勾股定理及其逆定理

八年级上册全科资料群5526293231. 勾股定理文字表述符号语言在直角三角形中，如果两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.2.勾股定理命名依据我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理,国外称为毕达哥拉斯定理.勾股定理反映了直角三角形中三边之间的平方关系，它把图形的特征转化成了数量之间的关系.相传2500多年前，古希腊有一位非常著名的数学家毕达哥拉斯，他善于观察和思考问题，经常从生活中寻找一些数学问题，有一次，他到朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边长度平方的某种数量关系.(2)在应用时，要分清哪个是直角边的长、斜边的长及直角边和斜边的位置；(3)已知直角三角形的两条边长，可求第三条边长.除勾股定理外，要注意勾股定理的如下两种变形：①b2=c2–a2，②a2 =c2–b2(其中a和b为直角边，c为斜边).示范例题例题1. (解析题)在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)若a=6，b=8，求c；(2)若b=5，c=13，求a；(3)若a:b=3:4，c=20，求a和b.【答案】见解析【解析】在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得a2+b2=c2.(1)∵a2+b2=c2，∴c2=a2+b2=62+82=100，∴c=10.(2)∵a2+b2=c2，∴a2=c2-b2=132-52=144，∴a=12.点拨已知直角三角形两边之比及第三边的长，常用设参数的方法把两边表示出来，然后利用勾股定理求出第三边，就可求出两边的长.知识点2 勾股定理的证明【重点】勾股定理的验证方法较多，例如，以下动图很好地展示了边长为a的正方形的面积加上边长为b的正方形的面积，等于边长为c勾股定理证明勾股定理证明最佳勾股定理证明勾股定理证明另外，还有常用的拼图法：式，通过化简等运算就可验证勾股定理.举例列表如下：拼图法1拼图法2拼图法3 划重点用拼图法证明勾股定理的关键是抓住图形面积间的关系，即用不同的面积形式表示同一个图形的面积.示范例题例题1. (解析题)如图1，是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c 为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图.【答案】见解析【解析】(1)如下图，是直角梯形.(3)如下图所示，拼出能证明勾股定理的图形.用拼图法证明勾股定理，关键是抓住图形面积间的关系，利用同一个图形面积的不同表示法，列等式证明.知识点3 勾股定理的逆定理【重点】1. 勾股定理的逆定理文字表述三角形是直角三角形.数学语言在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.的思想.(3)在判定时不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.(4)a2+b2=c2只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+ c2的也是直角三角形.2. 直角三角形的判定方法(1)利用定义如果有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形.当题目中的条件与角有关时，常用此方法.(2)利用勾股定理的逆定理.先找出最长边，再计算两个短边的平方和，看它与最长边的平方是否相等.若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.当已知三边的长或三边之间的关系时，常用此方法.示范例题例题1. (解析题)判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.(1) 在△ABC中，AB=12，BC=20，CA=16；(2) 在△ABC中，AB=52，BC=42，CA=32；(3) △ABC的三边分别为2n，n2 –1，n2 +1(n为正整数).【答案】见解析【解析】(1) ∵AB2 +CA2=122+162=144 +256=400，而BC2=400，∴AB2+CA2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠A为直角.(2)∵BC2+CA2=(42)2+(32)2=256+81=337，而AB2=(52)2=625，∴BC2+CA2≠AB2，∴△ABC不是直角三角形.(3) ∵(n2 +1)2 = n4 +2n2 +1，(n2-1)2 =n4 –2n2+1，(2n)2 =4n2.∴(n2+1)2 =n4 +2n2 +1=(n4 -2n2+1) +(4n2) ，即(n2 +1)2 = (n2 –1)2 +(2n)2，∴△ABC是直角三角形，且长度为n2 +1的边所对的角为直角.做第(2)题时要注意不要由32+42=52，得出三角形是直角三角形.知识点4 勾股数【基础】1. 定义2. 判别勾股数的一般步骤这三个数不是一组勾股数.(2)如果一组数是勾股数，那么当它们扩大相同整数倍(3)常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15.(1)毕达哥拉斯发现的勾股数组:2n+1,2n2 +2n,2n2+2n+1(n是正整数).当n=2时，可以得到一组勾股数5,12,13.(2)柏拉图发现的勾股数组:2n,n2-1,n2 +1(n>1,且n是正整数).当n=4时，可以得到一组勾股数8,15,17.示范例题例题1.(单选题)[2019陕西宝鸡陈仓区期末]下列各组数据中，不是勾股数的是()A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，9【答案】D【解析】A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．故选D．K重难题型1勾股定理的简单应用示范例题例题1.(单选题)[2020湖北黄冈蕲春县期中]如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有()A．3条B．2条C．1条D．0条【答案】B题型2 勾股定理的证明勾股定理的证明一般通过同一个图形，不同的面积表示形式，或两个图形面积相等，列出等式，然后变形证明.示范例题例题1. (解析题)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形说明a2+b2=c2.【答案】见解析点拨根据题意，我们可在图中找到等量关系，大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.题型3 勾股定理的逆定理的简单应用已知三边判断是否是直角三角形时，只需验证两条较小边的平方和是否等于最大边的平方即可.若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角.若不相等，则不是直角三角形.示范例题例题1.(单选题)[2020山东济南历城区校级期中]在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个.故选B．。

