2015年天津市高考数学试卷(理科)

2015年天津市高考数学试卷（理科）及解析2015年天津市高考数学试卷(理科)一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 403((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 1824((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) 第1页(共21页)A( B( C( D( 36((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1,|xm|((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，7记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) 其中bA( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 (10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 3m(第2页(共21页)211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 (14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11第3页(共21页)(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x率为+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221第4页(共21页)2015年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}考点:交、并、补集的混合运算(专题:集合(分析:由全集 U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可; 解答:解: ?全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，??B={2，5，8}， U则A??B={2，5}( U故选:A(点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键(2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 40考点:简单线性规划(专题:不等式的解法及应用(分析:作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值(解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)(由z=x+6y得y=,x+z，平移直线y=,x+z，由图象可知当直线y=,x+z经过点A时，直线y=,x+z的截距最大，此时z最大(由，解得，即A(0，3)将A(0，3)的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18(即z=x+6y的最大值为18(第5页(共21页)故选:C(点评:本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法(3((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 18考点:程序框图(专题:图表型;算法和程序框图(分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S的值，当i=8时满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(解答:解:模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i,5，i=4，S=14不满足条件i,5，i=8，S=6满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(故选:B(点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的第6页(共21页)关键，属于基础题(24((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断(专题:简易逻辑(分析:根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可( 解答:解:由“|x,2|,1”得1,x,3，2由x+x,2,0得x,1或x,,2，2即“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的充分不必要条件，故选:A(点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础(5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( )A( B( C( D( 3考点:与圆有关的比例线段(专题:选作题;推理和证明(分析:由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求NE即可( 解答:解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，?2×4=AM•2AM，?AM=2，?MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，?3×NE=4×2，?NE=(故选:A(点评: 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础(6((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( )第7页(共21页)A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1考点:双曲线的标准方程(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程(解答: 解:由题意，=，22?抛物线y=4x的准线方程为x=,，双曲线的一个焦点在抛物线y=4x的准线上，?c=，222?a+b=c=7，?a=2，b=，?双曲线的方程为(故选:D(点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题(,|xm|7((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a考点:函数单调性的性质(专题:函数的性质及应用(|x|分析: 根据f(x)为偶函数便可求出m=0，从而f(x)=2,1，这样便知道f(x)在[0，+?)上单调递增，根据(fx)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+?)上:a=f(|log3|)，0.5b=f(log5)，c=f(0)，然后再比较自变量的值，根据f(x)在[0，+?)上的单调性2即可比较出a，b，c的大小(解答:解: ?f(x)为偶函数;?f(,x)=f(x); ,,,|xm||xm|?2,1=2,1;?|,x,m|=|x,m|;22(,x,m)=(x,m);?mx=0;?m=0;|x|?f(x)=2,1;第8页(共21页)?f(x)在[0，+?)上单调递增，并且a=f(|log3|)=f(log3)，b=f(log5)，c=f0.522(0);?0,log3,log5; 22?c,a,b(故选:C(点评:考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+?)上，根据单调性去比较函数值大小(对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用(8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，其中b?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) A( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)考点:根的存在性及根的个数判断(专题:函数的性质及应用(分析:求出函数 y=f(x),g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2,x)，作出函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可(解答: 解:?g(x)=b,f(2,x)，?y=f(x),g(x)=f(x),b+f(2,x)，由f(x),b+f(2,x)=0，得f(x)+f(2,x)=b，设h(x)=f(x)+f(2,x)，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若0?x?2，则,2?x?0，0?2,x?2，则h(x)=f(x)+f(2,x)=2,x+2,|2,x|=2,x+2,2+x=2，若x,2，,x,0，2,x,0，22则h(x)=f(x)+f(2,x)=(x,2)+2,|2,x|=x,5x+8(即h(x)=，作出函数h(x)的图象如图:22当x?0时，h(x)=2+x+x=(x+)+?，22当x,2时，h(x)=x,5x+8=(x,)+?，故当b=时，h(x)=b，有两个交点，当b=2时，h(x)=b，有无数个交点，第9页(共21页)由图象知要使函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，即h(x)=b恰有4个根，则满足,b,2，故选:D(点评:本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键(二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 ,2 (考点: 复数的基本概念(专题:数系的扩充和复数(分析:由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0且虚部不等于0求得a的值( 解答:解:由( 1,2i)(a+i)=(a+2)+(1,2a)i为纯虚数，得，解得:a=,2(故答案为:,2(点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题(10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为3 m(第10页(共21页)考点:由三视图求面积、体积(专题:计算题;空间位置关系与距离(分析:根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积(解答:解:根据几何体的三视图，得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1;?