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x2
x t2
2 1 e
2
e
x
2 dt
1 ex2 2
。
6.
设级数
n1
1 an
绝对收敛。证明级数
n1
1 x an
在 x 不等于 an
n 1, 2,
时也是绝对收
敛的。并进一步证明上述级数在不含点 an n 1, 2, 的任意有界闭区间上一致收敛。
7. 设 f 以 2 为周期的连续函数， 2 f x dx 0 ，且存在常数 L ，使得对任意实数 x 和 0
7. 设 f 在0, 上单调递减，且 f x dx 收敛。证明 lim xf x 0 。
0
x
8.
（1） 设 f 在有限闭区间a, b 上连续。证明 f 可以连续地延拓到 上，即存在 上
的连续函数 F ，使 x a,b 时，有 F x f x 。
（2） 设二元函数 f x, y 在闭圆盘 B x, y : x2 y2 1 上连续。证明存在 2 上
y ， f x f y L x y 。证明： max f x L 。 x
8. 设 f 在a, 上可导，导函数有界，且 f x dx 收敛。证明： lim f x 0 。如果 f
a
x
的导函数无界，是否可证明 lim f x 0 ，举例说明。 x
9. 设 T 是平面上一条长为 L 的简单光滑的封闭曲线，其所围的面积为 A 。设 l1 ，l2 为T 的
1. 设 f x 在a,b 上可微，证明：存在 a,b ，使成立
2 f b f a b2 a2 f 。
2. 设 f x ex2 sin x ，求 f 2012 0 。
3. 设 f x 在闭区间a,b 上二阶可导且 f x 0 ，证明不等式
b
a
f
x dx
f
ab 2
b
a
。
的连续函数 F x, y ，使 x, y B 时，有 F x, y f x, y 。
（3） 设 f 在有限闭区间 a,b 上连续，是否有 上的连续函数 F ，使 x x y, 时，
有 F x f x ？分别考虑 f 为无界、有界的情况。
9.
（1） 2x sin x x ； （2） x x3 sin x x x3 。
4.
条件收敛的级数 an
任意交换求和次序得到的新级数也是收敛的。
n1
二、下列 4 题每题 15 分，计 60 分。
1. 计算下列极限：
1
（1）
lim
n
1
1 2
1 n
n
；
（2）
ex lim
esin x
。百度文库
x0 x sin x
2. 求积分 I D x y2 dxdy ，其中 D x, y : 0 x 1, 1 y 1 。
四、下列 3 题选做 2 题，计 24 分。 1.
（1）
设an 是正数列，且
lim
n
an
0。
证明：存在另一个正数列
bn
，使得
lim
n
bn
0 ， lim an b n
n
0；
（2） 设 an 为收敛的正项级数。 n1
证明：存在一个收敛的正项级数 bn
n1
，使得 lim an b n
n
0。
2.
设实数列
t
a, b
0
。
3. 设 f 在 0,1 上连续，并且 f a,b a,b ，即 f 的值域包含在0,1 内。证明存在
x0 0,1，使 f x0 x0 。
4. 计算三重积分
x2 y2 z2 dxdydz ，其中V x, y, z : x2 y2 z2, 2 z 8 。 V
5. 求函数 z x2 xy 2y2 在圆盘 x, y : x2 y2 1 上的最大、最小值。
6.
设级数
n1
1 an
绝对收敛。证明级数
n1
1 x an
在 x 不等于 an
n 1, 2,
时也是绝对收
敛的。并进一步证明上述级数在不含点 an n 1, 2, 的任意有界闭区间上一致收敛。
3. 设 L 为单位圆周 x2 y2 1，方向为逆时针，求积分
I
L
x
ydx x
x2 y2
4 y dy
。
4. 计算曲面积分
sin4 xdydz e z dzdx z2dxdy ， S
其中 S 为半球面 x2 y2 z2 1， z 0 ，定向为上侧。
三、下列 3 题，计 36 分。
苏州大学
2012 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。共 4 题，计 30 分。
1.
设
f
x
在
a,
b
上连续，且
b
a
f
x dx 0 ，则 x a,b ，
f
x 0。
2. 在有界闭区间a,b 上可导的函数 f x 是一致连续的。
3. 设 f x 的导函数 f x 在有限区间 I 上有界，则 f x 也在 I 上有界。
an
，
bn
满足
lim
n
an
1
，
lim
n
bn
2 。证明：
（1） n 充分大时，方程 x8 an x bn 在 0, 上有且只有一个解。
（2）
lim
n
xn
1。
3. 设 f x 在 R 上有连续一阶导数且 f 2 x f x 2 dx 1。证明：
（1） lim f x 0 ； x
6
3
2007 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 1.
（1） lim 8 n2 1 4 n 1 ； n
（2） lim ex3 1 x3 。 x0 sin2 2x
2.
计算积分
2 0
a2
cos2
dt t
b2
sin2
t
a, b
0
。
3. 设 f x, y 二 次 可 微 。 证 明 在 平 面 的 旋 转 变 换 x u cos vsin ，
y
u sin
v cos（其中
为定角）下，有恒等式
f x
2
f y
2
f u
2
f v
2
；
2 f x2
2 f y2
2 f u 2
2 f v2
。
4. 设 f 是定义在有限闭区间a,b 上的实值函数。证明：如果 f 在a,b 的每点上极限都
存在，则 f 有界。
5. 设 x 0 ，用重积分的方法证明
（2） x R ， f x 2 。
2
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 1. 求下列极限。
（1） lim
1
1
1
；
n n2 1 n2 2
n2 n
（2） lim ex3 1 x3 。 x0 sin2 2x
2.
计算积分
2 0
a2
cos2
dt t
b2
sin2