A B C ac 弦勾勾股定理（知识点）【知识要点】1.勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直角三角8,15,17等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4；（1⇒∠A+（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°1AB可表示如下：⇒BC=2∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90°1AB=BD=AD可表示如下： CD=2D为AB的中点6.数轴上表示无理数1.2.、∠B、A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为60cm2.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高．．．．为(C)A.12cmB.60cm C.12013cm D.1013cm136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6，8，10．7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+3 y=0，则第三边的长为5或.8.10.11.别用．12.，分别以13.形A，49cm第4题第11题第12题第13题14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8,求a。

勾股定理及其逆定理小结一、知识要点回顾 1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形：a 2= c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2+ b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①、已知的条件：某三角形的三条边的长度.②、满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③、得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④、如果不满足条件（2），就说明这个三角形不是直角三角形。

二、考点剖析1、应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例1、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，则cm ．2， 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 例2、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．3，应用勾股定理解决勾股树问题例3，如图6所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是：A．13 B．26 C．47 D．944，应用勾股定理解决阴影面积问题例4，已知：如图7所示，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为．5，应用勾股定理解决数学风车问题例5、如图8中，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。

在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。

证明勾股定理逆定理勾股定理是初中数学中最为基础的定理之一，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。

即a²+b²=c²，其中c为斜边，a、b为两腰。

证明勾股定理逆定理需要先了解什么是勾股数。

勾股数是指能够满足勾股定理的三个正整数，例如3、4、5就是勾股数。

逆定理即为：如果一个正整数n可以表示成两个正整数的平方和，则n一定不是勾股数。

首先我们需要证明一个引理：一个自然数n可以表示成两个正整数的平方和当且仅当n的所有形如4k+3（k为任意自然数）因子的幂次均为偶数。

证明如下：1. 如果n可以表示成两个正整数的平方和，则n有以下几种情况：① n=1+1② n=4+9③ n=16+25④ n=36+49……可见，每个能够表示成两个正整数平方和的自然数都可以由若干个完全平方数组成。

而完全平方数组成的自然数都只包含形如4k或4k+1（k为任意自然数）这样的因子，因此我们可以得出结论：如果n可以表示成两个正整数的平方和，则n的所有形如4k+3因子的幂次均为偶数。