该几何体的体积为22V=2×π•1×1+π•1•2 几何体=π(故答案为:π(点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目(211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (考点:定积分在求面积中的应用(专题:计算题;导数的概念及应用(分析:先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可( 解答:解: 先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0212直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=?(x,x)dx 0211而?(x,x)dx=()|=,= 00?曲边梯形的面积是(故答案为:(第11页(共21页)点评:本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数(6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (考点:二项式定理的应用(专题:计算题;二项式定理(2分析: 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x的系数( 解答: ,66rrr6解:(x,)的展开式的通项公式为T=•(x)•(,)=(,)••xr+1,2r，2令6,2r=2，解得r=2，?展开式中x的系数为×=，故答案为:(点评:本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题(13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 8 (考点: 余弦定理(专题:解三角形(分析: 由cosA=,，A?(0，π)，可得sinA=(利用S==，?ABC222化为bc=24，又b,c=2，解得b，c(由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA即可得出( 解答: 解:?A?(0，π)，?sinA==(?S==bc=，化为bc=24， ?ABC又b,c=2，解得b=6，c=4(第12页(共21页)222由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA=36+16,48×=64(解得a=8(故答案为:8(点评:本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (考平面向量数量积的运算(点:专平面向量及应用(题:分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析:形式求最值(解解:由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=()•()=()答:•()==2×1×cos60?+λ1×1×cos60?+×2×1+×1×1×cos120?=1++,?+=(当且仅当时等号成立);故答案为:(点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评: 正确表示所求，利用基本不等式求最小值(三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值( 专题:三角函数的求值(分析: (?)由三角函数公式化简可得f(x)=,sin(2x,)，由周期公式可得;(?)由x?[,，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值(第13页(共21页)解答: 22解:(?)化简可得f(x)=sinx,sin(x,)=(1,cos2x),[1,cos(2x,)]=(1,cos2x,1+cos2x+sin2x)=(,cos2x+sin2x)=sin(2x,)?f(x)的最小正周期T==π;(?)?x?[,，]，?2x,?[,，]，?sin(2x,)?[,1，]，?sin(2x,)?[,，]，?f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值分别为，, 点评:本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列(专题:概率与统计(分析:( ?)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望(解答:解:(?)由已知，有P(A)=，?事件A发生的概率为;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4(P(X=k)=(k=1，2，3，4)(?随机变量X的分布列为:P 1 2 3 4第14页(共21页)X随机变量X的数学期望E(X)=( 点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角( 专题:空间位置关系与距离;空间角(分析: (?)以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平1面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论;(?)通过计算平面ACD的法向量与平面ACB的法向量的夹角的余弦值及平方关11系即得结论;(?)通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可(解答: (?)证明:如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z1轴建系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，,2，0)，A(0，0，2)，B(0，1，2)，C(2，0，2)，D(1，,2，2)， 1111又?M、N分别为BC、DD的中点，?M(1，，1)，N(1，,2，1)( 11由题可知:=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，=(0，,，0)，?•=0，MN?平面ABCD，?MN?平面ABCD;第15页(共21页)(?)解:由(I)可知:=(1，,2，2)，=(2，0，0)，=(0，1，2)，设=(x，y，z)是平面ACD的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，1，1)，设=(x，y，z)是平面ACB的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，,2，1)，?cos,，,==,，?sin,，,==，?二面角D,AC,B的正弦值为; 11(?)解:由题意可设=λ，其中λ?[0，1]， ?E=(0，λ，2)，=(,1，λ+2，1)，又?=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，?cos,，,===，2整理，得λ+4λ,3=0，解得λ=,2或,2,(舍)， ?线段AE的长为,2( 1第16页(共21页)点评:本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn考点:数列的求和(专题:等差数列与等比数列(分析: (1)通过a=qa、a、a，可得a、a、a，利用a+a，a+a，a+a成等差数列，n+2n12354233445计算即可;*(2)通过(1)知b=，n?N，写出数列{b}的前n项和T、2T的表达式，nnnn 利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可(*解答: 解:(1)?a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，a=2， n+2n122?a=q，a=q，a=2q， 354又?a+a，a+a，a+a成等差数列，2334452?2×3q=2+3q+q，2即q,3q+2=0，解得q=2或q=1(舍)，?a=; n*(2)由(1)知b===，n?N， n记数列{b}的前n项和为T， nn则T=1+2•+3•+4•+…+(n,1)•+n•， n?2T=2+2+3•+4•+5•+…+(n,1)•+n•， n两式相减，得T=3++++…+,n• n=3+,n•=3+1,,n•=4,(第17页(共21页)点评:本题考查求数列的通项与前 n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题(19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程(专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 2222(?)通过离心率为，计算可得a=3c、b=2c，设直线FM的方程为y=k(x+c)，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论;(?)通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M(c，c)，利用|FM|=计算即可;(?)设动点P的坐标为(x，y)，分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x?(,，,1)与x?(,1，0)两种情况讨论即可结论(解答:解:(?)?离心率为，?==，222222?2a=3b，?a=3c，b=2c，设直线FM的斜率为k(k,0)，则直线FM的方程为y=k(x+c)，22?直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，?圆心(0，0)到直线FM的距离d=，22?d+=，即()+=，解得k=，即直线FM的斜率为;(?)由(I)得椭圆方程为:+=1，直线FM的方程为y=(x+c)，第18页(共21页)22联立两个方程，消去y，整理得3x+2cx,5c=0，解得x=,c，或x=c， ?点M 在第一象限，?M(c，c)，?|FM|=，?=，2222解得c=1，?a=3c=3，b=2c=2，即椭圆的方程为+=1;(?)设动点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，?F(,1，0)，?t=，即y=t(x+1)(x?,1)，222联立方程组，消去y并整理，得2x+3t(x+1)=6，又?直线FP的斜率大于，?,，解得,,x,,1，或,1,x,0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x?0)，2联立方程组，消去y并整理，得m=,(?当x?(,，,1)时，有y=t(x+1),0，因此m,0， ?m=，?m?(，);?当x?(,1，0)时，有y=t(x+1),0，因此m,0，?m=,，?m?(,?，,);综上所述，直线OP的斜率的取值范围是:(,?，,)?(，)(点评:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题( n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;第19页(共21页)(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程( 专题:压轴题;导数的概念及应用;导数的综合应用(n分析: (?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性(2(?)设点P的坐标为(x，0)，则可求x=n，f′(x)=n,n，可求g(x)000,n1=f′(x)(x,x)，F′(x)=f′(x),f′(x)(由f′(x)=,nx+n在(0，000+?)