相似三角形的基本类型总结
类型一 平行线型
相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.
平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC .
E
D
C
B
A
图（1）
E
D
C
B
A
图（2）
1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=?DBCE ADE S S 四边形,则
=AC
AE
【 】
（A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）2
1
2. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若3
2
=OC BO ,10=AD ,则
=AO _________.
图（3）
E
D
C
B
A
图（4）
O
D
C
B
A
F
E D
C
B
A
图（5）
3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .
类型二 相交型
如图（6）所示,由D B ∠=∠或
AE
AC
AD AB =
,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE AC
AD AB =
,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AE
AC
AD AB =
,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似.
图（6）
E
D C
B
A
E
D
C B
A
图（7）
图（8）
E
D
C
B
A
4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CG
DF
AC AD =
. （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若
21=AC AD ,求
FG
AF
的值. G F
E D
C
B
A
图（9）
类型三 母子型
如图（10）,在Rt △ABC 中,AB CD ACB ⊥?=∠,90,则有Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC , Rt △ACD ∽Rt △CBD .其中,Rt △ACD ∽Rt △CBD 为姊妹型相
似,Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC 为母子型相似.
图（10）
D C
B
A
D
C
B
A
图（11）
如图（11）所示,若B A C D ∠=∠（或A C B
A D C ∠=∠）,则△ACD ∽△ABC ,为母子型相似.
5. 如图（12）所示,在△ABC 中,D 为AB 上一点.已知△ADC 与△DBC 的面积比为1 : 3,且6,3==AC AD . （1）求BD 的长度; （2）求证:B ACD ∠=∠.
图（12）
D
B
A
类型四 旋转型
如图（13）所示,由21,∠=∠∠=∠D B ,可以得到△ABC ∽△ADE ,我们把这种类型的
相似三角形称为旋转型.
图（13）
21
E
D
C
B
A
图（14）
E
D C
B
A
类型五 一线三等角型
如图（14）所示,在△ABC 中,AC AB =,且B ADE ∠=∠,则△ABD ∽△DCE .像这种
类型的相似三角形称为一线三等角型.
6. 如图（15）所示,等边三角形ABC 的边长为6,D 是BC 边上的动点,?=∠60EDF . （1）求证:△BDE ∽△CFD ;
（2）当3,1==CF BD 时,求BE 的长.
图（15）
F
A
B
C
E
D
相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
初三数学《相似三角形》知识提纲 （孟老师归 纳） :比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条 线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a，b的长度分别为m n，那么就说 这两条线段 的比是，或写成a：b=m n；其中a叫做比的前项, 项 2：比例尺=图上距离/实际距离 b叫做比的后 3:成比例线段：在四条线段a, b, c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例 线段，记作：b =—（或a：b=c：d） a c ①线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项， ..I.； I , ②线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。 ③ 比例中项：若a = b即&卩c,则b是a,c的比例中项. b c （二）比例式的性质 2. 1.比例的基本性质：a=c二ad=bc b d 合比：若-，则U =□或―a J b d b d b±a d±c 3?等比：若m k (右b d f .................... n = 0) n 则ace…… m =3 =巴* b d f .......................... n b n 4、黄金分割： 把线段AB分成两条线段AC BC（ AC>BC,并且使AC是AB和BC
的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割 点，其中AC^^AB 0.618AB, 2 （三）平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线 段成比例. 2. 推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得 的对应线段成比例. 如图：当AD// BE// CF时，都可得到 AB _ BC~ 语言描述如下: 上一上上一上 __ ------------------------------ ----------- 、-,二二, DE AB = DE BC = EF睿~七三「三一 ［一二， 7 7 〔十宀 （4）上述结论也适合下列情况的图形: 13 11 12 1 2 3 D E
第27章相似三角形知识点 知识点1 有关相似形的概念 1、形状相同的图形叫相似图形， 2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形． 3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段， 简称比例线段 知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0） bc ad d c b a =?=::； a c a b c d b d b d ±±= ?= 知识点4 比例线段的有关定理 1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例 已知AD ∥BE ∥CF, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 知识点6 三角形相似的判定方法 1、平行法： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、只看角法（AA ）： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、只看边法 (SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． (HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似． 4、边角组合法(SAS)： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 B
初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的 比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b= c ： d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 n m b a =
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若 = . = ， = ，则AD∥BE∥CF 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．． 与原三角形三边．．．．．． 对应成比例.
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：51 2 -长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：??? ????+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． F E D C B A
九年级相似三角形知识点总结 知识点一 1、相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。 2、相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。知识点二：比例线段 1、比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2、比例性质的基本性质: （两外项的积等于两内项积） 3、更比性质(交换比例的内项或外项)： 4、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变） 5、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、知识点三：黄金分割 1、定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=ABBC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中≈0、618。知识点四：相似三角形
1、相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。 2、相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。通常用k来表示。相似比具有顺序性、 3、相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例、②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比。 ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方、4、三角形相似的判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）两角对应相等，两三角形相似、（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似、（4）三边对应成比例，两三角形相似、（5）直角三角形相似判定定理: 、斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。射影定理：CD=ADBD，AC=ADAB，BC=BDBA知识点五：中位线 1、三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。（3条） 2、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 3、重心：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心、 4、重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，
拔高相似三角形习题集 适合人群:老师备课,以及优秀同学拔高使用. 一、基础知识（不局限于此) (一)．比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2。比例性质: (1）基本性质: bc ad d c b a =?=ac b c b b a =?=2 (2）合比定理:d d c b b a d c b a ±=±?= (3）等比定理:)0.(≠+++=++++++?==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3。黄金分割:如图,若AB PB PA ?=2,则点Ｐ为线段AB 的黄金分割点． 4.平行线分线段成比例定理 （二)相似 1.定义：我们把具有相同形状的图形称为相似形。 2．相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例，对应角相等. 3.相似三角形的判定 ● （１)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ● （２)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 ● (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. ● (４)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 4。相似三角形的性质 ● (1)对应边的比相等,对应角相等。 ● (2)相似三角形的周长比等于相似比。 ● (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 6。梯形的中位线定义:梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线。 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。 7.相似三角形的应用： 1、利用三角形相似，可证明角相等;线段成比例(或等积式）; ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 （三)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二、经典例题 例1.如图在４×4的正方形方格中,△ABC 和△D ＥＦ的顶点都在长为1的小正方形顶点上． B
相似三角形知识点总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于 d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1）基本性质： ① bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?． （2）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （3）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成
相似三角形知识点与经典题型 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写 成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．② ()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后 项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 15-= ≈ 0.618AB ．即 12 AC BC AB AC = = 简记为： 12 长短＝ ＝ 全 长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =? =． （4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=? =． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 ！ 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝ m ：n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 ： 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝ c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2 ＝EG· EF，故EB 2 =EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】 本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD ”过渡，使问题得证，证法 二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．
图形的相似 知识点总结 知识点一 1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。 2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点二：比例线段 1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??， 交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． 知识点三：黄金分割 1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
《相似三角形》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即51 2 AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ， 那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． （2）三角形相似的判定方法 1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的 三角形与原三角形相似. 2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA 3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS 4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS 5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较： 三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ） 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 “HL ” F E D C B A E A B C D