2. 如果n所有形如4k+3（k为任意自然数）因子的幂次均为偶数，则n可以表示成两个正整数的平方和。

这一点需要用到费马定理，即如果p是一个素数且p不能被4整除，则p可以表示成两个正整数的平方和当且仅当p的幂次均为偶数。

由于任何自然数都可以唯一分解为若干个素数乘积，因此我们只需要证明任何一个形如4k+1（k为任意自然数）的素数都可以表示成两个正整数的平方和即可。

设p=4m+1，其中m为任意自然数。

由于p是素数，所以它有一个最小非零剩余r使得r²≡-1(mod p)。

那么我们就有：(r²)²≡(-1)²(mod p)r⁴≡1(mod p)由于r是最小非零剩余，所以r⁴≠1，而又有r⁴≡1(mod p)，所以p必须是奇素数。

那么我们就可以将p唯一分解为以下形式：p=a²+b²其中a、b均为正整数。

勾股定理及其逆定理一、勾股定理勾股定理是数学中的基础定理之一，它描述了直角三角形中的关系。

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用公式表示就是：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。

勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的中国和印度，但最早被发现并应用的是中国的古代数学家勾股。

因此，这个定理被称为勾股定理。

勾股定理的应用非常广泛，特别是在测量和计算方面。

例如，我们可以利用勾股定理来计算三角形的边长、角度以及面积等。

在实际应用中，我们经常会遇到需要使用勾股定理解决问题的情况。

二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形一定是直角三角形。

这个逆定理也被称为勾股定理的逆命题。

为了证明逆定理的正确性，我们可以通过数学推导来证明。

假设一个三角形的三条边为a、b、c，且满足c² = a² + b²。

首先，我们可以假设这个三角形不是直角三角形，即不存在直角。

根据三角形的角度性质可知，三角形的三个角度之和为180度。

如果这个三角形不是直角三角形，那么它的三个角度之和一定小于180度。

假设三个角度分别为A、B、C，且A + B + C < 180度。

然后，我们可以使用余弦定理来推导c²的表达式。

根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC。

将这个表达式代入c² = a² + b²中，得到a² + b² - 2ab·cosC = a² + b²。

经过简化后可得- 2ab·cosC = 0，即cosC = 0。

根据余弦函数的性质可知，当cosC = 0时，角C等于90度。

- 1 -第一讲、勾股定理及其逆定理一、勾股定理：（1）文字表述：在任何一个直角三角形（Rt △）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。

（2）数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c （斜边对应的角为直角），那么222c b a =+。

（a ：勾，b ：股，c ：弦）。

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222c b a =+中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ，常见的勾股数有3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25等。

（2）平方根的表示方法一个正数a 的正的平方根，用符号2a 表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数（一般情况下省略不写），正数a 的负的平方根用符号-2a 表示，a 的平方根合起来记作±2a ，其中2±读作二次根号，2a 读作“二次根号下a ”．根指数为2的平方根也可记作“2a ±”读作“正、负根号”。

时，未必等于有正负两个解。

=- 2 -，即，那么这个正数的平方根或二次方根。

这就是说，如果，那么2、已知两条线的长为5cm和4cm，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形。

3、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。

请你写出三组勾股数：___________。

4、如图，求出下列直角三角形中未知边的长度。

c=________ b=__________h=__________5、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=_______，BC=________。

6、已知等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为__________7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是。

勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组 2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 25．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ADA D8. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.A D C B勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾A ME NC B顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？9．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .拓广创新◆ 试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB =1，PC =2，P A =3，求∠BPC 的度数．B12 5。

《勾股定理》专题复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2, b2= c2—a2 .2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形.这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方—最小边的平方=中间边的平方。

③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角。

④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2=c2的三个正整数，称为勾股数.注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.常见勾股数有：（3,4，5）（5，12,13）(6,8，10)（7，24，25）（8，15，17）(9，12,15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短.二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:（1）阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、四边形ABCD 中，∠B=90°,AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。

考点二:在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为 ．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 . 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（)A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5,b=12，则c=___________；②若a=15，c=25,则b=___________;③若c=61，b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

