实验四：抽样定理

Antialiasing
xa (t) filter
Sampler/ Holder
p(t)
A/D convertor
Digital Processor
图 4.1 模拟信号的数字处理过程
图 4.2 给出了信号理想抽样的原理图：
x(t)
×
xs (t)
D/A convertor
X( jω)
Antialiasing
x[n] = x(t) t=nTs = x(nTs )
4.6
在 MATLAB 中，对信号抽样的仿真，实际上就是完成式 4.6 的计算。下面给出一个例 题和相应的范例程序，来实现信号抽样的仿真运算。
例题 4.1 设连续时间信号为一个正弦信号 x(t) = cos(0.5πt)，抽样周期为 Ts = 1/4 秒，编
−∞
显然，已抽样信号 xs(t) 也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被 x(nTs) 加权了。 从频域上来看，p(t) 的频谱也是冲激序列，且为：
∞
∑ F{ p(t)} = ωs δ (ω − nωs )
4.4
−∞
根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两 个信号的傅里叶变换之间的卷积。所以，已抽样信号 xs(t)的傅里叶变换为：
t0 = 2; t = -t0:0.01:t0;
x = (1+cos(pi*t)).*(u(t+1)-u(t-1));
∑ X s (
jω )
=
1 Ts
∞
X(
n = −∞
j(ω
−
nωs ))
4.5
表达式 4.5 告诉我们，如果信号 x(t)的傅里叶变换为 X(jω)，则已抽样信号 xs(t) 的傅里
叶变换 Xs(jω)等于无穷多个加权的移位的 X(jω)之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连
续时间信号的频谱以抽样频率ωs 为周期进行周期复制的结果。如图 4.3 所示：
x(t)
X ( jω)
t p(t)
t Ts xs (t)
t
−ωM ωM
ω
ωs P( jω)
−ωs ωs
ω
1/ Ts
X s ( jω)
ω
图 4.3 信号抽样及其频谱图
由图可见，如果抽样频率不小于信号带宽的 2 倍时，xs(t) 的频谱中，X(jω)的各个复制 品之间没有混叠（Aliasing），因此，可以用一个理想低通滤波器来恢复原始信号。由抽样信 号恢复原来的原始信号的过程称为信号的重建( Reconstruction )。反之，如果抽样频率小于 信号带宽的 2 倍时，xs(t) 的频谱中，X(jω)的各个复制品之间的距离（也就是ωs）太近，所 以必将造成频谱之间的混叠，在这种情况下，是无论如何也无法恢复出原来的连续时间信号 的。
图 4.5 连续时间信号及其抽样后的离散时间序列 在这个范例程序中，先将连续时间 t 进行离散化，使之成为以 Ts = 1/4 秒的离散时间 n， 然后，将 n 代入到信号 x(t) 的数学表达式中计算，就完成了抽样过程，且得到了抽样后的 离散时间序列 x[n]。
2、 信号抽样过程中的频谱混叠
为了能够观察到已抽样信号的频谱是否会存在混叠现象，或者混叠程度有多么严重，有 必要计算并绘制出已抽样信号的傅里叶变换。
% Program4_2
% Signal sampling and reconstruction
% The original signal is the raised cosin signal: x(t) = [1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)].
clear; close all,
A/D 转换器的输出信号就是一个真正意义上的离散时间信号，而不再是冲激串了。 A/D 转换器的示意图如图 4.4 所示。
Sampler
x(t)
Holder
Quantizer
x[n]
p(t)
Ts
图 4.4 A/D 转换器示意图
上述的实际抽样过程，很容易用简单的数学公式来描述。设连续时间信号用 x(t)表示， 抽样Biblioteka Baidu期（Sampling Period）为 Ts，抽样频率（Sampling Frequency）为ωs，则已抽样信 号的数学表达式为
wm = 2*pi;
% The highest frequency of x(t)
a = input('Type in the frequency rate ws/wm=:'); % ws is the sampling frequency
wc = wm;
% The cutoff frequency of the ideal lowpass filter
∞
p(t) = ∑δ (t − nTs )
4.1
−∞
由图可见，模拟信号 x(t)经抽样后，得到已抽样信号（Sampled Signal）xs(t)，且：
xs (t) = x(t) p(t)
4.2
将 p(t)的数学表达式代入上式得到：
∞
∑ xs (t) = x(nTs )δ (t − nTs )
4.3
图 4.6 信号重建原理图
理想低通滤波器也称重建滤波器，它的单位冲激响应
h(t) = ωcT sin(ωct)
4.7
πωct
∞
∑ 已抽样信号 xp(t)的数学表达式为： x p (t) = x(nT )δ (t − nT ) ，根据系统输入输出的 −∞
卷积表达式，我们有
xr (t) = x p (t) ∗ h(t)
x = cos(0.5*pi*t);
xn = cos(0.5*pi*n);
% Sampling
subplot(221)
plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t')
subplot(222)
stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n') 执行该程序后，得到的波形图如图 4.5 所示。
3、 信号重建
如果满足抽样定理，那么，我们就可以唯一地由已抽样信号 x[n] 恢复出原连续时间信 号 x(t)。在理想情况下，可以将离散时间序列通过一个理想低通滤波器，图 4.6 给出了理想 情况下信号重建的原理示意图。
