高三数学同角三角函数和诱导公式PPT教学课件

所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___

=
可求另外两个.

= ± ,
+ −

=
− −
.因此在解题中已知其中一个

1.已知 =
√

A.

−
，则


B.

解析：选A.因为 =
故选A.
=(
)
C.2
= − ，因为 ∈

,

，
所以 > ， < ，
所以 − > ，所以原式= − ，D正确.

− − −+
2.
−− −−
A.−
=(
B.−





又 − = − = − × = ，



所以 − = − .

< ,
+

+
{−，}
2.已知 =
+
∈ ，则的值构成的集合是_________.


2.三角函数的诱导公式

角
+ (
+
−
−


− ��


+
∈ )
正弦 − ⑤_____− ④______
⑥______

③______
⑦______
余弦

⑫______
− ⑨______
±

= ± .

（2） = ≠ + ,

典例 3(1)已知 tan α＝2，则3ssiinn αα－＋2cocos sαα＝________.
一次齐次分式，分子、分母同除以 cos α 化切，此为变形技巧. 当然也可以由csoins αα＝2，
把 sin α＝2cos α 代入后化简求值．
(2)(2024·陕西西安检测)已知
tan
θ＝2，则sin
高考一轮总复习•数学
(2)原式＝tacnosαc3oπs＋αsαin[－－s2inπ＋3π＋α＋απ2]
tan ＝
－αcc
α
＝－tansiαncoαs
α＝－csoins
α cos α·sin
αα＝－1.
故答案为－1.
第18页
π－α
___si_n__α__ _－__c_o_s_α__ _－__t_a_n_α__
π2－α
π2＋α
__c_o_s_α___ ___c_o_s_α__
__s_i_n_α___ _－__s_in__α__
—
—
高考一轮总复习•数学
第7页
诱导公式可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”“偶”指的是“k·π2＋α(k∈ Z)”中的 k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化．若 k 是奇数，则正、 余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·π2＋α(k∈Z)”中， 将 α 看成锐角时，“k·π2＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
第26页
高考一轮总复习•数学
(2)∵sinπ4－α＝35，且π4－α 为第二象限角， ∴cosπ4－α＝－45， ∴sinα－134π＋sinα＋214π ＝sinα＋34π＋sinα－34π ＝sinπ4－α－cosπ4－α ＝35－－45＝75.

(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin

[题组练透]
1．已知
5π 1 sin 2 ＋α＝ ，那么 5
cos α＝ 1 B．－ 5 2 D． 5
(
)
＋α＝sin2＋α＝cos
1 α＝ . 5
sinkπ＋α coskπ＋α 2．已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} )
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础盘查一
同角三角函数的基本关系
(一)循纲忆知
sin α 理解同角三角函数的基本关系式： sin α＋cos α＝1， ＝tan α. cos α
2 2
同角三角函数的基本关系：
sin α + cos α = 1
2
2
sinα = tanα cosα π (当α ≠ kπ + (k∈ Z)时） 2
用文字叙述：
同一个角α的正弦、余弦的平方 和等于１，商等于角α的正切；同一 个角的正切、余切之积等于１（即同 一个角的正切、余切互为倒数）。
为了加深对关系式的认识，注意以下几 点 ： 1、同角的理解：
sin 4 cos 4 1
2 2
2 2
sin ( ) cos ( ) 1
3 . 3
5．化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2
cos－α－πsin－π－α
.
－tan α· cos α· －cos α 解：原式＝ cosπ＋α· －sinπ＋α sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α ＝ ＝ －cos α· sin α －sin α ＝－1.

为( B )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
5．(2021·唐山模拟)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为( C )
A．－43
B．－34
C．±43
D．±34
6．(2021·苏州模拟)化简：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosα α＝________. 解析：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosαα＝sin1＋α＋cossinααtcaonsαα＝cos α.
3 4
π，B＝56π，不符合题意，舍去．
综上，C＝172π.
[答案]
7 12π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的发掘以及三角形内 角和定理的应用.
(二)创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( B )
1 A.5
B．
5 5
25 C. 5
D．1
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重 考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f(x)＝32x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
2sinsiαn2cαo－s αc＋osc2αos2α＝( C )
1 A.2
B．2
函数名不变 符号看象限
函数名改变，符 号看象限
1．若sin6π－α＝13，则cos3π＋α＝( C )
A．－79
B．－13
1 C.3
D．79
2．化简scions25απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．