第02讲勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）【知识梳理】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.三、勾股数满足不定方程222x y z +=称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：13、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+（,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【考点剖析】题型一、勾股定理的逆定理例1、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组题型二．勾股数例2．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A ．6，8，10B ．0.3，0.4，0.5C ．，，D ．32，42，52例3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1，那么a ，b ，c 为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．【变式1】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a 、b 、c ．根据你发现的规律，回答下列问题：（1）a＝17时，求b、c的值；（2）a＝2n+1时，求b、c的值．【变式2】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．题型三、勾股定理逆定理的应用例4．（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求证AC ⊥CD．例5．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）【变式】如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为ABC外一点，连接BD，CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．例6.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD ⊥CP，求∠BPC的度数．【变式1】如果△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系式()226018300a b b c +-+-+-=，则△ABC 的形状是．【变式2】如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA，PB，PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．题型四、勾股定理逆定理的实际应用例7．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？例9.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm 的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【过关检测】一．选择题1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为3：4：5B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为7：24：25D ．三内角之比为1：2：32．下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）①A B C ∠+∠=∠；②A B C ∠-∠=∠；③::2:5:3A B C ∠∠∠=；④23A B C ∠=∠=∠；⑤1123A B C ∠=∠=∠；⑥::3:4:5AB AC BC =．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3.如图，根据下列条件，不能判断ABD △是直角三角形的是（）A ．20,70DB ∠=︒∠=︒B ．5,12,13AB AD BD ===C ．AC BC DC==D ．3,8B D BAD D ∠=∠∠=∠二．填空题4．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．5．勾股数为一组连续自然数的是．6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为cm 2．7．（2022春•泗水县期中）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为．8．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是cm2．9．（2022春•孝南区月考）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．10．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．三．解答题11．如图，在△ABC中，AB＝5，＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．12．已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12，（1）求证：CD⊥AB；（2）求三角形ABC的周长．13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．（2）求DF的长．14．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由．。

勾股定理逆定理及其应用知识要点：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．题型分析：一、判断直角三角形问题：1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形３．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状. 解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ②∴c 2=a 2+b 2 ③∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.４．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.５．如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：∠EFA=90︒.二、边长问题 １．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是（ ）A.42B.52C.7D.52或7 2. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。

勾股定理一.勾股定理(一).勾股定理的定义 1．定义：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.例1. 已知直角三角形有两条边的长分别是3cm ，4cm ，那么第三条边的长是（ ） A ．5cm B ．cmC ．5cm 或cm D ．cm迁移练习1. 若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ） A ．10B ．C ．10或D ．14例2.在三角形ABC 中，已知2AB AC BC ==，边上的高AD ，求边BC 的长迁移练习2. 已知ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高为12，求ABC ∆的面积.DCBA注意：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边.（二）.勾股数满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数。

常用勾股数： 3、4、5 5、12、13 7、24、25 8、15、17 9、24、25 11、60、61 ……例3. 直角三角形三边长分别为3，4，x ，则x=_______．迁移练习3. 一个三角形的三边之比为13:12:5，且周长为60cm ，则它的面积是 2cm 。

二.勾股定理简单应用(一)勾股定理与三角形例4. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于 __________．迁移练习 4. 如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求DE 的长.ED CBA注意：勾股数必须熟记于心，能帮我们快速计算找到答案。

(二)网格问题例5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3迁移练习5. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ， CD ， EF ， GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF二.勾股定理的逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

