上海民办立达中学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(含答案解析)

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人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论：①若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，βn//，则//αβ；②若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥；③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则βn//.其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 2．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（） A ．30尺 B ．32尺 C ．34尺 D ．36尺 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．[3,17]B ．[2,3]C ．[6,22]D ．[17,5] 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（）A ．10B ．105+C ．1625+D ．135+5．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β6．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM的距离为（）A ．6aB ．6aC ．2aD ．12a 7．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（）A ．aB ．2aC 2aD ．22a 8．3P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为（）A ．73 B 287 C 1919 D ．193π 9．已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2，且球O 为三棱锥A BCD -的外接球，点M 是线段BD 上靠近D 的四等分点，过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为Ω，则Ω的取值范围为（）A ．π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 11．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为622+. 其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（）A 25B ．455C 5D ．2513．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若l m ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，则l m ⊥D ．若//αβ，则//l m 14．αβ、是两个不同的平面，mn 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、解答题15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．AD平面EMN；（1）求证：1//AD与BE所成角的余弦值．（2）求异面直线116．如图所示的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AE＝EB＝BC＝2，AD⊥平面ABE，且CE上的点F满足BF⊥平面ACE.（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C-AEB的体积.17．如图甲，平面四边形ABCD中，已知45∠=，90︒A︒∠=∠=，ADC︒C，105 ==，现将四边形ABCD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BDC (如图乙)，设2AB BD点E，F分别是棱AC，AD的中点.（1）求证：DC⊥平面ABC；（2）求三棱锥A BEF -的体积.18．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =6BC =．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值． 21．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；22．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 23．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，,2,2PA AD AB AD ===.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B MNC -的高.24．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．（1）求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ；（2）求二面角1C BD C --的正切值．25．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 上一点，1A B 平面1AC D ．（1）求证：D 为BC 的中点;（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，求证：1AC D ∆为直角三角形.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．【详解】解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n β，则//αβ或相交，又因为//m β，//n α，则//αβ，故①正确；对于②，若m n ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ或α，β相交，故②错误，对于③，若n α⊥，//m α，则n m ⊥；故③正确，对于④，若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β或n β⊂，故④错误，综上可得：正确的是①③，故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．C解析：C【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺，所以葛藤长2222301634AC AD AB =+=+=尺.故选：C .【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，122sin606C O ==，故线段1C P 长度的取值范围是[6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．4．B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.5．B解析：B【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．【详解】若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错；若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．6．A解析：A 【分析】根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解. 【详解】画出图形如下图所示，设C 到平面1A DM 的距离为h ，在△1A DM 中115,2,2A M DM a A D a === 1A ∴到DM 的距离为3a则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即11113232322a a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得6h a =，故选:A.【点睛】本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.7．D解析：D 【分析】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，证明平面1//A BGE 平面1B HI ，得到1//B F 面1A BE ，则F 落在线段HI 上，求出11222HI CD a == 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，1//A B EG ,则1A BEG 四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ， 1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ．故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据三棱锥的体积求出S △ABC 33，在三角形ABC 中，根据余弦定理和正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r 的最小值，从而可求出外接球半径的最小值和外接球体积的最小值. 【详解】设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b 313×S △ABC ×2，解得S △ABC 33. 因为∠ABC ＝120°，S △ABC 3312ac sin 120°，所以ac ＝6，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min ＝2.设△ABC 外接圆的半径为r ，则sin120b＝2r (b 最小，则外接圆半径最小)，故3232＝2r min ，所以r min ＝6.如图，设O 1为△ABC 外接圆的圆心，D 为PA 的中点，R 为球的半径，连接O 1A ，O 1O ，OA ，OD ，PO ，易得OO 1＝1，R 2＝r 2＋OO ＝r 2＋1，当r min ＝6时，2min R ＝6＋1＝7，R min ＝7，故球O 体积的最小值为43π3min R ＝437)3287. 故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，属于中档题.9．B解析：B 【分析】求出三棱锥A BCD -的外接球半径R ，可知截面面积的最大值为2πR ，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心O 到截面的距离为OM ，截面圆的半径的最小值22R OM -，进而可求出截面面积的最小值. 【详解】三棱锥A BCD -是正四面体，棱长为2，将三棱锥A BCD -放置于正方体中，可得正方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球. 因为三棱锥A BCD -的棱长为22，可得外接球直径22226R =++=6R =，故截面面积的最大值为2263πππ2R ==⎝⎭. 因为M 是BD 上的点，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心O 到截面的距离为OM ，△OBD 为等腰三角形，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，222662,122OD OH OD HD ⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，得222113244OM OH HM =+=+=，则所得截面半径的最小值为22633444R OM -=-=，所以截面面积的最小值为233ππ()44=. 故Ω的取值范围为3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B. 【点睛】外接球问题与截面问题是近年来的热点问题，平常学习中要多积累，本题考查学生的空间想象能力、推理能力及计算求解能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确；对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.11．C解析：C 【分析】作出三棱锥P ABC -的图象，逐一判断各命题，即可求解．【详解】作出三棱锥P ABC -的图象，如图所示：．对于①，根据题意可知，PD ⊥平面ABC ，且1DP DC ==，所以2PA PB PC ===①正确；对于②，在PAB △中，2PA PB ==02AB <<，所以2cos 222AB PAB PA ⎛∠== ⎝⎭，即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，②正确；对于③，因为DP DA DB DC ===，所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ，半径为1，其体积为43π，③不正确；对于④，当AB BC =时，BD AC ⊥，所以2BC =将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上，则DE BE +的最小值为线段BD 的长，在展开后的DCB 中，6045105DCB ∠=+=，根据余弦定理可得6221221cos1052BD =+-⨯⨯⨯=， ④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．12．C解析：C 【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由OCOF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ，又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.13．A解析：A 【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知：在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．B解析：B 【分析】分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假. 【详解】若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④；同理①②④不能推出③；若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即m n ⊥，所以②③④能够推出①. 所以一共两个命题正确. 故选：B 【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.二、解答题15．（1）证明见解析（2）85【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果. 【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅17554417252+-⨯⨯88585=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．（1）证明见解析；（2）43. 【分析】（1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解. 【详解】（1）如图所示：因为底面ABCD 为矩形，所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ， ∴F 是EC 的中点， ∴FG ∥AE .又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD .（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . 又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE .∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△.【点睛】方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 17．（1）证明见解析；（2）312. 【分析】（1）在图甲中先证AB BD ⊥，在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥，由条件可得DC BC ⊥，进而可判定DC ⊥平面AB C ；（2）利用等体积法进行转化计算即可. 【详解】（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=，()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥，图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =， ∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥，又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=，又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ；（2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点，所以//EF DC ，且12EF DC =，所以EF ⊥平面ABC ，由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=，90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，cos3022BC BD ︒∴=⋅=⨯=1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=，所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==，所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 【点睛】方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面.18．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（0x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，∴CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =，由余弦定理得222cos120AE BE AB BE B =+-⋅︒22122222232⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，又2222(3)12DE CD CE =+=+=，∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角， 3cos AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（023x <≤），则2PQ x =，23QE x =-， 12(23)232QDE S x x =⨯⨯-=-△， 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223x =--+≤，当且仅当3x =时等号成立，则当P QDE V -最大时，3AQ =，∴Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,3QB QE ==，则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==，又2BE =，则2227cos 214PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．19．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥，所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）cos m nm n α=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.20．（1）证明见解析；（2）PA =PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35. 【分析】（1）根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，求得0030,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；（2）建立空间坐标系，得到()BD =-，()0,2,DP t =-，()2PC t =-，进而得到平面PBD的一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭，进而可利用向量的公式求解【详解】（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，又tan tan AD BC ABD BAC AB AB∠==∠== ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）．又PA AC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD（2）如图，以AB 为x 轴，以AD 为y轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图，设AP t =，则()()()(),,0,2,0,0,0,B C D P t ，则()BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为1,3,n t ⎛= ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos ,48PC n PC n PC n⋅==因为22144515175t t +++=≥，当且仅当t = 所以5c 3353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤，即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35．【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题21．（1）证明见解析；（2）62；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ；(2）求出ABC S ，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1.【详解】（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C∴AB ⊥BC 1在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2，∴BC ⊥BC 1又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC， ∴C 1B ⊥平面ABC .（2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =12×2×1=22由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B =3，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =2×3=62. （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，∴1EB ⊥平面ABE .又∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥1EB .不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()222225714x x x x -+++-=，解得x =1或x =2(舍去).故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.【点睛】关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.22．（1）答案见解析；（2）11. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°，∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥， AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =设CO x =，OM x =，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，当x =min EB =连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM =，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 62QF =， ∴33sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.23．（1）证明见解析；（2）2. 【详解】（1）取PD 的中点G ，连接NG ，AG ，如图所示：因为G ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以//GN CD ，1=2GN CD . 又因为M 为AB 的中点，所以//AM CD ，1=2AM CD . 所以//AM GN ，=AM GN ，四边形AMNG 为平行四边形，所以//AG MN .又因为22213PM PA AM =+=+=22123MC MB BC =+=+= 所以PM MC =，则MN PC ⊥.又因为AD PA =，G 为PD 中点，所以AG PD ⊥.又因为//AG MN ，所以MN PD ⊥.所以MN PD MN PCMN PC PD P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面PCD . 又MN ⊂平面MPC ，所以平面MPC ⊥平面PCD .（2）设点B 到平面MNC 的距离为h ，因为B MNC N MBC V V --=，所以111332MNC MBC S h S PA ⋅=⋅△△.因为12MBC S BC MB =⋅⋅=△，112MN AG PD ====，NC ===所以122MNC S MN NC =⋅⋅=△所以1132322h ⨯⨯=⨯2h =. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化B MNC N MBC V V --=为解决本题的关键.24．（1）证明见解析；（2.【分析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1,C O BD CO BD ⊥⊥，由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ，然后再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知BD ⊥平面1C OC ，且平面1C BD ⋂平面CBD BD =，得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角，然后在1Rt C OC ∆中求解.【详解】（1）∵在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点，又11BC DC = ， BC DC = ，∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC ，BD ∴⊥平面1C OC ，又∵BD ⊂平面11BDD B ，∴平面11BDD B ⊥平面1C OC ．…（2）由（1）知：平面1C BD ⋂平面CBD BD =，11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角则在正方体1111ABCD A B C D -中121,2C C OC ==∴在1Rt C OC ∆中，11tan 2C C C OC OC∠== 故二面角1C BD C --的正切值为2 ．【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及二面角的求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 25．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接A 1C 交AC 1于O ，连接OD ，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D 为BC 的中点；（2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明AD ⊥C 1D 即可．【详解】证明:(1) 联结1A C 交1AC 于O ，联结OD .∵四边形11ACC A 是棱柱的侧面， ∴四边形11ACC A 是平行四边形.∵O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点， ∴O 为1A C 的中点.∵1A B 平面1AC D ，平面1A BC ⋂平面1AC D OD =，1A B ⊂平面1A BC ，∴1A B OD∴OD 为1A BC ∆的中位线， ∴D 为BC 的中点.（2）∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面11BCC B ,AD ⊂平面ABC ，平面ABC平面11BCC B BC =，∴AD ⊥平面11BCC B .∵1C D ⊂平面11BCC B ，∴AD ⊥ 1C D ，∴1AC D ∆为直角三角形.【点睛】本题考查线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理的应用.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．∴BE AD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，又EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EFBE E =，∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测(有答案解析)(2)

一、选择题1．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点，下列命题：①1AP B C ⊥；②BP 与1CD 所成的角是60°；③1P AD C V -为定值；④1//B P 平面1D AC ；⑤二面角PAB C 的平面角为45°．其中正确命题的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰1 3．用长度分别是2，3，5，6，9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（） A ．2258cm B ．2414cm C ．2416cm D ．2418cm 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB5．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为21919，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（）A ．49B ．19C ．925D ．1256．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为（）A ．63aB ．66aC ．22aD ．12a 7．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（）A ．aB ．2aC ．2aD ．2a 8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,EFGH 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD9．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（）A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥10．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（） A ．30º B ．45º C ．60º D ．90º11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．[17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．[3,17] 12．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④13．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（）A ．25B ．455C ．5D ．25二、解答题15．在如图所示的几何体中，侧面CDEF 为正方形，底面ABCD 中，//AB CD ，222AB BC DC ===，30BAC ∠=，AC FB ⊥.（1）求证：AC ⊥平面FBC ；（2）线段AC 上是否存在点M ，使//EA 平面FDM ？证明你的结论.16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.（1）求证：//AE平面PBC.（2）若四面体PABC的体积为33，求PCD的面积.17．如图所示，在四面体ABCD中，点P，Q，R分别为棱BC，BD，AD的中点，AB BD⊥，2AB=，3PR=，22CD=.（1）证明：//CD平面PQR；（2）证明：平面ABD⊥平面BCD.18．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，90DAB∠=︒，//AB CD，2AD AF CD===，4AB=.（1）求证：AC⊥平面BCE；（2）求三棱锥E BCF-的体积.19．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD､BC的中点，2CA CB CD BD====，2AB AD==（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）若G 为AO 上的一点，且2AG GO =，求证：//AC 平面GDE .20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值.22．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 23．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝3π，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.（I ）证明：直线MN //平面OCD ；（II ）求异面直线AB 与MD 所成角的余弦值.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．25．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求证：平面//EFG 平面PM A ．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【详解】①在正方体中，1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥=，所以1B C ⊥平面11,ABC D AP ⊂平面11ABC D ，从而1AP B C ⊥正确；②由于11//CD A B ,并且11,BC A B 的夹角是60°，故1BP CD 与所成的角是60°正确；③虽然点P 变化，但P 到1AD 的距离始终不变，故1P AD C V -为定值正确；④若1//B P 平面1D AC ，而1//BC 平面1D AC ，1111,,B P BC P B P BC =⊂平面11BB C C ，所以平面1//D AC 平面11BB C C ，这与平面1D AC 与平面11BB C C 相交矛盾，所以不正确；⑤P 点变化，但二面角PAB C 都是面11ABC D 与面ABCD 所成的角, 故二面角PAB C 的平面角为45°正确；故选：C. 2．D解析：D【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则3MN a =，3MA a =，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以3OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径3r a =，AM =，所以OA ==，即三棱柱外接球的半径R =，所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.3．C解析：C【分析】设出长方体的三条棱的长度为,,a b c ，根据表面积公式()2S ab bc ac =++求解出,,a b c 在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.【详解】设长方体的三条棱的长度为,,a b c ，所以长方体表面积()()()()2222S ab bc ac a b b c a c =++≤+++++，取等号时有a b c ==，又由题意可知a b c ==不可能成立，所以考虑当,,a b c 的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长：8,8,9，用2和6连接在一起形成8，用3和5连接在一起形成8，剩余一条棱长为9，所以最大表面积为：()22888989416cm ⨯+⨯+⨯=. 故选C.【点睛】本题考查基本不等式与长方体表面积最大值的综合，难度一般.求解()0,0ab a b >>的最2a b ab +≤可知最大值为2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时要注意取等号的条件a b =是否成立，若取等号的条件不成立，则满足条件的,a b 相差最小时可取得最大值.4．D解析：D【分析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可．【详解】解：对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，∴三角形ABD 是等边三角形，AD BM ∴⊥，PM BM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBMAD ∴⊥平面PBM ，故D 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误，对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，”则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则32BM =，32PM =，在直角三角形PBM 中，tan 1PM PBM BM∠==，即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误，对于A ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．5．C解析：C【分析】先证明PO ⊥平面ABC ，接着求出219cos PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35rR=，最后求出球2O与球1O的表面积之比即可.【详解】如图，取ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过1O，2O，且PO⊥平面ABC，可知PAO∠为侧棱与底面所成的角，即219cos19PAO=∠.取AB的中点M，连接PM，MC.设圆1O，2O的半径分别为R，r，令2OA=，则19PA=，23AB=，3AM=，1OM=，所以214r OMPO PM==，即24PO r=，从而145PO r r R r R=++=+，所以1154R RPO r R==+，则35rR=，所以球2O与球1O的表面积之比为925.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题. 6．A解析：A【分析】根据等体积法有11A CDM C A DMV V--=得解.【详解】画出图形如下图所示，设C到平面1A DM的距离为h，在△1A DM中115,2,A M DM a A D a===1A∴到DM3则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即11113232322a a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得6h a =，故选:A.【点睛】本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.7．D解析：D 【分析】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，证明平面1//A BGE 平面1B HI ，得到1//B F 面1A BE ，则F 落在线段HI 上，求出1122HI CD == 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 1//A B EG ,则1A BEG 四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ．故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题. 8．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.9．D解析：D【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确；根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．【详解】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ，根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 10．A解析：A【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可.【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为23AB AD ==，所以四边形ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又12CC =，()()2223236CO +==，所以123tan 36COC ∠==，130COC ∠=.故选：A【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.11．A解析：A【分析】取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解.【详解】取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，由//EF MN ，1//C E CM ，1EF C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，∴P ∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=.∴线段1C P 长度的取值范围是[17,5].故选：A.【点睛】本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 12．B解析：B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC = PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，得AC //平面PQMN ，则②正确；由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //,所以AC AD MN DN=，同理可证BD AD PN AN=，由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.13．C解析：C【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．14．C解析：C【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由OC OF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ，又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.二、解答题15．（1）证明见解析；（2）M 为AC 的中点，证明见解析.【分析】（1）本题首先可通过正弦定理得出90ACB ∠=以及AC BC ⊥，然后根据AC FB ⊥以及线面垂直的判定即可证得结果；（2）本题首先可取AC 的中点M ，连接CE 、MN ，然后通过三角形中位线的性质得出//EA MN ，最后通过线面平行的判定即可得出结果.【详解】（1）因为30BAC ∠=，2AB =，1BC =，所以sin sin AB BC ACB BAC =∠∠，即211sin 2ACB ，解得sin 1ACB ∠=，90ACB ∠=，AC BC ⊥，因为AC FB ⊥，BC FB B ⋂=，所以AC ⊥平面FBC .（2）当M 为AC 的中点时，//EA 平面FDM .证明如下：如图，取AC 的中点M ，连接CE ，与DF 交于点N ，连接MN ，因为四边形CDEF 为正方形，所以N 为CE 的中点，因为M 是AC 的中点，所以//EA MN ，因为MN ⊆平面FDM ，EA ⊄平面FDM ，所以//EA 平面FDM .【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直与线面平行的判定，若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直，若平面外一条直线平行平面内一条直线，则线面平行，考查数形结合思想，是中档题.16．（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，利用面面平行的判定定理证明平面//AEF 平面PBC ，再用面面平行的性质可得//AE 平面PBC ；（2）根据体积求出PA ，过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，求出PQ 和CD 后，根据三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PC ，又120BCD AFD ∠=∠=︒，∴//BC AF ，∴平面//AEF 平面PBC ，∴//AE 平面PBC .（2）因为90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，2AC =，所以1,3BC AB == 由已知得：11332P ABC V AB BC PA -=⋅⋅⋅=，即1133132PA ⨯⨯⨯⨯=，可得2PA =.过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AQ ⊥，PA CD ⊥，∴CD PQ ⊥，ACD △中，2AC =，90CAD ∠=，30ADC ∠=，∴4CD =，23AD =2233AC AD AQ CD ⋅⨯===， 222237PQ PA AQ =+=+=，∴11742722PCD S PQ CD =⋅==△ 【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出//PQ DC ，由此能证明//CD 平面PQR .（2）推导//RQ AB ，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =，从而RQ BD ⊥，PQ RQ ⊥，进而RQ ⊥平面BCD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD . 【详解】证明：（1）点P ，Q 分别为棱BC ，BD 的中点，//PQ DC ∴，PQ ⊂平面PQR ，CD ⊂/平面PQR ，//CD ∴平面PQR .（2）点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，//RQ AB ∴，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =， AB BD ⊥，RQ BD ∴⊥，2AB =，3PR =，22CD =.112RQ AB ∴==，122PQ CD ==， 222PQ QR PR ∴+=，PQ RQ ∴⊥，BD PQ Q ⋂=，RQ ∴⊥平面BCD ，RQ ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】思路点睛：证明线面平行、面面垂直的常见思路：（1）证明线面平行的思路：通过三角形中位线或者证明平行四边形说明线线平行或者证明面面平行；（2）证明面面垂直的思路：证明线面垂直结合面面垂直的判定定理完成证明.18．（1）证明见解析；（2）83. 【分析】（1）先证明AC ⊥BE ,再取AB 的中点M ，连接CM ，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC ⊥BC ,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）利用线面垂直的判定定理证得CM ⊥平面BEF ,即为所求三棱锥的高，进而计算得到其体积.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABEF 为矩形∴//AF BE∵AF ⊥平面ABCD ∴BE ⊥平面ABCD∵AC ⊂平面ABCD ∴AC BE ⊥.如图，取AB 的中点M ，连接CM ，∴122AM AB DC === ∵//AM DC ，90MAD ∠=︒，2AM DC AD ===∴四边形ADCM 是正方形.∴90ADC ∠=︒∴222448C AD DC =+=+=，222448BC CM BM =+=+= ∵4AB =∴222AC BC AB +=∴ABC 是直角三角形∴AC BC ⊥. ∵BCBE B =，BC 、BE ⊂平面BCE ∴AC ⊥平面BCE（2）由（1）知：CM AB ⊥∵AF ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ∴AF CM ⊥∵AF AB A ⋂=，AF 、AB 平面ABEF∴CM ⊥平面ABEF ，∴CM ⊥平面BEF即：CM 是三棱锥C BEF -的高 ∴11182243323E BCF C BEF BEF V V CM S --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥的体积的计算，属基础题.在利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时一定要将条件表述全面，“两个垂直，一个相交”不可缺少.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结OC ，根据等腰三角形的性质得出AO BD ⊥和CO BD ⊥，利用勾股定理的逆定理得出90AOC ︒∠=，则AO OC ⊥，最后根据线面垂直的判定定理，即可证明AO ⊥平面BCD ；（2）连接DE 交OC 于点H ，由BCD △为正三角形，得出H 为BCD △重心，最后通过线面平行的判定，即可证明//AC 平面GDE .【详解】证明：（1）证明：O ，E 分别是BD ､BC 的中点，连结OC ，∵,BO DO AB AD ==，∴AO BD ⊥，∵,BO DO BC CD ==，∴CO BD ⊥，在AOC △中，由已知可得1,3AO CO ==，而2AC =，∴222AO CO AC +=，∴90AOC ︒∠=，即AO OC ⊥，∵BD OC O ⋂=，,BD OC ⊂平面BCD ，∴AO ⊥平面BCD ；（2）证明：连接DE 交OC 于点H ，∵BCD △正三角形，,O E 分别为,BD BC 的中点，∴H 为BCD △重心，∴2CH HO =且2AG GO =，∴AG CH GO HO=，∴//AC GH ，∴GH ⊂平面GDE ，AC ⊄平面GDE ， ∴//AC 平面GDE .【点睛】关键点点睛：本题考查等腰三角形的性质、线面垂直和线面平行的判定定理，熟练掌握三角形的重心的性质是解题的关键.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.21．（1）证明见解析；（26. 【分析】（1）取PB 中点G ，推出//FG BC ，证明四边形DEGF 是平行四边形，得到//DF EG ，然后证明//DF 平面PEB .（2）以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出EF ，利用空间向量的数量积求解EF 与平面PDC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC =， E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =， //FG DE ∴，且FG DE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴，又DF ⊂/平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ， PE ∴⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1AE ED ==，2PA =，3PE =，223BE AB AE =-= 则点33(0,0,0),(1,0,0),(3,0),3),(E D C P F ---， ∴(1DC =-30)，(1DP =，03)，设平面PDC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n DC n DP ⎧=⎨=⎩，即3030x z x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33x x z⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3n =-，1-，1)；又33(1,2EF =-，设EF 与平面PDC 所成角为θ，∴sin |cos |EF n θ=<>=⋅=，.所以EF 与平面PDC所成角的正弦值为5. 【点睛】对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明.22．（1）312a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意24BCD S a =△，2311·33412D ABC A DBC DBC V V S AB a a a --===⨯⨯=；（2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则AC AD ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴4CF a =，又12CG a =， ∴CF CD CG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心， 23CH CM =，又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ， ∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．23．(I) 证明见解析；(II) 24. 【分析】（I ）取OD 的中点E ，通过证明四边形MNCE 是平行四边形可得MN //EC ，即可证明；（II ）可得MDC ∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角），连接,AC MC ,求出三角形各边长，即可根据余弦定理求出.【详解】（Ⅰ）证明：取OD 的中点E ，∵M 为OA 的中点 12MEAD ∴， ∵N 为BC 的中点，12NC AD ∴， 12ME NC ∴， ∴四边形MNCE 是平行四边形，∴MN //EC ，∵MN ⊄平面OCD ，EC ⊂平面OCD ，∴MN //平面OC D.（Ⅱ）解：//CD ABMDC ∴∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角），连接,AC MC ,1,3AD AB BC ABC π===∠=,1AC ∴=,M 是OA 的中点，1AM ∴=,OA ⊥平面ABCD ，∴OA ⊥AD ，2MD MC ∴==2cos 4212MDC ∴∠==⨯⨯ 【点睛】方法点睛：证明线面平行的方法是在平面内找一条直线与已知直线平行，常用的证明线线平行的方法是构造平行四边形或者利用三角形的中位线定理.24．（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =，13EH AA ==，tan 3tan 603HFE ∴∠===︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先证明BC ⊥平面PDC ，再利用线线平行证明GF ⊥平面PDC ，即证面面垂直；（2）先利用中位线证明//EG PM ，////GF BC AD ，再由此证明面面平行即可.【详解】（1）证明：由已知MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，∴PD ⊥平面ABCD ．又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，∴BC DC ⊥，又PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，在PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴//GF BC ，∴GF ⊥平面PDC ．又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC ．（2）∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，∴//EG PM ，//GF BC ，又∵四边形ABCD 是正方形，∴//BC AD ，∴//GF AD ，∵EG 、GF 在平面PM A 外，PM 、AD 在平面PM A 内，∴//EG 平面PM A ，//GF 平面PM A ，又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交，∴平面//EFG 平面PM A ．【点睛】本题考查了线线、线面、面面之间平行与垂直关系的转化，属于中档题.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．∴BE AD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，又EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EFBE E =，∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

上海建设中学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(答案解析)