上单调递减，可求F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减，00即可得证((?)设x?x，设方程g(x)=a的根为，由(?)可得x?(设曲线y=f(x)122在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，设方程h(x)=a的根为，可,n1n得,x，从而可得:x,x,,=，由n?2，即2=(1+1)121,1?1+=1+n,1=n，推得:2=x，即可得证( 0解答: (本题满分为14分),,nn1n1•解:(?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)=n,nx=n(1,x)，其中n?N，且n?2( 下面分两种情况讨论:(1)当n为奇数时，令f′(x)=0，解得x=1，或x=,1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表:(,?，,1) (,1，1) (1，+?) xf′(x) , , +f(x)所以，f(x)在 (,?，,1)，(1，+?)上单调递减，在(,1，1)单调递增( (2)当n为偶数时，当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递增;当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递减;所以，f(x)在(,?，1)单调递增，在(1，+?)上单调递减;2(?)证明:设点P的坐标为(x，0)，则x=n，f′(x)=n,n， 000曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x)(x,x)，即g(x)=f′(x)(x000,x)， 0令F(x)=f(x),g(x)，即F(x)=f(x),f′(x)(x,x)，则F′(x)=f′00(x),f′(x)( 0第20页(共21页),n1由于f′(x)=,nx+n在(0，+?)上单调递减，故F′(x)在(0，+?)上单调递减，又因为F′(x)=0，所以当x?(0，x)时，F′(x),0，当x?(x，+?)时，000F′(x),0，所以F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减， 00所以对应任意的正实数x，都有F(x)?F(x)=0， 0即对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)((?)证明:不妨设x?x， 122由(?)知(gx)=(n,n)(x,x)，设方程(gx)=a的根为，可得=，0由(?)知g(x)?f(x)=a=g()，可得x?( 222类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当x?n(0，+?)，f(x),h(x)=,x,0，即对于任意的x?(0，+?)，f(x),h(x)，设方程h(x)=a的根为，可得=，因为h(x)=nx在(,?，+?)上单调递增，且h()=a=f(x),h(x)，因此,x， 111由此可得:x,x,,=， 21,,n1n1因为n?2，所以2=(1+1)?1+=1+n,1=n，故:2=x( 0所以:|x,x|,+2( 21点评:本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力(第21页(共21页)。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科） 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U AB =ð ( ) （A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）403．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N 。

若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）526．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()||21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<8．已知函数()()()()22||222x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）()74,+∞ （B ）(),74-∞ （C ）()0,74 （D ）()74,2二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103（D ）52 （6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,A B D C A B B C A B C ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅ 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD 平面；(II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

2015天津高考理科数学试题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 椎体的体积公式V = V=1/3Sh其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示椎体的底面积，h 表示柱体的高． h 表示棱柱的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩C u B（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52 （6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . （14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 1,,9BE BC DF DC AE AF λλ==且则的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[-π/3,π/4]上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,12,5AC AA AD CD,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点. (I)求证： MN ∥平面ABCD (II)求二面角11D -AC B 的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b的左焦点为F -c （,0）,M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y截得的线段的长为c，. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x ,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n。

2015年天津高考数学（理）试题及解析本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上。

写在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高。

·锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A C B =A ．{}2,5B ．{}3,6C ． {}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8 答案：A解析：集合B 的补集为｛2，5，8｝，则集合A 与集合B 的补集都包含的元素有2和5，因此A C U B=A C U B=｛2，5｝，因此本题选A（2）设变量,x y 满足约束条件20,30,230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为A ．3B ． 4C ．18D ．40 答案：C解析：可行区域如图所示，A （0，3），B （-2,1），在A 处取最大值z=18.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为A ．-10B ．6C ． 14D ． 18 答案：B解析：由程序框图知：当i=1时，S=20-2×1=18，当i=2时，S=18-2×2=14，当i=4时仍然要进行循环，S=14-4×2=6，此时i=8＞5，跳出循环，输出S=6，因此正确答案为B（4）设x R ∈，则“21x -＜”是“220x x +-＞”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由不等式“|x -2|<1”解出1＜x ＜3，由不等式“x²+x -2>0”解出x ＜-2或x ＞1，因为1＜x ＜3，x 的取值范围比x ＜-2或x ＞1的x 的取值范围小，因此“|x -2|<1”是“x²+x -2>0”的充分不必要条件。

2015年高考天津卷 数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.(15天津高考)已知全集U ={}1,2,3,4,5,6,7,8,集合{}2,3,5,6A =,集合{}1,3,4,6,7B =,则集合U A B = ð（ ）A.{}25，B.{}36，C.{}256，，D.{}2,3,5,6,8 【参考答案】A【测量目标】集合运算.【试题分析】{}2,5,8U B =ð，所以U A B = ð{}2,5，故选A. 2. (15天津高考)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-≤⎩≥≥，则目标函数6z x y =+的最大值为 （ ）A.3B.4C.18D.40 【参考答案】C【测量目标】线性规划的最值求解问题.【试题分析】不等式组2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-≤⎩≥≥所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点()0,3B 时，z 有最大值18.第2题图3. (15天津高考)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为 ( )第3题图A.-10B.6C.14D.18 【参考答案】B【测量目标】程序框图.【试题分析】模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立； 248,1486,85i S =⨯==-=>成立；输出6，故选B. 4. (15天津高考)设x ∈R ,则“2x -<1”是“220x x +->”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】充分条件与必要条件.