同济大学理论力学导学14碰撞

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第十五章碰撞_理论力学

应选
，即小锤大砧。
打桩也属于这种情况。不过我们希望碰撞结束后，桩应获得最大的动能，以使桩克服土
壤的阻力前进，即碰撞过程中系统的动能损失应尽可能地小。为此，应选大锤小桩。
，即
4. 两球的斜碰撞
当球心速度不在连心线上时，两球发生斜碰撞，这
时两球球心均作二维平面运动（球是光滑的，因而碰撞后不发生转动）。建立坐标系 Oxy 将
在理想情况下，可以有，即材料变形完全不能恢复，称为塑性碰撞（例如粘土）。这时，两球相撞后粘在一起运动。
在理想情况下，也可以有，即材料变形可以完全恢复，称为完全弹性碰撞。这时，可由式（15-7）求得两球碰撞后的速度。
将式（15-7）的最后两式相减，可得
或
（15-8）
此式常称为碰撞的牛顿公式，它有明确的物理意义，恢复系数等于碰撞后两球相分离的速度
与碰撞前两球相接近的速度之比。可以证明，在物体间是单点碰撞的情况下，式（15-6）与（15-8）是等价的。因此，也可以用式（15-8）作为恢复系数的定义。
对球与固定面相碰撞的情况，可令式（15-7）中
，
的速度为
，求得球在碰后
或由此可导出一种恢复系数的实验测定法。小球由 h1 的高度处由静止开始自由下落，碰到固定面后弹回，弹回的高度是 h2，则
为作用于质点 i 上的质系的
外力。文字表述是：质系在 t2 及 t1 时刻的动量的变化，等于在同一时间间隔内作用于质系的外碰撞冲量的主矢，可写成质心运动定理形式
★ 质系动量矩定理的积分形式（冲量矩定理）
（15-2）
（15-3）
或
式中与分别为 t2 及 t1 时刻质系对 O 点的动量矩，为质点 i 的矢径，根据前面的假设，在碰撞过程中它是不变的。文字表述是：质系在 t2 及 t1 时刻对 O 点动量矩的变化，等于在同一时间间隔内作用于质系的外碰撞冲量对同一点的主矩。矩心可以取在固定点 O ，也可以取在质系的质心 C 。即：

《理论力学动力学》第六讲碰撞理论碰撞的分类·碰撞问题的简化

碰撞理论
曾凡林
哈尔滨工业大学理论力学教研组
本讲主要内容
1、碰撞的分类·碰撞问题的简化
2、用于碰撞过程的基本定理
3、质点对固定面的碰撞·恢复因数
1、碰撞的分类·碰撞问题
的简化
两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力学现象。

碰撞是工程与日常生活中一种常见而又非常复杂的力学现象。

锤锻、打桩、各种球类活动中球的弹射与反跳、汽车撞击事故、火车车厢挂钩的连接等都是碰撞的实例。

飞机着陆、飞船对接中也涉及碰撞问题。

（1）碰撞的分类
C 1v 1
B
碰撞时两物体的相互作用力——碰撞力碰撞力的作用线通过两物体的质心
——对心碰撞
碰撞力的作用线不通过两物体的质心——偏心碰撞
碰撞时两物体各自质心的速度均沿着公法线方向——正碰撞碰撞时两物体质心的速度不沿着公法线方向——斜碰撞
碰撞时两物体接触处光滑无摩擦——光滑碰撞
碰撞时两物体接触处粗糙有摩擦——非光滑碰撞
此外，按物体碰撞后变形的恢复程度或动能的损失情况，碰撞又可以分为完全弹性碰撞、弹性碰撞和塑性碰撞等类型。

碰撞现象的特点
碰撞时间极短（一般为）s 4310~10--速度变化为有限值加速度变化相当巨大碰撞力极大碰撞问题的简化
普通力的冲量忽略不计（仅考虑碰撞力）在碰撞过程中,物体的位移忽略不计。