一、选择题1．设m ，n 是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个C ．m 与n 所成的角的范围是()0,πD ．过空间一点P 与m 、n 均平行的平面有且只有一个2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④ 3．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰14．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面5．下列说法正确的是（） A ．直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a b φ⋂=，直线b α⊂，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b α⊂，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线6．已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ︒∠=，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π7．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．24C ．33D ．238．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 9．点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（）A ．2,5⎡⎤⎣⎦B ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣C ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,310．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π11．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（）A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥.12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．186+B ．206+C ．2010+D ．1810+ 13．αβ、是两个不同的平面，mn 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 14．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．A 、B 、C 均有可能二、解答题15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.（1）求证:11B F AC ⊥ ；（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．17．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．18．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．19．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点．将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值.20．如图，在组合体中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是一个长方体，P -ABCD 是一个四棱锥.AB =2，BC =3，点P ∈平面CC 1D 1D 且PD =PC =2（1）证明：PD ⊥平面PBC ；（2）求直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）若AA 1=a ，当a 为何值时，PC //平面AB 1D .21．如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ､BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）若G 为AO 上的一点，且2AG GO =，求证：//AC 平面GDE .22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是33，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值.24．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值．25．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线45DBP ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.26．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】在A 中，过m 上一点作n 的平行线，只能作一条l ，l 与m 是相交关系，故确定一平面与n 平行；在B 中，只有当m 与n 垂直时才能；在C 中，两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在．【详解】在A 中，过m 上一点P 作n 的平行直线l ，m l P ⋂=，由公理三的推论可得m 与l 确定唯一的平面α，l ⊂α，n ⊄α，故//n α．故A 正确．在B 中，设过m 的平面为β，若n ⊥β，则n ⊥m ，故若m 与n 不垂直，则不存在过m 的平面β与n 垂直，故B 不正确．在C 中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故C 不正确．在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题． 2．D解析：D【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.【详解】对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直，以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故③错误.对④，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故④正确.故选：D.【点睛】该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目. 3．D解析：D【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则3MN a =，3MA a =，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以3OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径3r a =， 233AM a =，所以22153OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径153R a =，所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.4．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.5．D解析：D【分析】根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案.【详解】解：A 项，若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l 可能平行于平面α，也可能位于平面α内，故A 项错误；B 项，直线a 在平面α外，则直线a 与平面α可能平行，也可能相交，故B 错误；C 项，直线,a b b φα⋂=⊂，所以a 可能与平面α相交或与平面α平行,故C 项错误；D 项，直线a ∥b ,b α⊂,当a ∥α时,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行；当a α⊂时,除了直线a 本身,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行,因此直线a 平行于平面α内的无数条直线,故D 项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定及相关性质，属于基础题型.6．C解析：C【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【详解】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V R R V R --⨯⨯⨯====，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=，故选：C ．【点睛】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大是关键，属于中档题．7．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===- 则13122MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+= 在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.8．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9．B解析：B【分析】取11B C ，1B B 中点E ，F ，得平面1A EF ∥平面AMN .进而得到点P 的轨迹为线段EF ，又因为1A EF 为等腰三角形，进而便可得出答案.【详解】取11B C ，1B B 中点E ，F ，连接1A E 、1A F .则1A E ∥AM .EF ∥MN .又因为1A E EF E ⋂= .所以平面1A EF ∥平面AMN .又因为动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，所以点P 的轨迹为线段EF .又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以115A E A F ==2EF = 所以1A EF 为等腰三角形.故当点P 在点E 或者P 在点F 处时，此时1PA 5当点P 为EF 中点时，1PA 22232(5)()2-= . 故选：B.【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点P 的位置.10．C解析：C【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是2，高为2的长方体该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个故22222(2)(2)22R =++=，2R =所以外接球的表面积为：248R ππ=．故选：C【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11．D解析：D【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解.【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误；对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误；对于D .由面面垂直的性质定理可得正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题. 12．B解析：B【分析】根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：在正方体中，去掉三棱锥111B A C M -，正方体的棱长为2，M 为1BB 的中点，则111111111B MC A B C A B M A C M S S S S S S =---+正方体 ()()22211116212221222522222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯- 206=+故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题. 13．B解析：B【分析】分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.【详解】若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④；同理①②④不能推出③；若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即m n ⊥，所以②③④能够推出①.所以一共两个命题正确.故选：B【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.14．D解析：D【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A BC ⊥，又//AD BC ，∴选项A 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．二、解答题15．（1）证明见解析；（2）43.【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直；（2）取EF中点P，BC中点K，找到二面角，再在三角形中计算就可以了.【详解】（1）证明：1AA⊥平面11,ABC B F AA∴⊥，又111A B C为正三角形，F为11A C中点，111B F AC∴⊥得1B F⊥平面11ACC A.又因为1AC⊂平面11ACC A，所以11B F AC⊥；（2）设所有棱长都为2，取EF中点P，BC中点K，连,,PK AK PA. 易知,PK BC AK BC⊥⊥，则PKA∠为平面EFCB的与底面ABC所成二面角的平面角，在PKA中，取AK中点O，连PO，有PO⊥平面ABC，则PO AK⊥，且32,PO OK==，43tan332POPKAOK∠===,【点睛】第二问的关键点是由线面垂直找到线线垂直，求出二面角，然后在三角形中计算就可以了.16．（1）证明见解析；（2）823π. 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC =，在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)33V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.17．体积3V π＝；表面积(213π+．【分析】由已知计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积和体积公式，即可得到答案.【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为'h ，圆锥的高h ='3h ＝，1'2h h ∴＝，则122r =，1r ∴＝． ∴圆柱的体积2V r h π'=＝；表面积(22221S r rh πππ=+='．【点睛】本题考查的知识点求圆柱的表面积和体积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.18．（1）证明见解析；（2）14．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos AQ PAQ AP ∠==AQ x =（0x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，∴CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =，由余弦定理得AE ===又2DE ===，∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（023x <≤），则2PQ x =，23QE x =-， 12(23)232QDE S x x =⨯⨯-=-△， 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223x =--+≤，当且仅当3x =时等号成立，则当P QDE V -最大时，3AQ =，∴Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,3QB QE ==，则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==，又2BE =，则2227cos 2PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为7．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 19．（1）证明见解析；（2）1111．【分析】（1）计算出AE BE =得证AE BE ⊥，从而由面面垂直性质定理得线面垂直中，又得线线垂直AD BE ⊥，再由已知线线垂直AD AE ⊥可证得结论线面垂直；（2）取AE 的中点O ，连结DO ，可证DO ⊥平面ABCE ，过E 作直线//EF DO ，以EA 、EB 、EF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒∴22AE BE ==，4AB =，∴222AE BE AB +=，∴AE BE ⊥又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE.（2）取AE 的中点O ，连结DO ，∵DA DE =，∴DO AE ⊥，又平面ADE ⊥平面ABCE ，∴DO ⊥平面ABCE ，过E 作直线//EF DO ，以EA 、EB 、EF 分别为为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：则(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),(2,0,2)E A B D ，(2,2,0)C -平面ADE 的法向量1//n EB ，∴1(0,1,0)n = 又(2,2,0)CB =，(2,22,2)DB =-，设平面BDC 的法向量为()2,,n x y z =， 2200n CB n DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，22022220x x y z +=∴-+=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩ ∴平面BDC 的法向量2(1,1,3)n =-- ()12122221211cos ,111113n n n n n n ⋅∴===⋅⨯+-+ ∴平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值为1111. 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求二面角．证明线面垂直的方法是：根据线面垂直的判定定理先证线线垂直，当然证明线线垂直又根据面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直．三个垂直相互转化可证结论；求二面角（空间角）常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，用计算代替证明．20．（1）证明见解析；（210；（3）当a =2时，PC //平面AB 1D . 【分析】（1）先证PD ⊥PC ，再由线面垂直的性质证得BC ⊥PD ，运用线面判定方法即可证明结果；（2）由题意先作出线面角，运用勾股定理计算三角形边长，最后求出线面角得正切值；（3）运用线面平行得判定定理证明即可.【详解】（1）证明：∵PD =PC =2，CD =AB =2，∴△PCD 为等腰直角三角形，所以PD ⊥PC .又∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是一个长方体，∴ BC ⊥平面CC 1D 1D ，而P ∈平面CC 1D 1D ， ∴ PD ⊂平面CC 1D 1D ，所以BC ⊥PD .又∵PC ∩BC =C ，∴ PD ⊥平面PBC .（2）如图，过P 点作PE ⊥CD ，连接AE .∵平面ABCD ⊥平面PCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，∴∠PAE 就是直线PA 与平面ABCD 所成的角.又∵PD =PC 2，PD ⊥PC ，所以PE =1，DE =1，所以2223110AE AD DE =+=+=∴10tan 10PE PAE AE ∠=== ∴直线PA 与平面ABCD 10 （3）当a =2时，PC //平面AB 1D .理由如下：连接C 1D ，∵a =2，∴四边形CC 1D 1D 是一个正方形，∴∠C 1DC =45°，而∠PDC =45°，∴∠PDC =90°，所以C 1D ⊥PD .又∵PC ⊥PD ，C 1D 与PC 在同一个平面内，∴PC //C 1D .又∵C 1D ⊂平面AB 1C 1D∴PC //平面AB 1C 1D∴PC //平面AB 1D .【点睛】方法点睛：在证明线面垂直或者线面平行时运用其判定定理进行证明，找线线垂直的方法有：（1）运用勾股定理逆定理；（2）已知线面垂直，由其性质得线线垂直；（3）在圆中直径所对的圆周角（4）三角形相似找线线平行的方法有：（1）有中点找中点，构造三角形中位线或者平行四边形；（2）线面平行的性质定理；（3）直线平行的条件（同位角、内错角等知识）.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结OC ，根据等腰三角形的性质得出AO BD ⊥和CO BD ⊥，利用勾股定理的逆定理得出90AOC ︒∠=，则AO OC ⊥，最后根据线面垂直的判定定理，即可证明AO ⊥平面BCD ；（2）连接DE 交OC 于点H ，由BCD △为正三角形，得出H 为BCD △重心，最后通过线面平行的判定，即可证明//AC 平面GDE .【详解】证明：（1）证明：O ，E 分别是BD ､BC 的中点，连结OC ，∵,BO DO AB AD ==，∴AO BD ⊥，∵,BO DO BC CD ==，∴CO BD ⊥，在AOC △中，由已知可得1,AO CO ==2AC =，∴222AO CO AC +=，∴90AOC ︒∠=，即AO OC ⊥，∵BD OC O ⋂=，,BD OC ⊂平面BCD ，∴AO ⊥平面BCD ；（2）证明：连接DE 交OC 于点H ，∵BCD △正三角形，,O E 分别为,BD BC 的中点，∴H 为BCD △重心，∴2CH HO =且2AG GO =， ∴AG CH GO HO=，∴//AC GH ，∴GH ⊂平面GDE ，AC ⊄平面GDE ， ∴//AC 平面GDE .【点睛】关键点点睛：本题考查等腰三角形的性质、线面垂直和线面平行的判定定理，熟练掌握三角形的重心的性质是解题的关键.22．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明；（2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小.【详解】（1）AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，1AB B E ∴⊥，BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，12BE B E ∴=22211BE B E BB +=，1BE B E ∴⊥，AB BE B ⋂=， ∴B 1E ⊥平面ABE ；（2）11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离，由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，则1111113223323A BEA A ABE ABE V V SB E AB --==⋅=⨯⨯=，解得3AB = 则113A B AB == 在111Rt A B C △中，11111113tan 33B C C A B A B ∠===，11130A C B ∴∠=，即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．23．（1）证明见解析；（2）6. 【分析】（1）取PB 中点G ，推出//FG BC ，证明四边形DEGF 是平行四边形，得到//DF EG ，然后证明//DF 平面PEB .（2）以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出EF ，利用空间向量的数量积求解EF 与平面PDC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC =， E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =， //FG DE ∴，且FG DE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴，又DF ⊂/平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ， PE ∴⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1AE ED ==，2PA =，PE =，BE ==则点(0,0,0),(1,0,0),((1,22E D C PF ---， ∴(1DC =-0)，(1DP =，0，设平面PDC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n DC n DP ⎧=⎨=⎩，即00x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3n =-，1-，1)；又3(1,2EF =-，设EF 与平面PDC 所成角为θ，∴sin |cos |EF n θ=<>=⋅=，.所以EF 与平面PDC. 【点睛】对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明.24．（1）答案见解析；（2. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°，∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =，设CO x =，23OM x =-，22224316OB OM MB x x =+=-+，222224316EB EO OB x x =+=-+，当3x =，min 10EB =，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM=，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 6QF =， ∴33sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.25．（1）证明见解析；（2）33. 【分析】（1）证明AC BD ⊥，PD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ；（2）求出菱形ABCD 的面积，结合PD ⊥平面ABCD ，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P ABCD -的体积.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为45DBP ∠=，PD ⊥平面ABCD因此2BD PD ==.又2AB AD ==所以菱形ABCD 的面积为sin6023S AB AD =⋅⋅=故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及求棱锥的体积，属于中档题.26．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，证明1B C ⊥平面ABO ，可得1B C AB ⊥；（2）作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，证明1CBB 为等边三角形，求出1B 到平面ABC 的距离，即可求三棱柱111ABC A B C -的高．【详解】（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，侧面11BB C C 为菱形，11BC B C ∴⊥，AO ⊥平面11BB C C ，1AO B C ∴⊥，1AO BC O =，AO ⊂平面ABO ，1BC ⊂平面ABO1B C ∴⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，1B C AB ⊥∴；（2）解：作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO OD O ⋂=，AO ⊂平面AOD ，OD ⊂平面AOD BC ∴⊥平面AOD ， OH BC ∴⊥，OH AD ⊥，BC AD D ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AD ⊂平面ABCOH ∴⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，1CBB ∴△为等边三角形，1BC =，3OD ∴=， 1AC AB ⊥，11122OA B C ∴==，由OH AD OD OA =，可得227AD OD OA =+=，21OH ∴=， O 为1B C 的中点，1B ∴到平面ABC 的距离为21， ∴三棱柱111ABC A B C -的高217．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．在下列四个正方体中，能得出直线AB 与CD 所成角为90︒的是（）A ．B ．C ．D ．2．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（）A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17]B ．[2,3]C ．6,22]D ．[17,5] 4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．[2,3]B ．5,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（）A ．aB ．2aC ．2aD ．22a 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD7．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A ．15πB ．12πC ．8πD ．6π8．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 9．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A ．3B ．2C ．3D ．310．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==12CC =1C BD C --的大小是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º 11．αβ、是两个不同的平面，m n 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32 ）A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π13．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3CE =，53cos 9ACE ∠=，且四边形11ABB A 为正方形，则球O 的直径为（） A ．4 B 51C ．451D ．4或514．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．A 、B 、C 均有可能二、解答题15．如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是棱AB 的中点，且AC BC VC ==.（1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）若22AC =，且棱AB 上有一点E ，使得线VD 与平面VCE 所成角的正弦值为1515，试确定点E 的位置，并求三棱锥C-VDE 的体积. 16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.（1）求证：//AE 平面PBC .（2）若四面体PABC 的体积为33，求PCD 的面积. 17．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2ABCB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S .18．如图甲，平面四边形ABCD 中，已知45A ︒∠=，90︒∠=C ，105ADC ︒∠=，2AB BD ==，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求三棱锥A BEF -的体积.19．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．20．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．21．如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，16AC CC ==，M 是棱1CC 的中点.（1）求证：平面1AB M ⊥平面11ABB A ；（2）求1A M 与平面1AB M 所成角的正弦值.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .23．如图，AB 是圆O 的直径，CA 垂直圆O 所在的平面，D 是圆周上一点.（1）求证：平面ADC ⊥平面CDB ；（2）若1AC =，12AD =，BD AD =，求二面角A BC D --的余弦值. 24．如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H .（1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面CDH ⊥平面ABC .25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =，6BC =．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值． 26．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据线面垂直的性质以及判定定理判断A ，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.【详解】对于A ，如下图所示，连接,AE GB由于,CD BE CD BG ⊥⊥，根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面AEBG ，再由线面垂直的性质得出AB CD ⊥，则A 正确；对于B ，如下图所示，连接,BF AF因为ABF 为正三角形，//CD AF ，所以直线AB 与CD 所成角为60︒，则B 错误；对于C ，如图所示，连接HD因为在CDH △中，45HDC ∠=︒，//AB HD ，所以直线AB 与CD 所成角为45︒，则C 错误；对于D ，如下图所示，连接GB因为//AG CD ，所以直线AB 与CD 所成角为90GAB ∠≠︒，则D 错误；故选：A【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.2．D解析：D【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 3．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，1226C O ==故线段1C P 长度的取值范围是6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．4．C解析：C【分析】分别取111,BB B C 的中点,N M ,可得平面1//A MN 平面AEF ，从而点P 的轨迹为线段MN ，然后计算出线段1A P 的范围.【详解】分别取111,BB B C 的中点,N M ,则1//A M AE ,1A M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，则1//A M 平面AEF . //EF NM ,MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则//MN 平面AEF又1MN A M M ⋂=,所以平面1//A MN 平面AEF又平面1A MN ⋂面11BCC B MN =所以点P 的轨迹为线段MN当P 为线段MN 的端点M （或N ）时，1A P 最长，此时1122111522P M A B A BB A ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭当P 为线段MN 的中点时，1A P 最短，此时22111322P A N MN A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以325,42AP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：C ．【点睛】本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.5．D解析：D【分析】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，证明平面1//A BGE 平面1B HI ，得到1//B F 面1A BE ，则F 落在线段HI 上，求出1122HI CD ==【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，1//A B EG ,则1A BEG 四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ．故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题. 6．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.7．A解析：A【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心.因为2233332⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EB DE ，四边形12OO EO 为矩形，所以123==O B DO ，1213===O E O E OO . 所以外接圆半径为()223153=22⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，表面积为15π. 故选：A【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.8．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .可得πr 2+πrl ＝36π，2πr ＝l •23π，联立解得：r ，l ，h 22l r =-即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh . 【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .则πr 2+πrl ＝36π，化为：r 2+rl ＝36，2πr ＝l •23π，可得l ＝3r . 解得：r ＝3，l ＝9，h 22l r =-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝2=2. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 10．A解析：A【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可.【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为23AB AD ==ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又12CC =()()2223236CO +==所以123tan 36COC ∠==，130COC ∠=.故选：A【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.11．B解析：B【分析】分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.【详解】若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④；同理①②④不能推出③；若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即m n ⊥，所以②③④能够推出①.所以一共两个命题正确.故选：B【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.12．B解析：B【分析】如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．【详解】如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O .∵四棱锥P ABCD -中，32AB =， ∴3AO '=.∵4PO '=，∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+，∴2223(4)R R =+-，解得258R =， ∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.13．C解析：C【分析】设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得222539392393x x x =++-⨯⨯+⨯，求出x ，即可求出球O 的直径. 【详解】根据题意，长方体内接于球O 内，则球的直径为长方体的体对角线，如图作出长方体1111ABCD A B C D -：设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得：222539392393x x x =++-⨯+，∴1x =6，∴2AB =，22BC =，球O 的直径为4484++=；或26AB =，3BC =，球O 的直径为2424351++=.故选：C ．【点睛】本题考查球的直径的计算方法，考查余弦定理，考查计算能力和分析能力，属于常考题. 14．D解析：D【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A AAD ，1A A BC ⊥，又//AD BC ，∴选项A 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．二、解答题15．（1）证明见解析；（2）点E 位于线段AD 的中点或线段BD 22. 【分析】（1）易得CD AB ⊥，再根据VC ⊥底面ABC ，得到 VC AB ⊥，进而AB ⊥平面VCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，DF ⊥平面VCE ，则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角，在Rt VFD 中，由15sin DF DVF VD ∠==，求得DF ，然后在Rt DCE 中，求出1DE =，然后由三棱锥C-VDE 的体积为13CDE V S VC =⋅⋅求解. 【详解】（1）因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ，AB 平面ABC ，所以VC AB ⊥，而VC CD C ⋂=，所以AB ⊥平面VCD .又AB 平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE .，连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.在Rt VFD 中，1515DF VD =. 又因为3VD =55DF =. 在Rt DCE 中，1DE =.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点，三棱锥C-VDE 的体积为1112221223323CDE S VC ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．16．（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，利用面面平行的判定定理证明平面//AEF 平面PBC ，再用面面平行的性质可得//AE 平面PBC ；（2）根据体积求出PA ，过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，求出PQ 和CD 后，根据三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PC ，又120BCD AFD ∠=∠=︒，∴//BC AF ，∴平面//AEF 平面PBC ，∴//AE 平面PBC .（2）因为90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，2AC =，所以1,3BC AB == 由已知得：113323P ABC V AB BC PA -=⋅⋅⋅=，即11331323PA ⨯⨯⨯⨯=，可得2PA =.过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AQ ⊥，PA CD ⊥，∴CD PQ ⊥，ACD △中，2AC =，90CAD ∠=，30ADC ∠=，∴4CD =，23AD =22334AC AD AQ CD ⋅⨯===， 222237PQ PA AQ =+=+=，∴11742722PCD S PQ CD =⋅=⨯⨯=△. 【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键.17．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA 1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，3CE ∴＝1123322S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，3CE ＝13EA ＝16AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,13h A E ∴＝＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.18．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）在图甲中先证AB BD ⊥，在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥，由条件可得DC BC ⊥，进而可判定DC ⊥平面AB C ；（2）利用等体积法进行转化计算即可.【详解】（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=， ()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥，图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥，又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=，又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ；（2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点，所以//EF DC ，且12EF DC =，所以EF ⊥平面ABC ，由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=， 90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，cos3022BC BD ︒∴=⋅=⨯=1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=，所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==，所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 【点睛】方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面.19．体积V ；表面积(21π+．【分析】由已知计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积和体积公式，即可得到答案.【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为'h ，圆锥的高h ='3h ＝，1'2h h ∴＝，则122r =，1r ∴＝． ∴圆柱的体积2V r h π'=＝；表面积(22221S r rh πππ=+='．【点睛】本题考查的知识点求圆柱的表面积和体积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.20．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos AQ PAQ AP ∠==AQ x =（0x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，∴CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =，由余弦定理得AE ===又2DE ===，∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（0x <≤PQ =，QE x =，12(23)232QDE S x x =⨯⨯-=-△， 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223x =--+≤，当且仅当3x =时等号成立，则当P QDE V -最大时，3AQ =，∴Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,3QB QE ==，则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==，又2BE =，则2227cos 2PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 21．（1）证明见解析；（210 【分析】（1）连接1A B 交1AB 于O ，连接MO ，证明1MO AB ⊥，1MO A B ⊥，然后得到MO ⊥平面11ABB A 即可；（2）首先证明1A O ⊥平面1AB M ，然后可得1A MO ∠即为1A M 与平面1AB M 所成的角，然后利用111sin A O MO MA A ∠=算出答案即可. 【详解】（1）证明：连接1A B 交1AB 于O ，连接MO ，易得O 为1A B ，1AB 的中点∵1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC∴1CC AC ⊥又M 为1CC 中点，16AC CC == ∴223635AM =+=同理可得135B M =∴1MO AB ⊥连接MB ，同理可得135A M BM ==1MO A B ∴⊥又11AB A B O ⋂=，1AB ，1A B ⊂平面11ABB A∴MO ⊥平面11ABB A又MO ⊂平面1AB M∴平面1AB M ⊥平面11ABB A（2）解：易得11A O AB ⊥又由（1）平面1AB M ⊥平面1ABB A平面1AB M 平面111ABB A AB =，1AO ⊂平面11ABB A ∴1A O ⊥平面1AB M∴1A MO ∠即为1A M 与平面1AB M 所成的角在11Rt AA B △中，22111663222AB AO ==+=在1Rt AOM 中，1113210sin 35AO MO A A M ∠=== 故1A M 与平面1AB M 10【点睛】方法点睛：几何法求线面角的步骤：（1）作：作出辅助线，构成三角形；（2）证：利用线面角的定义证明作出的角即为所求角；（3）求：在直角三角形中求解即可. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.23．（1）证明见解析；（2）105.（1）证明,BD AC BD AD ⊥⊥后得BD ⊥平面ADC ，然后可得面面垂直；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，证得OED ∠为二面角A BC D --的平面角，在三角形中可得其余弦值．【详解】证明：（1）∵CA ⊥平面ADB ，BD ⊂平面ADB ，∴CA BD ⊥，.又D 是圆周上一点，AB 是圆O 的直径，DA DB ⊥，又CA ⊂平面CAD ，DA ⊂平面CAD ，ADCA A =，∴BD ⊥平面CAD ，而BD ⊂平面ACD ，∴平面ADC ⊥平面CDB ；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，∵CA ⊥平面ADB ，CA ⊂平面ABC ，∵平面ABC ⊥平面ADB ，∵BD AD =，∴⊥OD AB ，又∵OD ⊂平面ADB ，∵平面ABC平面ADB AB =， ∴OD ⊥平面ABC ，∵BC ⊂面ABC ，∴BC OD ⊥.又∵BC OE ⊥，OE DE E =，∴BC ⊥平面ODE ，∴BC DE ⊥，∴OED ∠为二面角A BC D --的平面角.又1AC =，12AD =，BD AD =， ∴2OD =，3OE =，30DE =，所以cos OE OED DE ∠==10所以二面角A BC D --的余弦值为105. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角（并证明）然后在相应三角形中求角．（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角与二面角相等或互补计算．24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大.（1）利用线面平行的判定定理证得//EF 平面BCD ，进而利用线面平行的性质定理证得；（2）利用线面垂直的判定定理证得CD ⊥平面ADB ，进而证得AB ⊥平面CDH ，然后由面面垂直判定定理证得结论.【详解】证明：（1）因为点E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，EF ∴为ACD △的中位线，则//EF CD ，CD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，//EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面EFNM ，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，//EF MN ∴；（2）90CDA CDB ∠=∠=︒，CD DA ∴⊥，CD DB ⊥，DA DB D ⋂=，DA ⊂平面ADB ，DB ⊂平面ADB ， CD 平面ADB ，CD AB ∴⊥又DH AB ⊥，DH CD D ⋂=，DC ⊂平面DCH ，DH ⊂平面DCH ，AB ∴⊥平面CDH ，AB ⊂平面ABC ，∴平面CDH ⊥平面ABC.【点睛】要证线线平行，常常先证线面平行，综合利用线面平行的判定与性质进行证明；要证面面垂直，常常先证线面垂直，而要证线面垂直，又常常先证另一个线面垂直.25．（1）证明见解析；（2）PA =PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35. 【分析】（1）根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，求得0030,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；（2）建立空间坐标系，得到()BD =-，()0,2,DP t =-，()2PC t =-，进而得到平面PBD 的一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭，进而可利用向量的公式求解【详解】（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，又3tan ,tan 33AD BC ABD BAC AB AB ∠==∠==， ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）．又PA AC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD（2）如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图，设AP t =，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ，则()23,2,0BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为231,3,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22226333cos ,1214448451PC nPC n PC n t t t t ⋅===++++，因为22221441445151275t t t t +++=≥，当且仅当23t =时等号成立，所以5c 33353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤，即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35．【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB .（2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=，PB ∴⊥平面EFD .【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π22．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）A ．25︰1B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰13．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直4．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π 5．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β6．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面7．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（）A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥8．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A ．15πB ．12πC ．8πD ．6π9．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．24C ．33D ．2310．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π11．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题；①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥.②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥.③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为62+. 其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．413．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（） A ．8π B ．323π C ．93π D ．923π 14．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为（）A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π二、解答题15．如图所示，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，AB BD ⊥，2AB =，3PR =，22CD =.（1）证明：//CD 平面PQR ；（2）证明：平面ABD ⊥平面BCD .16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，23AB =12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.17．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点.将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB .（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）点M 是线段DA 的中点，求三棱锥D MEC -的体积.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PA ⊥底面ABCD ，2AB AP ==，E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）求证CD AE ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离.20．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =2，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求点F 到平面CDE 的距离.21．如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，16AC CC ==，M 是棱1CC 的中点.（1）求证：平面1AB M ⊥平面11ABB A ；（2）求1A M 与平面1AB M 所成角的正弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求三棱锥-D PAC 的体积.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，22BC =，M 为BC 的中点.（1）证明：AM PM ⊥；（2）求二面角P AM D --的大小；（3）求点D 到平面APM 的距离.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED 面积的最小值是6时，求此时点E 到底面ABCD 的距离．25．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．26．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm ，侧棱长都相等，E 为BC 的中点，高为PO ，且30OPE ∠=︒，求该四棱锥的侧面积和表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连结1A B ，可证1A B ⊥平面11A BC ，从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，故可得正确的选项.【详解】连结1A B ，1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形，AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中，1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形，可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥，平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ，可得11AB BC ⊥，即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π 故选：D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为2π. 2．D解析：D【分析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则3MN a =，23MA a =，因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以33OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径33r a =， 23AM a =，所以2215OA OM AM a =+=，即三棱柱外接球的半径15R a =，所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==，所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.3．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例． 4．C解析：C【分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.5．B解析：B【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．【详解】若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错；若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．6．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.7．D解析：D【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确；根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．【详解】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ，根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 8．A解析：A【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心. 因为2233332⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EB DE ，四边形12OO EO 为矩形，所以123==O B DO ，1213===O E O E OO . 所以外接圆半径为()223153=2⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，表面积为15π. 故选：A【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.9．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===-则131222MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+=，在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.10．C解析：C【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是2，高为2的长方体该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个故22222(2)(2)22R =++=，2R =所以外接球的表面积为：248R ππ=．故选：C【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11．C解析：C【分析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确.故选：C .【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．12．C解析：C【分析】作出三棱锥P ABC -的图象，逐一判断各命题，即可求解．【详解】作出三棱锥P ABC -的图象，如图所示：．对于①，根据题意可知，PD ⊥平面ABC ，且1DP DC ==，所以2PA PB PC ===①正确；对于②，在PAB △中，2PA PB ==02AB <<，所以2cos 222AB PAB PA ⎛∠== ⎝⎭，即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，②正确；对于③，因为DP DA DB DC ===，所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ，半径为1，其体积为43π，③不正确；对于④，当AB BC =时，BD AC ⊥，所以2BC =，将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上，则DE BE +的最小值为线段BD 的长，在展开后的DCB 中，6045105DCB ∠=+=，根据余弦定理可得6221221cos1052BD +=+-⨯⨯⨯=， ④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．13．A解析：A【分析】设截面圆的半径为r ，球的半径为R ，根据题设条件，求得1r =，结合球的截面圆的性质，求得2R =，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得11OO =，设截面圆的半径为r ，球的半径为R ，因为截面圆的面积为π，可得2r ππ=，解得1r =，又由22212R OO r =+=，所以2R =，所以球的表面积为2=48S R ππ=球.故选：A.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的截面圆的性质的应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.14．B解析：B【分析】如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．【详解】如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O .∵四棱锥P ABCD -中，32AB =，∴3AO '=.∵4PO '=，∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+，∴2223(4)R R =+-，解得258R =， ∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.二、解答题15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出//PQ DC ，由此能证明//CD 平面PQR .（2）推导//RQ AB ，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =，从而RQ BD ⊥，PQ RQ ⊥，进而RQ ⊥平面BCD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）点P ，Q 分别为棱BC ，BD 的中点，//PQ DC ∴，PQ ⊂平面PQR ，CD ⊂/平面PQR ，//CD ∴平面PQR .（2）点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，//RQ AB ∴，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =， AB BD ⊥，RQ BD ∴⊥，2AB =，3PR =，22CD =.112RQ AB ∴==，122PQ CD ==， 222PQ QR PR ∴+=，PQ RQ ∴⊥，BD PQ Q ⋂=，RQ ∴⊥平面BCD ，RQ ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】思路点睛：证明线面平行、面面垂直的常见思路：（1）证明线面平行的思路：通过三角形中位线或者证明平行四边形说明线线平行或者证明面面平行；（2）证明面面垂直的思路：证明线面垂直结合面面垂直的判定定理完成证明.16．（1）证明见解析；（233. 【分析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，易得四边形AEFG 是平行四边形，从而//EF AG ，然后利用线面平行的判定定理证明.（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得1BC 的坐标和平面BDE 的一个法向量(),,n a b c =，再由111sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>=⋅求解.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .在1BCC 中，因为F 为1C B 的中点，所以1//FG C C ，112FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，11//A A C C ，11A A C C =，且E 为1A A 的中点，所以//FG EA ，FG EA =.所以四边形AEFG 是平行四边形. 所以//EF AG .因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .（2）以D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为23AB =1BD =, 所以()0,0,0D ，()0,1,0B ，13C ⎫⎪⎝⎭，3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以131,2BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,0DB =，3DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面BDE 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DB n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030b c =⎧⎪⎨+=⎪⎩,取3a =，则1c =，所以(3,0,1)n =，所以1111cos ,||||4n BC n BC n BC ⋅<>===，直线1C B 与平面BDE 所成角为θ，则θ与1,n BC <>或它的补角互余，所以11133sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 17．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）先利用勾股定理得出AE BE ⊥，再利用面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面ADE ，进而得到AD BE ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）利用1122D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===，取AE 的中点O ，连接DO，用面面垂直的性质定理得到DO ⊥平面ABCE ，利用体积公式求解即可.【详解】（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒，∴AE BE ==， 4AB =，∴222AE BE AB +=，∴AE BE ⊥，又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =， ∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE.（2）∵M 是线段DA 的中点， ∴1122D MEC M DEC A DEC D AEC V V V V ----===，取AE 的中点O ，连接DO ，∵DA DE =∴DO AE ⊥，又平面DAE ⊥平面ABCE ，∴DO ⊥平面ABCE ，又2DO =，1sin13522AEC S AE EC =⨯⨯⨯︒=， ∴122233D AEC V -=⨯=， ∴23D MEC V -=. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的常用方法：利用线面垂直的判定定理；利用面面垂直的性质定理；利用面面平行的性质；利用垂直于平面的传递性.18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．理由见解析.【分析】（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由侧棱垂直于底面，可得1CC ⊥平面ABC ，则1CC AC ⊥，再由AC BC ⊥，结合线面垂直的判定可得AC ⊥平面11BCC B ．从而得到1AC C F ⊥；（Ⅱ）取11A C 的中点H ，连结EH ，FH ．可得//EH BF ，且EH BF =．则四边形BEHF 为平行四边形，则//BE FH ．再由线面平行的判定可得//BE 平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接EG ，1GB ．首先证明△11B C G ≅△1C CF ．可得11190C CF B GC ∠+∠=︒，则11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，得到11A C ⊥平面11BB C C ．即111AC B G ⊥．由线面垂直的判定可得1B G ⊥平面11AC F ．进一步得到平面1B EG ⊥平面11AC F ．【详解】解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ．又AC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥．因为AC BC ⊥，1CC BC C ⋂=，1CC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F ⊥．（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH //11B C ，且1112EH B C =，又因为BF //11B C ，且1112BF B C =，所以EH //BF ，且EH BF =．所四边形BEHF 为平行四边形．所以BE //FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH⊂平面11AC F ，所以BE //平面11AC F（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中，因为F 为BC 中点，所以△11B C G ≌△1C CF ．所以11190C CF B GC ∠+∠=︒．所以11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为11AC//A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111AC B G ⊥．因为1111AC C F C =，11A C ⊂平面11AC F ，1C F ⊂平面11AC F ．所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F ．【点睛】本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法．19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ【分析】（Ⅰ）根据PA ⊥底面ABCD ，PA ⊥CD ，再由底面ABCD 为正方形，利用线面垂直的判定定理证得CD PAD ⊥面即可.（Ⅱ）以点A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设2AB AP ==，求得向量AE 的坐标，和平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =，由cos ,AE nAE n AE n ⋅=⋅求解. （Ⅲ）利用空间向量法，由AE n d n ⋅=求解.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=所以CD PAD ⊥面.因为AE PAD ⊂面，所以CD AE ⊥.（Ⅱ）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P ，由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =，向量(2,2,0)BD =-，(2,0,2)PB =-.设平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令y=1，可得n =（1，1，1），所以 6cos ,AE nAE n AE n ⋅==⋅ 所以直线AE 与平面PBD 6. （Ⅲ）由（Ⅱ）知：(0,1,1)AE =，平面PBD 的一个法向量n =（1，1，1），所以点A 到平面PBD 的距离 2333AE n d n ⋅===. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．20．（1）证明见解析；（2）3 3.【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系证明EF⊥平面BCD；（2）首先作辅助线，取AC的中点M，连结EM，首先证明ECM∠是直线EC与平面ABC所成的角，再利用等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）F是斜边BD的中点，∴FC=12BD=1∵E，F是AD、BD的中点，∴EF=12AB=1，又∵EC=2∵EF2+FC2=EC2∴EF⊥FC又∵AB⊥BD，EF∥AB∵EF⊥BD，又BD∩FC=F∴EF⊥平面BCD∴平面EFC⊥平面BCD(2）取AC的中点M，连结EM∵AB=BD=2且∠ABD=90°，∴AD=22∵2=12AD，∴ΔACD为直角三角形且∠ACD=90°，∴DC⊥AC，又DC⊥BC，∴AC∩BC=C，又∵AC，BC⊂面ABC，∴DC⊥面ABC，又E，M分别为AC，AD中点，∴EM∥CD∴EM ⊥平面ABC ，∴∠ECM 为EC 与平面ABC 所成的夹角，∠ECM=30°，∴ME=12CE=22 ∴DC=2，则S ΔFCD =11122222⨯⨯⨯= ∵V E-FCD =13EF×S ΔFCD =1111236⨯⨯=，在RtΔECD 中，DC=EC=ED=2， ∴S ΔECD =133222⨯⨯⨯=，设点F 到平面CDE 的距离为h ， ∵V E-FCD =V F-ECD ，11363h =⨯，解得h=3 即点F 到平面CDE 的距离为3. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直和点到平面的距离，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.21．（1）证明见解析；（2）10. 【分析】（1）连接1A B 交1AB 于O ，连接MO ，证明1MO AB ⊥，1MO A B ⊥，然后得到MO ⊥平面11ABB A 即可；（2）首先证明1A O ⊥平面1AB M ，然后可得1A MO ∠即为1A M 与平面1AB M 所成的角，然后利用111sin A O MO MA A ∠=算出答案即可. 【详解】（1）证明：连接1A B 交1AB 于O ，连接MO ，易得O 为1A B ，1AB 的中点∵1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC∴1CC AC ⊥又M 为1CC 中点，16AC CC ==∴AM ==同理可得1B M =∴1MO AB ⊥连接MB，同理可得1A M BM ==1MO A B ∴⊥又11AB A B O ⋂=，1AB ，1A B ⊂平面11ABB A∴MO ⊥平面11ABB A又MO ⊂平面1AB M∴平面1AB M ⊥平面11ABB A（2）解：易得11A O AB ⊥又由（1）平面1AB M ⊥平面1ABB A平面1AB M 平面111ABB A AB =，1AO ⊂平面11ABB A ∴1A O ⊥平面1AB M∴1A MO ∠即为1A M 与平面1AB M 所成的角在11Rt AA B △中，112AB AO ===在1Rt AOM中，111sin 5AO MO A A M ∠=== 故1A M 与平面1AB M【点睛】方法点睛：几何法求线面角的步骤：（1）作：作出辅助线，构成三角形；（2）证：利用线面角的定义证明作出的角即为所求角；（3）求：在直角三角形中求解即可.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .（2）取PC 的中点M ，连接DM ，根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ，由此证得DM PA ⊥，结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD .（3）利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积.【详解】（1）连BD ，则H 为BD 中点，因为G 为BP 中点，故GH //PD ，由于GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .（2）取PC 中点M ，连DM ，则DM PC ⊥，因为PCD ⊥平面PAD ，则DM ⊥平面PAC ，所以DM PA ⊥，又PA CD ⊥，DM CD D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PD ⊥，所以224PA AD PD =-=，21343333D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.【点睛】要证明线面平行，则先证线线平行.要证明线面垂直，可通过面面、线线垂直相互转化来证明.23．（1）证明见解析；（2）45；（326. 【分析】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ，根据面面垂直的性质可知PE ⊥平面ABCD ，从而AM PE ⊥，由勾股定理可求得AM EM ⊥，又PE EM E =，满足线面垂直的判定定理则AM ⊥平面PEM ，根据线面垂直的性质可知AM PM ⊥；（2）由（Ⅰ）可知EM AM ⊥，PM AM ⊥，根据二面角平面角的定义可知PME ∠是二面角P AM D --的平面角，然后在三角形PME 中求出此角即可；（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则根据等体积得P ADM D PAM V V --=，建立关于d 的等式解之即可得到点D 到平面PAM 的距离．【详解】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ．PCD 为正三角形，PE CD ∴⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥平面ABCDAM PE ∴⊥四边形ABCD 是矩形ADE ∴、ECM 、ABM 均为直角三角形由勾股定理可求得：3EM =，6AM =3AE =222EM AM AE ∴+=AM EM ∴⊥又PE EM E AM =∴⊥平面PEMAM PM ∴⊥（2）由（1）可知EM AM ⊥，PM AM ⊥PME ∴∠是二面角P AM D --的平面角3tan 13PE PME EM ∴∠=== 45PME ∴∠=︒∴二面角P AM D --为45︒（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则P ADM D PAM V V --=，∴11··33ADM PAM S PE S d = 而1·222ADM S AD CD == 在Rt PEM 中，由勾股定理可求得6PM =1·32PAM S AM PM ∴==，所以：11223333d ⨯=⨯⨯ 26d ∴即点D 到平面PAM 26. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找→作→证→指→求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离.24．（1）证明见解析；（2）334．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得证．（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 32OE =，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 32OE =， ∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，如图（2），由334OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离33．【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴， 1A D ∴⊂平面11AAB B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =，13EH AA ==，tan 3tan 603HFE ∴∠===︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 26．()232cm，()248cm 【分析】根据直角三角形边角关系得出PE ，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.【详解】如图，2,30OE cm OPE ︒=∠=，∴在Rt POE 中，4sin 30OE PE ︒==． PB PC =，E 为BC 的中点，()21,8cm 2PBC PE BC S BC PE ∴⊥=⋅⋅=侧棱长都相等，()2432cm PBC S S∴==侧，()2321648cm S =+=全【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测(答案解析)(2)

