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运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x24为6x2 _ 6st ]4x1+2x2>4X i,X2 _0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABC,且可知线段BA上的点都为3最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为％=2 - 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x1 5x213为4x2乞9a )s.t」5为+2x2兰8x1, x^ 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO且可知B点为最优值点,即严+4卷=9斗|人3，即最优解为x」1,3(5X1 +2X2 =8 & =2 I 2丿这时的最优值为Z max = 10 1 5 -2 2原问题化成标准型为max z=10x1 5x23\ 4x2 x3 = 9 s.t <5^+2x2 +x4 =8X i,X2,X3,X4 —0z所以有—1,3 ,Z max=10 1 5I 2 丿 2 2P78 2.4已知线性规划问题：max z =2x 4x2x3x4/+3X2+x4兰82咅+x2<6彳x2+X3 +x4兰6X,+ x2+ X3<9XZX, X4 一0求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X^(2,2,410)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w =8y, 6y26y39y4\i+2y2 +y4 兰23yr H y<H yr H y^4彳y^y^iy i, y2,y3,y4—0(2)由原问题最优解为X* =(2,2,4,0)，根据互补松弛性得：y1 2y2 y4 = 23y1 y2 y a y^4I y a + yU把X* = (2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即 2 2 4 =8 < 9 - y4=0y1 2y2 =2从而有+y2 +y a =4L ya =1得Y1 ,Y2 ,Y a = 1,y4 = 05 5所以对偶问题的最优解为y* =(4,3,1,0)T，最优值为W min =165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:min z = 60x i 40x2 80x3” 3x i + 2x2 + X3 兰24x i + X2 + 3x^ > 42x i +2X2 +2x3 兰3x i,x?,x^ >0(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法求解原问题;解：(1)该线性规划问题的对偶问题为:max w = 2% 4y2 3y33% +4y2 +2y3 W60』2% +y2 +2y3 玄40y i 3y2 2y3 — 80[y i,y2,y^0(2)在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z = -60旨-40X2-80X3—3x i — 2x? — X3 + X4 = -2~4x<i — x? — 3X3 + X5 ——4-2 X i — 2 X2 — 2 X3 + = _3X j "j =1川,6x* 5,?,O)T,Z max =60 540 - 80 06 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。
《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（ ）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（ ）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（ ）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的 B .不增不减的 C .增加的 D .难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A ，B ，C 三相邻结点的距离分别为15km ，20km,25km ，则（ ）。
DA.最短路线—定通过A 点B.最短路线一定通过B 点C.最短路线一定通过C 点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈 C .存在三个圈 D .不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于 600 700300 500 400锅炉房12312.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
运筹学简答题1、运用动态规划方法解决多阶段决策问题应采取哪些步骤？参考答案：1、分阶段，确定阶段变量；2、选择状态变量。
3、确定决策变量及其之间关系；4、列出状态转移方程；5、确定阶段指标函数和指标函数以及他们之间的关系。
2、运用动态规划理论求解的经典问题有哪几类？参考答案：1、分配问题；2、装载问题。
3、可靠性问题。
3、（1）谈一谈你在生活中遇到过哪些与运筹学有关的现象。
2）你是如何解决的？（涉及计算的不用书写计算过程，说明原理即可）参考答案：本题是自由发挥题目，只要言之有理即可。
