ
解题范例
由切应力互等定律知,单元体上下面有切应力τ ；先后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图8.1(d)。
8.2 图8.2(a)所示单元体,试求（1）图示斜截面上应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面位置及该平面上正应力，并画出该单元体。
[解]（1）求斜截面上正应力
︒30－σ和切应力︒30－τ
图8.2
由公式
MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100
5021005030-=︒---︒---++-=
︒-σ
MPa
95.34)60cos()60()60sin(21005030=︒--+︒---=︒
-τ
（2）求主方向及主应力
8
.0100
50120
22tan -=----=--
=y x x σστα ︒-=66.382α
︒=︒
-=67.7033.1921αα
最大主应力在第一象限中，相应角度为
070.67α=︒，主应力大小为
1
5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=
⨯︒--⨯︒=－＋－－＋
由
y
x σσσσαα+＝＋2
1
可解出
2
1
(50)100(121.0)71.0MPa
x y ασσσσ=+=-+-=-－
因有一种为零主应力，因而
)33.19(MPa
0.7133︒--＝第三主方向＝ασ
画出主单元体如图8.2(b)。
（3）主切应力作用面法线方向
25
.1120100
502tan =---=
'α ︒='34.512α
︒='︒
='67.11567.2521αα
主切应力为
'
2
'
1
MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100
50ααττ-=-=︒-+︒--=
此两截面上正应力为
MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100
502100501
=︒--︒--++-=
'ασ
MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100
502100502
=︒--︒--++-=
'ασ
主切应力单元体如图8.2（c ）所示。 由
y
x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252
1
，可以验证上述成果对的性。
8.3 试用图形解析法，重解例8.2。 [解] （1）画应力圆
建立比例尺，画坐标轴τσ、。
对图8.2(a)所示单元体，在τσ-平面上画出代表x x τσ、点A(-50,-60)和代表
y
y τσ、点B(100,60)。连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）
为半径，作应力圆如图8.3所示.