一、选择题1．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（）A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥ 2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（）A ．MN //ABB ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC 3．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（） A ．234a B ．232a C ．233a D ．233a 4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17]B ．[2,3]C ．6,22]D ．[17,5] 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（）A ．10B ．1025+C ．1625+D ．1325+ 6．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．2,3]B ．522⎤⎥⎣C ．32542⎡⎢⎣⎦D ．51,2⎡⎢⎣⎦ 8．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β9．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1ABE 11．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（） A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥.12．边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得ACD 垂直于底面ABC ，则点C 到平面ABD 的距离为（）A 26B 23C ．23D 6 13．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32 ）A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π二、解答题15．在如图所示的几何体中，侧面CDEF 为正方形，底面ABCD 中，//AB CD ，222AB BC DC ===，30BAC ∠=，AC FB ⊥.（1）求证：AC ⊥平面FBC ；（2）线段AC 上是否存在点M ，使//EA 平面FDM ？证明你的结论.16．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.（1）求证:11B F AC ⊥ ；（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.19．如图，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别为棱B 1C 1、BB 1中点，G 在A 1D 上且DG ＝3GA 1，过E 、F 、G 三点的平面α截正方体.（1）作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹）；（2）求A 1C 1与平面α所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分） 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，PAD △为正三角形，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//DF 平面PEB ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PEB ．21．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB 2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；22．如图1，矩形ABCD ，1,2,AB BC ==点E 为AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，//PB 平面CEM .（1）求证：2MP DM =；（2）求二面角B PE C --的大小；（3）若在棱,PB PE 分别取中点,F G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由. 23．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，,2,2PA AD AB AD ===.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B MNC -的高.24．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB CE ．（1）证明：AD CE ⊥；（2）若在梯形ABCD 中，π3ADC ∠=，折起后π3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积． 25．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】n α⊥必有n 平行α的垂线，或者n 垂直α的平行平面，依次判定选项即可.【详解】解：αβ⊥，m β⊂，不能说明n 与α的关系，A 错误；//αβ，n β⊥能够推出n α⊥，正确；αβ⊥，//n β可以得到n 与平面α平行、相交，所以不正确.//m α，n m ⊥则n 与平面α可能平行，所以不正确.故选：B .【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题.2．D解析：D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.【详解】M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直；由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.3．A解析：A【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.【详解】23⨯=，且棱锥高66a ，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为22632632a a a ，斜高为2221222a a a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A. 【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.4．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，1226C O ==故线段1C P 长度的取值范围是6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．5．B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯+⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.6．D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．7．C解析：C【分析】分别取111,BB B C 的中点,N M ,可得平面1//A MN 平面AEF ，从而点P 的轨迹为线段MN ，然后计算出线段1A P 的范围.【详解】分别取111,BB B C 的中点,N M ,则1//A M AE ,1A M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，则1//A M 平面AEF . //EF NM ,MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则//MN 平面AEF又1MN A M M ⋂=,所以平面1//A MN 平面AEF又平面1A MN ⋂面11BCC B MN =所以点P 的轨迹为线段MN当P 为线段MN 的端点M （或N ）时，1A P 最长，此时112211152P M A B A BB A ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭当P 为线段MN 的中点时，1A P 最短，此时221113224P A N MN A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 所以325,4AP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：C ．【点睛】本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.8．B解析：B【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．【详解】若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错；若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．9．A解析：A【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可.【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为23AB AD ==，所以四边形ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又12CC =，()()2223236CO +==，所以123tan 36COC ∠==，130COC ∠=.故选：A本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.10．C解析：C【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题11．D解析：D【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解.【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误；对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误；对于D .由面面垂直的性质定理可得正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题. 12．A解析：A取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，由等腰三角形的性质得出DO AC ⊥，可求出DO 和BO 的长，再由平面ACD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABC ，进而得到DO OB ⊥，利用勾股定理即可求出BD ，最后利用等体积法得出C ABD D ABC V V --=，进而求出点C 到平面ABD 的距离.【详解】解：取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，则DO AC ⊥，BO AC ⊥，由于四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD CD AB BC ∴====，则222222AC =+=，()22222DO BO ==-=，由题知，平面ACD ⊥平面ABC ，且交线为AC ，而DO ⊂平面ACD ，则DO ⊥平面ABC ，又BO ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥，∴在Rt BOD 中，()()22222BD =+=，∴ABD △是等边三角形，则122sin 6032ABD S =⨯⨯⨯=△，则在Rt ABC 中，12222ABC S =⨯⨯=，设点C 到平面ABD 的距离为d ，则C ABD D ABC V V --=，即1133ABD ABC S d S DO ⋅=⋅△△，即：1132233d ⨯=⨯⨯，解得：263d =，即点C 到平面ABD 的距离为26. 故选：A.本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.13．C解析：C【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．14．B解析：B【分析】如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．【详解】如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O .∵四棱锥P ABCD -中，32AB =∴3AO '=.∵4PO '=，∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+，∴2223(4)R R =+-，解得258R =，∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.二、解答题15．（1）证明见解析；（2）M 为AC 的中点，证明见解析.【分析】（1）本题首先可通过正弦定理得出90ACB ∠=以及AC BC ⊥，然后根据AC FB ⊥以及线面垂直的判定即可证得结果；（2）本题首先可取AC 的中点M ，连接CE 、MN ，然后通过三角形中位线的性质得出//EA MN ，最后通过线面平行的判定即可得出结果.【详解】（1）因为30BAC ∠=，2AB =，1BC =，所以sin sin AB BC ACB BAC =∠∠，即211sin 2ACB ，解得sin 1ACB ∠=，90ACB ∠=，AC BC ⊥，因为AC FB ⊥，BC FB B ⋂=，所以AC ⊥平面FBC .（2）当M 为AC 的中点时，//EA 平面FDM .证明如下：如图，取AC 的中点M ，连接CE ，与DF 交于点N ，连接MN ，因为四边形CDEF 为正方形，所以N 为CE 的中点，因为M是AC的中点，所以//EA MN，因为MN⊆平面FDM，EA⊄平面FDM，所以//EA平面FDM.【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直与线面平行的判定，若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直，若平面外一条直线平行平面内一条直线，则线面平行，考查数形结合思想，是中档题.16．（1）证明见解析；（2）43 3.【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直；（2）取EF中点P，BC中点K，找到二面角，再在三角形中计算就可以了.【详解】（1）证明：1AA⊥平面11,ABC B F AA∴⊥，又111A B C为正三角形，F为11A C中点，111B F AC∴⊥得1B F⊥平面11ACC A.又因为1AC⊂平面11ACC A，所以11B F AC⊥；（2）设所有棱长都为2，取EF中点P，BC中点K，连,,PK AK PA. 易知,PK BC AK BC⊥⊥，则PKA∠为平面EFCB的与底面ABC所成二面角的平面角，在PKA中，取AK中点O，连PO，有PO⊥平面ABC，则PO AK⊥，且32,2PO OK==，43tan33POPKAOK∠===,【点睛】第二问的关键点是由线面垂直找到线线垂直，求出二面角，然后在三角形中计算就可以了.17．（1）证明见解析；（2）823π. 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC =，在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)33V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.18．（1）证明见解析；（2）217.【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明.（2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin d A C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C .（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111112A A B C C AA B V V --=，∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=，∵11AA B 中，11122A B AB ==，12AA =， ∴117AA B S =∴1112237323d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2217d =，设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为：1121sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.19．（1）截面见解析，面积为22；（2）12. 【分析】（1）先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系，再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置，从而截面的形状可确定以及截面面积可求；（2）记11ME AC H =，通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角，从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.【详解】（1）如图截面为矩形EFNM ：因为//EF 平面11ADD A ，且平面EFNM平面11ADD A MN =，所以//EF MN ，又因为111111////,==22EF BC AD EF BC AD ，且3DG GA =，所以可知111//,2MN AD MN AD =，所以//,MN EF MN EF =，所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点，所以四边形EFNM 为矩形，且112,2EF ME =+==，所以截面EFNM 的面积为2；（2）记11MEAC H =，连接GH ，如图所示：因为//NF AB ，AB ⊥平面11AA D D ，所以NF ⊥平面11AA D D ，又1AG ⊂平面11AA D D ，所以1NF A G ⊥，由（1）知1//MN AD 且11A D AD ⊥，所以1MN A D ⊥，所以1MN AG ⊥，且MN NF N =，1A G ⊥平面EFNM ，所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠，因为111222442AG A D ===，111122A H AC ==1111sin 2A G A HG A H ∠==，所以11A C 与平面α所成角的正弦值为12. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果. 20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）取PB 中点G ，可证得四边形DEGF 是平行四边形，进而可得//DF EG ，最后可证//DF 平面PEB ；（Ⅱ）由条件可得PE AD ⊥，BE AD ⊥，进而由线面垂直的判定定理得出结论. 【详解】（Ⅰ）取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，∴//FG BC ，且12FG BC =， ∵E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =，∴//FG DE ，且FG DE =， ∴四边形DEGF 是平行四边形，∴//DF EG ，又∵DF ⊄平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，∴//DF 平面PEB ；（Ⅱ）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥，∵四边形ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，∵PE BE E ⋂=，∴AD ⊥平面PEB ，∵//AD BC ，∴BC ⊥平面PEB ．【点睛】方法点睛：本题考查线面平行、线面垂直的判定，解题关键是熟记线面平行和线面垂直的判定定理，以及定理成立时的条件，考查空间想象能力，属于常考题. 21．（1）证明见解析；（2）62；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ； (2）求出ABCS，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1. 【详解】（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C ∴AB ⊥BC 1在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2， ∴BC ⊥BC 1又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，∴C 1B ⊥平面ABC . （2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =12×2×1=22由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B =3，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =22×3=6. （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ， ∴1EB ⊥平面ABE . 又∵BE ⊂平面ABE ， ∴BE ⊥1EB .不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+ 在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()222225714x x x x-+++-=，解得x =1或x =2(舍去). 故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【点睛】关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.22．（1）证明见解析；（2）90；（3）M ∈平面CFG ，理由见解析. 【分析】（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，由线面平行的性质可得//PB MO ，可得MD OD MP OB =，由//ED BC 可得12OD ED OB BC ==，即可证明；（2）取BE 中点Q ，连接PQ ，通过面面垂直的性质可得PQ ⊥平面BCDE ，进而可得PQ EC ⊥，再由EC BE ⊥可得EC ⊥平面PBE ，即平面PBE ⊥平面PEC ，即得出结果；（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，证明//FG CN ，可得,,,F C N G 确定平面FCNG ，判断M 是PEN △的重心，可得M ∈平面CFG .【详解】（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，//PB 平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面CEM MO =，//PB MO ∴，MD ODMP OB∴=，//ED BC ，12OD ED OB BC ∴==， 12MD MP ∴=，即2MP DM =；（2）取BE 中点Q ，连接PQ ，PB PE =，PQ BE ∴⊥，又平面PBE ⊥平面BCDE ，PQ ∴⊥平面BCDE ，EC ⊂平面BCDE ，PQ EC ∴⊥，2BE EC ==，2BC =，满足222BE EC BC +=，EC BE ∴⊥，PQ BE Q ⋂=，EC ∴⊥平面PBE ，EC ⊂平面PEC ，∴平面PBE ⊥平面PEC ，∴二面角B PE C --的大小为90；（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，,F G 分别是,PB PE 的中点，//FG BE ∴，2BC ED =，BC EN ∴=，//BC EN ， ∴四边形BCNE 是平行四边形，//BE CN ∴， //FG CN ∴，则,,,F C N G 确定平面FCNG ，PEN 中，PD 是EN 边中线，且:2:1PM MD =， M ∴是PEN △的重心，又GN 为PE 边的中线，则M 在GN 上， ∴M ∈平面CFG . 【点睛】关键点睛：（1）本问考查线段比例关系的证明，解题的关键是由平行得出比例关系，利用等量替换求解；（2）本问考查二面角的求解，解题的关键是证明平面PBE ⊥平面PEC ，从而得出二面角为90；（3）本问考查平面的性质，解题的关键是作出恰当的辅助线，延长ED 到N ，使ED DN =，通过//FG CN 得出,,,F C N G 确定平面FCNG ，再通过M 是PEN △的重心得出M 在GN 上. 23．（1）证明见解析；（2）22. 【详解】（1）取PD 的中点G ，连接NG ，AG ，如图所示：因为G ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以//GN CD ，1=2GN CD . 又因为M 为AB 的中点，所以//AM CD ，1=2AM CD . 所以//AM GN ，=AM GN ，四边形AMNG 为平行四边形，所以//AG MN . 又因为22213PM PA AM =+=+=22123MC MB BC =+=+=所以PM MC =，则MN PC ⊥.又因为AD PA =，G 为PD 中点，所以AG PD ⊥. 又因为//AG MN ，所以MN PD ⊥.所以MN PD MN PCMN PC PD P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面PCD . 又MN ⊂平面MPC ，所以平面MPC ⊥平面PCD . （2）设点B 到平面MNC 的距离为h ，因为B MNC N MBC V V --=，所以111332MNC MBC S h S PA ⋅=⋅△△. 因为1222MBC S BC MB =⋅⋅=△，1122122MN AG PD ===+=，22312NC MC MN =-=-=，所以1222MNC S MN NC =⋅⋅=△. 所以1212232322h ⨯⨯=⨯⨯，解得22h =. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化B MNC N MBC V V --=为解决本题的关键. 24．（1）证明见解析；（2）3V =. 【分析】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）求出四棱锥A BCDE -的高为32，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形，所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，ABBD B =，所以EC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥．（2）因为在菱形BCDE 中，π3EDC ∠=，2BC BE ==，所以2CE =，23BD =因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以134BH BD ==．因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ，又π3ABD ∠=，所以3tan 2AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32．即三棱锥D ABC -的高为32.易得BCD的面积11122BCDSBD OC =⋅=⨯=，所以三棱锥D ABC -的体积13322A BCD D ABC V V --===. 【点睛】方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下：（1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质. （2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法. 25．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB =，AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B，()A，1,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令z =所以(1=3na a ,，121cos60cos ,24n n ︒===，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，133,,22PD ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭,30,3,2PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111330223302x y z y z ⎧-+-=⎪⎪⎪-=⎪⎩，令12z =，所以()3-3,3,2n =． 233cos ,4934n n ==++，所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可. 【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形． ∴BEAD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，又EFPD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EF BE E =，∴平面BEF 平面PAD ．∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=， ∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(包含答案解析)(2)

A．平面 B．平面与平面不垂直
C．平面与平面可能平行D．直线与直线可能不平行
11．如图为水平放置的的直观图，则原三角形的面积为（）
A．3B． C．6D．12
12．边长为2的正方形沿对角线折叠使得垂直于底面，则点到平面的距离为（）
A． B． C． D．
13．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（）
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．
【详解】
解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若、互为异面直线，，，则或相交，又因为，，则，故①正确；
对于②，若，，，则或，相交，故②错误，
对于③，若，，则；故③正确，
对于④，若，，，则或，故④错误，
, 平面，平面，则平面
又 ,所以平面平面
又平面面
所以点的轨迹为线段
当为线段的端点（或）时，最长，此时
当为线段的中点时，最短，此时
所以，
故选：C．
【点睛】
本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.
7．A
解析：A
当时，不一定成立，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：B．
【点睛】
本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.
6．C
解析：C
【分析】
分别取的中点 ,可得平面平面，从而点的轨迹为线段，然后计算出线段的范围.