3
5
π
( x － )的最大值为(
6
A
)
1
5
sin
π
6
( x ＋ )，所以 f ( x )＝ sin
3
5
(x＋
(2)[北京高考]若函数 f ( x )＝ sin ( x ＋φ)＋ cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值
为
π
(答案不唯一)
2
.
⁠
[解析] 易知当 y ＝ sin ( x ＋φ)， y ＝ cos x 同时取得最大值1时，函数 f ( x )＝ sin ( x ＋
−cossin
2
·tan α＝
·tan2α＝－tan2α.解方程5 x
sincos
2－
3
5
3
5
7 x －6＝0，得 x 1＝－ ， x 2＝2.又α是第三象限角，∴ sin α＝－ ，∴ cos α＝
4
－ ，∴tan
5
3
9
2
α＝ .故原式＝－tan α＝－ .
4
16
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
sin2 ＋cos2 ＋sincos
θ＝
＝
＝
1
sin2 ＋cos2
π
(2)[2023全国卷乙]若θ∈(0， )，tan
2
[解析] 由
－
5
.
5
sin
1
tan＝
＝ ，
cos
2
sin2 ＋cos 2 = 1，
1
θ＝ ，则
2
π
2
sin θ－ cos θ＝ －
且θ∈(0， )，解得
π
6

4
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
⁠
.
⁠
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可

例2
4 (2)已知 sinθ＝－ 且 tanθ>0，求 cosθ 的值． 5
【思路点拨】
先化简条件，再利用同角三角函
数基本关系式求值，同时要注意角的范围．
【解】
(1)∵ cos(－ 80° )＝ cos80° ＝ k，
∴ sin80° ＝ 1－ cos280° ＝ 1－k2， ∴ tan100° ＝ tan(180° － 80° )， 1 －k 2 sin80° ＝－tan80° ＝－ ＝－ . cos80° k sinθ (2)由 tanθ＝ >0，知 sinθ 与 cosθ 同号， cosθ ∴ cosθ＝－ 1－ sin θ＝－
法二：原式 π － tan α · cos － α · sin － α－ 2 ＝ cos π－ α · sin π－ α π tan α · cosα · sin α＋ 2 ＝ － cosα · sinα sinα · cosα cosα ＝ ＝－1. － sinα
【反思感悟】
(4)法一：原式 π － tan α · cos[π＋ π－ α]· sin π＋ － α 2 ＝ cos π＋ α · [－ sin π＋ α] π － tan α · [－ cosπ－ α]· [－ sin － α ] 2 ＝ － cosα · sinα － tan α · cosα · － cosα － tan α · cosα ＝ ＝ sinα － cosα · sinα sinα cosα ＝－ · ＝－ 1. cosα sinα
(2) 1－2sin40° cos40° ＝ sin40° － cos40° 2 ＝ | sin40° － cos40°|. ∵ sin40° <cos40° ， ∴ | sin40° － cos40° | ＝ cos40° － sin40° . (3)sin2α＋ sin2β－ sin2αsin2β＋ cos2αcos2β ＝ sin2α(1－ sin2β)＋ sin2β＋ cos2αcos2β ＝ sin2αcos2β＋ cos2αcos2β＋ sin2β ＝ (sin2α＋ cos2α)cos2β＋ sin2β＝ cos2β＋ sin2β＝ 1.

波动问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题

(3)常见的互余和互补的角
互余 的角
π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－ α等
互补 的角
π3＋θ 与23π－θ；4π＋θ 与34π－θ 等
考点二 同角三角函数基本关系式的应用
角度 1：“知一求二”问题 【例 1】 (1)已知 sinα＝13，且 α 为第二象限角，求 tanα. (2)已知 sinα＝13，求 tanα. (3)已知 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα.
易错易混 5．已知 θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝ 32－1，则 tanθ 的值为__－___3___．
【解析】 解法一：将 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方，得 1＋2sinθcosθ＝1－ 23，即
sinθcosθ＝－ 43，易知 θ≠π2.
故 sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝－ 43，解得 tanθ＝－
cosα
－cosα □10 sinα □11 －sinα
□14 －tanα □15 －tanα
提醒：(1)诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指 函数名称的变化． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若 α∈R，则 tanα＝csoinsαα恒成立．( × ) (3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( × ) (4)若 sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sinα＝13.( × )

√
1
C.−
sin α
−
− −
=

−

= −
考点三 给值求值
[例4] （1）已知cos α −
4
A.−
5
（2）已知sin α +
π
3
=
4
，则sin
5
3
B.−
5
π
6
=
3
，且α
3
给值求值：
1.思想：换元
2.易错：不注意角的范围
√
= cos π − α
活动二
经典例题讲解
考点一 同角三角函数间的关系
[例1] （1）已知sin α + cos α =
12
A.
13
7
− ，α
13
12
B.−
13
（2）已知sin αcos α =
1 π
− ，
6 4
∈
π
( ，π)，则sin
2
√
17
C.
13
<α<
α − cos α =(
17
D.−
13
3π
第五章 三角函数
第二节 同角三角函数关系及三角函数的诱导公式
活动一
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
+ =

（1）平方关系：__________________.
sin α
（2）商数关系：
=
cos α
1
2
（3）1 + = 2

π
2
tan α(α ≠ + kπ ，k ∈ ).