（4），则a
（
初一数学培优专题讲义一有理数及其运算
一、有理数的基本概念：
（一）常考点，易错点：
1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数
2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x|=|-1|，则x=______；若|x|=|－4|，则x=____；2
若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
4.互为相反数的两个数的平方相等。如果a2=16，那么a=____；若x2=(－2)2，则x=_______.
5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果
是_______；n为正整数，则（－1）2n=___,(－1)2n+1=___。计算：
（1）=；（2）=；（3）=；（4）=（5）=
6.a的相反数是；a+b的相反数是；a-b的相反数是；-a+b-c的相反数是；
变式训练：若a＜b，则∣a-b∣=，-∣a-b∣=
（二）绝对值的化简：
7.绝对值即距离，则a≥0
8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）
（a＞0）
|a|=（a＝0）
（a＜0）
9.绝对值的非负性：
（1）若|a|＝0，则a；（2）若|a|＝a，则a；（3）若|a|＝—a，则a；
a
=______；（5）a<0，则
|a||a|=______；6）若|a|+|b|=0，则a且b
小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。
例1．已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？
例2.若ab<0，求
a b ab
++的值．|a||b||ab|
例3.（1）如果x＜－2，那么|1－|1+x||=；若|m－1|=m－1,则m___1.；若|m－1|=1－m,则m___1.
+ +
（2）已知 a = 3 ，且 a + a = 0 ，则 a 3 + a 2 + a + 1 = ___________．
例 4.有理数 a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C
B 0 A
1.已知 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c —b|—|a —c|+|b-a|
a
0 c b
2.数 a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||
a
0 b
例 5. 若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|
即时练习：1.已知 x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
2. 若 a<0，试化简 2a - | 3a | a b c
3. 若 abc ≠0，则
的所有可能值为 || 3a | -a | | a | | b | | c |
例 6.若 x - y + 3 与 x + y - 1999 互为相反数，求 x + 2 y x - y
的值
（三）分类讨论的思想：
例 7. 已知 a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且 x 的绝对值是 5，
试求 x －（a+b －cd ）+│（a+b ）－4│+│3－cd│的值．
即时练习：1. 已知|x|=2，|y|=3 且 x-y>0，则 x+y 的值为多少？
2.解方程：|x-5|=8
（四）两个重要的非负数：① a ≥ 0 ；②a 2≥0；③
a 2 = a 2 = a 2
( )
+ + + +
的值. 4 2 5 ⨯ (-6) - (-4)2 ÷ (-8) 5 5 ⎛ 2 1 3 5 ⎫
-32 - (-3)2 ⨯ (-2) - -2 2 - (-98)99 - 9899
例 8. 若 (2 a - 1)2 + 2 a + b = 0, 且 c - 1 = 2 , 求 c ⋅ a 3 - b 的值。
例 9．已知 ab - 2 与 b - 1 互为相反数，求代数式
1
1 1 1
ab (a + 1)(b + 1) (a + 2)(b + 2) (a + 1999)(b + 1999)
二、 突破有理数的计算
（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优
先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。
1 1
(-1.5) + 4 + 2.75 + (-5 )
例 10.计算：（1）
（2）
(-6) ⨯ 8 - (-2)3 - (-4)2 ⨯ 5
1
2
-52 - [-4 + (1- 0.2 ⨯ ) ÷ (-2)]
(-16 - 50 + 3 ) ÷ (-2)
（3） （4）
（5）
（6） - - + ⎪ ⨯ 48
（7）
⎝ 3 4 8 24 ⎭
（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：例 11.计算：（巧算）
（1） 1 1 1 1 1 1
- + - + + -
2004 2003 2003 2002 1003 1002
1 1 1 1 1 1
（2） + + + + + ．
2 4 8 16 32 64
例 12.计算：（－ 例 13.
4 5 3 5 5 3
）× －（－ ）×（－ ）－ ×（－1 ） 5 13 5 13 13 5
例 14.（1）（分组求和）1-2+3-4+…+2001-2002
（2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99
（三）利用幂的性质巧算：例 15.计算：（1） （2）