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(包含答案解析)(1)

对于B，α⊥β，设α∩β＝m，则在平面α内存在不同于直线m的直线l，满足l∥m，
根据线面平行的判定定理可知，l∥β，正确；
对于C，过直线l上任意一点作直线m⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，
m既在平面α又在平面β内，所以直线l与直线m重合，即有l⊥γ，正确；
对于D，若α⊥β，l∥α，则l⊥β不一定成立，D错误．
【详解】
在正四面体中,设棱长为2,
设为底面三角形是中心，则平面 .
取边的中点，连结 ,如图.
则易证 ,又 .
所以平面 ,又平面，
所以 .
所以异面直线与所成的角为 .
又平面 .
所以直线与平面所成的角为
在中, ,
所以 .
取边的中点，连结，
则有，
所以二面角的平面角为 ,
（1）证明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）长为何值时，直线与平面所成角最大？并求此时该角的正弦值．
20．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直， .
（1）求证：平面BDE；
在中，
由余弦定理有： ,
即，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题.
3．D
解析：D
【分析】
根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.
A．若，，则 B．若，，则

(常考题)人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题1．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．//m α，//n β且//αβ，则//m nB ．m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ C ．m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥2．在下列四个正方体中，能得出直线AB 与CD 所成角为90︒的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）.A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（）A ．10B ．105+C ．1625+D ．135+6．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 8．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A ．183B ．182C ．123D ．2439．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º10．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④ 11．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（） A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥.12．下列命题中正确的个数有（）个①不共面的四点中，其中任意三点不共线②依次首位相接的四条线段必共面③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面A ．1B ．2C ．3D ．413．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若l m ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，则l m ⊥D ．若//αβ，则//l m14．在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S ﹣EFG 中必有（）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面二、解答题15．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2ABCB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 16．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.17．ABC 是正三角形，线段EA 和DC 都垂直于平面ABC .设2,EA AB a DC a ===，且F 为BE 的中点，如图.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ⊥；（3）求平面BDF 与平面ABC 所成锐二面角的大小.18．如图，在等腰三角形ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上的一点，且BD BA =，沿直线AD 将ADC 翻折至1ADC △，使点1AC BD ⊥．（1）证明：平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）求二面角1C AD B --的平面角的余弦值．19．如图，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别为棱B 1C 1、BB 1中点，G 在A 1D 上且DG ＝3GA 1，过E 、F 、G 三点的平面α截正方体.（1）作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹）；（2）求A 1C 1与平面α所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分）20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =，6BC =．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值． 21．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF .22．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离． 23．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.24．如图，在三棱锥P ABC -中，1PA PC ==，AB BC =，60APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC PB =．（1）证明：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．25．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .26．如图甲，边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的一点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点，将DAE ∆及DCF ∆折起，使A 、C 重合于G 点，构成如图乙所示的几何体．（1）求证：GD EF ⊥；（2）若EF ∥平面GMN ，求三棱锥G EFD -的体积G EFD V -．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面或相交，故A 不正确；对于B ，若“m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l ，所以B 不成立．对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l ，也可能α⊥β，故C 不正确；对于D ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题D 正确．故答案为D【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间想象能力.2．A解析：A【分析】根据线面垂直的性质以及判定定理判断A ，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.【详解】对于A ，如下图所示，连接,AE GB由于,CD BE CD BG ⊥⊥，根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面AEBG ，再由线面垂直的性质得出AB CD ⊥，则A 正确；对于B ，如下图所示，连接,BF AF因为ABF 为正三角形，//CD AF ，所以直线AB 与CD 所成角为60︒，则B 错误；对于C ，如图所示，连接HD因为在CDH △中，45HDC ∠=︒，//AB HD ，所以直线AB 与CD 所成角为45︒，则C 错误；对于D ，如下图所示，连接GB因为//AG CD ，所以直线AB 与CD 所成角为90GAB ∠≠︒，则D 错误；故选：A【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.3．D解析：D【分析】连结1A B ，可证1A B ⊥平面11A BC ，从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，故可得正确的选项.【详解】连结1A B ，1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形，AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中，1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形，可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥，平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ，可得11AB BC ⊥，即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π 故选：D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为2π. 4．B解析：B【分析】由题意知正三棱柱的高为，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为1662⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.5．B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯+⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.6．D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．7．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()2 10020220202100204010210202840m0mS=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.8．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•23π，联立解得：r，l，h22l r=-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh.【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23π，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22l r=-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝3×62=182. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 9．A解析：A【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可.【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为23AB AD ==，所以四边形ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又12CC =，()()2223236CO +==，所以123tan 36COC ∠==，130COC ∠=.故选：A【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.10．B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC = PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，得AC //平面PQMN ，则②正确；由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC AD MN DN=，同理可证BD AD PN AN=，由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.11．D解析：D【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解.【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误；对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误；对于D .由面面垂直的性质定理可得正确.故选：D本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题. 12．A解析：A【分析】假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A ，B ，C 共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④【详解】①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；③不正确，A ，B ，C 共线时，这两平面有三个公共点A ，B ，C ；④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 可能异面. 故选：A【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题13．A解析：A【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知：在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．A解析：A【分析】在正方形SG 1G 2G 3中，有S G 1⊥G 1E ，在折叠后其垂直关系不变，所以有SG ⊥EG.同理有有SG ⊥FG ，再由线面垂直的判定定理证明.【详解】在正方形SG 1G 2G 3中，因为S G 1⊥G 1E ，所以在四面体中有SG ⊥EG.又因为S G 3⊥G 3F ，所以在四面体中有SG ⊥FG ，且GEGF G =，所以 SG ⊥△EFG 所在平面.故选：A【点睛】本题主要考查折叠问题及线面垂直的判定定理，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 二、解答题15．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，CE ∴11222S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，CE 1EA 1AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.16．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形， D 为线段AC 的中点，1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A DE ，∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△ 1132231322=⨯⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++= 22212102310cos 202210ABC +-∠∠==⨯⨯1390sin ABC ∴∠= 1390392102ABC S ∴=⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得23913h =，即点C 到平面1ABC 239 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45︒.【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长ED 交AC 延长线于G ′，连BG ′，只要证明BG ′⊥平面ABE 即可得到∠ABE 为所求的平面BDE 与平面ABC 所成二面角，在等腰直角三角形ABE 中即可得到．【详解】（1）证明：如图所示，取AB 的中点G ，连接,CG FG .∵,EF FB AG GB ==，//FG EA ∴，1=2FG EA 又//DC EA ，1=2DC EA ，//FG DC ∴，=FG DC ， ∴四边形CDFG 为平行四边形，故//DF CG .∵DF ⊄平面,ABC CG ⊂平面ABC ，∴//DF 平面ABC .（2）证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴EA CG ⊥.又ABC 是正三角形，∴CG AB ⊥.∴CG ⊥平面AEB .∴CG AF ⊥.又∵//DF CG ，∴DF AF ⊥.又AE AB =，F 为BE 中点，∴AF BE ⊥.又BE DF F ⋂=，∴AF ⊥平面BDE .∴AF BD ⊥.（3）延长ED 交AC 延长线于G '，连接BG '. 由12CD AE =，//CD AE 知D 为EG '中点， ∴//FD BG '.由CG ⊥平面,//ABE FD CG ，∴BG '⊥平面ABE .∴EBA ∠为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB 中，易求45ABE ∠=︒.【点睛】熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键．18．（1）见详解；（2）2【分析】（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，先证明BD ⊥平面1AMC ，进而可得面面垂直；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AF MG AM=，连接1C H ，根据题中条件，得出1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，结合条件，即可计算出结果.【详解】（1）由题意知AM BD ⊥，又因为1AC BD ⊥，1AC AM A ⋂=，1AC ⊂平面1AMC ，AM ⊂平面1AMC ，所以BD ⊥平面1AMC ，因为BD ⊂平面ABD ，所以平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FH AD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AF MG AM=，连接1C H ，由1C F AD ⊥，FH AD ⊥，1FH C F F ⋂=，FH ⊂平面1C FH ，1C F ⊂平面1C FH ，所以AD ⊥平面1C FH ，则1AD C H ⊥，所以1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，则2AB AC ==，3BC =，23MD =－，1332DC DC==-，26AD =-，在Rt AMD 中，1122AMDSAM MD AD MG =⋅=⋅，则62MG -=，在1Rt C MD 中，()()222221133223943MC C D MD =-=---=－．设AF x =，在1Rt C FA 中，222211AC AF MC MF -=-，即()()2249431x x -=---，解得，232x =-，即232AF -＝所以12233C F =-，()62232226AF FH MG AM -=⋅=⋅=-－，因此()2221183122262C H C F FH =+=-+-=，所以11226cos 232FH FHC C H -∠===-. 即二面角1C AD B --的平面角的余弦值是23-.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 19．（1）截面见解析，面积为2；（2）12. 【分析】（1）先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系，再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置，从而截面的形状可确定以及截面面积可求；（2）记11MEAC H =，通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角，从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.【详解】（1）如图截面为矩形EFNM ：因为//EF 平面11ADD A ，且平面EFNM 平面11ADD A MN =，所以//EF MN ，又因为111111////,==22EF BC AD EF BC AD ，且3DG GA =，所以可知111//,2MN AD MN AD =，所以//,MN EF MN EF =，所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点，所以四边形EFNM 为矩形，且112,2EF ME =+==，所以截面EFNM 的面积为22；（2）记11MEAC H =，连接GH ，如图所示：因为//NF AB ，AB ⊥平面11AA D D ，所以NF ⊥平面11AA D D ，又1AG ⊂平面11AA D D ，所以1NF A G ⊥，由（1）知1//MN AD 且11A D AD ⊥，所以1MN A D ⊥，所以1MN AG ⊥，且MN NF N =，1A G ⊥平面EFNM ，所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠，因为111442AG A D ===，11112A H AC ==1111sin 2A G A HG A H ∠==，所以11A C 与平面α所成角的正弦值为12. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.20．（1）证明见解析；（2）PA =PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35. 【分析】（1）根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，求得030,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；（2）建立空间坐标系，得到()BD =-，()0,2,DP t =-，()2PC t =-，进而得到平面PBD的一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭，进而可利用向量的公式求解【详解】（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，又tan tan 3AD BCABD BAC AB AB∠==∠== ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）．又PAAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD（2）如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图，设AP t =，则()()()(),,0,2,0,0,0,B C D P t ，则()BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22226333cos ,1214448451PC n PC n PC nt t t t ⋅===++++，因为22221441445151275t t t t+++=≥，当且仅当23t =时等号成立，所以5c 33353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤，即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35．【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题 21．（133a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意23BCD S =△，231133·33D ABC A DBC DBC V V S AB a --===⨯=；（2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥， ∵3AF FC =，∴24CF a=，又12CG a =，∴CF CDCG CA =，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =，又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．22．（1）证明见解析；（22．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d .【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ， ∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=; ∴d =即点C 到平面APD 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.23．(I)证明见解析；【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF AP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形， ∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥ PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内， ∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE . （Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ， ∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥ ∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角. 由(Ⅰ)可得， 6222EP PQ EQ a PQ a ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，3cos PQ EQP EQ ∠==．∴二面角A CD E --的余弦值为33. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）． 24．（1）证明见解析，（23【分析】（1）取AC 的中点O ，连接,PO BO ，可得,PO AC BO AC ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POB ，从而可证得AC PB ⊥；（2）求解三角形证明PO OB ⊥，可得PO ⊥平面ABC ，利用等体积法求得结果【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接,PO BO ，因为1PA PC ==，AB BC =，所以,PO AC BO AC ⊥⊥，因为PO OB O =，所以AC ⊥平面POB ，因为PB 在平面POB 内，所以AC PB ⊥，（2）解：在PAC △中，因为1PA PC ==，60APC ∠=︒，所以3PO =，1AC =，在ABC 中，因为AB BC =，90ABC ∠=︒，所以12BO =，在PBO 中，由于32PO =，12BO =，1AC PB ==，所以222PO BO PB +=，所以PO OB ⊥，因为 ,PO AC BO AC O ⊥=，所以PO ⊥平面ABC ，所以111331322A PBC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=【点睛】此题的两个等腰三角形有相同的底，所以利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得线线垂直，再利用了线面垂直的判定和性质，由于三棱锥A PBC -的体积不易求解，所以利用等体积法求三棱锥A PBC -的体积，此题考查数学转化思想 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB . （2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， ∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=， ∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=， PB ∴⊥平面EFD . 【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题. 26．（1）证明见解析；（2）13；【分析】（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E ，F 两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，平面DGH ，由线面垂直的性质知，GD EF ⊥；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中,所以，平面GEF ，显然，三棱锥的高解决了，故有G EFD V -=D GEF V -=13【详解】证明：取EF 的中点为H,连接DH,GH ，在中，GE=GF ，H 是中点，,在中，DE=DF ，H 是中点，故,,所以平面DGH ，即GD EF ⊥．（2）EF ∥平面GMN 知，F 是BC 边上的中点，故有GE GF ⊥，在直角三角形GEF 中，GE=GF=1，故EF=，又因为,所以，平面GEF ，故此时三棱锥的高为DG ，值是2，G EFD V -=D GEF V -=13。

(常考题)人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ︒∠====,,，则该四面体的外接球的表面积为（）A ．23πB ．43πC ．4πD ．5π2．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶1D ．4∶33．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（）A ．9B ．7C ．92D ．724．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点，下列命题：①1AP B C ⊥；②BP 与1CD 所成的角是60°；③1P AD C V -为定值；④1//B P 平面1D AC ；⑤二面角PAB C 的平面角为45°．其中正确命题的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）. A ．393cm B ．354cm C ．327cm D ．3183cm 6．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 7．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（） A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（） A ．183B ．182C ．123D ．243 10．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄a ，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件 11．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（） A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥.12．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线； ②BM 与AN 平行； ③AF 与BM 成60角； ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④13．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥；②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β；③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ；④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥.其中所有正确的命题是（）A ．①④B ．②④C ．①D ．④14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（）A ．9cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm二、解答题15．如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，BE AC ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．（1）求证：BF AC ⊥；（2）若2AB BC ==，60CBD ∠=︒，求三棱锥B DEF -的体积．16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．（1）求证：1//AD 平面EMN ；（2）求异面直线1AD 与BE 所成角的余弦值．17．如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是棱AB 的中点，且AC BC VC ==.（1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）若22AC =，且棱AB 上有一点E ，使得线VD 与平面VCE 所成角的正弦值为1515，试确定点E 的位置，并求三棱锥C-VDE 的体积. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由． 19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）若点E 为11B C 的中点，求证：平面1//A EB 平面1ADC .20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，22BD =（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PCD 与平面CDB 所成夹角余弦值的大小；（3）求点C 到平面PBD 的距离21．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.23．如图，四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ､BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==.（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）若G 为AO 上的一点，且2AG GO =，求证：//AC 平面GDE .24．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED 面积的最小值是6时，求此时点E 到底面ABCD 的距离．25．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 26．如图甲，边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的一点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点，将DAE ∆及DCF ∆折起，使A 、C 重合于G 点，构成如图乙所示的几何体．（1）求证：GD EF ⊥；（2）若EF ∥平面GMN ，求三棱锥G EFD -的体积G EFD V -．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,，所以2SC =，3SB =，1BC =，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点，则外接球半径112R SC ==，故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.2．C解析：C【分析】结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果【详解】在Rt ABB '∆中，2cos 42AB AB AB π'=⋅=在Rt ABA '∆中，1sin62AA AB AB π'=⋅=,在Rt AA B ''∆中，12A B AB ''==, 所以:2:1AB A B ''=故选C【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础3．C解析：C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED = 在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=.因为22108336x x +≥=，当且仅当x =2y =时等号成立，所以92SED S ∆≥=. 故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4．C解析：C【详解】①在正方体中，1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥=，所以1B C ⊥平面11,ABC D AP ⊂平面11ABC D ，从而1AP B C ⊥正确；②由于11//CD A B ,并且11,BC A B 的夹角是60°，故1BP CD 与所成的角是60°正确；③虽然点P 变化，但P 到1AD 的距离始终不变，故1P AD C V -为定值正确；④若1//B P 平面1D AC ，而1//BC 平面1D AC ，1111,,B P BC P B P BC =⊂平面11BB C C ，所以平面1//D AC 平面11BB C C ，这与平面1D AC 与平面11BB C C 相交矛盾，所以不正确；⑤P 点变化，但二面角PAB C 都是面11ABC D 与面ABCD 所成的角, 故二面角PAB C 的平面角为45°正确；故选：C. 5．B解析：B【分析】由题意知正三棱柱的高为，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,13⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为1662⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.6．D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒. 故选：D ．【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．7．B解析：B 【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.8．D解析：D 【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确；根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．【详解】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ，根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知， m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．9．B解析：B 【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .可得πr 2+πrl ＝36π，2πr ＝l •23π，联立解得：r ，l ，h 22l r =-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh . 【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l . 则πr 2+πrl ＝36π，化为：r 2+rl ＝36，2πr ＝l •23π，可得l ＝3r . 解得：r ＝3，l ＝9，h 22l r =-=2. 该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝2=2. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10．D解析：D 【分析】根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“//m n ”则“//m α”成立，即充分性成立，//m α，m ∴不一定平行n ，因为m 还有可能和n 异面. 即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件，故选：D ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．11．D解析：D 【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解. 【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误；对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误；对于D .由面面垂直的性质定理可得正确. 故选：D 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，对选项逐一判断，即得答案. 【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，如图所示可得：AF 与CN 是异面直线，故①正确；连接AN ，则BM 与AN 平行，故②正确；//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角，NAF 为等边三角形，60NAF ∴∠=，故③正确；BN 与DE 是异面直线，故④错误. 故选：A . 【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.13．A【分析】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论．【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确．故选：A 【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．14．A解析：A 【分析】计算得到12:1:4r r =，根据相似得到3134l =+，计算得到答案. 【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =. 设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A . 【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、解答题15．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）易证得CD ⊥平面ABD ，由线面垂直性质可得CD BF ⊥，利用线面垂直判定定理可证得BF ⊥平面ACD ，由线面垂直性质证得结论；（2）利用勾股定理可求得,AD BD 长，在ABD △中，利用面积桥可求得BF ，进而得到BDFS；由等腰三角形三线合一可知E 为AC 中点，由此确定E 到平面ABD 的距离；利用体积桥和三棱锥体积公式可求得结果.（1）AB 垂直于圆O 所在平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，BC 为圆O 的直径，CD BD ∴⊥，又,BD AB ⊂平面ABD ，AB BD B =，CD平面ABD ，BF ⊂平面ABD ，CD BF ∴⊥，又BF AD ⊥，AD CD D =，,AD CD ⊂平面ACD ，BF ∴⊥平面ACD ， AC ⊂平面ACD ，BF AC ∴⊥.（2）2BC =，60CBD ∠=︒，CD BD ⊥，1BD ∴=，由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD 知：AB BD ⊥，415AD ∴=+=，115122ABDSAB BD AD BF BF ∴=⋅=⋅==，解得：25BF =， 2245155DF BD BF ∴=-=-=，115251225BDFS DF BF ∴=⋅=⨯⨯=， AB BC =，BE AC ⊥，E ∴为AC 中点，由（1）知：CD ⊥平面ABD ，E ∴到平面ABD 的距离为132CD =， 1333B DEF E BDF BDF V V S--∴==⨯=. 【点睛】方法点睛：立体几何求解三棱锥体积的问题常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题. 16．（1）证明见解析（2）88585【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果. 【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅1755+-=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．（1）证明见解析；（2）点E 位于线段AD 的中点或线段BD的中点；3. 【分析】（1）易得CD AB ⊥，再根据VC ⊥底面ABC ，得到 VC AB ⊥，进而AB ⊥平面VCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，DF ⊥平面VCE ，则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角，在Rt VFD中，由sin 15DF DVF VD ∠==，求得DF ，然后在Rt DCE 中，求出1DE =，然后由三棱锥C-VDE 的体积为13CDE V S VC =⋅⋅求解.【详解】（1）因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥. 又VC ⊥底面ABC ，AB 平面ABC ，所以VC AB ⊥，而VC CD C ⋂=，所以AB ⊥平面VCD . 又AB平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE .，连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.在Rt VFD 中，1515DF VD =. 又因为3VD =25DF =. 在Rt DCE 中，1DE =.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点，三棱锥C-VDE 的体积为1112221223323CDE S VC ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．理由见解析. 【分析】（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由侧棱垂直于底面，可得1CC ⊥平面ABC ，则1CC AC ⊥，再由AC BC ⊥，结合线面垂直的判定可得AC ⊥平面11BCC B ．从而得到1AC C F ⊥；（Ⅱ）取11A C 的中点H ，连结EH ，FH ．可得//EH BF ，且EH BF =．则四边形BEHF 为平行四边形，则//BE FH ．再由线面平行的判定可得//BE 平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接EG ，1GB ．首先证明△11B C G ≅△1C CF ．可得11190C CF B GC ∠+∠=︒，则11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，得到11A C ⊥平面11BB C C ．即111AC B G ⊥．由线面垂直的判定可得1B G ⊥平面11AC F ．进一步得到平面1B EG ⊥平面11AC F ．【详解】解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ．又AC ⊂平面ABC 所以1CC AC ⊥．因为AC BC ⊥，1CC BC C ⋂=，1CC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F ⊥．（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH //11B C ，且1112EH B C =，又因为BF //11B C ，且1112BF B C =，所以EH //BF ，且EH BF =．所四边形BEHF 为平行四边形．所以BE //FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH ⊂平面11AC F ，所以BE //平面11AC F（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中，因为F 为BC 中点，所以△11B C G ≌△1C CF ．所以11190C CF B GC ∠+∠=︒．所以11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为11AC//A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111AC B G ⊥．因为1111AC C F C =，11A C ⊂平面11AC F ，1C F ⊂平面11AC F ．所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F ．【点睛】本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法． 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由正三棱柱，CC 1⊥平面ABC ，得AD ⊥CC 1又已知AD ⊥C 1D ，利用线面垂直的判定定理得到结论．（2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，推导出OD //A 1B ，由点E 是B 1C 1的中点，可得BD //EC 1，且BD =EC 1，即BE //DC 1，由BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ，即可证明平面A 1EB //平面ADC 1．【详解】（1）在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊆平面ABC ，∴AD ⊥CC 1．又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1．（2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 在棱BC 上，AD ⊥C 1D ，且AD ⊂平面C 1AD ，∴平面C 1AD ⊥平面B 1BCC 1，∴D 是BC 中点，O 是A 1C 中点，∴OD //A 1B ， ∵点E 是B 1C 1的中点，D 是BC 中点，∴BD //EC 1，且BD =EC 1， ∴四边形BDEC 1 为平行四边形，BE //DC 1，∵BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ，且A 1B ，BE ⊂平面A 1EB ，DC 1，OD ⊂平面ADC 1，∴平面A 1EB //平面ADC 1．【点睛】方法点睛：（1）证线面垂直的常用方法：判定定理，向量法，面面垂直的性质定理；（2）证面面平行的常用方法：判定定理，向量法，面面平行的性质定理. 20．（1）证明见解析（2）4π（3）233【分析】（1）只需证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可证明BD ⊥平面PAC ；（2）通过证明,AD CD PD CD ⊥⊥可知PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，根据PA AD =可得结果；（3）利用等体积法可求得结果. 【详解】（1）在直角三角形BAD 中，22842AB BD AD -=-=，所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC .（2）因为ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，即CD PD ⊥，所以PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，在直角三角形PAD 中，因为PA AD =，所以PDA ∠4π=（3）由题意可知点C 到平面PBD 的距离等于点A 到平面PBD 的距离，设为d ，由（1）可得22PBBD PD，所以23(22)3PBD S ==△由P ABD A PBD V V --=得1133ABD PBD PA S d S ⨯⨯=⋅△△，即111222323d ⨯⨯⨯⨯=⨯所以d =，所以点C 到平面PBD 【点睛】关键点点睛：第（3）问利用等体积法求点面距是解题关键.21．（1）证明见解析；（2）13【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离.【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点， 1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ， 1A D ⊂平面1A DE ， ∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S A D --∴==⋅△1132231322=⨯⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++=22212102310cos 2210ABC +-∠∠==⨯⨯1390sin ABC ∴∠=1390392102202ABC S ∴=⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得239h =，即点C 到平面1ABC 239【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.22．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点. 连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD . 又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC 所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥，所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30. 【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）cos m n m nα=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连结OC ，根据等腰三角形的性质得出AO BD ⊥和CO BD ⊥，利用勾股定理的逆定理得出90AOC ︒∠=，则AO OC ⊥，最后根据线面垂直的判定定理，即可证明AO ⊥平面BCD ；（2）连接DE 交OC 于点H ，由BCD △为正三角形，得出H 为BCD △重心，最后通过线面平行的判定，即可证明//AC 平面GDE . 【详解】证明：（1）证明：O ，E 分别是BD ､BC 的中点，连结OC ， ∵,BO DO AB AD ==，∴AO BD ⊥， ∵,BO DO BC CD ==，∴CO BD ⊥，在AOC △中，由已知可得1,3AO CO ==，而2AC =，∴222AO CO AC +=，∴90AOC ︒∠=，即AO OC ⊥， ∵BD OC O ⋂=，,BD OC ⊂平面BCD ， ∴AO ⊥平面BCD ；（2）证明：连接DE 交OC 于点H ，∵BCD △正三角形，,O E 分别为,BD BC 的中点， ∴H 为BCD △重心，∴2CH HO =且2AG GO =， ∴AG CHGO HO=，∴//AC GH ，∴GH ⊂平面GDE ，AC ⊄平面GDE ， ∴//AC 平面GDE .【点睛】关键点点睛：本题考查等腰三角形的性质、线面垂直和线面平行的判定定理，熟练掌握三角形的重心的性质是解题的关键. 24．（1）证明见解析；（2）334．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得证．（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 32OE =，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 32OE =，∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，如图（2），由33OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离33．【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题. 25．（1）答案见解析；（233. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =，设CO x =，23OM x =-，22224316OB OM MB x x =+=-+，222224316EB EO OB x x =+=-+，当3x =，min 10EB =，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM =，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 6QF =， ∴33sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.26．（1）证明见解析；（2）13；【分析】（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E ，F 两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，平面DGH ，由线面垂直的性质知，GD EF ⊥；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中,所以，平面GEF ，显然，三棱锥的高解决了，故有G EFD V -=D GEF V -=13【详解】证明：取EF 的中点为H,连接DH,GH ，在中，GE=GF ，H 是中点，,在中，DE=DF ，H 是中点，故,,所以平面DGH ，即GD EF ⊥．（2）EF ∥平面GMN 知，F 是BC 边上的中点，故有GE GF ⊥，在直角三角形GEF 中，GE=GF=1，故EF=，又因为,所以，平面GEF ，故此时三棱锥的高为DG ，值是2，G EFD V -=D GEF V -=13。