4、1）通过本学期对军事运筹学的研究，你都掌握了哪些知识？2）在这些知识中，你对哪方面的知识最感兴趣？说明原因（要简单叙述一下该知识点的原理）参考答案：本题是自由发挥题目，第（1）题，知识点主要有网络规划原理与运用、线性规划模型、动态规划、排队论、矩阵对策、序贯决策技术、遗传算法，写全这几个大标题即可得满分，不用做具体说明，写不全酌情扣分。
第（2）题，说明喜欢的原因可以得2分，在写出原因的基础上写出原理可得满分。
5、资源优化过程中一般要考虑如下几项基本原则？参考谜底：1、任什么时候刻资源需求均不能跨越保证能力2、绝对包管关键工作的资源需求。
3、优先包管机动时间小的资源需求；4、优先包管资源需求总量大的工作的资源需求；5、有限包管不能中断的工作的资源需求。
6、优先保证工作强度大的资源需求7、优化处理一般从前向后进行。
6、性计划数学模型由几部分构成？分别是什么？1.确定决策变量---可以不算组成部分；2.确定目标函数；3.确定不等式约束4.确定等式约束，5.确定决策变量的上下界lb,ub向量。
7、排队论的概述？参考答案：排队论是研究系统随机聚散现象、随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称为随机服务系统理论，是运筹学的重要分支。
8、统筹图的绘制原则有哪些？参考谜底：1.工作与箭线必须一一对应；2.两节点间最多只能直接连接一件工作；3.最初结点和最终结点唯一；4.任何一件工作的始节点要小于终节点；5.不要出现多余的虚线路；6.不允许出现闭合回路。
《运筹学》试卷6答案及评分标准一、（20分）已知线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=）（1,2,3,4j 0332232.6532min432143214321jx x x x x x x x x st x x x x z（a ）写出其对偶问题；（b ）用图解法求对偶问题的解；（c ）利用（b ）的结果及对偶性质求原问题的解。
一、（a ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤+≤-≤+≤--=0,063533222.32max 212121212121y y y y y y y y y y st y y ω（7分）（b ）Y=（8/5，1/5）； （7分） （c ）X=（7/5，0，1/5，0） （6分）二、（20分）已知运输表如下：销地 产地 B 1 B 2 B 3 B 4 供应量 A 1 3 2 7 6 50 A 2 7 5 2 3 60 A 3 2 5 4 5 25 需求量60402015（1）用最小元素法确定初始调运方案； （2）确定最优运输方案及最低运费。
二、初始解：x11=10,x12=40,x21=25,x23=20,x24=15,x31=25（10分）最优解：x11=35,x12=15,x22=25,x23=20,x24=15,x31=25 （10分） 三、（35分）设线性规划问题maxZ=2x 1+x 2+5x 3+6x 4⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤++0,,,122228243214321431x x x x x x x x x x x的最优单纯形表为下表所示:x Β b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 3 4 2 -2 1 0 2 -1 x 4 40 2 0 1 -1 1 -8 -1 0 0 -4 -1利用该表求下列问题：（1）要使最优基保持不变，C 3应控制在什么范围；（2）要使最优基保持不变，第一个约束条件的常数项b 1应控制在什么范围； （3）当约束条件中x 1的系数变为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡121 时，最优解有什么变化；（4）如果再增加一个约束条件3x 1+2x 2+x 3+3x 4≤14，最优解有什么变化。
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划：Min z=2x1+x2解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.43用图解法求解线性规划：Max z=5x1+6x2解：由图可得：最优解Max z=5x1+6x2, Max z= +4用图解法求解线性规划：Maxz = 2x 1 +x 2 由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.6将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x1+2x2+3x3解：令Z’ = -z，引进松弛变量x4≥0,引进剩余变量x5≥0,得到一下等价的标准形式。
x2’=-x2 x3=x3’-x3’’Z’ = -min Z = -x1-2x2-3x39用单纯形法求解线性规划问题：Max Z =70x1+120x2解： Max Z =70x1+120x2单纯形表如下Max Z =3908.11.解：（1）引入松弛变量X4，X5，X6，将原问题标准化，得max Z=10X1+6X2+4X3X1+X2+X3+X4=10010 X1+4X2+5X3+X5=6002 X1+2X2+6X3+X6=300X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。
《运筹学》(A)参考答案一、不定项选择题(每小题3分，共9分)1.线性规划的标准型有特点(B D )0A、右端项非零；B、目标求最大；C、有等式或不等式约束；D、变量均非负。
2.一个线性规划问题(P)与它的对偶问题(D)有关系(BCD)。
A、(P)无可行解则(D) 一定无可行解；B、(P)、(D)均有可行解则都有最优解；C、(P)的约束均为等式，则(D)的所有变量均无非负限制；D、若(D)是(P)的对偶问题，则(P)是(D)的对偶问题。