理论力学-碰撞

i 1
n
mz (Si(e) )
2 1 i1 I z
26
碰撞时刚体角速度的改变，等于作用于刚体的外碰撞冲量对转轴之矩的代数和除以刚体对该轴的转动惯量。
下面研究碰撞时轴承反力的碰撞冲量SO 的计算及消除条件：设刚体有对称面，绕垂直此平
面的固定轴Oz转动，质量M，质心
C点且OC= a，s 作用在对称平面
撞冲量的矢量和。
式（19-1)、(19-2)和(19-3)都写成投影形式，形式上与普通的动量定理相同，所不同的是在这里都不计普通力的冲量。
2、用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
由假设(2)知，碰撞过程中，质点的矢径 r 保持不变，
则由(19-1)式，有：
r mu r mv r S
而 r mv lO1 , r mu lO2 ；lO1和lO2 为碰撞始末时质点对
(2)
对于塑性碰撞
（k
=0）：T
T1
T2
m1m2 2(m1 m2 )
(v1
v2 )2
或
T
1 2
m1(v1
u1)2
1 2
m2 (v1
u2)2
塑性碰撞时损失的动能等于速度损耗的动能。若v2=0，则
(3)
T
m1m2 2(m1 m2 )
v12
1 2
m1v12
对于弹性碰撞（0<k <1 ）：
m2 m1 m2
m1 m2
25
§19-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用撞击中心
设刚体绕固定轴z 转动，转动惯量为IZ，受到外碰撞冲量
S (e) i
(i
1,2,, n)
的作用。
碰撞开始时 Lz1 I z1

理论力学第十六章

9
2、碰撞的动量矩定理——冲量矩定理
由假设(2)知，碰撞过程中，质点的矢径 r 保持不变，则有： r mu r mv r I
而 r mv lO1 , r mu lO2；lO1和lO2 为碰撞始末时质点对O
点的动量矩。所以：
lO2 lO1 mO (I ) HO
碰撞时，质点对任一固定点动量矩的改变，等于作用于该质点的碰撞冲量对同一点之矩。
Mga
1 2
J
2
O1
0
1 2
1 3
M
(2a)2
12
求得：
1
3g 2a
碰撞结束时：2 k1 k
3g 2a
26
由
2
(1 )
Il JO
得
I
JO l
(1
2)
4Ma2 (1 3l
k)
3g 2a
根据冲量定理，得：
M (a2 a1) IOx I
IOy 0
则
IOx
M
( 1
a2
)(
4a2 3l
a)
(m1u1 m2u2 )(m1v1 m2v2 )0 (1)
列出补充方程： e u2 u1
(2)
v1 v2
（分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地
对于第一阶段： m1(u v1) I1 , m2 (u v2 ) I1 对于第二阶段： m1(u1 u) I2 , m2 (u2 u) I2
C y
1 2
2
cos
（e）
由（b）和（c）两式得 mCy m sin I
（f）
1 12
ml 22
I
l 2
cos
（g）

2024年高考物理热点-碰撞与类碰撞模型(解析版)

碰撞与类碰撞模型1.碰撞问题是历年高考试题的重点和热点，它所反映出来的物理过程、状态变化及能量关系，对学生的理解能力、逻辑思维能力及分析推理能力要求比较高。

高考中考查的碰撞问题，碰撞时间极短，位移为零，碰撞过程遵循动量守恒定律。

2.高考题命题加重了试题与实际的联系，命题导向由单纯的解题向解决问题转变，对于动量守恒定律这一重要规律我们也要关注其在生活实际中的应用，学会建构模型、科学推理。

3.动量和能量综合考查是高考命题的热点，在选择题和计算题中都可能出现，选择题中可能考查动量和能量知识的简单应用，计算题中一般结合竖直面内的圆周运动模型、板块模型或弹簧模型等压轴考查，难度较大。

此类试题区分度较高，且能很好地考查运动与相互作用观念、能量观念动量观念和科学思维要素，因此备考命题者青睐。

题型一人船模型1．模型简析：如图所示，长为L 、质量为m 船的小船停在静水中，质量为m 人的人由静止开始从船的一端走到船的另一端，不计水的阻力。

以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向不受外力作用，所以整个系统动量守恒，可得m 船v 船=m 人v 人，因人和船组成的系统动量始终守恒，故有m 船x 船=m 人x 人，由图可看出x 船+x 人=L ，可解得x 人=m 船m 人+m 船L ，x 船=m 人m 人+m 船L 。