上海民办民一中学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点，下列命题：①1AP B C ⊥；②BP 与1CD 所成的角是60°；③1P AD C V -为定值；④1//B P 平面1D AC ；⑤二面角PAB C 的平面角为45°．其中正确命题的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17]B ．[2,3]C ．6,22]D ．[17,5] 3．用长度分别是2，3，5，6，9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（） A ．2258cm B ．2414cm C ．2416cm D ．2418cm 4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A ′，使二面角A ′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A ′D ⊥BC ；②三棱锥A ′—BCD 的体积为26；③CD ⊥平面A ′BD ；④平面A ′BC ⊥平面A ′D C ．其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A ．183B ．182C ．123D ．2436．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．17] 7．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄a ，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件8．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，则经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）A ．92B ．310C ．32D 109．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（）A 34B 234C 517D 317 10．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题； ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥.②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥.③如果//αβ，m α⊂，那么//m β. ④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（）A ．23B 7C 6D 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（）A ．25B ．455C ．5D ．25 13．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若//,//m ααβ，则//m βB ．若,,m αβα⊥⊥则//m βC ．若,//,m ααβ⊥则m β⊥D ．若//,,m ααβ⊥则m β⊥14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（）A ．14B ．154C ．265D ．15二、解答题15．如图所示的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AE ＝EB ＝BC ＝2，AD ⊥平面ABE ，且CE 上的点F 满足BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ∥平面BFD ；（2）求三棱锥C -AEB 的体积.16．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2AB CB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 17．如图甲，平面四边形ABCD 中，已知45A ︒∠=，90︒∠=C ，105ADC ︒∠=，2AB BD ==，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求三棱锥A BEF -的体积.18．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =2，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求点F 到平面CDE 的距离.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求三棱锥-D PAC 的体积.21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .22．如图，AB 是圆O 的直径，CA 垂直圆O 所在的平面，D 是圆周上一点.（1）求证：平面ADC ⊥平面CDB ；（2）若1AC =，12AD =，BD AD =，求二面角A BC D --的余弦值. 23．如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H .（1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面CDH ⊥平面ABC .24．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离． 25．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.26．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线45DBP ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【详解】①在正方体中，1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥=，所以1B C ⊥平面11,ABC D AP ⊂平面11ABC D ，从而1AP B C ⊥正确；②由于11//CD A B ,并且11,BC A B 的夹角是60°，故1BP CD 与所成的角是60°正确；③虽然点P 变化，但P 到1AD 的距离始终不变，故1P AD C V -为定值正确；④若1//B P 平面1D AC ，而1//BC 平面1D AC ，1111,,B P BC P B P BC =⊂平面11BB C C ，所以平面1//D AC 平面11BB C C ，这与平面1D AC 与平面11BB C C 相交矛盾，所以不正确；⑤P 点变化，但二面角PAB C 都是面11ABC D 与面ABCD 所成的角, 故二面角PAB C 的平面角为45°正确；故选：C. 2．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，1226C O ==故线段1C P 长度的取值范围是6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．3．C解析：C【分析】设出长方体的三条棱的长度为,,a b c ，根据表面积公式()2S ab bc ac =++求解出,,a b c 在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.【详解】设长方体的三条棱的长度为,,a b c ，所以长方体表面积()()()()2222S ab bc ac a b b c a c =++≤+++++，取等号时有a b c ==，又由题意可知a b c ==不可能成立，所以考虑当,,a b c 的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长：8,8,9，用2和6连接在一起形成8，用3和5连接在一起形成8，剩余一条棱长为9，所以最大表面积为：()22888989416cm ⨯+⨯+⨯=. 故选C.【点睛】本题考查基本不等式与长方体表面积最大值的综合，难度一般.求解()0,0ab a b >>的最2a b +≤可知最大值为2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时要注意取等号的条件a b =是否成立，若取等号的条件不成立，则满足条件的,a b 相差最小时可取得最大值.4．C解析：C【分析】根据//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ︒∠=，易得 CD BD ⊥，再根据，平面A BD '⊥平面BCD ，得CD ⊥平面A BD '，可判断③的正误；由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则可求出A BDC V '-，进而可判断②的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD AB '⊥，,A B A D ''⊥ 得A B '⊥平面CDA '，④利用面面垂直的判定定理判断④的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD A D '⊥，若A D BC '⊥，则可证AD '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，进而可判断①的正误.【详解】由题意，取BD 中点H ，连接A H '，则折叠后的图形如图所示：由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则A H CD '⊥， ∴A BDC V '-＝1221326⨯⨯=，②正确， ∵CD BD ⊥，A H CD '⊥，且A H BD H '=，∴CD ⊥平面A BD '，故③正确，∵1A B '=，由几何关系可得3A C '=，2BC =，∴2222132A B A C BC ''+=+==，∴A B A C ''⊥，由CD ⊥平面A BD '，得CD A B '⊥，又A CCD C '=∴A B '⊥平面A DC '，∵A B '⊂平面A BC '，∴ 平面A BC '⊥平面A DC '，④正确， CD ⊥平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥，则可证A D '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，所以①错误.故选C .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，解题关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化关系，属于中档题.5．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .可得πr 2+πrl ＝36π，2πr ＝l •23π，联立解得：r ，l ，h 22l r =-即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh . 【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .则πr 2+πrl ＝36π，化为：r 2+rl ＝36，2πr ＝l •23π，可得l ＝3r . 解得：r ＝3，l ＝9，h 22l r =-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝2=2. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 6．A解析：A【分析】取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解.【详解】取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，由//EF MN ，1//C E CM ，1EF C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ， P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，∴P ∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点， ∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=.∴线段1C P 长度的取值范围是17,5].故选：A.【点睛】本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 7．D解析：D【分析】根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若“//m n ”则“//m α”成立，即充分性成立，//m α，m ∴不一定平行n ，因为m 还有可能和n 异面.即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件，故选：D ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．8．A解析：A【分析】画出所截得的封闭图形，根据正方体的性质可求.【详解】如图所示，经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形为四边形BDEF .,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，//EF BD ∴，且12EF BD =.正方体棱长为2，22,2BD EF ∴==.∴四边形BDEF 是一个等腰梯形.在1Rt BB F 中，22215BF =+=，根据等腰梯形的性质可得，等腰梯形的高为223252⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以梯形BDEF 的面积为()322+229222⨯=. 故选：A .【点睛】本题考查正方体的性质，属于基础题. 9．D解析：D【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ，且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317172317==⨯⨯.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.10．C解析：C【分析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确.故选：C .【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．11．B解析：B【分析】连接1,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a ，计算33AO a OC ==，163A O a =，1AC a =，13AC a =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可.【详解】如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a .连接1,,,OA OB OC AC ，则33AO a OC ==. 在1Rt A OA ∆中，22211A A A O OA =+，得16A O a =. 在1Rt AOC ∆中，222211A C A O OC a =+=，即1AC a =，则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=.在菱形11ACC A 中，得111120,3AAC AC a ∠==.又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离16A O a = 所以1AC 与底面ABC 62333aa=. 即1AC 与底面ABC 所成角的余弦值为73.故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.12．C解析：C【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由OC OF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ，又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.13．C解析：C【分析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可.【详解】对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂,故选项A 错误;对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β⊂，故选项B 错误;对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立,故选项C 正确;对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β⊂或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C【点睛】本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.14．D解析：D【分析】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出3cos 5EG BEG BE ∠==，在利用二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==，22BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，则523EG =-=，3cos 5EG BEG BE ∠==，所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-，即：31cos 2155BED ∠=⨯-=，所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.二、解答题15．（1）证明见解析；（2）43. 【分析】（1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解.【详解】（1）如图所示：因为底面ABCD 为矩形，所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ，∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ， ∴F 是EC 的中点，∴FG ∥AE .又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD .（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，∴AE ⊥平面BCE .∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 【点睛】方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．16．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，3CE ∴＝1123322S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，3CE ＝13EA ＝16AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,13h A E ∴＝＝333V Sh =＝＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.17．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）在图甲中先证AB BD ⊥，在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥，由条件可得DC BC ⊥，进而可判定DC ⊥平面AB C ；（2）利用等体积法进行转化计算即可.【详解】（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=，()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥，图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥，又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=，又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ；（2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点，所以//EF DC ，且12EF DC =，所以EF ⊥平面ABC ，由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=， 90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，cos3022BC BD ︒∴=⋅=⨯=1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=，所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==，所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 【点睛】方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面.18．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系证明EF ⊥平面BCD ；（2）首先作辅助线，取AC 的中点M ，连结EM ，首先证明ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，再利用等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）F 是斜边BD 的中点，∴FC=12BD=1∵E，F是AD、BD的中点，∴EF=12AB=1，又∵EC=2∵EF2+FC2=EC2∴EF⊥FC又∵AB⊥BD，EF∥AB∵EF⊥BD，又BD∩FC=F∴EF⊥平面BCD∴平面EFC⊥平面BCD(2）取AC的中点M，连结EM∵AB=BD=2且∠ABD=90°，∴AD=22∵2=12AD，∴ΔACD为直角三角形且∠ACD=90°，∴DC⊥AC，又DC⊥BC，∴AC∩BC=C，又∵AC，BC⊂面ABC，∴DC⊥面ABC，又E，M分别为AC，AD中点，∴EM∥CD∴EM⊥平面ABC，∴∠ECM为EC与平面ABC所成的夹角，∠ECM=30°，∴ME=12CE=22∴2SΔFCD=11122222⨯=∵V E-FCD=13EF×SΔFCD=1111236⨯⨯=，在RtΔECD中，2，∴S ΔECD =13322222⨯⨯⨯=，设点F 到平面CDE 的距离为h ， ∵V E-FCD =V F-ECD ，113632h =⨯，解得h=33即点F 到平面CDE 的距离为33. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直和点到平面的距离，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.19．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥，所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）cos m nm n α=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33. 【分析】（1）通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .（2）取PC 的中点M ，连接DM ，根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ，由此证得DM PA ⊥，结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD .（3）利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积.【详解】（1）连BD ，则H 为BD 中点，因为G 为BP 中点，故GH //PD ，由于GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .（2）取PC 中点M ，连DM ，则DM PC ⊥，因为PCD ⊥平面PAD ，则DM ⊥平面PAC ，所以DM PA ⊥，又PA CD ⊥，DM CD D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PD ⊥，所以224PA AD PD =-=，21343333D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.【点睛】要证明线面平行，则先证线线平行.要证明线面垂直，可通过面面、线线垂直相互转化来证明.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.22．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）证明,BD AC BD AD ⊥⊥后得BD ⊥平面ADC ，然后可得面面垂直；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，证得OED ∠为二面角A BC D --的平面角，在三角形中可得其余弦值．【详解】证明：（1）∵CA ⊥平面ADB ，BD ⊂平面ADB ，∴CA BD ⊥，.又D 是圆周上一点，AB 是圆O 的直径，DA DB ⊥，又CA ⊂平面CAD ，DA ⊂平面CAD ，ADCA A =，∴BD ⊥平面CAD ，而BD ⊂平面ACD ，∴平面ADC ⊥平面CDB ；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，∵CA ⊥平面ADB ，CA ⊂平面ABC ，∵平面ABC ⊥平面ADB ，∵BD AD =，∴⊥OD AB ，又∵OD ⊂平面ADB ，∵平面ABC平面ADB AB =， ∴OD ⊥平面ABC ，∵BC ⊂面ABC ，∴BC OD ⊥.又∵BC OE ⊥，OE DE E =，∴BC ⊥平面ODE ，∴BC DE ⊥，∴OED ∠为二面角A BC D --的平面角.又1AC =，12AD =，BD AD =， ∴2OD =，36OE =，3012DE =，所以cos OE OED DE ∠==105所以二面角A BC D --的余弦值为5. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角（并证明）然后在相应三角形中求角．（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角与二面角相等或互补计算．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大.（1）利用线面平行的判定定理证得//EF 平面BCD ，进而利用线面平行的性质定理证得；（2）利用线面垂直的判定定理证得CD ⊥平面ADB ，进而证得AB ⊥平面CDH ，然后由面面垂直判定定理证得结论.【详解】证明：（1）因为点E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，EF ∴为ACD △的中位线，则//EF CD ，CD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，//EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面EFNM ，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，//EF MN ∴；（2）90CDA CDB ∠=∠=︒，CD DA ∴⊥，CD DB ⊥，DA DB D ⋂=，DA ⊂平面ADB ，DB ⊂平面ADB ， CD 平面ADB ，CD AB ∴⊥又DH AB ⊥，DH CD D ⋂=，DC ⊂平面DCH ，DH ⊂平面DCH ，AB ∴⊥平面CDH ，AB ⊂平面ABC ，∴平面CDH ⊥平面ABC.【点睛】要证线线平行，常常先证线面平行，综合利用线面平行的判定与性质进行证明；要证面面垂直，常常先证线面垂直，而要证线面垂直，又常常先证另一个线面垂直.24．（1）证明见解析；（2．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d . 【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ，∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d ∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△ 122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=; ∴d =即点C 到平面APD【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.25．(I)证明见解析；【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EFAP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形，∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内，∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE .（Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， 62EP PQ EQ a PQ ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，3cos 3PQ EQP EQ ∠==． ∴二面角A CD E --3. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．26．（1）证明见解析；（243 【分析】（1）证明AC BD ⊥，PD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ；（2）求出菱形ABCD 的面积，结合PD ⊥平面ABCD ，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P ABCD -的体积.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为45DBP ∠=，PD ⊥平面ABCD因此2BD PD ==.又2AB AD ==所以菱形ABCD 的面积为sin6023S AB AD =⋅⋅=故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及求棱锥的体积，属于中档题.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测(有答案解析)

一、选择题1．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（）A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π 2．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．在正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为α，直线AB 与平面BCD 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（） A ．βαγ<< B ．αβγ<< C ．γβα<< D ．βγα<< 4．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直5．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面7．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（）A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥8．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（）A ．1694πB ．169πC ．288πD ．676π 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（）A ．1PC 与1AA 异面B ．1PC 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11ABD 相交D ．1PC 与平面11AB D 平行 10．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是( )A ．1B ．2C ．1或7D ．2或6 11．用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为,,A B C ，将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图）.若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为( )A ．333cmB ．33cmC ．333cmD ．393cm 12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（）A ．33B ．13C ．5829D ．38729 13．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若l m ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，则l m ⊥D ．若//αβ，则//l m 14．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//,//m ααβ，则//m βB ．若,,m αβα⊥⊥则//m βC ．若,//,m ααβ⊥则m β⊥D ．若//,,m ααβ⊥则m β⊥ 二、解答题15．如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF ⊥平面ABCD ，BAD ∠=α.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）若60α=︒，12AF AD DE ==，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值. 16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．17．如图所示，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，AB BD ⊥，2AB =，3PR =，22CD =.（1）证明：//CD 平面PQR ；（2）证明：平面ABD ⊥平面BCD .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ；（2）若132C M =，求二面角1A B M C --的大小． 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，22BD =（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PCD 与平面CDB 所成夹角余弦值的大小；（3）求点C 到平面PBD 的距离20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .21．如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H .（1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面CDH ⊥平面ABC .22．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，22BC =M 为BC 的中点.（1）证明：AM PM ⊥；（2）求二面角P AM D --的大小；（3）求点D 到平面APM 的距离.23．如图，在空间几何体A -BCDE 中，底面BCDE 是梯形，且CD //BE ，CD =2BE =4，∠CDE =60°，△ADE 是边长为2的等边三角形.（1）若F 为AC 的中点，求证：BF //平面ADE ；（2）若AC =4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE .24．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 25．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .26．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2．D解析：D【分析】连结1A B ，可证1A B ⊥平面11A BC ，从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，故可得正确的选项.【详解】连结1A B ，1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形，AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中，1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形，可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥，平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ，可得11AB BC ⊥，即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π 故选：D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为2π. 3．D解析：D【分析】在正四面体ABCD 中易证AB CD ⊥,即90α=，然后作出直线AB 与平面BCD 所成的角，二面角C AB D --的平面角，在将之放到三角形中求解比较其大小.【详解】在正四面体ABCD 中,设棱长为2,设O 为底面三角形BCD 是中心，则AO ⊥平面BCD .取CD 边的中点E ，连结,AE BE , 如图.则易证,AE CD BE CD ⊥⊥,又AE BE E =.所以CD ⊥平面ABE ,又AB ⊆平面ABE ，所以AB CD ⊥.所以异面直线AB 与CD 所成的角为90α=.又AO ⊥平面BCD .所以直线AB 与平面BCD 所成的角为β=ABO ∠在ABO 中,22333BO BE ==,2AB = 所以3cos 3BO ABO AB ∠==. 取边AB 的中点F ，连结,CF FD ，则有,CF AB FD AB ⊥⊥，所以二面角C AB D --的平面角为CFD γ=∠, 在CFD △中，3,2CF FD CD === 由余弦定理有：2221cos 23CF FD CD CFD CF FD +-∠==⨯⨯, 即31=90cos cos =3αβγ=>，，所以βγα<<，故选：D.【点睛】本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题.4．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例． 5．B解析：B【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题. 6．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.7．D解析：D【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确；根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．【详解】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ，根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．8．B解析：B【分析】由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】解：将直三棱柱补形为长方体1111ABEC A B E C -，则球O 是长方体1111ABEC A B E C -的外接球.所以体对角线1BC 的长为球O 的直径.因此球O 的外接圆直径为2222341213R =++=，故球O 的表面积24169R ππ=.故选：B.【点睛】本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.9．D解析：D【分析】取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.【详解】如下图所示：对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =， O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误；对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．C解析：C【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r ，则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==.∴球心到两个截面的距离分别为124,3d d ====.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431d d -=-=；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437d d +=+=.故选：C .【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11．D解析：D【分析】由等边三角形的性质，求出ABC 内切圆半径3r cm =，其面积293ABC S cm =，从而可求四面体MABC 的高max 3h =，进而可求出体积的最大值.【详解】解：设球的圆心为O ，半径为R ，ABC 内切圆圆心为1O ，由题意知ABC 三边长为6cm ，则ABC 内切圆半径1cos3033r AB cm =⋅⋅︒=，则2211OO R r =-=，所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为22393ABC SAB cm =⋅=，所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933ABC V S h cm =⋅=.故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离. 12．C解析：C【分析】取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值.【详解】取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且1112EF A B =. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且1112BD A B =，所以//EF BD 且EF BD =.所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点，所以111122C F AC ==，111122B E BC ==且CD AB ⊥. 由勾股定理得22442AB =+=2242AC BC CD AB ⋅=== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=2222115229DF BE BB B E ==+=+=.在CDF 中，由余弦定理得((22229222958cos 2922922CDF +-∠==⨯⨯. 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题. 13．A解析：A【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知：在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．C解析：C【分析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可.【详解】对于选项A: 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂,故选项A 错误;对于选项B: 若,,m αβα⊥⊥则//m β或m β⊂，故选项B 错误;对于选项C: 若,//,m ααβ⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m β⊥成立, 故选项C 正确;对于选项D: 若//,,m ααβ⊥则//m β或m β⊂或m 与β相交,故选项D 错误; 故选:C【点睛】本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.二、解答题15．（1）证明见解析；（2）10. 【分析】（1）根据四边形ABCD 是菱形得到//AB CD ，再由//AF DE ，证得平面//ABF 平面CDE 即可.（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结AM ，EM ，易知AM ⊥平面CDE ，则AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角，然后由sin AM AEM AE∠=求解. 【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又//AF DE ，ABAF A =，CD DE D =，∴平面//ABF 平面CDE ，又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面CDE .（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，如图所示：过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结AM ，EM ，而AF ⊥平面ABCD ，又AF DE ∥，∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE AM ⊥，又AM CD ⊥，CDDE D =，∴AM ⊥平面CDE ，∴AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角，∴cos303sin 3515AM AD AEM AED AE AE =︒∠==∠=. ∴直线AE 与平面CDE 15. 【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．16．（1）证明见解析；（2）823π. 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC =，在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)3V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出//PQ DC ，由此能证明//CD 平面PQR .（2）推导//RQ AB ，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =，从而RQ BD ⊥，PQ RQ ⊥，进而RQ ⊥平面BCD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）点P ，Q 分别为棱BC ，BD 的中点，//PQ DC ∴，PQ ⊂平面PQR ，CD ⊂/平面PQR ，//CD ∴平面PQR .（2）点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，//RQ AB ∴，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =， AB BD ⊥，RQ BD ∴⊥，2AB =，3PR =，22CD =.112RQ AB ∴==，122PQ CD ==， 222PQ QR PR ∴+=，PQ RQ ∴⊥，BD PQ Q ⋂=，RQ ∴⊥平面BCD ， RQ ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】思路点睛：证明线面平行、面面垂直的常见思路：（1）证明线面平行的思路：通过三角形中位线或者证明平行四边形说明线线平行或者证明面面平行；（2）证明面面垂直的思路：证明线面垂直结合面面垂直的判定定理完成证明. 18．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =（5，﹣3，4），结合平面MB 1C 的一个法向量CA =（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】（1）连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．（2）因为AC =BC =2，22AB =，所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-， 13(0,2,)2B M =--．设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ，所以2cos ,>=||||n CA n CA n CA ⋅<=．由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角，所以二面角A-MB 1-C 的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，进而以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题19．（1）证明见解析（2）4π（3）233 【分析】（1）只需证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可证明BD ⊥平面PAC ；（2）通过证明,AD CD PD CD ⊥⊥可知PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，根据PA AD =可得结果；（3）利用等体积法可求得结果.【详解】（1）在直角三角形BAD 中，22842AB BD AD -=-=，所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC .（2）因为ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，即CD PD ⊥，所以PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，在直角三角形PAD 中，因为PA AD =，所以PDA ∠4π= （3）由题意可知点C 到平面PBD 的距离等于点A 到平面PBD 的距离，设为d ，由（1）可得22PB BD PD ，所以23(22)23PBD S =⨯=△，由P ABD A PBD V V --=得1133ABD PBD PA S d S ⨯⨯=⋅△△，即11122223323d ⨯⨯⨯⨯=⨯，所以23d =，所以点C 到平面PBD 的距离等于23. 【点睛】关键点点睛：第（3）问利用等体积法求点面距是解题关键.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大.（1）利用线面平行的判定定理证得//EF 平面BCD ，进而利用线面平行的性质定理证得；（2）利用线面垂直的判定定理证得CD ⊥平面ADB ，进而证得AB ⊥平面CDH ，然后由面面垂直判定定理证得结论.【详解】证明：（1）因为点E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，EF ∴为ACD △的中位线，则//EF CD ，CD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，//EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面EFNM ，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，//EF MN ∴；（2）90CDA CDB ∠=∠=︒，CD DA ∴⊥，CD DB ⊥，DA DB D ⋂=，DA ⊂平面ADB ，DB ⊂平面ADB ， CD 平面ADB ，CD AB ∴⊥又DH AB ⊥，DH CD D ⋂=，DC ⊂平面DCH ，DH ⊂平面DCH ，AB ∴⊥平面CDH ，AB ⊂平面ABC ，∴平面CDH ⊥平面ABC.【点睛】要证线线平行，常常先证线面平行，综合利用线面平行的判定与性质进行证明；要证面面垂直，常常先证线面垂直，而要证线面垂直，又常常先证另一个线面垂直.22．（1）证明见解析；（2）45；（3）263. 【分析】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ，根据面面垂直的性质可知PE ⊥平面ABCD ，从而AM PE ⊥，由勾股定理可求得AM EM ⊥，又PE EM E =，满足线面垂直的判定定理则AM ⊥平面PEM ，根据线面垂直的性质可知AM PM ⊥；（2）由（Ⅰ）可知EM AM ⊥，PM AM ⊥，根据二面角平面角的定义可知PME ∠是二面角P AM D --的平面角，然后在三角形PME 中求出此角即可；（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则根据等体积得P ADM D PAM V V --=，建立关于d 的等式解之即可得到点D 到平面PAM 的距离．【详解】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ．PCD 为正三角形，PE CD ∴⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥平面ABCDAM PE ∴⊥四边形ABCD 是矩形ADE ∴、ECM 、ABM 均为直角三角形由勾股定理可求得：3EM =，6AM =3AE =222EM AM AE ∴+=AM EM ∴⊥又PE EM E AM =∴⊥平面PEMAM PM ∴⊥（2）由（1）可知EM AM ⊥，PMAM ⊥ PME ∴∠是二面角P AM D --的平面角 3tan 13PE PME EM ∴∠=== 45PME ∴∠=︒∴二面角P AM D --为45︒（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则P ADM D PAM V V --=，∴11··33ADM PAM S PE S d =而1·222ADM S AD CD ==，在Rt PEM 中，由勾股定理可求得6PM = 1·32PAM S AM PM ∴==，所以：11223333d ⨯⨯=⨯⨯ 26d ∴= 即点D 到平面PAM 的距离为263. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找→作→证→指→求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取DA 的中点G ，连接FG ，GE ，推导出四边形BFGE 为平行四边形，从而BF //EG ，由此能证明BF //平面ADE.（2）取DE 的中点H ，连AH ，CH ，推导出AH ⊥DE ，AH ⊥HC ，从而AH ⊥平面BCDE ，由此能证明平面ADE ⊥BCDE .【详解】（1）如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE.∵F 为AC 的中点，∴GF //DC ，且GF =12DC .又DC //BE ，CD =2BE =4， ∴EB //GF ，且EB =GF∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF //EG .∵EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，∴BF //平面ADE .（2）取DE 的中点H ，连接AH ，CH .∵△ADE 是边长为2的等边三角形，∴AH ⊥DE ，且AH.在△DHC 中，DH =1，DC =4，∠HDC =60°根据余弦定理可得HC 2=DH 2+DC 2-2DH ·DCcos 60°=12+42-2×1×4×12=13，即HC在△AHC 中，AH HC AC =4.所以AC 2=AH 2+HC 2，即AH ⊥HC .因为AH DE ⊥，AH HC ⊥，DE HC H ⋂= AH ∴⊥平面BCDE∵AH ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCDE .【点睛】方法点睛：要证线面平行，一般需要证明（1）线线平行（2）面面平行两种方法，在平行的证明中，线线平行一般需要考虑中位线、平行四边形，平行线分线段成比例的逆定理.24．（1）答案见解析；（2. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°，∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥， AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =设CO x =，OM x =，222216OB OM MB x =+=-+，222224316EB EO OB x x =+=-+，当3x =，min 10EB =，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM=，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 62QF =， ∴33sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB .（2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=，PB ∴⊥平面EFD .【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.26．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果.【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ， PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB=，3AC =．30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B ，()0,3,0A ，13,,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,3,0AB =-有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030x az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令3z =，所以()1=33n a a ,,，12231cos60cos ,243n n a ︒===+，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，133,,222PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,30,3,2PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111113302223302x y z y z ⎧-+-=⎪⎪⎪-=⎪⎩，令12z =，所以()3-3,3,2n =． 233cos ,4934n n ==++，所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(含答案解析)(2)