3.关于动态规划问题的下列命题中(B )是错误的。
A、动态规划阶段的顺序与求解过程无关；B、状态是由决策确定的；C、用逆序法求解动态规划问题的重要基础之一是最优性原理；D、列表法是求解某些离散变量动态规划问题的有效方法。
二、判断题(每小题2分，共10分)1.若某种资源的影子价格等于Q在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k个单位。
(X)2.如果运输问题单位运价表的某一行(或某一列)元素分别加上一个常数久最优调运方案将不会发生变化。
(V)3.运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有唯一最优解，有无穷多最优解,无界解，无可行解。
(X )4.用割平面法求解纯整数规划问题时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。
（V ）5.如图中某点匕有若干个相邻点，与其距离最远的相邻点为耳，则边卩,刀必不包含在最小支撑树内。
（X）三（20分）、考虑下列线性规划：max z = 3xj + 5x2 + x34xj + 2X2+x3 < 14< X] + x2 + x3 < 4Xj > 0, j = 1,2,31（10分）、写出此线性规划的最优解、最优值、最优基B和它的逆沪；2（2分）、求线性规划的对偶问题的最优解；3（4分）、试求C2在什么范围内，此线性规划的最优解不变；4 （4分）、若^=14变为9,最优解及最优值是什么？解：1（10分）、写出此线性规划的最优解、最优值、最优基B和它的逆沪;标准形式：max z = 3xj + 5x2 + x34xj + 2*2 + X3 + 卩=14< X] + *2 + X3 + x5 = 4X j > 0, j = 1,2,3,4,5最优解 X' =（0,4,0,6,0）『 最优值r =20 ---------------- （1分） 最优基5 = P 2]---------------- （2分）0 1 "1 -2B~l= o ]---------------- （2 分）2（2分）、求线性规划的对偶问题的最优解； 对偶问题的最优解厂=（0,5）3（4分）、试求c?在什么范围内，此线性规划的最优解不变;（1分）（2分）要使得原最优解不变，则所有检验数非正，即 3 — c 2 W 0 <1-C 2 <0 ，解得c 2 >3--------------- （2 分）~C 2 - 04（4分）、若$=14变为9,最优解及最优值是什么？-2j9 1 4最优值r =20-四（10分）、下述线性规划问题：max z = 10“ + 24x 2 + 20x 3 + 2O.r 4 + 25x 5X] + x 2 + 2x, + 3X 4 + 5X 5 < 19 < 2x 1 + 4X 2 + 3x, + 2X 4 + x 5 < 57 ">（2分）（2分）0, j =l,2,---,5以几,力为对偶变量写出其对偶问题。
运筹学答题结果
1、某柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一。
主要产品有2105柴
油机、x2105柴油机、x4105柴油机、x4110柴油机、x6105柴油机、x6110柴油机，产品
市场占有率大，覆盖面广。
柴油机生产过程主要分成三大类：热处理、机加工、总装。
与
产品生产有关的主要因素有单位产品的产值、生产能力、原材料供应量及生产需求情况等。
每种产品的单位产值如表1所示。
表1 各种产品的单位产值
为简化问题，根据一定时期的产量与所需工时，测算了每件产品所需的热处理、机加工、总装工时，如表2所示。
表2 单位产品所需工时
同时，全厂所能提供的总工时如表3所示。
表3 各工序所能提供的总工时
产品原材料主要是生铁、焦炭、废钢、钢材四大类资源。
原材料供应最大的可能值如
表4所示。
表4 原材料最大供应量
单位产品原材料消耗情况如表 5所示。
表5 单位产品原材料消耗情况
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备注：1、请主考教师按以上格式打印题签，字号为四号，用A4纸输出。
正文不用加黑。
2、出题不超出4页，注明共几页和第几页。
3、请主考教师于考试当天保持手机开通状态，以便出现问题即时联系。
4、拟题人由出题老师签字，审核人由教研室主任或学科负责人签字。
依照历年销售情况、权威部门的市场预测及企业近期进行的生产调查结果，可以分别
预测出各种型号柴油机今年的市场需求量，如表6所示。
表6 各种型号柴油机今年的市场需求量
根据以上资料，请制定较为科学的产品生产计划。
（1）使总产值最大的产品生产计划是什么？共生产几种柴油机？哪些工序的工时有
节余，节余多少？哪些资源有节余，节余多少？如果想提高产品产量，应该提高哪些工序
的生产能力，增加哪些原材料的采购量？
（2）假如总装的生产能力从原有的180000工时提高到320000工时，其他条件不变，此时，总产值提高了多少？产品生产计划是什么？
（3）如果钢材的最大供应量从原有的350吨提高到400吨，其他条件不变，此时，
总产值提高了多少？产品生产计划是什么？
（4）为了适应市场要求，同时不浪费设备，如果要求每年6种产品都必须生产，则
通过生产调查后确定产品2105柴油机、x4105柴油机和x6110柴油机的产量下限分别为
600台、500台和200台，其他条件不变，此时，总产值是多少？产品生产计划是什么？
解：
1) 使总产值最大的产品计划是：x1=0,x2=253,x3=0,x4=1767,x5=1506,x6=1 共生产
x2105,x4110,x6105,x6110四种柴油机。
工序工时结余计算：
热处理剩余工时：120000 —