2．模型特点(1)两个物体作用前均静止，作用后均运动。

(2)动量守恒且总动量为零。

3．结论：m 1x 1=m 2x 2(m 1、m 2为相互作用物体的质量，x 1、x 2为其对地位移的大小)。

题型二“物块-弹簧”模型模型图例m 1、m 2与轻弹簧(开始处于原长)相连，m 1以初速度v 0运动两种情景1.当弹簧处于最短(最长)状态时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大：(1)系统动量守恒：m 1v 0=(m 1+m 2)v 共。

210212共pm 2.当弹簧处于原长时弹性势能为零：(1)系统动量守恒：m1v0=m1v1+m2v2。

理论力学-碰撞理论

例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向速度碰撞，碰撞时间只有0.0002秒。
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
接示波器
力传感器
塑料
第八章碰撞
§8-1 碰撞现象及其基本特征
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。例如，用铁锤打击钢板表面。
锤重4.45N; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s; 碰撞的时间间隔 0.00044s; 撞击力峰值 1491 N，静载作用的335倍。
研究的问题：车体间的碰撞、人体与车体的碰撞、人体内脏的碰撞
第八章碰撞
§8-1 碰撞现象及其基本特征
工程中碰撞实例
第八章碰撞
§8-1 碰撞现象及其基本特征
这些都是碰
？撞现象吗
第八章碰撞
§8-1 碰撞现象及其基本特征
二、碰撞问题基本特征
碰撞过程的持续时间极短，通常用千分子一秒或万分之一秒来度量。
对于整个质点系有
M O ( m v i ) M O ( m v i ) M O ( I i ( e ) )
全部内碰撞冲量之矩的总和恒等于零，所以只剩下外碰撞冲量的矩。
第八章碰撞
§8-2 碰撞时的动力学定理
冲量矩定理
M O ( m v i ) M O ( m v i ) M O ( I i ( e ) )
把上式投影到任一轴上，例如Ox上，则得
M x ( m v i ) M x ( m v i ) M x ( I i ( e ) )
z miv'i
Ii
ri
xO
mivi
Mi
y
上面两式分别表示了碰撞时质点系对点（或对轴）的冲量矩定理，即在碰撞过程中，质点系对任一点（或任一轴）的动量矩的变化，等于该质点系所受到外碰撞冲量时对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（或代数和）。

【理论力学2】第二章碰撞

积分或
得

LO 2 dLO LO1

i 1
n
t
0
(e) ri dI i
n t n (e) t (e) LO 2 LO1 ri dI i ri dI i i 1 0 i 1 0
n n (e) (e) LO 2 LO1 ri I i M O (I i ) （2－4） i 1 i 1 ( e) 称 ri I i 为冲量矩其中不计普通力的冲量矩（2－4）是用于碰撞过程的动量矩定理又称为冲量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩
i 1 i 1 i 1 i 1
1.用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
(e) 因为 I i 0 于是得
i i 1
(e) mii mii I i
n

n

n
i 1
i 1
i 1
（2－2）
式（2－2）是用于碰撞过程的质点系动量定理因此又称为冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢（2－2）可写成 n mC I i(e) mC （2－3） i 1 分别是碰撞开始和结束时质心的速度式中 C 和 C
2gh2
于是得恢复因数 h2 k h1 几种材料的恢复因数见表
碰撞物体铁对铅木对胶木对的材料木木恢复因数 0.14 0.26 0.50 钢对钢 0.56 象牙对象牙 0.89 玻璃对玻璃 0.94
对于各种实际的材料均有0<k<1 由这些材料做成的物体发生的碰撞称为弹性碰撞物体在弹性碰撞结束时变形不能完全恢复动能有损失 k=1称为完全弹性碰撞 k=0称为非弹性碰撞或塑性碰撞

理论力学_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

理论力学_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和力偶臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。

参考答案:正确2.力可以沿着作用线移动而不改变它对物体的运动效应。

参考答案:错误3.一空间力系，若各力作用线垂直某一固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。

参考答案:正确4.一空间力系，若各力作用线与某一固定直线相交，则其独立的平衡方程最多有5个。

参考答案:正确5.由n个力组成的空间平衡力系，若其中（n-1）个力相交于A点，则另一个力___________________。

参考答案:也一定通过A点；6.在合成运动问题中，静坐标系是被认为固定不动的坐标系，而动坐标系是相对于该静坐标系有运动的坐标系。

参考答案:正确7.系统在某一运动过程中，作用于系统的所有外力的冲量和的方向与系统在此运动过程中______________的方向相同。

参考答案:动量的改变量8.某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系对任意一点的主矩都不可能为零。