一、一周知识概述勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理:勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中c为斜边）的三边关系，即c2=a2＋b2．它的变形为c2－a2=b2或c2－b2=a2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长．因为该题设没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．当两直角边分别为3cm，4cm时;当斜边为4cm，一直角边为3cm时2、直角三角形的几个性质（1）两锐角互余；（2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；（5）面积等于两直角边乘积的一半．3、用尺规画长为的线段教材中介绍了用尺规画长为的线段的作法，对画长为（k为自然数）的线段，我们通常可将k写成两个自然数的平方和或平方差来解决．例如用尺规画长为的线段．因为21=25－4=52－22，所以画Rt△ABC，使一条直角边AC=2，斜边AB=5，则另一条直角边BC=；同理，因为37=36＋1=62＋12，所以画Rt△ABC，使两直角边AC=1，BC=6，则斜边AB=．4、数形结合思想三、典型例题剖析1、运用勾股定理求值例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，CD=，∠BCD=30°，求AC的长．解：∵CD⊥AB于D，∠BCD=30°，∴BD=BC．设BD=x，则BC=2x．在Rt△BCD中，由勾股定理有BD2＋CD2=BC2，即点拨：这里分别在两个直角三角形中运用了勾股定理，但含30°角的直角三角形的性质也给解题带来了很大的方便．例2、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．解：连结PB，BD=BC－DC=6．在Rt△BDP和Rt△PDC中，PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2，∴BP2－BD2=PC2－DC2．∴BP2－PC2=36－9=27．∵AP=PC，∴BP2－AP2=AB2=27，∴AB=．点拨：连结BP，在PD为公共边的两个直角三角形中运用勾股定理，得到BP2－PC2=BD2－DC2=27，是解答本题的关键所在．例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，BE=，AD=5，求AB的长．解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y．在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得在Rt△ABC中，．点拨：运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解．2、构造直角三角形解题例4、如图，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的长．解：如图，延长BC，AD交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4．同理CE=2CD=2．在Rt△ABE中，BE2=AE2－AB2=16－4=12，∴BE=．在Rt△CDE中，DE2=CE2－CD2=4－1=3，∴DE=．∴BC=BE－CE=－2，AD=AE－DE=4－．点拨：灵活根据图形及条件，构造直角三角形（其实也就是补图），创造条件去利用勾股定理解题．例5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2＋BE2=DE2．解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，则∠ACF=∠B=45°，BE=CF，∠BAE=∠CAF．又∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°．∵∠EAD=45°，∴∠BAE＋∠DAC=45°．∴∠DAF=∠CAF＋∠DAC=45°．在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD，∴ED=FD．又在Rt△CDF中，CD2＋CF2=FD2，∴CD2＋BE2=DE2.点拨：此题从待论证的结论可以联想到勾股定理，而三条线段不在同一个直角三角形中，故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中．3、运用面积法解题例6、如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24．在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（）A．1B．3C．6D．无法求出解：依勾股定理知AC=．设点P到各边的距离为r，连结PA、PB、PC．依三角形的面积关系，有S△ABP＋S△BCP＋S△ACP=S△ABC，即AB·r＋BC·r＋AC·r=AB·BC．得（7＋24＋25）r=7×24，解得r=3．故选B．点拨：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而可应用面积法来解题．因为它是一种代数方法，因此显得十分直观、简捷．例7、如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且．求PD、PE、PF的长．解：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=3，∴BC==5．设PF=x，PE=y，PD=z，则．①连结PA、PB、PC．∵S△PAB＋S△PBC＋S△PAC=S△ABC，∴AB·x＋BC·z＋AC·y=AB·AC，即4x＋3y＋5z=12．②①＋②，得4x＋3y＋5z＋=24，配方，得∴PD=PE=PF=1．点拨：本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长，只能在连结PA、PB、PC后，将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底，PF、PD、PE为高的三角形，由面积法列出关系式，再利用题设条件，即可求解．4、构造几何图形解答代数问题例8、设a、b、c、d都是正数，求证：．分析：题中出现线段的平方和，考虑构造直角三角形，利用勾股定理证明．证明：构造一个边长分别为(a＋b)、(c＋d)的矩形ABCD（如图）．在Rt△ABE中，．在Rt△BCF中，．在Rt△DEF中，．在△BEF中，BE＋EF>BF，即点拨：勾股定理将直角三角形的位置关系（两边垂直）转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，特别是含有平方和或平方差的代数式，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题．勾股定理的逆定理一、一周知识概述1、勾股定理的逆定理是直角三角形判定的重要方法如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．这就是勾股定理的逆定理．在叙述定理时，不能简单地将原命题(勾股定理)的条件和结论颠倒过来，写成“如果一个三角形的两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”．