【试题分析】212113x x x -⇔-<-<⇔<<<1；220x x +->2x ⇔<-或1x >； 所以“2x -<1”是“220x x +->”的充分不必要条件，故选A.5. (15天津高考)如图，在圆O 中，,M N 是弦,A B 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN ===,则线段NE 的长为 （ ）第5题图A.83 B.3 C.103 D.52【参考答案】A【测量目标】相交弦定理.【试题分析】 由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅,又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB ⋅=⋅,所以CN NE CM MD ⋅=⋅,所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===,故选A.6. (15天津高考)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为 （ ）A.2212128x y -= B.2212821x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 【参考答案】D【测量目标】双曲线和抛物线的标准方程及几何性质.【试题分析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于点(2在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线方程x =-所以c =，又2227a b c +==，由此可解得2,a b ==，所以双曲线方程为22143x y -=，故选D. 7. (15天津高考)已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-(m 为实数)为偶函数，记()0.5log 3,a f =()2log 5,b f =()2c f m =,则a ，b ，c 的大小关系为 （ ）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a 【参考答案】C【测量目标】函数的奇偶性以及指数式、对数式的运算. 【试题分析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =,即()21xf x =-，所以()0.5log 3a f ==221log log 3321log 21212,3f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()2log 52log 5214,b f ==-=()()020210.c f m f ===-=所以c a b <<，故选C.8. (15天津高考)已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有四个零点，则b 的取值范围是 （ ）A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫⎪⎝⎭ D. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】D【测量目标】求解函数解析式，函数与方程的关系，数形结合的应用.【试题分析】由()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤，得()222,02,0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨<⎪⎩，所以()()2y f x f x b =+--()222,042,02222,2x x b x x x b x x x b x ⎧-+-<⎪⎪=----⎨⎪--+-->⎪⎩≤≤， 即()()2y f x f x b =+--222,02,0258,2x x b x b x x x b x ⎧++-<⎪=-⎨⎪-+->⎩≤≤，所以()()y f x g x =-恰有四个零点等价于方程()()20f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()()2y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.第8题图第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. (15天津高考)i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为________. 【参考答案】2-【测量目标】复数的相关定义以及复数运算.【试题分析】()()12i i a -+()212i a a =++-是纯虚数，所以20a +=，即a 2=-. 10. (15天津高考)一个几何体的三视图如下图所示，（单位：m ）,则该几何体的体积为_______3m .第10题图【参考答案】8π3【测量目标】三视图和旋转体体积的计算.【试题分析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是地面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积为22181π221π1π33V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 11. (15天津高考)曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为_____________.【参考答案】16【测量目标】定积分的几何意义.【试题分析】两曲线的交点坐标为()()0,0,1,1，所以它们所围成的封闭图形的面积()120d S x x x =-⎰2311110236x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.12. (15天津高考)在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为__________.【参考答案】1516【测量目标】二项式定理及二项展开式的通项.【试题分析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66216611C C 44rrr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115C 416T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以该项系数为1516.13. (15天津高考)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知△ABC的面积为12,cos 4b c A -==-，则a 的值为____________.【参考答案】8【测量目标】同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理的应用. 【试题分析】因为0πA <<,所以sin 4A ==,又1sin 2ABC S bc A =△8==24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =. 14. (15天津高考)在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥,2,1,AB BC ==60ABC ∠=,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ== ，则AE AF ⋅的最小值为_________. 【参考答案】2918【测量目标】向量的几何运算，向量的数量积，基本不等式. 【试题分析】19DF DC λ= ，160,2ABC DC AB ∠==，CF DF DC=- 19DC DC λ=-= 1919918DC AB λλλλ--=，,AE AB BE AB BC λ=+=+AF AB BC CF =++ 1918AB BC AB λλ-=++ 1918AB BC λλ+=+， ()AE AF AB BC λ⋅=+⋅ 1918AB BC λλ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭21918AB λλ+=+219118BC AB BCλλλλ+⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭ 19418λλλ+=⨯+19121cos12018λλλ+++⨯⨯⨯ 21179218λλ=++17291818=≥当且仅当2192λλ=即2=3λ时，AE AF ⋅ 有最小值，最小值为2918.第14题图三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、正面过程或演算步骤.） 15. (15天津高考)（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，x ∈R . (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】(1)三角函数的周期；(2)正弦函数与余弦函数的图象与性质.【试题分析】（1）由已知，有()f x =π1cos 21cos 2322x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-=111cos 2cos 222222x x x ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===. (2) (15天津高考)因为()f x 在区间ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又π1,34f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π1,62f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为12-.16. (15天津高考)（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.【测量目标】(1)古典概型和互斥事件的定义；(2)离散型随机变量的分布列与数学期望. 【试题分析】（1）由已知，有()2222233348C C C C 6C 35P A +==,所以事件A 发生的概率为635. 2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4()()45348C C 1,2,3,4C k kP X k k -=== 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 17. (15天津高考)（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中,侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥,1AB =,12AC AA ==,AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.第17题图【测量目标】(1)直线和平面平行和垂直的判定与性质；(2)二面角、直线与平面所成的角的求法；(3)空间向量的应用.