参考答案:错误9.人重P1，车重P2，置于光滑水平地面上，人可在车上运动，系统开始时静止。

则不论人采用何种方式（走，跑）从车头运动到车尾，车的______________________。

参考答案:位移是不变的10.质点系动能的变化等于作用在质点系上全部外力所作的功。

参考答案:错误11.滚阻力偶的转向与物体滚动的转向相反。

参考答案:正确12.质心的加速度只与质点系所受外力的大小和方向有关，而与这些外力是否作用在质心上无关。

参考答案:正确13.在任何情况下，摩擦力的大小总等于摩擦因数与正压力的乘积。

参考答案:错误14.一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成为一个力。

参考答案:正确15.若质点系的动量在x方向的分量守恒，则该质点系的质心的速度在x轴上的投影保持为常量。

参考答案:正确16.已知均质滑轮重P0=200N，物块A重P1=200N，B重P2=100N，拉力F2=100N，系统从静止开始运动，任一瞬时图（a）系统的物块A有加速度a1，图（b）系统的物块A有加速度a2，则_________。

理论力学第三章碰撞

质点系动量矩定理的积分形式
冲量矩定理
n
n
ri mi vi ri mi vi
i 1
i 1
n
i 1
t2 t1
ri
d
I
e i
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
MO (I e)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于
同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩
的主矩。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
2.碰撞现象的特点
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中，各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间以极快的速度转换。
m
势能
动能 m
弹性应变能
2.碰撞现象的特点
e＝ vAn vA cos vAn vA cos
水平方向动量守恒 mvA sin ＝mvA sin
B
e＝ tan
tan
§3-4 碰撞问题举例
例题1
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为 vA
试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
T1 m
A
mB
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：汽锤和打桩机锤头打击前后的动能变化
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A

理论力学碰撞问题

（b）
v1 v2

v1

(1

k
)
m2 m1 m2
v2

(1
k
)
m1 m1 m2
(v1

v2
)

(v1

v2
)
（c）
在理想情况下, k=1,有
1

v1

2m2 m1 m2
(v1

v2 )，v2

v2

2m1 m1 m2
(v1

v2 )
如果 m1 m2 则 v1 v2 ，v2 v1
IOx 0
此时点K 称为撞击中心
例12－9
均质杆质量为m，长为2a，其上端由圆柱铰链固定
，杆由水平位置无初速地落下，撞上一固定的物块，设恢复因数为k.
求（1）轴承的碰撞冲量
（2）撞击中心的位置
解：应用动能定理：
1 2
J O12

0

mga
由恢复因数 k vn 2l 2 vn 1l 1
§12－9 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用·撞击中心
1.定轴转动刚体受碰撞时角速度的变化
n
Lz2 Lz1 M z (Ii(e) ) i 1
即
n
J z2 J z1
M
z
(
I
(e) i
)
i 1
角速度的变化为
2 1
M
z
(
I (e) i
)
Jz
2.支座的反碰撞冲量·撞击中心
在塑性碰撞时 k=0 动能损失为
T
T1

