勾股定理及其逆定理
⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.
例如：
①如图所示，在等腰△ABC中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上
的高.
②如图所示，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB上的高.
解：①作AH⊥BC
∵AB＝AC＝13，AH⊥BC
⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.
例如：①如图所示，在△ABC中，三条边之比为9：12：15，那么此三角形为何三角形？
②如图所示，在△ABC中，若，，那么此三角形为何三角形？
解：①
∴设
∴此三角形是Rt△.
②证：
∴此三角形是Rt△.
注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别：
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.
2. 勾股定理的证明方法介绍
勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.
（1）赵爽的拼图法
我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、
优美.
如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三
角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定
理.理由如下：
因为正方形边长为，所以正方形的面积为.
又因为正方形的面积＝，
所以有.
（2）旋转面积法
如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A＇B＇C＇D的位置，
D点不动.若设AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝
，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为：
.
所以有：＝.
化简为：，即.
（3）美国第20任总统的拼图面积法
加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，
设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝.
因为，
.
即＝即.
3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法
⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形.
⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想.
4. 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.
【典型例题】
例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积. 分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.
解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）2＋（4x）2＝202
化简得x2＝16；
∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96
例2. 如图，在长方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE 把ΔAED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ΔABF的面积为30cm2，那么折叠的ΔAED的面积为______.
分析：注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解. 解：由已知条件可得BF＝12，则在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根据勾股定理可知AF＝13，再由折叠的性质可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可设DE＝EF ＝x，则EC＝5－x，则在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解这个方程，
得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2).
例3. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.
分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.
解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：
由（1）得：x＋y＝7，
（x＋y）2＝49，x2＋2xy＋y2＝49 (3)
(3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）
例4. 等边三角形的边长为2，求它的面积.
分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的高.
解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）
∴BD＝1
在直角三角形ABD中AB2＝AD2＋BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3
∴AD＝
S△ABC＝BC·AD＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a2.
例5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，•要求出飞机这时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，•斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长．
解：根据题意可得示意图：(如图)
在△ABC•中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，
根据勾股定理可得：BC＝＝＝3000(千米）
所以：飞机飞行了3000千米.
例6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17
B、4，5，6
C、5，8，10
D、8，39，40
分析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2＝a2＋b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c＋a）来判断.例如：对于选择项D，∵82≠（40＋39）×（40－39），