（10.58*0+11.03*253+29.11*0+1767*32.26+37.63*1506+40.84*1）=3494.37
热处理剩余工时:95000 —(253*7.05+1767*27.7+1506*29.36+40.43*1)=13.86 总装
工时：235*150+1767*33.38+1506*55.1+1*53.5=179966.56
总装剩余工时：180000 —（235*150+1767*33.38+1506*55.1+1*53.5）=33.44 资源
剩余量计算：
生铁剩余量=1562—（253*0.19+1767*0.36+1560*0.54+0.55*1）=64.02
焦炭剩余量=951—（253*0.12+1767*0.23+1560*0.33+0.34*1）=16.91
废钢剩余量=530—（253*0.06+1767*0.13+1560*0.18+0.19*1）=13.84
钢材剩余量=350—（253*0.12+1767*0.09+1560*0.12+0.13*1）=0
所以应提高机加工和总装工序的生产能力，增加钢材，焦炭，废铁的采购量。
（2）总产值提高：（0.5465150—0.5426350）*10^8=388000
产品生产计划：x1=0,x2=1330,x3=0,x4=2000,x5=969,x6=4
(3)总产值提高：（0.5528850—0.5426350）*10^8=1025000
产品生产计划：x1=0,x2=1316,x3=0,x4=1999,x5=941,x6=67
（4）总产值：0.5380700*10^8=5380700
生产计划：x1=600,x2=1320,x3=500,x4=1114,x5=886,x6=200
2、某政府机构计划生产两类经济商品：消费资料和生产资料，生产必要的投入有原料和劳动力两种。
假设投入原料可以产出消费资料和生产资料，并且1个单位的原料可以生产1个单位的消费资料或1个单位的生产资料；而投入劳动力智能产出生产资料，并且2个单位的劳动力可以生产1个单位的生产资料。
另外假设投入的原料和劳动力成本都是1个货币单位，政府的目标是下面的五个：
第一目标，至少生产50个单位的消费资料；
第二目标，正好生产90个单位的生产资料；
第三目标，至少要利用80个单位原料和60个单位劳动力；
第四目标，限制系统的投入预算为120货币单位；
第五目标，投入尽可能小。
列出相应的目标规划，并用LINGO 软件采用序贯式算法求解模型。
解：设生产材料和消费材料的数量分别是x1和x2，由题意得：
S,t. x2+d1- -d1+=50
X1+d2- -d2+=90
X2+ d3- -d3+=80
0.5x1+ d4— -d4+=60
0.5x1+x2+ d5- -d5+=120
0.5x1+x2+ d6- -d6+=140
X1≥0,x2≥0, dm- ≥0, dm +≥0(m=1,2,3,4,5,6)
目标函数为：
Minz1= d1-
Minz2= d2- -d2+
Minz3= d3++ d4+
Minz4= d5+
Minz5= d6+
分析计算结果可知，x1=50,x2=90,dminus3=30,dminus4=15,dminus5=25,dminus6=45. 目标规划的最优解是x*=(50,90)。
3、为确保飞机的安全飞行，飞机上的发动机每半年必须强迫更换进行大修。
某维修
厂
估计某种型号战斗机从下一个半年算起的今后三年内每半年发动机的更换需要量分别为：100、70、80、120、150、140。
更换发动机时可以换上新的，也可以用经过大修的旧
的发动机。
已知每台新发动机的购置费为10万元，而旧发动机的维修有两种方式：快修，每台2万元，半年交货（即本期拆下来送修的下批即可用上）；慢修每台１万元，但需一
年交货（即本期拆下来送修的需下一批才能用上）。
设该厂新接受该项发动机更换维修任务，又知这种型号战斗机三年后将退役。
退役后这种发动机将报废。
问在今后三年的每半
年内，该厂为满足维修需要各新购、送去快修和慢修的发动机数各多少，使总的维修费用
为最省？提示：显然，当j ＞i ＋1时，应一律送慢修，每期的需要数b j 为已知。
每
期的供应量分别由新购与大修送回来的满足。
如第1期拆卸下来的发动机送去快修的可用
于第2期需要，送去慢修的可用于第3期及以后各期的需要。
因此每期更换下来的发动机
数也相当于供应量，由此列出这个问题用运输问题的表上作业法求解时的产销平衡表与单
位费用表，建立模型后即可利用LINGO 进行求解。
解：第一个半年内需要新购、送去快修和慢修的发动机数各是100、20、80台；第二
个半年内需要新购、送去快修和慢修的发动机数各是50、0、70；第三个半年内需要新购、送去快修和慢修的发动机数各是0、50、30；第四个半年内需要新购、送去快修和慢修的
发动机数各是0、120、0；第五个半年内需要新购、送去快修和慢修的发动机数各是0、140、0；第六个半年内需要新购、送去快修和慢修的发动机数各是0、0、0
总的维修费用为最省为2340元。
4、排队论问题
某设备维修站打算在甲、乙两人中聘用一人。
甲要求工资为每小时15元，每小时平
均检修4台设备，乙要求工资为每小时12元，每小时平均维修3台设备。
若一台设备停
留站内一小时（待修或正在修理），站里需支付费用5元。
当每小时平均有两台设备送来
修理时，站里应聘用哪位较合适？
解：
当聘用甲时：1不用等待每小时都工作的话
5*2+15=25元所以一天的话25*24=600元
2若第一个小时不工作，等到第二个小时工作的话
5*2+5*2+5+5+15=45元所以一天45*24=540元
当聘用乙时：1不用等待，每小时都工作的话
5*2+12=22所以一天24*22=528元
2若有等待时间，第一小时不加工，第二、三小时加工的话
5*2+5*2+5*2+12+12+5+5*2=69元所以一天的话为69*8=552元所以综上所述：聘用一且每小时都工作的话花费最少为528元。