一、选择题1．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶1D ．4∶32．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）.A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm 3．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直4．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（）A ．aB ．2aC 2aD 2a 5．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V ，则求O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π6．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（）A ．1PC 与1AA 异面B ．1PC 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11ABD 相交 D ．1PC 与平面11AB D 平行7．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为（）A ．1243+B ．1863+C ．2483+D ．36123+ 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π10．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（）A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥.11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，则经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）A ．92B ．310C ．32D ．1012．如图为水平放置的ΔOAB 的直观图，则原三角形的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．1213．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（）A ．14B ．154C ．265D ．15二、解答题15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，A 1C ＝25，AB ＝2，∠BAC ＝60°.（1）求三棱锥A 1－ABC 的表面积；（2）证明：在线段A 1C 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求1A M MC的值.16．如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ；（2）求二面角111F AC B --的大小.17．如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF ⊥平面ABCD ，BAD ∠=α.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）若60α=︒，12AF AD DE ==，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由． 19．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =2，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求点F 到平面CDE 的距离.20．如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，16AC CC ==，M 是棱1CC 的中点.（1）求证：平面1AB M ⊥平面11ABB A ；（2）求1A M 与平面1AB M 所成角的正弦值.21．如图，在等腰三角形ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上的一点，且BD BA =，沿直线AD 将ADC 翻折至1ADC △，使点1AC BD ⊥．（1）证明：平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）求二面角1C AD B --的平面角的余弦值．22．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90//22ADE AF DE DE DA AF ∠====，，.（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求证：//AC 平面BEF ；（3）若AC 与BD 相交于点O ，求四面体BOEF 的体积.23．如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，1ED =，//EF BD .（1）设EF BD λ=，是否存在实数λ，使//BF 平面ACE ；（2）证明：平面EAC ⊥平面BDEF ；（3）当12EF BD =时，求几何体ABCDEF 的体积. 24．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线45DBP ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.25．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .（1）证明：GH ∥EF ；（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果【详解】在Rt ABB '∆中，cos42AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin62AA AB AB π'=⋅=,在Rt AA B ''∆中，12A B AB ''==, 所以:2:1AB A B ''=故选C【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 2．B解析：B【分析】由题意知正三棱柱的高为，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,则123a ⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.3．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例． 4．D解析：D【分析】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，证明平面1//A BGE 平面1B HI ，得到1//B F 面1A BE ，则F 落在线段HI 上，求出11222HI CD a == 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 1//A B EG ,则1A BEG 四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ．故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题. 5．D解析：D【分析】根据正四棱锥P ABCD -的体积公式，列出方程，求得2R =，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球O 的半径为R ，则,2OP OA R AB R ===，则正四棱锥P ABCD -的体积为21116(2)333V Sh R R ==⨯⨯=，解得2R =，所以球O 的表面积为2244216S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，901ABC SA AC AB ︒∠====,，则该四面体的外接球的表面积为（）A ．23πB ．43π C ．4π D ．5π 2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④ 3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n4．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，15AA =，则V 的最大值是（）A ．4πB ．92πC ．1256πD ．323π 5．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（）A ．9B ．7C ．92D ．726．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（） A ．30尺B ．32尺C ．34尺D ．36尺 7．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且//l α，则下列选项正确的是（）A ．若//l m ，则//m αB ．若//m α，则//l mC ．若l m ⊥，则m α⊥D ．若m α⊥，则l m ⊥ 8．如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π9．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．24C ．33D ．2310．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,EF 分别是棱11C D 和11C B 的中点，则经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）A ．92B ．310C ．32D 1012．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝8，AB ＝3，AD ＝8，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱AA 1的中点，P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点（含边界），若C 1P ∥平面CM N ，则线段C 1P 长度的取值范围是（）A ．17,5⎡⎤⎣⎦B ．[4，5]C ．[3，5]D ．3,17⎡⎤⎣⎦13．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A ．13cmB ．261cmC ．61cmD ．234cm 14．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．A 、B 、C 均有可能二、解答题15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为矩形，2AB AC ==，2BC =，D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，过BC 作平面α分别交11A B 、1A E 、11A C 于点M 、F 、N ．（1）求证：平面BCNM ⊥平面1AA ED ．（2）若Q 为线段AD 上一点，3AD AQ =，1//A Q 平面BCNM ，则当1A Q 为何值时直线BM 与平面1AA ED 所成角的正弦值为13（请说明理由）． 16．如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF ⊥平面ABCD ，BAD ∠=α.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）若60α=︒，12AF AD DE ==，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值. 17．如图，已知三棱台111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，侧面11BCC B 是等腰梯形，111224AB BB B C ===，E 为AC 的中点.（1）求证：1AA BC ⊥；（2）求直线1B E 与平面11ACC A 所成角的正弦值.18．如图BC ⊥BD ，AB ＝BD ，∠ABD ＝60°，平面BCD ⊥平面ABD ，E 、F 、G 分别为棱AC 、CD 、AD 中点.（1）证明：EF ⊥平面BCG ；（2）若BC ＝4，且二面角A —BF —D 的正切值为6，求三棱锥G —BEF 体积.（注意：本题用向量法求解不得分）19．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．20．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.21．如图，AB 是圆O 的直径，CA 垂直圆O 所在的平面，D 是圆周上一点.（1）求证：平面ADC ⊥平面CDB ；（2）若1AC =，12AD =，BD AD =，求二面角A BC D --的余弦值. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED 面积的最小值是6时，求此时点E 到底面ABCD 的距离．23．如图，在三棱锥P ABC -中，1PA PC ==，AB BC =，60APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC PB =．（1）证明：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．24．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．25．如图甲，边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的一点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点，将DAE ∆及DCF ∆折起，使A 、C 重合于G 点，构成如图乙所示的几何体．（1）求证：GD EF ⊥；（2）若EF ∥平面GMN ，求三棱锥G EFD -的体积G EFD V -．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,，所以2SC =，3SB =1BC =，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点，则外接球半径112R SC ==，故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.2．D解析：D【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.【详解】对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直，以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故③错误.对④，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故④正确.故选：D.【点睛】该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目. 3．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.4．D解析：D【分析】先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ，由等面积法得()68AC AB BC r ++=⨯，解得2r．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．【详解】解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与ABC 内切，记圆O 的半径为r ，则由等面积法得1111 (682222)ABC S AC r AB r BC r =++=⨯⨯△，所以()68AC AB BC r ++=⨯，又因为6AB =，8BC =，所以10AC =，所以2r．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r 增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以3344322333V r πππ==⋅=．故选：D ．【点评】本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.5．C解析：C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得. 【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知23AE x =+，23ED y =+.在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，212SE x =+，22933ED y x =+=+. 所以221110834522SED S SE ED x x ∆=⋅=++. 因为222210810832336x x x x+≥⋅=，当且仅当6x =，6y =时等号成立，所以19364522SED S ∆≥+=. 故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.6．C解析：C【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺，所以葛藤长2222301634AC AD AB =+=+=尺.故选：C .【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 7．D解析：D【分析】根据空间中直线与平面平行与垂直的相关性质依次判断各个选项可得结果.【详解】对于A ，若//l m ，此时//m α或m α⊂，A 错误；对于B ，若//m α，此时l 与m 可能平行、相交或异面，B 错误；对于C ，若l m ⊥，此时m 与平面α可能平行或相交，C 错误；对于D ，若m α⊥，则m 垂直于α内任意直线，必垂直于l 的平行线，则l m ⊥，D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查空间中线线关系、线面关系相关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关性质和定理掌握的熟练程度，属于基础题.8．C解析：C【分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径.∴26R ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.9．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===- 则131222MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+= 在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.10．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.11．A解析：A【分析】画出所截得的封闭图形，根据正方体的性质可求.【详解】如图所示，经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形为四边形BDEF .,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，//EF BD ∴，且12EF BD =. 正方体棱长为2，22,2BD EF ∴==∴四边形BDEF 是一个等腰梯形.在1Rt BB F 中，22215BF =+= 2232522⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以梯形BDEF 的面积为322+229222=. 故选：A .【点睛】本题考查正方体的性质，属于基础题. 12．A解析：A【分析】取A 1D 1中点E ，取DD 1中点F ，连接EF 、C 1E 、C 1F ，则平面CM N ∥平面C 1EF ，推导出P ∈线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段C 1P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段C 1P 长度取最大值PE 或PF ，由此能求出线段C 1P 长度的取值范围．【详解】解：取A 1D 1中点E ，取DD 1中点F ，连接EF 、C 1E 、C 1F ，则//,EF MN EF ⊄面MNC ，MN ⊂面MNC ，所以//EF 面MNC ，同理1//EC 面MNC ，又1EFEC E =，则平面MNC ∥平面C 1EF ，∵P 是侧面四边形内一动点（含边界），C 1P ∥平面MNC ，∴P ∈线段EF ，∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝8，AB ＝3，AD ＝8，则2211345C E C F ==+=，所以1EC F ∆为等腰三角形，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段C 1P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段C 1P 长度取最大值PE 或PF ，∴1max 115C P C E C F ===，224442EF =+=， ()222min 111252217C P C O C E EO ==-=-=．∴线段C 1P 长度的取值范围是17,5⎡⎤⎣⎦．故选：A ．【点睛】本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．13．A解析：A【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14．D解析：D【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A BC ⊥，又//AD BC ，∴选项A 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．二、解答题15．（1）证明见解析（2）122AQ =,理由见解析【分析】（1）先根据直线与平面垂直的判定定理证明BC ⊥平面1AA ED ，再根据平面与平面垂直的判定定理证明平面BCNM ⊥平面1AA ED ；（2）连DF ，可推得1A Q 与DF 平行且相等，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23，连FH ，可推得HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，利用正弦值可求得DF 的值，即可得1A Q 的值.【详解】（1）因为AB AC =，BD DC =，所以BC AD ⊥，又D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，所以1//DE BB ，因为侧面11BCC B 为矩形，所以1BC BB ⊥，所以BC DE ⊥，又AD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面1AA ED ，因为BC ⊂平面BCNM ，所以平面BCNM ⊥平面1AA ED .（2）因为2AB AC ==2BC =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，又D 为BC 的中点，112AD BC ==，因为3AD AQ =，所以13AQ =，23QD =，连接DF ，因为1//AQ 平面BCNM ，平面1A ADE 平面BCNM DF =，所以1//A Q DF ，因为1A A 与1B B 平行且相等，1B B 与DE 平行且相等，所以1A A 与DE 平行且相等，所以四边形1A ADE 为平行边形，所以1A F 与QD 平行且相等，所以四边形1A QDF 为平行四边形，所以1A Q 与DF 平行且相等，因为123A F QD ==，所以13EF =，所以2233FM BD ==，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23，则21133DH =-=，连FH ，则四边形FMBH 为平行四边形，所以FH 与BM 平行且相等，因为BD ⊥平面1AA ED ，所以HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，所以1sin 3HFD ∠=，即13DH HF =，所以31HF DH ==，所以2212219DF FH DH =-=-=122A Q DF ==. 【点睛】关键点点睛：（1）证明面面垂直的关键是找到线面垂直，利用直线与平面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1AA ED ；（2）解题关键是找到直线BM 与平面1AA ED 所成角，通过计算可知，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23，连FH ，则HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角. 16．（1）证明见解析；（2）1510. 【分析】（1）根据四边形ABCD 是菱形得到//AB CD ，再由//AF DE ，证得平面//ABF 平面CDE 即可.（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结AM ，EM ，易知AM ⊥平面CDE ，则AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角，然后由sin AM AEM AE ∠=求解. 【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又//AF DE ，ABAF A =，CD DE D =，∴平面//ABF 平面CDE ，又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面CDE .（2）当60α=︒，即60BAD ∠=︒，如图所示：过A 作AM CD ⊥，交CD 延长线于M ，连结AM ，EM ，而AF ⊥平面ABCD ，又AF DE ∥，∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE AM ⊥，又AM CD ⊥，CDDE D =，∴AM ⊥平面CDE ，∴AEM ∠为AE 与平面CDE 所成的角，∴cos303sin 3515AM AD AEM AED AE AE =︒∠==∠=. ∴直线AE 与平面CDE 15. 【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．17．（1）答案见解析；（2）65．【分析】（1）分别取BC 、11B C 的中点O 、1O ，连接11A O 、1OO 、AO ，则AO BC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面ABC ，推出AO ⊥平面11BCC B ，同理可得，11A O ⊥平面11BCC B ，故11//AO AO ，即1A 、1O 、O 、A 四点共面；易知1OO BC ⊥，而AO BC ⊥，于是有BC ⊥平面11AO OA ，故而得证；（2）由（1）知，AO ⊥平面11BCC B ，得1AO OO ⊥，于是1OO ，OA ，OB 两两垂直，故以O 为原点，OA 、OB 、1OO 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面11ABB A 的法向量n ，设直线1EB 与平面11ABB A 所成角为θ，由1sin |cos EB θ=<，|n >，即可得解．【详解】（1）证明：分别取BC 、11B C 的中点O 、1O ，连接11A O 、1OO 、AO ，ABC ∆为正三角形，AO BC ∴⊥，平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AO ⊂平面ABC ， AO ∴⊥平面11BCC B ，同理可得，11A O ⊥平面11BCC B ，11//AO AO ∴，1A ∴、1O 、O 、A 四点共面．等腰梯形11BCC B 中，O 、1O 分别为BC 、11B C 的中点，1OO BC ∴⊥，又AO BC ⊥，1AO OO O ⋂=，AO 、1OO ⊂平面11AO OA ，BC ∴⊥平面11AO OA ，1AA ⊂平面11AO OA ，1AA BC ∴⊥．（2）解：由（1）知，AO ⊥平面11BCC B ，1OO ⊂平面11BCC B ， 1AO OO ∴⊥，1OO ∴，OA ，OB 两两垂直，故以O 为原点，OA 、OB 、1OO 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(23A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0B ，13)，(0C ，2-，0)，(3E 1-，0)，∴1(3EB =-23)，(23AB =-，2，0)，1(0BB =，1-3)，设平面11ABB A 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即232030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =1x =，1z =，∴(1n =31)，设直线1EB 与平面11ABB A 所成角为θ，则1sin |cos EB θ=<，11·236|5343131·EB n n EB n>===++⨯++，故直线1EB 与平面11ABB A 所成角的正弦值为6【点睛】关键点点睛：本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 18．（1）证明见解析（243【分析】（1）由平面BCD ⊥平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，从而可证AD ⊥平面BCG ，又//EF AD ，可证.（2）过A 作AM BD ⊥于点M ，M 为BD 的中点,过M 作MN BF ⊥于点N ，连接AN, 可得AM ⊥平面BCD ,则AM BF ⊥,从而BF ⊥平面AMN .从而ANM ∠为二面角A —BF —D 的平面角，再求三角形边长进行计算得出答案. 【详解】（1）由平面BCD ⊥平面ABD ，且平面BCD 平面ABD BD = 又BC ⊥BD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥平面ABD 又AD ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥ 又AB BD =, G 为AD 中点，则BG AD ⊥ 而BG BC B ⋂=,则AD ⊥平面BCG 又E 、F 分别为棱AC 、CD 中点，则//EF AD 所以EF ⊥平面BCG ；（2）由AB ＝BD ，∠ABD ＝60°，则ABD △为正三角形.过A 作AM BD ⊥于点M ，M 为BD 的中点,过M 作MN BF ⊥于点N ，连接AN 由平面BCD ⊥平面ABD ，且平面BCD 平面ABD BD =，可得AM ⊥平面BCD . 所以AM BF ⊥,从而BF ⊥平面AMN . 所以ANM ∠为二面角A —BF —D 的平面角. 设AB a ，在RT AMN 中，311,,sin 222AM a BM a MN a DBF ===∠所以32tan 61sin 2a AMANM MN a DBF ∠===∠ 则2sin 2DBF ∠=，则4DBF π∠=所以RT BCD 为等腰直角RT ，4BD BC ==由//EF AD ，EF ⊄平面BEF ,AD ⊂平面BEF ,则//EF 平面BEF 则21111143423244323G BEF D BEF E BDF A BDF A BCD V V V V V -----=====⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥G —BEF 体积为433.【点睛】关键点睛：本题考查线面垂直的证明和根据二面角的大小解决体积问题，解答本题的关键是利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，由平面BCD ⊥平面ABD ，过A 作AM BD ⊥于点M ，可得AM ⊥平面BCD ，从而得出ANM ∠为二面角A —BF —D 的平面角，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）13．【分析】（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，2221111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可【详解】（1）证明：由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =，由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．（2）解如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ．由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =11AB =，11AC =得111cos C A B ∠=，111sin C A B ∠=，所以1C D，故111sin C D C AC AD ∠== 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13．【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题 20．（1）证明见解析；（2239【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离.【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点， 1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ， 1A D ⊂平面1A DE ， ∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S A D --∴==⋅△1132231322=⨯⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++=22212102310cos 202210ABC +-∠∠==⨯⨯1390sin ABC ∴∠=1390392102ABC S ∴=⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得23913h =，即点C 到平面1ABC 239【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力. 21．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）证明,BD AC BD AD ⊥⊥后得BD ⊥平面ADC ，然后可得面面垂直；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，证得OED ∠为二面角A BC D --的平面角，在三角形中可得其余弦值．【详解】证明：（1）∵CA ⊥平面ADB ，BD ⊂平面ADB ， ∴CA BD ⊥，.又D 是圆周上一点，AB 是圆O 的直径，DA DB ⊥，又CA ⊂平面CAD ，DA ⊂平面CAD ，AD CA A =，∴BD ⊥平面CAD ，而BD ⊂平面ACD ， ∴平面ADC ⊥平面CDB ；（2）连结OD ，作OE BC ⊥于E ，连结DE ，∵CA ⊥平面ADB ，CA ⊂平面ABC ， ∵平面ABC ⊥平面ADB ， ∵BD AD =，∴⊥OD AB ，又∵OD ⊂平面ADB ，∵平面ABC 平面ADB AB =，∴OD ⊥平面ABC ，∵BC ⊂面ABC ，∴BC OD ⊥. 又∵BC OE ⊥，OEDE E =，∴BC ⊥平面ODE ，∴BC DE ⊥， ∴OED ∠为二面角A BC D --的平面角. 又1AC =，12AD =，BD AD =， ∴2OD =，36OE =，3012DE =，所以cos OE OED DE ∠==105所以二面角A BC D --的余弦值为105. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，求二面角．求二面角的方法：（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角（并证明）然后在相应三角形中求角．（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角与二面角相等或互补计算．22．（1）证明见解析；（2）334．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得证．（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 32OE =，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 32OE =，∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，如图（2），由33OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离33．【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题. 23．（1）证明见解析，（2）3 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接,PO BO ，可得,PO AC BO AC ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POB ，从而可证得AC PB ⊥；（2）求解三角形证明PO OB ⊥，可得PO ⊥平面ABC ，利用等体积法求得结果【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接,PO BO ，因为1PA PC ==，AB BC =，所以,PO AC BO AC ⊥⊥，因为PO OB O =，所以AC ⊥平面POB ，因为PB 在平面POB 内，所以AC PB ⊥，（2）解：在PAC △中，因为1PA PC ==，60APC ∠=︒，所以3PO =，1AC =，在ABC 中，因为AB BC =，90ABC ∠=︒，所以12BO =，在PBO 中，由于3PO =，12BO =，1AC PB ==，所以222PO BO PB +=，所以PO OB ⊥，因为 ,PO AC BO AC O ⊥=，所以PO ⊥平面ABC ，所以111331322A PBC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=【点睛】此题的两个等腰三角形有相同的底，所以利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得线线垂直，再利用了线面垂直的判定和性质，由于三棱锥A PBC -的体积不易求解，所以利用等体积法求三棱锥A PBC -的体积，此题考查数学转化思想 24．（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =，13EH AA ==， 3tan 3tan 603HFE ∴∠===︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 25．（1）证明见解析；（2）13；【分析】（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E ，F 两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，平面DGH ，由线面垂直的性质知，GD EF ⊥；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中,所以，平面GEF ，显然，三棱锥的高解决了，故有G EFD V -=D GEF V -=13【详解】证明：取EF 的中点为H,连接DH,GH ，在中，GE=GF ，H 是中点，,在中，DE=DF ，H 是中点，故,,所以平面DGH ，即GD EF ⊥．（2）EF ∥平面GMN 知，F 是BC 边上的中点，故有GE GF ⊥，在直角三角形GEF 中，GE=GF=1，故EF=，又因为,所以，平面GEF ，故此时三棱锥的高为DG ，值是2，G EFD V -=D GEF V -=1326．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可. 【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴AB DE ，即ABED 是平行四边形． ∴BEAD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ， ∴BE 平面PAD ，又EFPD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EF 平面PAD ， EF ，BE ⊂平面BEF ，且EFBE E =，∴平面BEF 平面PAD ．∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测卷(含答案解析)(1)

8．D
解析：D
【分析】
根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案.
【详解】
解：A项，若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l可能平行于平面α，也可能位于平面α内，故A项错误；
B项，直线a在平面α外，则直线a与平面α可能平行，也可能相交，故B错误；
C项，直线，所以a可能与平面α相交或与平面α平行,故C项错误；
一、选择题
1．设，是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，则 .
④若，，，则；其中正确命题的序号是（）
A．①③B．②③C．③④D．①④
2．已知直三棱柱中，，，则异面直线和所成的角的大小是（）．
A． B． C． D．
面平面面 ,
平面
平面
与是全等三角形，
平面
又平面 ,
矩形中，
四边形为正方形，可得
平面
结合平面，可得，即异面直线与所成角为
故选：
【点睛】
在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为 .
解析：D
【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．
【详解】
由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：
在A中，若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；
在B中，若α⊥β，n∥α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；
在C中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C错误；

