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二次函数的性质教案

4.2二次函数的性质

一、教材的地位与作用

初中学习了一元二次函数2(0)

=++≠图象、开口方向、对称轴

y ax bx c a

最大、最小值，有了初步的感性认识。在高一阶段将进一步从“数和形”两个方面研究一般二次函数的图象和性质，二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。可以以它为素材来研究函数的单调性，奇偶性，最值等问题。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

二、教学目标

1、知识与技能：掌握研究二次函数的一般方法——配方法，进而研究其性质。

2、过程与方法：进一步培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、

分析、归纳概括能力,进一步向学生渗透数形结合的数学思想方

法。

3、情感态度与价值观：通过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，和谐

的数学美。

三、教学重难点

教学重点：掌握研究二次函数图象的重要方法---配方法，能够较快求出二次函数的开口方向对称轴，单调区间、最值及顶点坐标。

教学难点：运用配方法研究二次函数的性质。

四、教法学法和教具

教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美，有助于学生对问题的理解和认识。

教具：多媒体

五、教学过程

一、问题提出

1.画出函数2243y x x =--的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

2.画出函数245y x x =-++的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

3.讨论函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

22(1)5y x =-- 2(2)9y x =--+

222432(1)5y x x x =--=--，∴开口向上，对称轴1x =，顶点坐标

-15（，）， ∞（-,1)递减，∞(1,+)递增，min ()5f x =-

2245(2)9y x x x =-++=--+∴开口向下，对称轴2x =，顶点坐标

（2,9）， ∞（-,2)递增，∞(2,+)递减，max ()9f x =

设计意图：从具体到抽象，从简单到复杂的认知，概括2(0)y ax bx c a =++≠的

开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.渗透分类讨论和数形结合的思想。

探究：函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、

单调区间、最大值和最小值.

24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++

0a > 0a <

性质：

(1)定义域：R .

(2)值域：当a ＞0时，为??????f ? ????－b 2a ，＋∞，当a ＜0时，为? ??

??－∞，f ? ????－b 2a . (3)单调性：

当a ＞0时，单调递减区间是? ????－∞，－b 2a ，单调递增区间是????

??－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，单调递减区间是??????－b 2a ，＋∞，单调递增区间是? ??

??－∞，－b 2a . (4)最值：当a ＞0时，有最小值f ? ??

??－b 2a ，没有最大值；当a ＜0时，有最大值f ? ??

??－b 2a ，没有最小值． (5)f (0)＝c .

例1：求函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值和最小值．

思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出．解：画出函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的图像，如图所示，

观察图像得，函数f (x )＝x 2－2x 在区间[－2,1]上是减函数，

则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；

函数f (x )＝x 2－2x 在区间(1,3]上是增函数，

则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；

则函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.

22.1.1 二次函数说课稿(说课稿)

22.1.1 二次函数说课稿（一）一、教材分析： 1、教材所处的地位：二次函数是沪科版初中数学九年级（上册）第22章的内容，在此之前，学生在八年级已经学过了函数及一次函数的内容，对于函数已经有了初步的认识。从一次函数的学习来看，学习一种函数大致包括以下内容：通过具体实例认识这种函数；探索这种函数的图象和性质，利用这种函数解决实际问题；探索这种函数与相应方程不等式的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的。本节课的主要内容在于使学生认识并了解两个变量之间的二次函数的关系，为二次函数的后续学习奠定基础 2、教学目的要求：（1）学生经历从实际问题中抽象出两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；（2）让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；（3）知道实际问题中存在的二次函数关系中，多自变量的取值范围的要求。（4）把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。 3、教学重点和难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点：重点：

（1）二次函数的概念（2）能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：具体的分析、确定实际问题中函数关系式二．教法、学法分析：下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 1、教法研究教学中教师应当暴露概念的再创造过程，鼓励学生不但要动口、动脑，而且要动手，学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会主动学习，学会研究问题的方法，培养学生的能力。本节课的设计坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。 2、学法研究初中学生的思维方式往往还是比较具象的，要让他们在问题的探究过程中充分体验问题的发现、解决及最终表述的方式方法，遇到困难可以和同伴、老师进行交流甚至争论，这样既可以加深学生对问题的理解又可以让学生体验获得学习的快乐。 3、教学方式（1）由于本节课的内容是学生在学习了《一次函数》和《正比例函数》的

初中数学二次函数的图像与性质教案

第13课时二次函数的图像与性质（二）【复习目标】 1．能根据图象确定a、b、c的符号． 2．会用待定系数法求二次函数的解析式． 3．理解二次函数与一元二次方程的关系．并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围．【知识梳理】 1．二次函数解析式的求法： (1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)． (2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h． (3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标． 2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______． 3．当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点． 4．当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点． 5．当b2－4ac－<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与x轴_______交点．【考点例析】考点一二次函数的各项系数与图象之间的关系例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a，其中结论正确的是( ) A．①③B．③④C．②③D．①④