【试题分析】（1）证明：依题意，可得()0,0,1=n 为平面A B C D 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，由此可得，0MN ⋅= n ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .（2）()11,2,2,AD =- ()2,0,0AC =，设()1,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则1110AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得()10,1,1=n ，设()2,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量，则2120AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，又()10,1,2AB = ，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得()20,2,1=-n ，因此有121212cos ,10⋅==-⋅n n n n n n ，于是12sin ,10=n n ，所以二面角11D AC B --的正弦值为10. （3）依题意，可设111AE A B λ= ，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得cos ,NE NE NE ⋅=⋅nn n13==，整理得2430λλ+-=，又因为[]01λ∈，，解得2λ=，所以线段1A E2.第17题图18. (15天津高考)（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），n *∈N ,121,2a a ==，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.（1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设2221log ,nn n a b n a *-=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.【测量目标】(1)数列的通项公式；(2)等比数列及前n 项和公式，错位相减法.【试题分析】（1）由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-，所以()()2311a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当()21n k n *=-∈N 时，1122122n k nk aa ---===，当()2n k n *=∈N时，2222nknk aa ===，所以{}n a 的通项公式为1222,2n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.（2）由（1）得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则01211111123,2222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯ 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 两式相减得231111*********n n n n S -=+++++- (1)1222122212n n n n n n -=-=---， 整理得1242n n n S -+=-.所以数列{}n b 的前n 项和为1242n n -+-，n *∈N .19. (15天津高考)（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c,FM =. （1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.【测量目标】(1) 直线的斜率；(2)椭圆的标准方程和几何性质；(3)直线和圆的位置关系；一元二次不等式.【试题分析】（1）由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为k （0k >），则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k =. （2）由（1）得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M的坐标为c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y +=. （3）设点P 的坐标为(),x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即()()11y t x x =+≠-，与椭圆方程联立得()221132y t x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得()2222316x tx ++=，又由已知得t =>312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得ym x=，即()0y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有()10y t x =+<，因此0m >，于是m =，得33m ⎛∈ ⎝⎭.②当()1,0x ∈-时，有()10y t x =+>，因此0m <，于是m =，得,m ⎛∈-∞ ⎝⎭. 综上，直线OP的斜率的取值范围是,333⎛⎛-∞- ⎝⎭⎝⎭. 20. (15天津高考)（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x =-∈R ，其中n *∈N ，2n ≥.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()f x a =（a 为实数）有两个正实根12,x x ，求证：2121ax x n-<+-. 【测量目标】(1)利用导数研究函数的单调性；(2)导数的几何意义,利用导数研究函数性质、证明不等式.【试题分析】（1）由题知()nf x nx x =-，其中n *∈N ，2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 在()1-∞-，，()1+∞，上单调递减，在()11-，内单调递增.②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在()1-∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为()0,0x ，则110n x n-=，()20f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-，即()()()00g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()()()()00F x f x f x x x '=--，则()()()0F x f x f x '''=-.由于()1n f x nx n -'=-+在()+∞0，上单调递减，故()F x '在()+∞0，上单调递减，又因为()00F x '=，所以当()00,x x ∈时，()00F x '>.当()0x x ∈+∞，时，()00F x '<，所以()F x 在()00,x 内单调递增，在()0x +∞，上单调递减，所以对任意的正实数x 都有()()00F x F x ≤=，即证.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()()2g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在()∞+∞-，上单调递减，又由（2）知()()()222g x f x ag x '==≥，可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当()x ∈+∞0，，()()0n f x h x x -=-<，即对任意的()x ∈+∞0，，()()f x h x <.设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在()∞+∞-，上单调递增，且()()()111h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以()11211n n --=+≥111C 11n n n -+=+-=，故1102n n x -=≥，所以2121ax x n-<+-.。

2015 年天津市高考数学试卷（理科）一 .选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．（ 5 分）（2015?天津）已知全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7，8} ，会合 A={ 2，3，5，6} ，会合 B={ 1， 3， 4， 6，7} ，则会合 A∩?U B=（）A．{ 2，5}B．{ 3，6}C．{ 2，5，6}D．{ 2，3，5，6，8}【剖析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：∵全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7，8} ，会合 A={ 2，3， 5， 6} ，集合 B={ 1，3，4，6，7} ，∴?U B={ 2， 5， 8} ，则 A∩?U B={ 2，5} ．应选： A．2．（ 5 分）（2015?天津）设变量 x，y 知足拘束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确立 z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分）．由 z=x+6y 得 y=﹣ x+ z，平移直线 y=﹣ x+ z，由图象可知当直线y=﹣ x+ z 经过点 A 时，直线 y=﹣ x+ z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 z=x+6y，得 z=3×6=18．即 z=x+6y 的最大值为 18．应选： C．3．（5 分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运转相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣ 10B．6C．14D．18【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的i，S 的值，当i=8 时知足条件i＞ 5，退出循环，输出S 的值为6．【解答】解：模拟履行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不知足条件 i＞ 5， i=4， S=14不知足条件 i＞ 5， i=8， S=6知足条件 i＞5，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．．（分）（天津）设2+x﹣ 2＞ 0”的（）4 52015?x∈R，则“|x﹣2| ＜1”是“xA．