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④ 2．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的体积为（） A ．323π B ．86π C ．36π D ．323π 3．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（）A ．9B ．7C ．92D ．724．正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）.A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,EFGH 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD6．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（）A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥7．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A ．15πB ．12πC ．8πD ．6π8．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．2C ．3D ．239．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥βB ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β10．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④ 11．边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得ACD 垂直于底面ABC ，则点C到平面ABD 的距离为（）A ．263B ．233C ．223D ．6312．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥13．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A ．13cmB ．261cmC ．61cmD ．234cm14．αβ、是两个不同的平面，mn 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、解答题15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．（1）求证：1//AD 平面EMN ；（2）求异面直线1AD 与BE 所成角的余弦值．16．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，A 1C ＝25，AB ＝2，∠BAC ＝60°.（1）求三棱锥A 1－ABC 的表面积；（2）证明：在线段A 1C 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求1A M MC的值. 17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.（1）求证：//AE 平面PBC .（2）若四面体PABC 的体积为33，求PCD 的面积. 18．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2ABCB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由． 20．如图在Rt ABC △中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且//MN BC ，AB BC =，2AM MB =.若将AMN 沿MN 折起到PMN 的位置，使得60PMB ∠=︒.（1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，PAD △为正三角形，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//DF 平面PEB ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PEB ．22．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB 2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；23．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥D PBQ -的体积．25．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线45DBP ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.26．如图甲，边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的一点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点，将DAE ∆及DCF ∆折起，使A 、C 重合于G 点，构成如图乙所示的几何体．（1）求证：GD EF ⊥；（2）若EF ∥平面GMN ，求三棱锥G EFD -的体积G EFD V -．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.【详解】对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直，以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故③错误.对④，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故④正确.故选：D.【点睛】该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目. 2．D解析：D【分析】先判断出底面三角形的形状，然后从球心作截面的垂足，确定垂足的位置后，再利用勾股定理得到半径，再求体积即可.【详解】由2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒及余弦定理得，2222cos 416224cos6012AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=，所以222BC AB AC =+，即A 是直角，BC 是底面圆的直径，过球心O 作OD ⊥平面ABC ，D 即为BC 的中点，所以22OD =，122BD BC == 连接OB ，OB 即为半径，由勾股定理得2223OB OD BD =+=，所以球的体积为34(23)3233V ππ==，故选：D.【点睛】本题考查了球的外接问题，确定球心在截面上的射影的位置是关键，属于基础题. 3．C解析：C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=.因为22108336x x +≥=，当且仅当x =2y =时等号成立，所以92SED S ∆≥=. 故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4．B解析：B【分析】由题意知正三棱柱的高为，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,则123a ⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.5．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题. 6．D解析：D【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确；根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．【详解】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ，根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．7．A解析：A【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心. 因为22333322⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EB DE ，四边形12OO EO 为矩形，所以123==O B DO 12132===O E O E OO . ()223153=2⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭15π. 故选：A【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.8．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===- 则13122MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+= 在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.9．D解析：D【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.10．B解析：B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC = PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，得AC //平面PQMN ，则②正确；由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC AD MN DN=，同理可证BD AD PN AN=，由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.11．A解析：A取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，由等腰三角形的性质得出DO AC ⊥，可求出DO 和BO 的长，再由平面ACD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABC ，进而得到DO OB ⊥，利用勾股定理即可求出BD ，最后利用等体积法得出C ABD D ABC V V --=，进而求出点C 到平面ABD 的距离.【详解】解：取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，则DO AC ⊥，BO AC ⊥，由于四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD CD AB BC ∴====，则222222AC =+=，()22222DO BO ==-=，由题知，平面ACD ⊥平面ABC ，且交线为AC ，而DO ⊂平面ACD ，则DO ⊥平面ABC ，又BO ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥，∴在Rt BOD 中，()()22222BD =+=，∴ABD △是等边三角形，则122sin 6032ABD S =⨯⨯⨯=△，则在Rt ABC 中，12222ABC S =⨯⨯=，设点C 到平面ABD 的距离为d ，则C ABD D ABC V V --=，即1133ABD ABC S d S DO ⋅=⋅△△，即：1132233d ⨯=⨯⨯，解得：263d =，即点C 到平面ABD 的距离为26. 故选：A.本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.12．C解析：C【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．13．A解析：A【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14．B解析：B【分析】分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.【详解】若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④；同理①②④不能推出③；若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即m n ⊥，所以②③④能够推出①.所以一共两个命题正确.故选：B【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.二、解答题15．（1）证明见解析（2885 【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果.【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅175********+-⨯⨯885=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．（1）6+23+26；（2）证明见解析；13. 【分析】（1）可先证明1A B ⊂平面1A AB 得出1BC A B ⊥，即可求出三棱锥A 1－ABC 各个面的面积，得出表面积；（2）在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ，过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，即可得出.【详解】（1）2,4,=60=23AB AC BAC BC BC AB ==∠∴∴⊥，，，1A A ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，1BC AA ∴⊥，1A A AB A =，BC ∴⊥平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，1BC A B ∴⊥，112223262A BC S∴=⨯⨯=， 1=232ABC S AB BC ∴⋅⋅=，111==22A AB S A A AB ⋅，111=42A AC S A A AC =⋅，则表面积=6+23+26S ；（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ，过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，1A A ⊥AC ，1//MN A A ，AC MN ∴⊥，MN BN N =，∴AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，∴AC BM ⊥.在直角BAN 中，cos 1, 3.=∠==-=AN AB BAC NC AC AN111//.3，∴==A M AN MN A A MC NC 【点睛】本题考查三棱柱表面积的求解，解题的关键是得出1BC A B ⊥以便求出各个面的面积，考查点的存在性问题，解题关键是正确利用线面垂直关系作出辅助线.17．（1）证明见解析；（2）27. 【分析】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，利用面面平行的判定定理证明平面//AEF 平面PBC ，再用面面平行的性质可得//AE 平面PBC ；（2）根据体积求出PA ，过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，求出PQ 和CD 后，根据三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PC ，又120BCD AFD ∠=∠=︒，∴//BC AF ，∴平面//AEF 平面PBC ，∴//AE 平面PBC .（2）因为90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，2AC =，所以1,3BC AB ==由已知得：113323P ABC V AB BC PA -=⋅⋅⋅=，即11331323PA ⨯⨯⨯⨯=，可得2PA =.过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AQ ⊥，PA CD ⊥，∴CD PQ ⊥，ACD △中，2AC =，90CAD ∠=，30ADC ∠=，∴4CD =，23AD =，22334AC AD AQ CD ⋅⨯===， 222237PQ PA AQ =+=+=，∴11742722PCD S PQ CD =⋅=⨯⨯=△. 【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键. 18．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，3CE ∴＝1123322S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，3CE ＝13EA ＝16AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．理由见解析.【分析】（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由侧棱垂直于底面，可得1CC ⊥平面ABC ，则1CC AC ⊥，再由AC BC ⊥，结合线面垂直的判定可得AC ⊥平面11BCC B ．从而得到1AC C F ⊥；（Ⅱ）取11A C 的中点H ，连结EH ，FH ．可得//EH BF ，且EH BF =．则四边形BEHF 为平行四边形，则//BE FH ．再由线面平行的判定可得//BE 平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接EG ，1GB ．首先证明△11B C G ≅△1C CF ．可得11190C CF B GC ∠+∠=︒，则11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，得到11A C ⊥平面11BB C C ．即111AC B G ⊥．由线面垂直的判定可得1B G ⊥平面11AC F ．进一步得到平面1B EG ⊥平面11AC F ．【详解】解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ．又AC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥．因为AC BC ⊥，1CC BC C ⋂=，1CC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F ⊥．（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH //11B C ，且1112EH B C =，又因为BF //11B C ，且1112BF B C =，所以EH //BF ，且EH BF =．所四边形BEHF 为平行四边形．所以BE //FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH⊂平面11AC F ，所以BE //平面11AC F（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中，因为F 为BC 中点，所以△11B C G ≌△1C CF ．所以11190C CF B GC ∠+∠=︒．所以11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为11AC//A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111AC B G ⊥．因为1111AC C F C =，11A C ⊂平面11AC F ，1C F ⊂平面11AC F ．所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F ．【点睛】本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法．20．（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）证明PB BM ⊥，由线面垂直证明MN PB ⊥，然后由线面垂直的判定定理可得线面垂直，然后有面面垂直；（2）过点N 作//NH BM ，交BC 于点H ，再过点H 作GH //PB ，交PC 于点G ，可得两个线面平行，从而得面面平行，于是可得//GN 平面PMB ，同时得出13CG CP =．【详解】解：（1）在Rt ABC △中，由AB BC =可知，BC AB ⊥.因为//MN BC ，所以MN AB ⊥.翻折后垂直关系没变，仍有MN PM ⊥，MN BM ⊥.又PM BM M ⋂=，所以MN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，则MN PB ⊥，又60PMB ∠=︒，可令2PM =，则1BM=，由余弦定理得3PB =. 所以222PB BM PM +=，即PB BM ⊥. 又因为BM MN M =，所以PB ⊥平面BCNM .又因为PB ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面BCNM .（2）在PC 上是存在一点G ，当13CG CP =时，使得//GN 平面PMB . 证明如下：过点N 作//NH BM ，交BC 于点H ，则四边形BMNH 是平行四边形，且2MN BH ==，1CH =. 又由NH ⊄平面PBM ，BM ⊂平面PBM 知，//NH 平面PBM .再过点H 作GH //PB ，交PC 于点G ，则13CH CG CB CP ==. 又由GH ⊄平面GHN ，PB ⊂平面PBM 知，//GH 平面PBM .又NH ⊂面GHN ，GH ⊂面GHN ，GH HN H ⋂=，所以平面//GHN 平面PBM .又GN ⊂平面PBM ，所以//GN 平面PBM .【点睛】关键点点睛：本题考查证明面面垂直，线面平行，解题方法根据面面垂直的判定定理证明垂直，根据面面平行的性质定理证明线面平行．要注意立体几何中证明平行与垂直的方法很多，解题时注意线线、线面、面面平行（垂直）间的相互转化．21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）取PB 中点G ，可证得四边形DEGF 是平行四边形，进而可得//DF EG ，最后可证//DF 平面PEB ；（Ⅱ）由条件可得PE AD ⊥，BE AD ⊥，进而由线面垂直的判定定理得出结论.【详解】（Ⅰ）取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，∴//FG BC ，且12FG BC =， ∵E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =，∴//FG DE ，且FG DE =， ∴四边形DEGF 是平行四边形，∴//DF EG ，又∵DF ⊄平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，∴//DF 平面PEB ；（Ⅱ）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥，∵四边形ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，∵PE BE E ⋂=，∴AD ⊥平面PEB ，∵//AD BC ，∴BC ⊥平面PEB ．【点睛】方法点睛：本题考查线面平行、线面垂直的判定，解题关键是熟记线面平行和线面垂直的判定定理，以及定理成立时的条件，考查空间想象能力，属于常考题.22．（1）证明见解析；（2）6；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ；(2）求出ABC S ，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1.【详解】（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C∴AB ⊥BC 1在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2，∴BC ⊥BC 1又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC，∴C 1B ⊥平面ABC .（2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =12×2×1=22由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B =3，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =2×3=6. （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，∴1EB ⊥平面ABE .又∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥1EB .不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()222225714x x x x -+++-=，解得x =1或x =2(舍去).故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.【点睛】关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.23．（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴，∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =，13EH AA ==，tan 3tan 603HFE ∴∠===︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 24．（1）证明见解析；（2）14 【分析】（1）由余弦定理可得23BD =，证得AD BD ⊥，则BC BD ⊥由PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，证得PD BC ⊥，得证．（2）Q 为PC 的中点，利用等积法12D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----===，即可求出结果. 【详解】(1) 在ABD △中，由余弦定理得2222cos 3BD BA AD BA AD DAB =+-⋅∠=， ∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD .（2）因为Q 为PC 的中点,所以三棱锥D PBQ -的体积A PBQ V -,与三棱锥D QBC -的体积相等，即1111313232412D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=⨯⨯⨯⨯⨯====. 所以三棱锥A PBQ -的体积14D PBQ V -=. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，在含有长度时需要解三角形来证垂直，并且不要忘记线面垂直的性质运用，在求三棱锥的体积时注意等体积法的使用25．（1）证明见解析；（2）43. 【分析】（1）证明AC BD ⊥，PD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ；（2）求出菱形ABCD 的面积，结合PD ⊥平面ABCD ，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P ABCD -的体积.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为45DBP ∠=，PD ⊥平面ABCD因此2BD PD ==.又2AB AD ==所以菱形ABCD 的面积为sin6023S AB AD =⋅⋅=故四棱锥P ABCD -的体积14333V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及求棱锥的体积，属于中档题.26．（1）证明见解析；（2）13；【分析】（1）想要证明线线垂直，就得先证明线面垂直，由于E ，F 两点都是中点，故想到取中点，构造两组线线垂直，由线面垂直的判定定理知，平面DGH ，由线面垂直的性质知，GD EF ⊥；（2）求解三棱锥的体积问题，我们通常采用等体积法，将已知的三棱锥转变成一个我们容易求解的三棱锥来求解，由于本题中,所以，平面GEF ，显然，三棱锥的高解决了，故有G EFD V -=D GEF V -=13【详解】证明：取EF 的中点为H,连接DH,GH ，在中，GE=GF ，H 是中点，, 在中，DE=DF ，H 是中点，故,, 所以平面DGH ，即GD EF ⊥．（2）EF ∥平面GMN 知，F 是BC 边上的中点，故有GE GF ⊥，在直角三角形GEF 中，GE=GF=1，故EF=，又因为, 所以，平面GEF ，故此时三棱锥的高为DG ，值是2， G EFD V -=D GEF V -=13。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测卷(答案解析)

一、选择题1．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶1D ．4∶32．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 4．3cm 的内切球，则此棱柱的体积是（）.A ．393cmB ．354cmC ．327cmD ．3183cm 5．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法中正确的是（） A ．若m ⊂α，n ⊂α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若n αβ=，//m n ，则//m α且//m βD ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ6．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．2,3]B ．52⎤⎥⎣C ．325⎡⎢⎣⎦D ．5⎡⎢⎣⎦8．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β9．219，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（）A ．49B ．19C ．925D ．12510．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为（）A 6B 6C 2D ．12a 11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD12．如图为水平放置的ΔOAB 的直观图，则原三角形的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．1213．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．186+B ．206+C ．2010+D ．1810+ 14．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3CE =，53cos ACE ∠=11ABB A 为正方形，则球O 的直径为（） A ．4 B 51C ．451D ．4或5 二、解答题15．如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ；（2）求二面角111F AC B --的大小.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ， 2PD AB ==，,,E F G 分别为,,AB PC PD 的中点.（1）证明：直线/ /EF 平面PAD ；（2）求EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.17．如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是棱AB 的中点，且AC BC VC ==.（1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）若22AC =AB 上有一点E ，使得线VD 与平面VCE 所成角的正弦值为1515，试确定点E 的位置，并求三棱锥C-VDE 的体积. 18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.（1）求证：//AE 平面PBC .（2）若四面体PABC 的体积为33，求PCD 的面积. 19．如图所示，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，AB BD ⊥，2AB =，3PR =，22CD =.（1）证明：//CD 平面PQR ；（2）证明：平面ABD ⊥平面BCD .20．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的体积及表面积．21．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由． 23．ABC 是正三角形，线段EA 和DC 都垂直于平面ABC .设2,EA AB a DC a ===，且F 为BE 的中点，如图.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ⊥；（3）求平面BDF 与平面ABC 所成锐二面角的大小.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .25．如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H .（1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面CDH ⊥平面ABC .26．在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，且2AB AC ==，123AA =（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果【详解】在Rt ABB '∆中，2cos4AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin62AA AB AB π'=⋅=, 在Rt AA B ''∆中，2212A B AB AA AB ''''=-=, 所以:2:1AB A B ''=故选C【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 2．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题. 3．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.4．B解析：B【分析】由题意知正三棱柱的高为，可得底面正三角形的边长为6cm ，即得到底面三角形的面积，代入棱柱的体积公式求解即可．【详解】∵的内切球，则正三棱柱的高为，，设底面正三角形的边长为a cm,则123a ⨯=6a =cm ，∴正三棱柱的底面面积为16622⨯⨯⨯=2，故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的体积的求法，考查几何体的内切球的性质，属于基础题.5．D解析：D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.【详解】对于A ，若m ⊂α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 相交，故A 错误；对于B ，若//m α，//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ，若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β错误，m 有可能在α或β内；对于D ，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故D 正确，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.7．C解析：C 【分析】分别取111,BB B C 的中点,N M ,可得平面1//A MN 平面AEF ，从而点P 的轨迹为线段MN ，然后计算出线段1A P 的范围.【详解】分别取111,BB B C 的中点,N M ,则1//A M AE ,1A M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，则1//A M 平面AEF .//EF NM ,MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则//MN 平面AEF又1MN A M M ⋂=,所以平面1//A MN 平面AEF 又平面1A MN ⋂面11BCC B MN = 所以点P 的轨迹为线段MN当P 为线段MN 的端点M （或N ）时，1A P 最长，此时112211152P M A B A BB A ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭当P 为线段MN 的中点时，1A P 最短，此时221113224P A N MN A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以325,4AP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：C ．【点睛】本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．【详解】若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错；若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．9．C解析：C 【分析】先证明PO ⊥平面ABC，接着求出cos PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35r R =，最后求出球2O 与球1O 的表面积之比即可. 【详解】如图，取ABC 的外心O ，连接PO ，AO ，则PO 必过1O ，2O ，且PO ⊥平面ABC ，可知PAO ∠为侧棱与底面所成的角，即cos PAO =∠. 取AB 的中点M ，连接PM ，MC .设圆1O ，2O 的半径分别为R ，r ，令2OA =，则PA =AB =AM =，1OM =，所以214r OM PO PM ==，即24PO r =，从而145PO r r R r R =++=+，所以1154R R PO r R ==+，则35r R =，所以球2O 与球1O 的表面积之比为925.故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.10．A解析：A 【分析】根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解. 【详解】画出图形如下图所示，设C 到平面1A DM 的距离为h ，在△1A DM 中115,2,A M DM a A D a === 1A ∴到DM 3则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即1111323232a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，解得63h a =，故选:A.【点睛】本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.11．D解析：D 【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性. 【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EFEH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.12．C解析：C 【分析】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，还原三角形的图象，求得面积. 【详解】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，如图所示：故原三角形面积为：13462S =⨯⨯= 故选：C 【点睛】本题考查了还原直观图为直角坐标系的图像问题，考查了学生概念理解，直观想象，数学运算的能力，属于基础题.13．B解析：B 【分析】根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积. 【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：在正方体中，去掉三棱锥111B A C M -，正方体的棱长为2，M 为1BB 的中点，则111111111B MC A B C A B M A C M S S S S S S =---+正方体 ()()22211116212221222522222⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭206=+，故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题.14．C解析：C 【分析】设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得2225393923939x x x =++-⨯⨯+⨯，求出x ，即可求出球O 的直径. 【详解】根据题意，长方体内接于球O 内，则球的直径为长方体的体对角线，如图作出长方体1111ABCD A B C D -：设2AB x =，则AE x =，29BC x =-，由余弦定理可得：2225393923939x x x =++-⨯⨯+⨯，∴1x =或6， ∴2AB =，22BC =，球O 的直径为4484++=；或26AB =，3BC =，球O 的直径为2424351++=. 故选：C ．【点睛】本题考查球的直径的计算方法，考查余弦定理，考查计算能力和分析能力，属于常考题.二、解答题15．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，通过构造平行四边形，证明//BE FG ；（2）根据二面角的定义，可证明1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，1FGB 中，根据边长求角.【详解】证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ，所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ，所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面//ABC 平面111A B C ，∴平面111A B C ⊥平面11BCC B ，且平面111A B C 平面1111BCC B B C =，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG AC ⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG ==∴14FGB π∠=，∴二面角11F A C B --的大小为4π. 【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.16．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）证明四边形AEFG 为平行四边形即可得直线//EF 平面PAD ；（2）将EF 与平面ABCD 所成角转化为AG 与平面ABCD 所成角，进而得GAD ∠为AG 与平面ABCD 所成角，即可求解. 【详解】证明：（1）F 为PC 的中点， //FG CD ∴，且12FG CD =，又//AE CD ，且12AE CD =，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴//EF AG ，又EF ⊄ 平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD .（2）由（1）知，//EF AG ，又因为PD ⊥面ABCD ，所以，AG 在平面ABCD 内的射影为AD ，则GAD ∠为AG 与平面ABCD 所成角， 2AD PD ==，1GD =，在RT ADG 中，AG ==，sin5GD GAD AG ∠===，∴EF 与平面ABCD【点睛】本题考查线面平行与线面角的求解，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题. 常见的线面平行的证明方法有：①通过面面平行得线面平行；②通过线线平行得线面平行，再证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形性质；常见的线面角的求解方法有：①几何法——即找出线面角的平面角，再根据几何关系求解；②利用空间向量求解.17．（1）证明见解析；（2）点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点；223. 【分析】（1）易得CD AB ⊥，再根据VC ⊥底面ABC ，得到 VC AB ⊥，进而AB ⊥平面VCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，DF ⊥平面VCE ，则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角，在Rt VFD 中，由15sin 15DF DVF VD ∠==，求得DF ，然后在Rt DCE 中，求出1DE =，然后由三棱锥C-VDE 的体积为13CDE V S VC =⋅⋅求解.【详解】（1）因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥. 又VC ⊥底面ABC ，AB 平面ABC ，所以VC AB ⊥，而VC CD C ⋂=，所以AB ⊥平面VCD . 又AB平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE .，连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.在Rt VFD 中，1515DF VD =. 又因为3VD =55DF =.在Rt DCE 中，1DE =.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点，三棱锥C-VDE 的体积为1112221223323CDE S VC ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 18．（1）证明见解析；（2）27. 【分析】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，利用面面平行的判定定理证明平面//AEF 平面PBC ，再用面面平行的性质可得//AE 平面PBC ；（2）根据体积求出PA ，过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，求出PQ 和CD 后，根据三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）取CD 中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PC ，又120BCD AFD ∠=∠=︒， ∴//BC AF ，∴平面//AEF 平面PBC ， ∴//AE 平面PBC .（2）因为90CAD ABC ∠=∠=，30BAC ADC ∠=∠=，2AC =，所以1,3BC AB ==由已知得：113323P ABC V AB BC PA -=⋅⋅⋅=，即11331323PA ⨯⨯=，可得2PA =.过A 作AQ CD ⊥于Q ，连接PQ ，AQ ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AQ ⊥，PA CD ⊥，∴CD PQ ⊥，ACD △中，2AC =，90CAD ∠=，30ADC ∠=，∴4CD =，23AD =22334AC AD AQ CD ⋅⨯===， 222237PQ PA AQ =+=+=， ∴11742722PCD S PQ CD =⋅==△ 【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出//PQ DC ，由此能证明//CD 平面PQR .（2）推导//RQ AB ，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =，从而RQ BD ⊥，PQ RQ ⊥，进而RQ ⊥平面BCD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）点P ，Q 分别为棱BC ，BD 的中点，//PQ DC ∴，PQ ⊂平面PQR ，CD ⊂/平面PQR ，//CD ∴平面PQR .（2）点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，//RQ AB ∴，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =， AB BD ⊥，RQ BD ∴⊥，2AB =，3PR =22CD =112RQ AB ∴==，122PQ CD ==， 222PQ QR PR ∴+=，PQ RQ ∴⊥，BD PQ Q ⋂=，RQ ∴⊥平面BCD ，RQ ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】思路点睛：证明线面平行、面面垂直的常见思路：（1）证明线面平行的思路：通过三角形中位线或者证明平行四边形说明线线平行或者证明面面平行；（2）证明面面垂直的思路：证明线面垂直结合面面垂直的判定定理完成证明. 20．体积3V π＝；表面积(213π+．【分析】由已知计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积和体积公式，即可得到答案.【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为'h ，圆锥的高224223h -=＝ '3h ＝，1'2h h ∴＝，则23312223r -=，1r ∴＝． ∴圆柱的体积23V r h ππ'=＝；表面积(222213S r rh πππ=+='．【点睛】本题考查的知识点求圆柱的表面积和体积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.21．（1）证明见解析；（2）714．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，3cos AQ PAQ AP ∠==AQ x =（023x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ， ∴222(43)3CD =--=，又3=CD CE ，∴1CE =，3CD =，2BE =，由余弦定理得222cos120AE BE AB BE B =+-⋅︒22122222232⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，又2222(3)12DE CD CE =+=+=，∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角， 3cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（023x <≤），则2PQ x =，23QE x =-， 12(23)232QDE S x x =⨯⨯-=-△， 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223x =--+≤，当且仅当3x =时等号成立，则当P QDE V -最大时，3AQ =，∴Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,3QB QE ==，则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==，又2BE =，则2227cos 214PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．理由见解析.【分析】（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由侧棱垂直于底面，可得1CC ⊥平面ABC ，则1CC AC ⊥，再由AC BC ⊥，结合线面垂直的判定可得AC ⊥平面11BCC B ．从而得到1AC C F ⊥；（Ⅱ）取11A C 的中点H ，连结EH ，FH ．可得//EH BF ，且EH BF =．则四边形BEHF 为平行四边形，则//BE FH ．再由线面平行的判定可得//BE 平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接EG ，1GB ．首先证明△11B C G ≅△1C CF ．可得11190C CF B GC ∠+∠=︒，则11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，得到11A C ⊥平面11BB C C ．即111AC B G ⊥．由线面垂直的判定可得1B G ⊥平面11AC F ．进一步得到平面1B EG ⊥平面11AC F ．【详解】解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ．又AC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥．因为AC BC ⊥，1CC BC C ⋂=，1CC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F ⊥．（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH //11B C ，且1112EH B C =，又因为BF //11B C ，且1112BF B C =，所以EH //BF ，且EH BF =．所四边形BEHF 为平行四边形．所以BE //FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH⊂平面11AC F ，所以BE //平面11AC F（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中，因为F 为BC 中点，所以△11B C G ≌△1C CF ．所以11190C CF B GC ∠+∠=︒．所以11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为11AC//A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111AC B G ⊥．因为1111AC C F C =，11A C ⊂平面11AC F ，1C F ⊂平面11AC F ．所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F ．【点睛】本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45︒.【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长ED 交AC 延长线于G ′，连BG ′，只要证明BG ′⊥平面ABE 即可得到∠ABE 为所求的平面BDE 与平面ABC 所成二面角，在等腰直角三角形ABE 中即可得到．【详解】（1）证明：如图所示，取AB 的中点G ，连接,CG FG .∵,EF FB AG GB ==，//FG EA ∴，1=2FG EA 又//DC EA ，1=2DC EA ，//FG DC ∴，=FG DC ， ∴四边形CDFG 为平行四边形，故//DF CG .∵DF ⊄平面,ABC CG ⊂平面ABC ，∴//DF 平面ABC .（2）证明：∵EA ⊥平面ABC ，∴EA CG ⊥.又ABC 是正三角形，∴CG AB ⊥.∴CG ⊥平面AEB .∴CG AF ⊥.又∵//DF CG ，∴DF AF ⊥.又AE AB =，F 为BE 中点，∴AF BE ⊥.又BE DF F ⋂=，∴AF ⊥平面BDE .∴AF BD ⊥.（3）延长ED 交AC 延长线于G '，连接BG '. 由12CD AE =，//CD AE 知D 为EG '中点， ∴//FD BG '.由CG ⊥平面,//ABE FD CG ，∴BG '⊥平面ABE .∴EBA ∠为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB 中，易求45ABE ∠=︒.【点睛】熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形， D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴， OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大.（1）利用线面平行的判定定理证得//EF 平面BCD ，进而利用线面平行的性质定理证得；（2）利用线面垂直的判定定理证得CD ⊥平面ADB ，进而证得AB ⊥平面CDH ，然后由面面垂直判定定理证得结论.【详解】证明：（1）因为点E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，EF ∴为ACD △的中位线，则//EF CD ，CD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，//EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面EFNM ，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，//EF MN ∴；（2）90CDA CDB ∠=∠=︒，CD DA ∴⊥，CD DB ⊥，DA DB D ⋂=，DA ⊂平面ADB ，DB ⊂平面ADB ， CD 平面ADB ，CD AB ∴⊥又DH AB ⊥，DH CD D ⋂=，DC ⊂平面DCH ，DH ⊂平面DCH ，AB ∴⊥平面CDH ，AB ⊂平面ABC ，∴平面CDH ⊥平面ABC.【点睛】要证线线平行，常常先证线面平行，综合利用线面平行的判定与性质进行证明；要证面面垂直，常常先证线面垂直，而要证线面垂直，又常常先证另一个线面垂直.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）通过1B C AB ⊥和AB AC ⊥可得AB ⊥平面1AB C ，即得证；（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，可得EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，求出相关长度即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵1B C ⊥平面ABC ，∴1B C AB ⊥，又AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ，AB ⊂平面11ABB A ，所以平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，∵平面1AB C ⊥平面11ABB A 于1AB ，∴OE ⊥平面11ABB A ，∴EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，由已知2AB AC ==，123BB =12B C =，122B A = ∴223BO BC OC =+=，在等腰直角1AB C 中，22OE =，所以2sin OE EBO OB ∠==，即1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26. 【点睛】方法点睛：求线面角或面面角的常用方法，根据图形结构常用建立坐标系利用向量法求解或直接用几何法求解，向量法的往往更简单有效.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测(答案解析)