要是这样叙述，则条件中所说“直角边，斜边”等名词已承认三角形是直角三角形，而结论又为直角三角形，这样条件与结论就会混乱．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！2、逆命题和逆定理的概念把一个命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题．一个真命题的逆命题不一定也是真命题．例如“全等三角形的对应角相等”是一个真命题，它的逆命题是“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，显然这个命题不是真命题，即为假命题．一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．例如：勾股定理和勾股定理的逆定理，就是互逆定理．前一个是直角三角形的性质定理，后一个是直角三角形的判定定理，我们要善于比较这两个定理间的联系和区别．我们前面学习的角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等都是像这样的互逆定理，大家可以对照复习一下．对于那些不是以“如果……，那么……”形式给出的命题，在叙述它们的逆命题时，可以把这些命题变为“如果……，那么……”的形式．例如“等边对等角”可以改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”．3、勾股数组能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．不难验证(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均为基本勾股数组．显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…为勾股数组．若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷．二、重难点知识归纳1、勾股定理的逆定理的应用．2、逆命题和逆定理的概念．3、勾股数组．三、典型例题剖析1、利用勾股定理的逆定理证直角例1、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．求△ABC 的面积．解：∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°．在△ADC中，∴BC=BD＋DC=6＋15=21．点拨：已知三角形的三边长，常验证其中是否有两个数的平方和等于第三个数的平方，以便判断该三角形是否为直角三角形．例2、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证：EF⊥CE．点拨：这里先运用勾股定理计算出△CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法．例3、如图，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5．求∠BPC．解：将图中的△ACP绕顶点C按逆时针旋转60°，得△BP′C的位置．∵PC=P′C，∠PCP′=60°，∴△PP′C为正三角形．在△BP′P中，BP=4，PP′=PC=3，BP′=AP=5，∴△BP′P为Rt△．∴∠BPP′=90°，∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．点拨：由PC=3，PB=4，PA=5想到常见的勾股数组，但这三条线段不在同一个三角形中，但可以借助旋转将三条线段集中起来，由勾股定理的逆定理得到一个直角三角形．2、勾股数组例4、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形？解：∵(2n2＋2n＋1)－(2n2＋2n)=1＞0，(2n2＋2n＋1)－(2n＋1)=2n2＞0，∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．又∵(2n2＋2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2=(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．点拨：这里先作差比较确定最大边，其依据是：a－b＞0，则a＞b；a－b=0，则a=b；a－b＜0，则a＜b．实际上有时用这种方法还会有困难，对于不考虑过程仅需要答案的题，还可利用特殊值迅速解决．例5、(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a=______，b=______，c=______；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．解：(1)n2－1；2n；n2＋1．(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明如下：∵a2＋b2=(n2－1)2＋4n2=n4－2n2＋1＋4n2=n4＋2n2＋1=(n2＋1)2=c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．点拨：解决此类问题的思路一般是观察→猜想→证明．例6、(2002，湖北省)如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长．解：如图，延长AD至E，使DE=AD=6，连结CE．∵CD=BD，且∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD．∴AB=CE=5．点评：根据题设的条件，由中线联想到中线倍长，将分散的条件集中起来，由数据关系可判定△ACE是直角三角形，再在Rt△CDE中求CD的长就不难了．例7、写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边．分析：先分清原命题的题设和结论，再把题设和结论互换位置，就得到原命题的逆命题．解答：(1)的逆命题是：如果ab=0，那么a=0．它是一个假命题．(2)的逆命题是：如果x2=16，那么x=4．它是一个假命题．(3)的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．(4)的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角．它是一个假命题．(5)的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角．它是一个真命题．方法总结：写一个命题的逆命题的关键是分清题设和结论，再交换题设与结论的位置，必要时要加一些适当的语句，切忌不能生搬硬套．例8、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来．(1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等；(2)内错角相等，两直线平行；(3)等边三角形的三个角都等于60°．分析：先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．方法总结：先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可。