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据不等式的性质，联合充足条件和必需条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣ 2| ＜1”得 1＜x＜3，由 x2+x﹣2＞0 得 x＞1 或 x＜﹣ 2，即“|x﹣ 2|2＜1”是“x+x﹣2＞0”的充足不用要条件，应选： A．5．（5 分）（2015?天津）如图，在圆O中， M、 N 是弦 AB 的三平分点，弦CE分别经过点 M ，N，若 CM=2，MD=4， CN=3，则线段 NE 的长为（CD，）A．B．3C．D．【剖析】由订交弦定理求出AM，再利用订交弦定理求NE即可．【解答】解：由订交弦定理可得CM?MD=AM?MB，∴2× 4=AM?2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又 CN?NE=AN?NB，∴ 3× NE=4× 2，∴NE= ．应选： A．6．（5 分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1点（ 2，），且双曲线的一个焦点在抛物线方程为（）A．﹣=1B．（ a＞ 0， b＞0）的一条渐近线过2﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【剖析】由抛物线标准方程易得其准线方程，进而可得双曲线的左焦点，再依据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b 的另一个方程，求出a、b，即可获得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4 x 的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x 的准线上，∴c= ，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b= ，∴双曲线的方程为．应选： B．7．（5 分）（2015?天津）已知定义在R 上的函数 f （x）=2|x﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log0.53），b=f（ log25），c=f（2m），则 a，b，c 的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜ c＜ b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【剖析】依据 f（x）为偶函数即可求出m=0，进而 f（x）=2|x|﹣1，这样便知道 f （x）在 [ 0，+∞）上单一递加，依据f（x）为偶函数，即可将自变量的值变到区间 [ 0， +∞）上： a=f（ | log0.5），b=f （2），（），而后再比较自3|log 5c=f0变量的值，依据 f（ x）在 [ 0， +∞）上的单一性即可比较出a， b，c 的大小．【解答】解：∵ f（x）为偶函数；∴f（﹣ x） =f（x）；∴2| ﹣x﹣m| ﹣1=2| x﹣m| ﹣1；∴| ﹣ x﹣m| =| x﹣m| ；（﹣ x﹣ m）2=（ x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[ 0，+∞）上单一递加，而且 a=f（| log0.53| ）=f（ log23），b=f （log25），c=f（0）；∵0＜ log23＜ log25；∴ c＜a＜b．应选：C．，8．（5 分）（2015?天津）已知函数 f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2，＞﹣x），此中 b∈R，若函数 y=f（x）﹣ g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A．（， +∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【剖析】求出函数 y=f（x）﹣ g（x）的表达式，结构函数 h（ x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数 h（ x）的图象，利用数形联合进行求解即可．【解答】解：∵ g（x）=b﹣f（ 2﹣ x），∴y=f（ x）﹣ g（ x） =f（x）﹣ b+f （2﹣x），由 f（ x）﹣ b+f（2﹣x） =0，得 f（ x） +f （2﹣x）=b，设 h（x） =f（x）+f（2﹣x），若 x≤0，则﹣ x≥0，2﹣x≥2，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若 0≤x≤ 2，则﹣ 2≤﹣ x≤ 0， 0≤2﹣x≤2，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣| 2﹣ x| =2﹣ x+2﹣ 2+x=2，若 x＞2，﹣ x＜﹣ 2，2﹣x＜0，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣| 2﹣ x| =x2﹣5x+8．，即 h（x） =，＜，，＞作出函数 h（x）的图象如图：当 x≤0 时， h（x）=2+x+x2=（x+ ）2+ ≥，当 x＞2 时， h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+ ≥，故当 b= 时， h（x）=b，有两个交点，当 b=2 时， h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）﹣ g（x）恰有 4 个零点，即 h（x） =b 恰有 4 个根，则知足＜b＜2，应选： D．二 .填空题（每题 5 分，共 30 分）9．（5 分）（2015?天津） i 是虚数单位，若复数（ 1﹣ 2i）（ a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为﹣2．【剖析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．【解答】解：由（ 1﹣ 2i）（ a+i） =（ a+2） +（ 1﹣ 2a）i 为纯虚数，得，解得： a=﹣2．故答案为：﹣ 2．10．（ 5 分）（2015?天津）一个几何体的三视图以下图（单位：m），则该几何体的体积为m3．【剖析】依据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，联合图中数据求出它的体积．【解答】解：依据几何体的三视图，得；该几何体是底面同样的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1；∴该几何体的体积为几何体 =2× π22V×1+π?1 ?1?2=π．故答案为：π．11．（ 5 分）（2015?天津）曲线 y=x2与 y=x 所围成的关闭图形的面积为．【剖析】先依据题意画出地区，而后依照图形获得积分下限为0，积分上限为 1，进而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先依据题意画出图形，获得积分上限为1，积分下限为 02所围图形的面积12直线 y=x 与曲线 y=x S=∫0（ x﹣x ） dx 121= ﹣ =而∫0（x﹣x）dx=（）| 0∴曲边梯形的面积是．故答案为：．．（分）（天津）在（﹣）6的睁开式中， x2的系数为．12 52015?x【剖析】在二项睁开式的通项公式中，令x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数．【解答】解：（ x﹣）6的睁开式的通项公式为T r+1= ?（x）6﹣r?（﹣）r=（﹣）r? ?x6﹣2r，令 6﹣2r=2，解得r=2，∴睁开式中x2的系数为×=，故答案为：．13．（5 分）（2015?天津）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知△ ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则 a 的值为 8．【剖析】由 cosA=﹣， A ∈（ 0 ，π），可得 sinA=．利用△S ABC==，化为 bc=24，又 b﹣c=2，解得 b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵ A∈（ 0，π），∴ sinA==．∵ S△ABC=bc=，化为，=bc=24又 b﹣c=2，解得 b=6，c=4．由余弦定理可得： a2 2+c2﹣ 2bccosA=36+16﹣48×．=b=64解得 a=8．故答案为： 8．14．（ 5 分）（ 2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知 AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点 E和 F 分别在线段 BC和 DC上，且=λ，=，则 ?的最小值为．【剖析】利用等腰梯形的性质联合向量的数目积公式将所求表示为对于λ的代数式，依据详细的形式求最值．【解答】解：由题意，获得 AD=BC=CD=1，所以?（）?（）= =（）?（）==2× 1× cos60 °+λ1× 1× cos60 °+×2×1+ × 1× 1× cos120°=1++ ﹣≥ +=（当且仅当时等建立）；故答案为：．三 .解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15．（ 13 分）（ 2015?天津）已知函数 f （x）=sin2x﹣sin2（ x﹣），x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f（ x）在区间 [ ﹣，] 内的最大值和最小值．【剖析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣ sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由 x∈ [ ﹣，] 联合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得 f（ x） =sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣ [ 1﹣cos（2x﹣） ]=（1﹣cos2x﹣1+ cos2x+ sin2x）=（﹣ cos2x+ sin2x）=sin（2x﹣）∴ f（x）的最小正周期 T=π；=（Ⅱ）∵ x∈[ ﹣， ] ，∴ 2x﹣∈[ ﹣， ] ，∴ sin（2x﹣）∈ [ ﹣1，] ，∴（﹣）∈[﹣， ]，sin2x∴ f（x）在区间 [ ﹣， ] 内的最大值和最小值分别为，﹣16．（ 13 分）（2015?天津）为推进乒乓球运动的发展，某乒乓球竞赛同意不一样协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，此中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，此中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加竞赛．（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（Ⅱ）设 X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的散布列和数学希望．