一、选择题1．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶1D ．4∶32．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．//m α，//n β且//αβ，则//m nB ．m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ C ．m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n4．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于() A ．3π B ．323π C ．12π D ．643π 6．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（）A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥7．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 8．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为（）A ．1243+B ．1863+C ．2483+D ．36123+ 9．点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（）A ．5⎡⎣B ．3252⎡⎢⎣C ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,310．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 为棱1AA 的中点，P 为棱1CC 的动点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，直线n 为平面ABCD 与平面11B D Q 的交线，下列结论中错误的是( )A ．//m 平面11B D QB ．平面PBD 与平面11B D P 不垂直C ．平面PBD 与平面11B D Q 可能平行 D ．直线m 与直线n 可能不平行11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（）A ．2B ．7C ．6D ．5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A ．13cmB ．61cmC 61cmD ．234cm 14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．186+B ．206+C ．2010+D ．1810+二、解答题15．如图1，在等腰梯形ABCD 中，CE 、DF 是梯形的高，2AF BE ==，22CD =，现将ADF 、BCE 分别沿DF 、CE 折起，得一简单组合体11A B CDEF ，如图所示，点A 、B 分别折起到1A 、1B ，11//A B EF ，11=2A B EF ，已知点P 为11A B 的中点．（1）求证：PE ⊥平面1B CE ；（2）若1CE =，求二面角1D B C E --的正弦值．16．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面梯形ABCD 中，//BC AD ，平面SAB ⊥平面ABCD ，SAB 是等边三角形，已知24AC AB ==，2225BC AD CD ===.（1）求证：平面SAB ⊥平面SAC ；（2）求直线AD 与平面SAC 所成角的余弦值.17．如图所示的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AE ＝EB ＝BC ＝2，AD ⊥平面ABE ，且CE 上的点F 满足BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ∥平面BFD ；（2）求三棱锥C -AEB 的体积.18．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．19．如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点.（1）求证：AC SD ⊥；（2）若3SAP APD S S =，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥ 平面PAC .若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由. 20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，22BD =（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PCD 与平面CDB 所成夹角余弦值的大小；（3）求点C 到平面PBD 的距离21．如图，在等腰三角形ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上的一点，且BD BA =，沿直线AD 将ADC 翻折至1ADC △，使点1AC BD ⊥．（1）证明：平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）求二面角1C AD B --的平面角的余弦值．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，22BC =，M 为BC 的中点.（1）证明：AM PM ⊥；（2）求二面角P AM D --的大小；（3）求点D 到平面APM 的距离.23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是33，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 24．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离． 25．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．26．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果【详解】在Rt ABB '∆中，2cos42AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin62AA AB AB π'=⋅=, 在Rt AA B ''∆中，2212A B AB AA AB ''''=-=, 所以:2:1AB A B ''=故选C【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础 2．D解析：D【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面或相交，故A 不正确；对于B ，若“m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l ，所以B 不成立．对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l ，也可能α⊥β，故C 不正确；对于D ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题D 正确．故答案为D【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间想象能力.3．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题. 4．D解析：D【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．5．B解析：B【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===．故选：B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 6．D解析：D【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确；根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．【详解】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ，根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．7．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.8．C解析：C【分析】通过二十四等边体的外接球表面积求得半径，进而计算出二十四等边体的边长，进而计算出二十四等边体的表面积.【详解】由于二十四等边体的外接球表面积为16π，设其半径为r ，则2416r π=π，解得2r .设O 为球心，依题意可知四边形,,,A B C D 分别为正方体侧棱的中点，所以ABCD 正方形，由于2OA OB OC OD ====，所以四边形ABCD 是正方形，2222AB OA OB =+=.所以二十四等边体的边长为2.所以二十四等边体的边长的表面积为122622sin 823π⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 2483=+.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.9．B解析：B【分析】取11B C ，1B B 中点E ，F ，得平面1A EF ∥平面AMN .进而得到点P 的轨迹为线段EF ，又因为1A EF 为等腰三角形，进而便可得出答案.【详解】取11B C ，1B B 中点E ，F ，连接1A E 、1A F .则1A E ∥AM .EF ∥MN .又因为1A E EF E ⋂= .所以平面1A EF ∥平面AMN . 又因为动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，所以点P 的轨迹为线段EF .又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以115A E A F ==2EF = 所以1A EF 为等腰三角形.故当点P 在点E 或者P 在点F 处时，此时1PA 5当点P 为EF 中点时，1PA 22232(5)()22-= .故选：B.【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点P 的位置.10．D解析：D【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BD B D ，根据线面平行的判定定理和性质定理可得11////m BD B D ，可判断选项A 结论；分别取11,BD B D 中点1,O O ，连1,OP O P ，则1OPO ∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，判断1OPO ∠是否为直角，即可判断选项B 的结论；若P 为1CC 中点时，可证平面PBD 与平面11B D Q 平行，即可判断选项C 的结论；根据面面平行的性质定理可得11//n B D ，即可判断选项D 的结论.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形11BB D D 为矩形，11//,BD B D BD ∴⊂平面PBD ，11B D ⊄平面PBD ，11//B D 平面PBD ，11B D ⊂平面11B D P ，平面BDP 与平面1111////P B D m m B D BD =∴，选项A ，11//,m B D m ⊄平面11B D Q ，11B D ⊂平面11B D Q ，//m 平面11B D Q ，选项A 结论正确；选项B ，分别取11,BD B D 中点1,O O ，连11,,OP O P OO ，设正方体的边长为2，设CP h =，则22114,4(2)BP DP h B P D P h ==+==+-，,PO BD PO m ∴⊥⊥，同理1PO m ⊥，1OPO ∴∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，在1OO P △中，22222112,2(2),4OP h O P h OO =+=+-=，22211OP O P OO +>，1OPO ∴∠不是直角，所以平面PBD 与平面11B D P 不垂直，选项B 结论正确；选项C ，若P 为1CC 中点，取1BB 中点E 连1,C E QE ，则1//C E BP ，又Q 为棱1AA 的中点，1111//,QE C D QE C D ∴=，四边形11C D QE 为平行四边形，1111//,//,D Q C E D Q BP D Q ∴∴⊄面PBD ，BP ⊂平面PBD ，1//D Q ∴平面PBD ，同理11//B D 平面PBD ，1111111,,B D D Q D B D D Q =⊂平面11B D Q ，∴平面//PBD 平面11B D Q ，选项C 结论正确；选项D ，在正方体中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面ABCD 平面11B D Q n =，平面1111A B C D 平面1111B Q D B D =11//,//n B D n m ∴∴，选项D 结论不正确.故选：D .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，涉及到线线平行、线面平行、面面平行、面面垂直的判定，掌握平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题.11．B解析：B【分析】连接1,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a ，计算3AO OC ==，16A O a =，1AC a =，13AC a =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可.【详解】如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a .连接1,,,OA OB OC AC ，则33AO a OC ==.在1Rt A OA ∆中，22211A A A O OA =+，得16A O a =. 在1Rt AOC ∆中，222211A C A O OC a =+=，即1AC a =，则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=.在菱形11ACC A 中，得111120,3AAC AC a ∠==.又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离16A O a = 所以1AC 与底面ABC 6233aa=. 即1AC 与底面ABC 所成角的余弦值为7.故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.12．C解析：C【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．13．A解析：A【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14．B解析：B【分析】根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：在正方体中，去掉三棱锥111B A C M -，正方体的棱长为2，M 为1BB 的中点，则111111111B MC A B C A B M A C M S S S S S S =---+正方体 ()()22211116212221222522222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯- 206=+故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题.二、解答题15．（1）证明见解析（2）306【分析】（1）利用22211EP EB PB +=可得1PE EB ⊥，又根据CE ⊥平面1PEB 可得CE PE ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可证PE ⊥平面1B CE ；（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，可得1CB PG ⊥，可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，在直角三角形PEG 中计算可得结果.【详解】（1）因为点P 为11A B 的中点，11=2A B EF ，11//A B EF ，所以EF 与1A P 平行且相等，所以四边形1FEPA 为平行四边形，所以12EP A F AF ===，又12EB EB ==，1111222PB A B EF CD ==== 所以22211EP EB PB +=，所以1PE EB ⊥，因为1,CE EF CE EB ⊥⊥，1EFEB E =，所以CE ⊥平面1PEB ，所以CE PE ⊥，因为1CE EB E =，所以PE ⊥平面1B CE ，（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，因为PE ⊥平面1B CE ，所以1PE CB ⊥，又PEEG E =，所以1CB ⊥平面PEG ，所以1CB PG ⊥，所以PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，因为1CE =，12EB =，所以2211145CB CE CB =+=+= 所以112555CE EB EG CB ⋅===，所以22430455PG PE EG =+=+=，所以sin EP PGE PG ∠==230=30=. 【点睛】关键点点睛：利用定义法求二面角的关键是作出二面角的一个平面角，本题利用PE ⊥平面1B CE ，过垂足点E 作棱1CB 的垂线EG ，连PG ，则可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角.16．（1）证明见解析；（2）8510. 【分析】（1）在ABC 中，利用勾股定理易证AB AC ⊥，再由平面SAB ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明.（2）由（1）以A 为原点，以AB ，AC 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，分别求得AD 的坐标和平面SCA 的一个法向量()111,,m x y z =，再由||cos ,||||AD m AD m AD m ⋅〈〉=⋅求解. 【详解】（1）在ABC 中，由于2AB =，4CA =，5BC =∴222AB AC BC +=， AB AC ∴⊥,平面SAB ⊥平面ABCD ，AC ∴⊥平面SAB ,又因为AC ⊂平面SAC ,所以平面SAB ⊥平面SAC ；（2）如图建立A xyz -空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，3)S ，(0,4,0)C ，则(1,3)CS =-，(2,4,0)BC =-，(0,4,0)AC =，1(1,2,0)2AD BC ==-. 设平面SCA 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m AC m CS ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111140430y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ∴(3,0,1)m =-. ||15cos ,||||AD m AD m AD m ⋅〈〉==⋅，设直线AD 与平面SAC 所成夹角为θ，则15sin |cos ,|AD m θ=<>=， ∴直线AD 与平面SAC 85. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 17．（1）证明见解析；（2）43. 【分析】（1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解.【详解】（1）如图所示：因为底面ABCD 为矩形，所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ，∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点，∴FG ∥AE .又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD .（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，∴AE ⊥平面BCE .∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 【点睛】方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．（1）证明见解析；（2）714．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，3cos AQ PAQ AP ∠==AQ x =（023x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，∴CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =，由余弦定理得AE ===又2DE ===， ∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（0x <≤PQ =，QE x =，12)2QDE S x x =⨯⨯=△，21)33P QDE QDE V PQ S x -=⋅=--△2(3x =--+≤x =则当P QDE V -最大时，AQ =∴Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,QB QE ==PQ ⊥平面ABCD 得3,PE PB ==2BE =，则222cos 2PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅，∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为14．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 19．(1)证明见解析.(2) 侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SEEC=时，//BE 平面PAC . 【分析】（1）连结,AC BD 相交于点O ，可得AC ⊥平面BSD ，从而可证.（2）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案.【详解】连结,AC BD 相交于点O , 由棱锥S ABCD -为正四棱锥则SO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ,所以SO AC ⊥又棱锥S ABCD -为正四棱锥，则四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥ 由BD SO O ⋂=,所以AC ⊥平面BSDSD ⊂平面BSD ，所以AC SD ⊥（2）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SEEC=时，//BE 平面PAC . 由3SAPAPDSS=，可得3SP PD =取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点所以在BFD △中，//BF OP .BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP 又EFBE E =，所以平面//BEF 平面ACP又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC . 由//FE PC ，则SE SFEC FP=, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则2SF FP =，所以2SEEC = 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SEEC=时，//BE 平面PAC .【点睛】关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点B 构造一个平面使之与平面ACP 平行，则所构造的平面与SC 的交点即为所求，即取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.20．（1）证明见解析（2）4π（323 【分析】（1）只需证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可证明BD ⊥平面PAC ；（2）通过证明,AD CD PD CD ⊥⊥可知PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，根据PA AD =可得结果；（3）利用等体积法可求得结果. 【详解】（1）在直角三角形BAD 中，22842AB BD AD -=-=，所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC .（2）因为ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，即CD PD ⊥，所以PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，在直角三角形PAD 中，因为PA AD =，所以PDA ∠4π=（3）由题意可知点C 到平面PBD 的距离等于点A 到平面PBD 的距离，设为d ，由（1）可得22PBBD PD，所以2PBD S ==△由P ABD A PBD V V --=得1133ABD PBD PA S d S ⨯⨯=⋅△△，即111222323d ⨯⨯⨯⨯=⨯所以d =，所以点C 到平面PBD 【点睛】关键点点睛：第（3）问利用等体积法求点面距是解题关键.21．（1）见详解；（2）2 【分析】（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，先证明BD ⊥平面1AMC ，进而可得面面垂直；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AFMG AM=，连接1C H ，根据题中条件，得出1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，结合条件，即可计算出结果.【详解】（1）由题意知AM BD ⊥，又因为1AC BD ⊥，1AC AM A ⋂=，1AC ⊂平面1AMC ，AM ⊂平面1AMC ，所以BD ⊥平面1AMC ，因为BD ⊂平面ABD ，所以平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AFMG AM=，连接1C H ，由1C F AD ⊥，FHAD ⊥，1FH C F F ⋂=，FH ⊂平面1C FH ，1C F ⊂平面1C FH ，所以AD ⊥平面1C FH ，则1AD C H ⊥，所以1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，则2AB AC ==，3BC =，23MD =－，1332DC DC ==-，26AD =-，在Rt AMD 中，1122AMDSAM MD AD MG =⋅=⋅，则624MG -=，在1Rt C MD 中，()()222221133223943MC C D MD =-=---=－．设AF x =，在1Rt C FA 中，222211AC AF MC MF -=-，即()()2249431x x -=---，解得，232x =-，即232AF -＝所以12233C F =-，()62232226AF FH MG AM -=⋅=⋅=-－，因此()2221183122262C H C F FH =+=-+-=，所以11226cos 232FH FHC C H -∠===-. 即二面角1C AD B --的平面角的余弦值是23-.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 22．（1）证明见解析；（2）45；（3）26. 【分析】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ，根据面面垂直的性质可知PE ⊥平面ABCD ，从而AM PE ⊥，由勾股定理可求得AM EM ⊥，又PE EM E =，满足线面垂直的判定定理则AM ⊥平面PEM ，根据线面垂直的性质可知AM PM ⊥；（2）由（Ⅰ）可知EM AM ⊥，PMAM ⊥，根据二面角平面角的定义可知PME ∠是二面角P AM D --的平面角，然后在三角形PME 中求出此角即可；（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则根据等体积得P ADM D PAM V V --=，建立关于d 的等式解之即可得到点D 到平面PAM 的距离．【详解】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ．PCD 为正三角形，PE CD ∴⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，PE ∴⊥平面ABCDAM PE ∴⊥四边形ABCD 是矩形ADE ∴、ECM 、ABM 均为直角三角形由勾股定理可求得：3EM =，6AM =3AE =222EM AM AE ∴+=AM EM ∴⊥又PEEM E AM =∴⊥平面PEMAM PM ∴⊥（2）由（1）可知EM AM ⊥，PMAM ⊥PME ∴∠是二面角P AM D --的平面角3tan 13PE PME EM ∴∠===45PME ∴∠=︒∴二面角P AM D --为45︒（3）设D 点到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则 P ADM D PAM V V --=，∴11··33ADMPAMS PE S d =而1·2ADMSAD CD ==在Rt PEM 中，由勾股定理可求得PM =1·32PAMSAM PM ∴==，所以：11333d ⨯=⨯⨯d ∴即点D 到平面PAM . 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找→作→证→指→求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离.23．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明；（2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小. 【详解】（1）AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，1AB B E ∴⊥，BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，1BE B E ∴=22211BE B E BB +=，1BE B E ∴⊥，AB BE B ⋂=，∴B 1E ⊥平面ABE ；（2）11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离，由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，则1111113323A BEA A ABE ABE V V SB E AB --==⋅=⨯⨯=，解得AB =则11A B AB == 在111Rt A B C △中，1111111tan 3B C C A B A B ∠===，11130A C B ∴∠=，即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 24．（1）证明见解析；（2．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d .【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ， ∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=;∴d =即点C 到平面APD【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 25．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB =，AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B，()A，12D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令z =所以(1=3n aa ,，121cos60cos ,24n n ︒===，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，。

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一、选择题1．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论：①若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，βn//，则//αβ；②若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥；③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则βn//.其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④ 3．在下列四个正方体中，能得出直线AB 与CD 所成角为90︒的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法中正确的是（） A ．若m ⊂α，n ⊂α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若n αβ=，//m n ，则//m α且//m βD ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ5．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直6．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且//l α，则下列选项正确的是（） A ．若//l m ，则//m αB ．若//m α，则//l mC ．若l m ⊥，则m α⊥D ．若m α⊥，则l m ⊥7．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于( )A ．43πB ．323πC ．12πD ．643π 8．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A ．15B ．25C ．35D ．459．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是（）A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④ 10．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（） A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥.11．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题；①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥.②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥.③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若l m ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，则l m ⊥D ．若//αβ，则//l m 14．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．A 、B 、C 均有可能二、解答题15．如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，BE AC ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．（1）求证：BF AC ⊥；（2）若2AB BC ==，60CBD ∠=︒，求三棱锥B DEF -的体积．16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．AD平面EMN；（1）求证：1//AD与BE所成角的余弦值．（2）求异面直线117．如图所示的四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，AE＝EB＝BC＝2，AD⊥平面ABE，且CE上的点F满足BF⊥平面ACE.（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥C-AEB的体积.-中，底面ABCD是边长为2的正方形，18．在四棱锥P ABCD∠==∠=，E为PD的中点．ADP PD AD PDC90,,60（1）证明：CE⊥平面PAD．-外接球的体积．（2）求三棱锥E ABC19．如图，在底面半径为2、母线长为43积及表面积．20．如图，已知三棱台111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，侧面11BCC B 是等腰梯形，111224AB BB B C ===，E 为AC 的中点.（1）求证：1AA BC ⊥；（2）求直线1B E 与平面11ACC A 所成角的正弦值.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.22．如图，在等腰三角形ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上的一点，且BD BA =，沿直线AD 将ADC 翻折至1ADC △，使点1AC BD ⊥．（1）证明：平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）求二面角1C AD B --的平面角的余弦值．23．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB CE ．（1）证明：AD CE ⊥；（2）若在梯形ABCD 中，π3ADC ∠=，折起后π3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积． 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PA ⊥，PB PA =，90DAB ABC ∠=∠=，435AB BC CD ===，，，M 是PA 的中点.（1）求证：BM //平面PCD ；（2）求三棱锥B CDM -的体积.25．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．26．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．【详解】解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n β，则//αβ或相交，又因为//m β，//n α，则//αβ，故①正确；对于②，若m n ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ或α，β相交，故②错误，对于③，若n α⊥，//m α，则n m ⊥；故③正确，对于④，若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β或n β⊂，故④错误，综上可得：正确的是①③，故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．D解析：D【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.【详解】对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直，以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故③错误.对④，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故④正确.故选：D.【点睛】该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目. 3．A解析：A【分析】根据线面垂直的性质以及判定定理判断A ，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.【详解】对于A ，如下图所示，连接,AE GB由于,CD BE CD BG ⊥⊥，根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面AEBG ，再由线面垂直的性质得出AB CD ⊥，则A 正确；对于B ，如下图所示，连接,BF AF因为ABF 为正三角形，//CD AF ，所以直线AB 与CD 所成角为60︒，则B 错误；对于C ，如图所示，连接HD因为在CDH △中，45HDC ∠=︒，//AB HD ，所以直线AB 与CD 所成角为45︒，则C 错误；对于D ，如下图所示，连接GB因为//AG CD ，所以直线AB 与CD 所成角为90GAB ∠≠︒，则D 错误；故选：A【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.4．D解析：D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.【详解】对于A ，若m ⊂α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 相交，故A 错误；对于B ，若//m α，//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ，若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β错误，m 有可能在α或β内；对于D ，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故D 正确，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.5．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例． 6．D解析：D【分析】根据空间中直线与平面平行与垂直的相关性质依次判断各个选项可得结果.【详解】对于A ，若//l m ，此时//m α或m α⊂，A 错误；对于B ，若//m α，此时l 与m 可能平行、相交或异面，B 错误；对于C ，若l m ⊥，此时m 与平面α可能平行或相交，C 错误；对于D ，若m α⊥，则m 垂直于α内任意直线，必垂直于l 的平行线，则l m ⊥，D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查空间中线线关系、线面关系相关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关性质和定理掌握的熟练程度，属于基础题.7．B解析：B【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===．故选：B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 8．D解析：D【分析】本题先通过平移确定异面直线1A B 与1AD 所成角11A BC ∠，再在11A BC 中通过余弦定理求该角的余弦值即可.【详解】解：连接11A C 、1BC （如图），设12=2AA AB k =（0k >），则115A B C B k =，112AC k ，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，∵11//BC AD ，∴ 异面直线1A B 与1AD 所成角可以表示为11A BC ∠，在11A BC 中，222222111111114cos 25255A B BC AC A BC A B BC k k+-∠===⋅⋅⨯⨯，故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，余弦定理，是中档题.9． B 解析：B【分析】由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.【详解】截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,又MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，PQ ∴//平面ADC ，PQ ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC = PQ AC ∴//，同理可得PN BD //由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，得AC //平面PQMN ，则②正确；由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //,所以AC AD MN DN=，同理可证BD AD PN AN=，由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等，则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.10．D解析：D【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解.【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误；对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误；对于D .由面面垂直的性质定理可得正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题. 11．C解析：C【分析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确.故选：C .【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．12．C解析：C【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．13．A解析：A【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知：在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．D解析：D【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A BC ⊥，又//AD BC ，∴选项A 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．二、解答题15．（1）证明见解析；（2）330. 【分析】（1）易证得CD ⊥平面ABD ，由线面垂直性质可得CD BF ⊥，利用线面垂直判定定理可证得BF ⊥平面ACD ，由线面垂直性质证得结论；（2）利用勾股定理可求得,AD BD 长，在ABD △中，利用面积桥可求得BF ，进而得到BDF S ；由等腰三角形三线合一可知E 为AC 中点，由此确定E 到平面ABD 的距离；利用体积桥和三棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）AB 垂直于圆O 所在平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥， BC 为圆O 的直径，CD BD ∴⊥，又,BD AB ⊂平面ABD ，AB BD B =，CD平面ABD ， BF ⊂平面ABD ，CD BF ∴⊥，又BF AD ⊥，AD CD D =，,AD CD ⊂平面ACD ，BF ∴⊥平面ACD ， AC ⊂平面ACD ，BF AC ∴⊥.（2）2BC =，60CBD ∠=︒，CD BD ⊥，1BD ∴=，由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD 知：AB BD ⊥，AD ∴==，111222ABD S AB BD AD BF BF ∴=⋅=⋅==，解得：5BF =，DF ∴===11122555BDF S DF BF ∴=⋅=⨯=， AB BC =，BE AC ⊥，E ∴为AC 中点，由（1）知：CD ⊥平面ABD ，E ∴到平面ABD 的距离为122CD =，13230B DEF E BDF BDF V V S --∴==⨯=. 【点睛】方法点睛：立体几何求解三棱锥体积的问题常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.16．（1）证明见解析（2 【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果.【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅175********+-⨯⨯885=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．（1）证明见解析；（2）43. 【分析】（1）由ABCD 为矩形，易得G 是AC 的中点，又BF ⊥平面ACE ，BC ＝BE ，则F 是EC 的中点，从而FG ∥AE ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据AD ⊥平面ABE ，易得AE ⊥BC ，再由BF ⊥平面ACE ，得到AE ⊥BF ，进而得到AE ⊥平面BCE ，然后由C AEB A BCE V V --=求解.【详解】（1）如图所示：因为底面ABCD 为矩形，所以AC ，BD 的交点G 是AC 的中点，连接FG ，∵BF ⊥平面ACE ，则CE ⊥BF ，而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点，∴FG ∥AE .又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD .（2）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .又BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，∴AE ⊥平面BCE .∴三棱锥C -AEB 的体积11142223323C AEB A BCE BCE V V S AE --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 【点睛】方法点睛：1、判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．（1）证明见解析；（282π 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC =，在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)3V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.19．体积3V π＝；表面积(213π+．【分析】由已知计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积和体积公式，即可得到答案.【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为'h ，圆锥的高224223h -=＝'3h ＝，1'2h h ∴＝，则23312223r -=，1r ∴＝． ∴圆柱的体积23V r h ππ'=＝；表面积(222213S r rh πππ=+='．【点睛】本题考查的知识点求圆柱的表面积和体积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.20．（1）答案见解析；（2）6．【分析】（1）分别取BC 、11B C 的中点O 、1O ，连接11A O 、1OO 、AO ，则AO BC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面ABC ，推出AO ⊥平面11BCC B ，同理可得，11A O ⊥平面11BCC B ，故11//AO AO ，即1A 、1O 、O 、A 四点共面；易知1OO BC ⊥，而AO BC ⊥，于是有BC ⊥平面11AO OA ，故而得证；（2）由（1）知，AO ⊥平面11BCC B ，得1AO OO ⊥，于是1OO ，OA ，OB 两两垂直，故以O 为原点，OA 、OB 、1OO 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面11ABB A 的法向量n ，设直线1EB 与平面11ABB A 所成角为θ，由1sin |cos EB θ=<，|n >，即可得解．【详解】（1）证明：分别取BC 、11B C 的中点O 、1O ，连接11A O 、1OO 、AO ，ABC ∆为正三角形，AO BC ∴⊥，平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AO ⊂平面ABC ， AO ∴⊥平面11BCC B ，同理可得，11A O ⊥平面11BCC B ，11//AO AO ∴，1A ∴、1O 、O 、A 四点共面．等腰梯形11BCC B 中，O 、1O 分别为BC 、11B C 的中点，1OO BC ∴⊥，又AO BC ⊥，1AO OO O ⋂=，AO 、1OO ⊂平面11AO OA ，BC ∴⊥平面11AO OA ，1AA ⊂平面11AO OA ，1AA BC ∴⊥．（2）解：由（1）知，AO ⊥平面11BCC B ，1OO ⊂平面11BCC B ， 1AO OO ∴⊥，1OO ∴，OA ，OB 两两垂直，故以O 为原点，OA 、OB 、1OO 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(23A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(0B ，13)，(0C ，2-，0)，(3E 1-，0)，∴1(3EB =-23)，(23AB =-，2，0)，1(0BB =，1-3)，设平面11ABB A 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1·0·0n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即232030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =1x =，1z =，∴(1n =31)，设直线1EB 与平面11ABB A 所成角为θ，则1sin |cos EB θ=<，11·236|5343131·EB n n EB n>===++⨯++，故直线1EB 与平面11ABB A 所成角的正弦值为6【点睛】关键点点睛：本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 21．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点. 连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD . 又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC 所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥，所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30. 【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）cos m n m nα=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.22．（1）见详解；（2）23 【分析】（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，先证明BD ⊥平面1AMC ，进而可得面面垂直；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AFMG AM=，连接1C H ，根据题中条件，得出1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，结合条件，即可计算出结果.【详解】（1）由题意知AM BD ⊥，又因为1AC BD ⊥，1AC AM A ⋂=，1AC ⊂平面1AMC ，AM ⊂平面1AMC ，所以BD ⊥平面1AMC ，因为BD ⊂平面ABD ，所以平面1AMC ⊥平面ABD ；（2）在平面1AC M 中，过1C F 作1C F AM ⊥交AM 于点F ，由（1）知，1C F ⊥平面ABD ，所以1C F AD ⊥；过点F 作FHAD ⊥于点H ，过点M 作MG AD ⊥于点G ，则//MG FH ，所以FH AFMG AM=，连接1C H ，由1C F AD ⊥，FHAD ⊥，1FH C F F ⋂=，FH ⊂平面1C FH ，1C F ⊂平面1C FH ，所以AD ⊥平面1C FH ，则1AD C H ⊥，所以1FHC ∠即为二面角1C AD B --的平面角；设1AM ＝，则2AB AC ==，BC =2MD =12DC DC ==，AD =在Rt AMD 中，1122AMDSAM MD AD MG =⋅=⋅，则4MG =，在1Rt C MD中，()(2222211229MC C D MD =-=--=－设AF x =，在1Rt C FA 中，222211AC AF MC MF -=-，即(()22491x x -=---，解得，2x =，即2AF ＝所以1C F =，()2AF FH MG AM =⋅==因此1C H ===所以11cos 2FH FHC C H ∠=== 即二面角1C AD B--的平面角的余弦值是2.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 23．（1）证明见解析；（2）3V =. 【分析】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）求出四棱锥A BCDE -的高为32，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形，所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，ABBD B =，所以EC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥．（2）因为在菱形BCDE 中，π3EDC ∠=，2BC BE ==，所以2CE =，BD =因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以14BH BD ==．因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ，又π3ABD ∠=，所以3tan 2AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32．即三棱锥D ABC -的高为32.易得BCD 的面积11122BCDSBD OC =⋅=⨯=，所以三棱锥D ABC -的体积1332A BCD D ABC V V --===【点睛】方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下：（1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质. （2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法. 24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）取PD 中点N ，证明BMNC 为平行四边形，得到//BM NC ，从而得到//BM 平面PCD ．（2）对三棱锥B CDM -进行等体积转化，转化为求P BCD -的体积的一半．取AB 中点O ，连PO ，可证PO 为三棱锥P BCD -的高并求出其长度，求出BCD △的面积，得到三棱锥P BCD -的体积，即可求出三棱锥B CDM -的体积．【详解】证明：（1）取PD 中点N ，连接MN ，NC , MN 为PAD △的中位线，//MN AD ∴，且12MN AD =，又//BC AD ，且12BC AD =，//MN BC ∴，且MN BC =，则BMNC 为平行四边形，//BM NC ∴，又NC ⊂平面PCD ，MB ⊂/平面PCD ， //BM ∴平面PCD ．（2）取AB 中点O ，连PO ，,PB PA PO AB =∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABCD ． PO ∴为三棱锥P BCD -的高， PA PB =，4AB =，PB PA ⊥，PAB ∴为等腰直角三角形，2PO =， 90DAB ABC ，//AD BC ，1134622BCDSBC AB =⨯⨯=⨯⨯=， M 是PA 的中点，∴三棱锥B CDM -的体积为：11162223126P B CDM M BCD BCD BCDV V V SPO ---==⨯=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题． 25．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB =，3AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B ，()0,3,0A ，13,,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,Pa ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,3,0AB =-有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030x az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令3z =，所以()1=33n a a ,,，12231cos60cos ,243n n a ︒===+，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，133,,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,30,3,2PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111330223302x y z y z ⎧-+-=⎪⎪⎪-=⎪⎩，令12z =，所以()3-3,3,2n =． 233cos ,4934n n ==++，所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）217．【分析】（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，证明1B C ⊥平面ABO ，可得1B C AB ⊥；（2）作ODBC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，证明1CBB 为等边三角形，求出1B 到平面ABC 的距离，即可求三棱柱111ABC A B C -的高．【详解】（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，侧面11BB C C 为菱形，11BC B C ∴⊥，AO ⊥平面11BB C C ，1AO B C ∴⊥，1AOBC O =，AO ⊂平面ABO ，1BC ⊂平面ABO1B C ∴⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ， 1B C AB ⊥∴；（2）解：作ODBC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO OD O ⋂=，AO ⊂平面AOD ，OD ⊂平面AODBC ∴⊥平面AOD ，OH BC ∴⊥，OH AD ⊥，BC AD D ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AD ⊂平面ABC OH ∴⊥平面ABC ， 160CBB ∠=︒，1CBB ∴△为等边三角形，1BC =，OD ∴=， 1AC AB ⊥，11122OA B C ∴==，由OH AD OD OA =，可得AD ==，OH ∴=，O 为1B C 的中点，1B ∴到平面ABC ，∴三棱柱111ABC A B C -的高7．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

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