勾股定理及其逆定理知识网络及典型例题解析【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】知识点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方（即：222a b c +=）.【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b +，22b c a -，22a c b =-; ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系;③可运用勾股定理解决一些实际问题.知识点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形. 3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数;②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等;③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系1.区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解；而其逆定理是判定定理，能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．2.联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.【典型例题】 类型一、勾股定理及其逆定理的应用1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是__________．【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【答案与解析】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG，=GF 2+2CG•DG，S2=GF 2，S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF，∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF，=3GF 2，∴S2=103．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+ NF 2-2NG•NF=3GF 2是解决问题的关键．【变式】若△ABC三边a、b、c 满足 a＋b＋c＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？为什么？【答案】∵a＋b＋c＋338=10a+24b+26c∴a＋b＋c＋338－10a－24b－26c =0（a－10a+25）＋（b－24b+144）＋（c－26c+169）=0即∵∴a=5，b=12，c=13又∵a＋b=c=169，∴△ABC是直角三角形.2．如图，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，BE、CF交于M，连AM．（1）求证：BE=CF；（2）求证：BE⊥CF；（3）求∠AMC的度数．【思路点拨】（1）求出∠BAE=∠CAF，根据SAS推出△CAF≌△BAE即可；（2）根据全等得出∠ABE=∠ACF，求出∠ABO+∠BOA=∠COM+∠ACF=90°，求出∠CMO=90°即可；（3）作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证全等得出AG=AH，得出正方形，求出∠AMG，即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠FAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAF，在△CAF和△BAE中∴△CAF≌△BAE，∴BE=CF．（2）证明：∵△CAF≌△BAE，∴∠ABE=∠ACF，∵∠BAC=90°，∴∠ABO+∠BOA=90°，∵∠BOA=∠COM，∴∠COM+∠ACF=90°，∴∠CMO=180°﹣90°=90°，∴BE⊥CF．（3）解：过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，则∠AGB=∠AHC=90°，在△AGB和△AHC中∴△AGB≌△AHC，∴AG=AH，∵AG⊥BE，AH⊥FC，BE⊥CF，∴∠AGM=∠GMH=∠AHM=90°，∴四边形AHMG是正方形，∴∠GMH=90°，∠AMG=∠HMG=45°，∴∠AMC=90°+45°=135°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．举一反三：【变式】如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A. 8B. 8.8C. 9.8D. 10【答案】C.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3.（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠E AF=45°，延长CD到点C，使DG=BE，连结EF、AG，求证：EF=FG；（2）如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，AB=AC，CN=3，求MN的长．【思路点拨】（1）欲证明EF=FG，只需证得△FAE≌△GAF，利用该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．【答案与解析】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．4.如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．（1）求∠DA′E的大小；（2）求△A′BE的面积．【思路点拨】（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E 的度数；（2）设AE=x，则ED=1﹣x，A′E=x，在Rt△A′DE中，利用sin∠DA′E=可求出x的值，在根据Rt△A′BE中，A′B=AB，利用三角形的面积公式即可求解．【答案与解析】（1）∵△A′BE是△ABE翻折而成，∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，∴在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1得，∠BA′C=30°，又∵∠BA′E=90°，∴∠DA′E=60°；（2）解法1：设AE=x，则ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，sin∠DA′E=，即=，得x=4-23，在Rt△A′BE中，A′E=4﹣23，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4﹣33解法2：在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1，得3∴A′D=23，设AE=x，则ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，A′D2+DE2=A′E2，即（2-3）2+（1﹣x）2=x2，得x=4-23，在Rt△A′BE中，A′E=4-23，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4-23）=4-23．【总结升华】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D.5 .如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。