A 发生的个数，而后利用【剖析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本领件总数及事件古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X 的全部可能取值为 1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出散布列，代入希望公式求希望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有 P（A）=，∴事件 A 发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X 的全部可能取值为1， 2， 3， 4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量 X 的散布列为：X1234P随机变量 X 的数学希望 E（ X） =．17．（ 13 分）（2015?天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱 AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2， AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D 的中点．（Ⅰ）求证： MN∥平面 ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD所成角的正弦值为，求线段 A1E 的长．【剖析】（Ⅰ）以 A 为坐标原点，以AC、AB、 AA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，经过平面 ABCD的一个法向量与的数目积为0，即得结论；（Ⅱ）经过计算平面 ACD1的法向量与平面 ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）经过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以 A 为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、 z 轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（ 0， 0， 2），B1（ 0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣ 2，2），又∵ M、N 分别为 B1 C、D1D 的中点，∴ M（1，，1），N（1，﹣ 2，1）．由题可知：（，，）是平面的一个法向量，=（0，﹣，0），= 0 01ABCD∵? =0， MN?平面 ABCD，∴ MN∥平面 ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设 =（ x， y，z）是平面 ACD1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（0，1，1），设 =（x，y，z）是平面 ACB1的法向量，由，得，取 z=1，得=（0，﹣ 2，1），∵ cos＜，＞=﹣，∴ sin＜，＞ ==，=∴二面角 D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，此中λ∈[ 0，1]，∴ E=（0，λ，2），=（﹣ 1，λ+2，1），又∵=（ 0， 0， 1）是平面 ABCD的一个法向量，∴ cos＜，＞=== ，2整理，得λ+4λ﹣3=0，解得λ= ﹣2 或﹣ 2﹣（舍），∴线段 A1 E 的长为﹣2．18．（ 13 分）（ 2015?天津）已知数列 { a n } 知足 a n+2=qa n（q 为实数，且 q≠1），n ∈N*，a1=1， a2=2，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（ 1）求 q 的和 { a n} 的通公式；（ 2） b n=，n∈N*，求数列{ b n}的前n和．【剖析】（1）通 a n+2=qa n、 a1、a2，可得 a3、a5、a4，利用 a2+a3， a3+a4，a4+a5成等差数列，算即可；（ 2）通（1）知 b n=，n∈N*，写出数列 { b n} 的前n 和T n、2T n的表达式，利用位相减法及等比数列的乞降公式，算即可．【解答】解：（1）∵ a n+2=qa n（ q 数，且 q≠ 1），n∈N*，a1=1， a2=2，∴a3=q，a5=q2， a4=2q，又∵ a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2× 3q=2+3q+q2，即 q2 3q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍），，奇数；∴ a n=，偶数（ 2）由（ 1）知 b n==，n∈N*，=数列 { b n} 的前 n 和 T n，T n=1+2? +3? +4? +⋯+（n 1）?+n?，∴2T n=2+2+3? +4? +5? +⋯+（n 1）?+n?，两式相减，得 T n=3+ + + +⋯+n? =3+n?=3+1n?=4．19．（14 分）（2015?天津）已知+（＞＞）的左焦点（，），=1 a b 0F c 0离心率，点 M 在上且位于第一象限，直FM 被 x2 +y2=截得的线段的长为 c， | FM| =．（Ⅰ）求直线 FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点 P 在椭圆上，若直线斜率的取值范围．FP的斜率大于，求直线OP（O 为原点）的【剖析】（Ⅰ）经过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM 的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）经过联立椭圆与直线FM 的方程，可得M（c，c），利用 | FM| =计算即可；（Ⅲ）设动点 P 的坐标为（ x，y），分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分 x ∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种状况议论即可获得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴== ，∴2a2=3b2，∴ a2=3c2，b2=2c2，设直线 FM 的斜率为 k（k＞0），则直线 FM 的方程为 y=k（ x+c），∵直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c，∴圆心（ 0， 0）到直线 FM 的距离 d=，∴ d2+=，即（）2+=，解得 k=，即直线 FM 的斜率为；（Ⅱ）由（ I）得椭圆方程为：+，直线FM 的方程为y=（ x+c），=1联立两个方程，消去 y，整理得 3x2+2cx﹣5c2，解得﹣，或，=0x= c x=c ∵点 M 在第一象限，∴ M （c，c），∵| FM| =，∴=，解得 c=1，∴ a22，22 ，=3c =3 b =2c =2即椭圆的方程为+；=1（Ⅲ）设动点 P 的坐标为（ x，y），直线 FP的斜率为 t，∵ F（﹣ 1， 0），∴ t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（ x+1）2，=6又∵直线 FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得： x（2x+3）＜ 0 且 x≠﹣ 1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线 OP的斜率为 m，得 m= ，即 y=mx（ x≠0），联立方程组，消去 y 并整理，得 m2=﹣．①当 x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，所以m＞0，∴ m=，∴ m∈（，）；②当 x∈（﹣ 1， 0）时，有 y=t（x+1）＞ 0，所以 m＜ 0，∴ m=﹣，∴ m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP 的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．（14 分）（2015?天津）已知函数 f（x）=nx﹣x n，x∈R，此中 n∈ N?，且 n≥ 2．（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g （x），求证：对于随意的正实数x，都有 f （x）≤ g（x）；（Ⅲ）若对于 x 的方程 f（x）=a（ a 为实数）有两个正实数根x1， x2，求证： | x2﹣x1| ＜+2．【剖析】（Ⅰ）由 f（x）=nx﹣x n，可得 f ′（ x），分 n 为奇数和偶数两种状况利用导数即可得函数的单一性．（Ⅱ）设点P 的坐标为（ x0，0），则可求x0=n，f （′x0）=n﹣ n2，可求g（ x）﹣=f （′x0）（x﹣x0），F′（x）=f （′x）﹣f （′x0）．由 f （′x）=﹣ nx n 1+n 在（0，+∞）减，即可得证．（Ⅲ）设 x1≤x2，设方程 g（ x） =a 的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f （x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得 h（x）=nx，设方程 h（ x） =a 的根为，可得＜ x1，进而可得： x2﹣ x1＜﹣ =，由 n≥2，即 2n ﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得： 2=x0，即可得证．【解答】（此题满分为 14 分）解：（Ⅰ）由 f（ x）=nx﹣ x n，可得 f ′（x）=n﹣ nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），此中 n∈N?，且 n≥ 2．下边分两种状况议论：（1）当 n 为奇数时，令 f ′（x）=0，解得 x=1，或 x=﹣1，当 x 变化时， f （′x），f（x）的变化状况以下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣ 1，1）（1，+∞）f ′（x）﹣+﹣f （x）所以， f（ x）在（﹣∞，﹣ 1），（1，+∞）上单一递减，在（﹣ 1，1）单一递加．（ 2）当 n 为偶数时，当 f ′（x）＞ 0，即 x＜1 时，函数 f（ x）单一递加；当 f ′（x）＜ 0，即 x＞1 时，函数 f（ x）单一递减；所以， f（x）在（﹣∞， 1）单一递加，在（ 1，+∞）上单一递减；（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为（x0，0），则x0=n，f ′（x0）=n﹣n2，曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程为y=f ′（x0）（x﹣ x0），即 g（x）=f ′（ x0）（ x﹣x0），令 F（ x）=f（x）﹣ g（x），即 F（x） =f（x）﹣ f ′（x0）（x﹣ x0），则 F′（x）=f ′（ x）﹣f ′（x0）．因为 f ′（x）=﹣nx n﹣1 +n 在（ 0，+∞）上单一递减，故F′（x）在（ 0， +∞）上单调递减，又因为 F′（ x0）=0，所以当 x∈（ 0，x0）时， F′（ x）＞ 0，当 x∈（ x0，+∞）时，F′（x）＜ 0，所以 F（x）在∈（ 0，x0）内单一递加，在（ x0，+∞）上单一递减，所以对应随意的正实数 x，都有 F（x）≤ F（ x0）=0，即对于随意的正实数 x，都有 f （x）≤ g（x）．（Ⅲ）证明：不如设x1≤ x2，由（Ⅱ）知 g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a 的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥ f（x2） =a=g（），可得x2≤．近似地，设曲线y=f（ x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得 h（x）=nx，当 x∈（ 0，+∞），f（ x）﹣ h（x）=﹣x n＜0，即对于随意的 x∈（ 0， +∞）， f（x）＜ h（x），设方程 h（ x）=a 的根为，可得= ，因为 h（x）=nx 在（﹣∞， +∞）上单一递加，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），所以＜x1，由此可得： x2﹣x1＜﹣=，因为 n≥2，所以 2n﹣1（）n﹣1≥1+=1+n ﹣，=1+11=n 故： 20．=x所以： | x2﹣x1| ＜+2．。