⊗ x(t)
x p (t) Ideal Lowpass
Filter
p(t)
xr (t)
由此，我们得出下面的结论：当抽样频率 ωs > 2ωM 时，将原连续时间信号 x(t)抽样而 得到的离散时间序列 x[n]可以唯一地代表原连续时间信号，或者说，原连续时间信号 x(t)可 以完全由 x[n]唯一地恢复。
以上讨论的是理想抽样的情形，由于理想冲激串是无法实现的，因此，这种理想抽样过 程，只能用来在理论上进行抽样过程的分析。在实际抽样中，抽样往往是用一个 A/D 转换 器实现的。一片 A/D 转换芯片包含有抽样保持电路和量化器。模拟信号经过 A/D 转换器后，
H ( jω) T
ω
−ωc
ωc
h(t) T ωc π
t
图 4.7 理想低通滤波器的幅度频率响应和单位冲激响应
范例程序程序 Program4_2 就是根据这个内插公式来重构原始信号。本程序已经做了较 为详细的注释，请结合教材中的内插公式仔细阅读本程序，然后执行，以掌握和理解信号重
建的基本原理。范例程序 Program4_2 如下。
X = X + x*exp(-j*t'*(w-k*ws))*dt; end subplot(222)
plot(w,abs(Xa)) title('Magnitude spectrum of x(t)'), grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) subplot(224) plot(w,abs(X)) title('Magnitude spectrum of x[n]'), xlabel('Frequency in radians/s'),grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) 本程序可以用来观察在不同的抽样频率条件下，已抽样信号的频谱的混叠程度，从而更 加牢固地理解抽样定理。但是，提请注意的是，在 for 循环程序段中，计算已抽样信号的频 谱 X 时，没有乘以系数 1/Ts，是为了便于比较 X 与 Xa 之间的区别，从而方便观察频谱的 混叠程度。另外，程序中的时间步长 dt 的选择应该与抽样周期 Ts 保持一定的比例关系，建 议 Ts 不应小于 10dt，否则，计算得到的已抽样信号的频谱将出现错误。
4.8
将 xp(t)代入式 4.8，有
∑ xr (t)
=
∞ n=−∞
x(nT ) ωcT π
sin(ωc (t − nT )) ωc (t − nT )
4.9
这个公式称为内插公式（Interpolation Formula），该公式的推导详见教材，请注意复 习有关内容。须提请注意的是，这里的内插公式是基于重建滤波器为理想低通滤波器的。若 重建滤波器不是理想低通滤波器，则不能用这个内插公式。理想低通滤波器的频率响应特性 曲线和其单位冲激响应曲线如图 4.7 所示。
filter y(t)
p(t)
ω
−ωm ωm
(a)
(b)
图 4.2 (a) 抽样原理图，(b) 带限信号的频谱
上图中，假设连续时间信号是一个带限信号（Bandlimited Signal），其频率范围为
− ωm ~ ωm ，抽样脉冲为理想单位冲激串（Unit Impulse Train），其数学表达式为：
根据式 4.5 可计算出已抽样信号的频谱。下面给出的范例程序 Program4_1 就是按照式 4.5 进行计算的。其中，主要利用了一个 for 循环程序完成周期延拓运算。
% Program4_1 clear, close all, tmax = 4; dt = 0.01; t = 0:dt:tmax; Ts = 1/10; ws = 2*pi/Ts; w0 = 20*pi; dw = 0.1; w = -w0:dw:w0; n = 0:1:tmax/Ts; x = exp(-4*t).*u(t); xn = exp(-4*n*Ts); subplot(221) plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t'), axis([0,tmax,0,1]), grid on subplot(223) stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n'), axis([0,tmax/Ts,0,1]), grid on Xa = x*exp(-j*t'*w)*dt; X = 0; for k = -8:8;
程序绘制信号 x(t)和已抽样信号 x[n]的波形图。
范例程序 Sampling 如下：
% Sampling
clear, close all,
t = 0:0.01:10;
Ts = 1/4;
% Sampling period
n = 0:Ts:10;
% Make the time variable to be discrete
实验四：抽样定理
一、实验目的
1、理解信号的抽样及抽样定理以及抽样信号的频谱分析。 2、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理。
二、实验原理
1、信号的抽样及抽样定理
抽样（Sampling），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离 散时间序列（Discrete-time sequence），这个离散序列经量化（Quantize）后，就成为所谓的 数字信号（Digital Signal）。今天，很多信号在传输与处理时，都是采用数字系统（Digital system）进行的，但是，数字系统只能处理数字信号，不能直接处理连续时间信号或模拟信 号（Analog signal）。为了能够处理模拟信号，必须先将模拟信号进行抽样，使之成为数字 信号，然后才能使用数字系统进行传输与处理。所以，抽样是将连续时间信号转换成离散时 间信号必要过程。模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后，其结果仍然是一个数字信号， 为了恢复原始连续时间信号，还需要将数字信号经过所谓的重建（Reconstruction）和平滑 滤波（Smoothing）。图 4.1 展示了信号抽样与信号重建的整个过程。