理论力学第19章碰撞

普通高等教育规划教材
理论力学
编著课件制作肖明葵程光均张祥东吴云芳邹昭文王建宁
第19章
碰撞
19.1 碰撞现象瞬时力碰撞的基本假设
19.2 碰撞时的动力学普遍定理
19.3 恢复因数两个物体的正对心碰撞
碰撞过程之中的能量损失
19.4 碰撞时定轴转动刚体角速度的变化
撞击中心
第19章
19.2 碰撞时的动力学普遍定理
这里需要说明的是碰撞力所做的功如何计算。在碰撞过程中质点的位移虽然很小，但和极大的碰撞力相乘其值将不再是微量而是一个有限值，因而不能忽略。把碰撞力F ' 的元功表成
dW F ' dr F ' v 'dt
I ' v ' dI ' v dI ' m
v
(图19.1c)，这时碰撞结束。
19.3 恢复因数两个物体的正对心碰撞碰撞过程中的能量损失
图 19.1
19.3 恢复因数两个物体的正对心碰撞碰撞过程中的能量损失
上述碰撞过程可分为两个阶段。在第一阶段，物体的动能减小到零，变形增加，设在此碰撞过程中的碰撞冲量为 I ，则应用冲量定理在y 轴上的投影时，有
碰撞
碰撞是在工程实际和日常生活中常见的一种力学现
象。本章将根据碰撞现象的特征，应用动量定理及动量
矩定理对物体碰撞进行研究，并介绍恢复因数和撞击中心等概念。
19.1 碰撞现象瞬时力碰撞的基本假设
两个及两个以上相对运动的物体接触并伴有速度突然变化的现象称为碰撞。如榔头敲击钉子或石块，打桩，锤锻冲压，球与地面相碰，飞机着陆，飞船对接等。碰撞现象的特点是：在极短时间内运动物体的速度发生有限的变化，物体的加速度极大，因而作用于物体的力的数值也必然很大。例如用榔头敲击物体，试验表明，碰撞时产生的打击力比榔头的重量要大数百倍。

理论力学第十四章拉格朗日方程 [同济大学]

动力学
韋林教授
第十四章拉格朗日方程(第二类方程) §14-1动力学普遍方程
达朗伯原理虚位移原理
例14-1 一套滑轮系统悬挂两个重物.设:绳,滑轮质量不计.求重为P1的物体上升的加速度a1。解:
(P 1F 1 g )δS1 ( P 2 F2 g )δS 2 0
(F F
i
r
r i δq j j 1 q j
广义力 r r r i i i q j, (1) vi r t j 1 q j
r
d T T )δq j 0, j q j dt q
Qj
δq j 0
V q j
广义速度
ri
d T T Qj, j q j dt q
T 1 1 1 2 m2v 2 (m1 m2 ) R 2 2 J 0 2 2 2
1 1 2 kR 2 2 L T V (m1 m2 )R 2 2 2

m1
V
1 l k k 2 2 mg θ (δ0 bθ )2 δ0 θ b 2 2 2 2 2
3
v0 v
x
L R 2 k1 k 2 ( y R )( R ),
d L L ( ) 0 dt y y L , m2 y y L ( y R )k 2 y
R 2 k1 ( y R)k 2 ( R) 0 m1 R 2
R 2 (k1 k 2 ) k 2 Ry m1 R 2
k 2 y k 2 R m2 y
r 1 3 3 xc x r sin 1 , c x r cos θ1θ x 1 v0 1 2 2 c 3 3 , v0 rθ x c r sin 1 yc r cos 1 , y 2 1 2 2 2 2 r 2 9 r 2θ 2 3θ θ 2 r 2 ( 3 r cos 2 3 2 3 r 2 cos θ vc2 2 1 2 1 cos θ1r 2 1 1 ) ( r sin 11 ) 2 2 1 1 4 2 2 2

理论力学PPT课件第6章6.3碰撞

情况下。
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应用
弹性碰撞公式可以用于计算两个物体碰撞后的速度，它是解决碰撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量在碰撞前后保持不变，即动量守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化为其他形式的能量，如热能或内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以弹性反作用力形式出现，没有能量损失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以非弹性反作用力形式出现，能量损失最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以弹性反作用力形式出现，部分以非弹性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞，运动轨迹发生变化，遵循动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体变形，遵循动量守恒和能量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发生相互作用，考虑三个方向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞，需要考虑地球引力、太阳辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01