2015年高考真题——理科数学（天津卷）（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习2015年高考真题——理科数学（天津卷）（含答案解析）1 已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）【答案解析】 A试题分析：,所以，故选A.考点：集合运算.2 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案解析】 C试题分析:不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值18.考点：线性规划.3 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）（B）6 （C）14 （D）18【答案解析】 B试题分析：模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.考点：程序框图.4 设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案解析】 A试题分析：,或，所以“”是的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件与必要条件.5 如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点 .若，则线段的长为（A）（B）3 （C）（D）【答案解析】 A试题分析：由相交弦定理可知，，又因为是弦的三等分点，所以，所以，故选A.考点：相交弦定理.6 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案解析】 D试题分析：双曲线的渐近线方程为由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解的，所以双曲线方程为，故选D.考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.7 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案解析】 C试题分析：因为函数为偶函数，所以，即，所以所以，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.8 已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案解析】 D试题分析：由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.9 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 .【答案解析】试题分析：是纯度数，所以，即.考点：1.复数相关定义；2.复数运算.10 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .【答案解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.11 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .【答案解析】试题分析：两曲线的交点坐标为，所以它们所围成的封闭图形的面积.考点：定积分几何意义.12 在的展开式中，的系数为 .【答案解析】试题分析：展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.考点：二项式定理及二项展开式的通项.13 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 .【答案解析】试题分析：因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.14 在等腰梯形中,已知 ,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 .【答案解析】试题分析：因为，，，，当且仅当即时的最小值为.考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.15 已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案解析】 (I); (II) ,.试题分析：(I)利用两角和与差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化简函数的解析式，由三角函数性质可求最小正周期，(II)先写出函数的单调区间，即可求函数的最大值与最小值。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合 为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

2015年天津市高考数学真题（理科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=I （ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4， D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。

2015年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．3．（5分）（2015•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．4．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．6．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：B．7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f （x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，，＞，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，，＜，＞，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．11．（5分）（2015•天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是．故答案为：．12．（5分）（2015•天津）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：．13．（5分）（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：ABCa2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．==bc=，化为bc=24，∵S△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．14．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等成立）；故答案为：．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2015•天津）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣16．（13分）（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：随机变量X的数学期望E（X）=．17．（13分）（2015•天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．18．（13分）（2015•天津）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n ∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5【分析】（1）通过a n+2成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，【解答】解：（1）∵a n+2∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），，为奇数∴a n=；，为偶数（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x ∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f （x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n≥2，即2n ﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x0，即可得证．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f （x）的变化情况如下表：所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．。

2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞， B ．7()4-∞， C ．7(0)4，D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ．14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。