22.1.4二次函数的图像和性质教案

22.1 二次函数（6）教学目标： 1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。难点：理解二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b24a )是教学的难点。教学过程：一、提出问题 1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系? (函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质? (当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1) 4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －5 2的图象，进而观察得到这个函数的性质。解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表； x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －612 －4 －212 －2 － 212 －4 － 612 … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

专题四_二次函数的图像与性质

专题四二次函数的图像与性质（一）【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a - 时，y 有最小值，为_______；若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”．【考点例析】考点一二次函数的有关概念例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1）考点二抛物线的平移例2 将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( ) A ．y ＝3(x ＋2)2＋3 B ．y ＝3(x －2)2＋3 C ．y ＝3(x ＋2)2－3 D ．y ＝3(x －2)2－3 考点三同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题例3 在同一坐标系中°一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是

二次函数的图像与性质的教案

二次函数的图像与性质的教案（3）【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。【重点】理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质；【难点】理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质；同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？动手操作、探究：在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？【探究问题1】形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。结论：（1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时，把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2

二次函数性质一览表

二次函数性质一览表表达式 (a ≠0) a 值图像开口方向对称轴顶点坐标增减性最值举例 # ①y=ax 2 a ＞0 向上 y 轴（0，0） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=0 y=4 3 x 2 $ y=3x 2 a ＜0 向下 y 轴（0，0） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=0 ： y=-5x 2 y=3 1 - x 2 ②y=ax 2+k a ＞0 向上 y 轴（0，k ） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 & 当x=0时，y 有最小值，即y 最小值=k y=4x 2+5 y=3x 2-1 a ＜0 向下 y 轴（0，k ） ①当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 … ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=0时，y 有最大值，即y 最大值=k y=-2x 2+3 y=-3x 2-2 ③y=a(x-h)2 a ＞0 向上直线 x=h （h ，0） . ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=0 y=2(x-3)2 y=21(x+2)2 a ＜0 向下直线 x=h — （h ，0） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2 ④y=a(x-h)2+k a ＞0 向上 ? 直线x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小当x=h 时，y 有最小值，即y 最小值=k y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a ＜0 — 向下直线 x=h （h ，k ） ①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即y 最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax 2+bx+c 可化为： # y=a(x+)2a b 2 + a b a c 442- a ＞0 向上直线 x=-a b 2 （-a b 2，a b a c 442 -） ①当x ＞- a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小当x=-a b 2时，y 有最小值，即y 最小值 = a b a c 442- y=2x 2+3x+4 （ y=3x 2-3x+4 y=4x 2-3x-4 y=5x 2+3x-4

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个）教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论）教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

二次函数的图像与性质教案

二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质年级：九年级执教老师：田老师【教学目标】 1. 知识与技能会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法让学生经历配方的过程，掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观培养学生积极探索、合作交流的意识。【教学重点】理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标（a b 2- ，a b ac 442-）【教学难点】用配方法确定对称轴、顶点坐标。【教学过程】一、温故知新 1. 耐心填一填

2. 抛物线y =－2(x ＋3)2－6的开口，对称轴是，顶点坐标为。当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，函数y 有最值。 3. 你能说出y =－2x 2＋6x －1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？二、探索新知 1.你能将二次函数 y =－2(x ＋3)2－6化成一般形式吗？ 2. 怎样将二次函数一般式y =－2x 2＋6x －1化成顶点式y=a(x －h)2＋k ？ y =－2x 2＋6x －1 =－2（x 2－3x ＋21 ）提：提取二次项系数 =－2[x 2－3x ＋223）（－223）（＋21 ] 配：括号内配成完全平方 =－2[（x －23）2－47 ] （加上再减去一次项系数一半的平方） =－2（x －23）2＋2 7 化：化成顶点式 3. 提问： ⑴ 对称轴是，顶点坐标是（） ⑵ 当x 等于多少时，函数的值最大？最大值是多少？ 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。

【北师大版】初三九年级数学下册《二次函数》说课稿

北师大版九年级数学下册精编说课稿

二次函数一、说课内容：北师版九年级下册第二章第一节二次函数二、教材分析： 1、教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。2、教学目标和要求：（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．

3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。三、教法学法设计： 1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程四、教学过程：（一）复习提问 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？ 2．它们的形式是怎样的? 3．一次函数(y=kx+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．（二）引入新课函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系例1、(1)圆的半径是r(cm)时，面积s (cm2)与半径之间的关系是什么?

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

九年级下二次函数图像与性质教案

第1课时 26.1 二次函数一、阅读教科书二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－1 3时，x 的值．

二次函数说课稿

二次函数说课稿一、说课内容：冀教版九年级下册第30章第一节二次函数二、教材分析： 1、教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。 2、教学目标和要求：（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3、教学重点：对二次函数概念的理解。 4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。三、教法学法设计：

1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程 3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程四、教学过程：（一）复习提问 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？ 2．它们的形式是怎样的? 3．一次函数(y=kx+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．（二）引入新课函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系例1、(1)圆的半径是r(cm)时，面积s (cm2)与半径之间的关系是什么? 例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y（元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？