第14讲碰撞

考题分析碰撞问题很少有学校会考到，并且一般将其总结为动量守恒定理的一部分，但是对于碰撞的一下基本概念大家还是应该有所了解。

考点2：含有平面偏心碰撞或平面斜碰撞的动力学问题。

主要考点：碰撞的基本概念；对心碰撞的基本概念；碰撞的三个阶段。

能够根据题意，恰当的选择各阶段的研究对象。

对于碰前阶段和碰后阶段，应按动力学的常规方法处理；而对于碰撞阶段，应根据碰撞的特征、假设和基本定理进行特殊的分析和计算。

物块A 的质量为m A ，自由下落高度h 后与平台B 发生完全塑性碰撞，如图所示。

试求弹簧总压缩量的最大值。

杆由水平位置静止释放，杆在铅直位置撞到质量为m 2的小物块B ，使后者沿着粗糙的固定水平面滑动。

已知动滑动摩擦因数为f ′，碰撞是非弹性的，求小物块B 移动的距离s。

主要考点和知识点：碰撞的基本概念；偏心碰撞的基本概念；碰撞的三个阶段。

能够根据题意，恰当的选择各阶段的研究对象。

对于碰前阶段和碰后阶段，应按动力学的常规方法处理；而对于碰撞阶段，应根据碰撞的特征、假设和基本定理进行特殊的分析和计算。

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= 11463N⋅s
理论力学导学第3篇动力学_
第14章碰撞
16
碰撞后、前的动能之差
∆T
= T2
− T1
=
1 2
J OωO′2
+
1 2
mvC′2
+
1 2
J CωB′2D
−
1 2
2mv 2
=
−
4 7
mv 2
负值为动能损失。
理论力学导学第3篇动力学_
第14章碰撞
17
例7：质量为m的两相同匀质杆AB和BD铰接，水平地落下，与
0
式中：
J C1
=
JC2
=
2m( l )2 2
=
1 2
ml 2
即：
−
1 2
ω1′l
+
vC′ 1
−
1 2
ω2′l
+
vC′
2
+
v
=
0
（2）
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第14章碰撞
19
v
ω1′
vC1′
Ⅰ I′
v
IⅡ
vC2′ ω2′
e
=
−
vC′ 1
− ω1′
l 2
−
(vC′ 2
+ ω2′
l) 2
0−v
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第14章碰撞
1
理论力学导学
第14章碰撞
理论力学导学第3篇动力学_
第14章碰撞
2
第14章碰撞目录
1. 内容提要… … … … … … … … … … … … … 3 2.基本要求… … … … … … … … … … … … … 6 3.典型例题… … … … … … … … … … … … … 7 4.补充习题… … … … … … … … … … … … … 21
第14章碰撞
18
例8：质量相同的四个小球，用两根不计质量而长度均为l的刚杆连接，并置于光滑的水平面上，如图示。若刚体Ⅰ小球的速度均为v，刚体Ⅱ初始静止，碰撞的恢复因数为k，试求碰撞后两杆的角速度。
v
ω1′
vC1′
Ⅰ I′
v
解: 小球与杆连接，等同于两个刚体的偏心碰撞。系统可视为四个自由度。
1 12
m2 (3l)2
=
3 4
m2l 2
e
=
vC′
+ ω′
l 2
−
v′
（3）
v
在恢复因数式中出现的是接触点的速度向公法线投影量，
不是质心速度。
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第14章碰撞
式（1）、（2）、（3）联立得：
vC
=
e +1 4 + m2
v
= 1.5 m/s
3 m1
ω′ = 2vC′ = 3.33 rad/s
mv
根据碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中无需考虑物体的自重。
理论力学导学第3篇动力学_
第14章碰撞
11
例4：圆盘质量m=20kg，半径r=150mm。如由θ0=30°时的位置无
初速释放，圆盘与墙之间的恢复因数e=0.75，试求碰撞后圆盘弹
回的最大角度θ。解: 碰撞开始瞬时的速度由动能定理
v
系统对静点O取冲量矩定理，即
A
JOω′ + mvC′ r − mvr = 0 小球相对圆环
ω′
式中： J O= 2mr 2
vC′ = ω′r
速度为零，即在水平方向上
代入得 ω′ = v
3r
为塑性碰撞。
系统在水平向取冲量定理，即 2mvC′ − mv = −IO
得
IO
=
m(v
− 2vC′ )
=
1 3
碰撞点的速度在公法线上的投影。
即：
ve
=
vC′ 1
+
ω1′
l 2
+
vC′ 2
+
ω2′
l 2
（3）
由刚体Ⅰ对质心冲量矩定理，有
J
C1ω1′
=
I
l 2
（4）
由刚体Ⅱ对质心冲量矩定理，有
J
C 2ω2′
=
I′
l 2
（5）
由式（4）、式（5）得： ω1′ = ω2′
再与式（1）、式（2）、式（3）得：
得
ω1′
第14章碰撞
10
例3：一小球A以水平向速度v打道一可以绕水平轴O转动的圆环
上，如图示。小球A与圆环中心C在同一水平线上。碰撞后，小
球相对圆环的速度为零。设小球与圆环的质量均为m，试求支点
O的碰撞冲量。解: 虽然小球A的碰撞过圆环的质心，但支点O
O
IO
处的约束冲量不过圆环的质心，为偏心碰撞。
vC′ C
+
mB (l
+
r)
=
2mOA
+
5mB
r
mOA + mB
mOA + mB
B
JO
=
1 3
mOA (4r)2
+
1 2
mBr 2
+
mB
(l
+
r)2
=
(16 3
mOA
+
51 2
mB
)r
2
OK =
JO
=
(16 3
mOA
+
51 2
m
B
)
r
2
= 5r
b(mOA + mB )
(2mOA + 5mB )r
解得：
mOA = 3 mB 28
O
解: 因为冲量不过棒的质心，故为偏心碰撞。
IA A
l
棒有两个自由度，设vC′与ω ′为运动学独立变量。
在水平方向动量守恒，即
2l
vC′ C v v′
m1v′ − m1v + m2vC′ = 0
（1）
对棒的质心点C取冲量矩定理，有
ω′
B
l
JCω′
+
m1v′
l 2
−
m1v
l 2
=
0
（2）
式中：J C=
b. 在碰撞过程中，质点系内各点的位移不计；
c. 固体在碰撞过程中，看作仅在碰撞处局部变形的刚体。
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第14章碰撞
4
(3) 碰撞的分类：
a. 按相碰撞物体的相对位置分为：对心碰撞与偏心碰撞：若碰撞冲量的作用线过通过两物体的质心，为对心碰撞，否则为偏心碰撞；正碰撞与斜碰撞：若两物体各自的质心沿着碰撞点的公法线，为正碰撞，否则为斜碰撞。
由系统在水平向冲量守恒，有
IⅡ
vC2′ ω2′
− 2mvC′ 1 + 2mvC′ 2 − 2mv = 0
即： − vC′ 1 + vC′ 2 − v = 0
（1）
由系统对总质心（碰撞点）冲量矩守恒，有
−
J C1ω1′
+
2mvC′ 1
l 2
−
J C 2ω2′
+
2mvC′ 2
l 2
−
(−2mv
l) 2
=
=
ω2′
=
1+ e 2
v l
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第14章碰撞
20
例9：一摆由一匀质细直杆和一匀质圆盘组合而成，如图示。设圆盘半径为r，杆长为l=4r，试求当摆的撞击中心正好与圆盘质心 B相重合时，直杆与圆盘的质量之比。
O
解: 撞击中心的位置与系统的质心位置有关。
C A
b
b
=
mOA
l 2
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第14章碰撞
3
1.内容提要 1)基本概念 (1) 碰撞现象的基本特征：
a. 碰撞过程的时间极短； b. 碰撞过程的碰撞力极大，且是变力； c. 碰撞过程的用碰撞冲量来度量。
(2) 研究碰撞问题的基本假设：
a. 在碰撞过程中，平常力（如重力、弹簧力等常力）的冲量不计；
一支座碰撞，如图示。设达到支座时的速度v，又碰撞是塑性
的，试求碰撞时的动能损失。
l/2 l/2
l
解: 碰撞时与碰撞后，系统具有两个
A
O ωΟ′B
IO
vC′
C
ωBD′
D
自由度。
对静点的冲量矩定理定理： JOωO′ + JCω′BD + mvC′ l − mvl = 0
式中：
JO
=
JC
=
1 12
ml 2
由：
0−
1 2
J Oω ′2
= −mgr (1 − cosθ )
即： θ = 22.3°
得： cosθ = 1− 3 rω′2 = 0.924
4g
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第14章碰撞
12
例5：设质量m1=0.2kg的垒球以水平方向的速度v=48km/h打在一质量为m2=2.4kg的木棒（视为匀质杆）上，棒长3l=900mm，木棒的一端用绳悬挂于天花板上，如图示。如恢复因数e=0.5，试求碰撞后棒两端A和B的速度。
C
mb
mb
I
K
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第14章碰撞
6
2. 基本要求
1) 理解碰撞现象，理解碰撞问题的基本假定。 2) 正确识别碰撞的类型。 3) 能准确应用恢复因数公式和冲量定理、冲量矩定理求解碰撞过程中相关物理量。

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