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实验四：抽样定理

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通信原理实验四 抽样定理与PAM调制解调实验

通信原理实验四 抽样定理与PAM调制解调实验

实验四抽样定理与PAM调制解调实验实验内容1.抽样定理实验2.脉冲幅度调制（PAM）及系统实验一.实验目的1. 通过脉冲幅度调制实验，使学生能加深理解脉冲幅度调制的特点。

2. 通过对电路组成、波形和所测数据的分析，加深理解这种调制方式的优缺点。

二.实验电路工作原理（一）电路组成脉冲幅度调制实验系统如图4-1所示，由输入电路、调制电路、脉冲发生电路、解调滤波电路、功放输出电路等五部分组成，如图4-2所示。

图4-1 脉冲振幅调制电路原理框图（二）实验电路工作原理1.输入电路该电路由发送放大、限幅电路等组成。

该电路还用于PCM（一）、PCM （二）、增量调制编码电路中。

由限幅二极管D601、D602组成双向限幅电路，防止外加输入信号幅度过大而损坏后面调制电路中的场效应管器件。

电路电原理图如4-2所示。

2.PAM调制电路调制电路见图4-2中的BG601。

这是一种单管调制器，采用场效应管3DJ6F，利用其阻抗高的特点和控制灵敏的优越性，能很好的满足调制要求。

取样脉冲由该管的S极加入，D极输入音频信号，由于场效应管良好的开关特性，在TP602处可以测到脉冲幅度调制信号，该信号为双极性脉冲幅度信号，不含直流分量。

3DJ6的G极为输出负载端，接有取样保持电路，由R601、C601以及R602等组成，由开关K601来控制，在做调制实验时，K601的2端与3端相连，能观察其取样定理的波形。

在做系统实验时，将K601的1端与2端相连，即与解调滤波电路连通。

3.脉冲发生电路该部分电路详见图4-2所示，主要有两种抽样脉冲，一种由555及其它元件组成，这是一个单谐振荡器电路，能产生极性、脉宽、频率可调的方波信号，可通过改变CA601的电容来实现输出脉冲频率的变化，以便用来验证取样定理，另一种由CPLD产生的8KHz抽样脉冲，这两种抽样脉冲通过开关K602来选择。

可在TP603处很方便地观测到脉冲频率变化情况和输出的脉冲波形。

抽样定理

抽样定理

实验一 抽样定理实验一、实验目的1、了解抽样定理在通信系统中的重要性2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法3、理解低通采样定理的原理4、理解实际的抽样系统5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理8、理解带通采样定理的原理二、实验内容1、验证低通采样定理原理2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响4、验证带通抽样定理原理5、验证孔径失真的原理三、实验原理抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T ≤H f 21秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。

（具体可参考《信号与系统》）我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。

抽样定理实验的原理框图如下：抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号图1抽样定理实验原理框图抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号低通滤波器图2实际抽样系统为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。

在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。

另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如图所示：被抽样信号抽样恢复后的信号图3复杂信号抽样恢复前后对比你能分辨图中抽样恢复后信号的失真吗？因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz正弦波”+“1KHz正弦波”，波形及频谱如所示：图1被抽样信号波形及频谱示意图对抽样脉冲信号的考虑大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显然，这个脉冲宽度（简称脉宽）对抽样的结果是有影响的，这就是课本上讲的“孔径失真”，用不同的宽度的脉冲信号来抽样所带来的失真程度是不一样的，为了让大家能很好地理解和观察孔径失真现象，我们将抽样脉冲信号设计为脉宽可调的信号，在实验中大家可以一边调节脉冲宽度，一边从频域和时域两个方面来观察孔径失真现象。

时间抽样定理实验(doc 9页)

时间抽样定理实验(doc 9页)

时间抽样定理实验(doc 9页)实验4 时间抽样定理1、实验内容给定连续时间信号1. 以足够小的时间间隔，在足够长的时间内画出信号时域图形。

2. 用公式计算信号的频谱 。

以足够小的频率间隔，在足够大的频率范围内，画出其频谱图，估计信号的带宽。

3. 以抽样频率3000Hz 对x(t)抽样，得到离散时间信号x(n)，画出其图形，标明坐标轴。

1) 用DTFT 计算x(n)的频谱 ，画出频谱图形，标明坐标轴。

1000()t x t e -=()X j Ω()j X e ω在网上查到一种内插函数的算法：理想内插运用内插公式xa（t）=x（n）g（t-nT）求和。

其中g（t）=sinc（Fs*t），编程时，设定一个ti值求xa（ti），一个行向量x（n）和一个等长的由n’构成的列向量g（ti-n’T）相乘。

构成一个行数与n同长而列数与t同长的矩阵，因此要把两项分别扩展成这样的序列。

这只要把t 右乘列向量ones（length（n）,1）,把n’T左乘行向量ones（1，length（t））即可。

设t向量长为M，n=1：N-1，就可生成t-n’T 的矩阵，把它命名为TNM，则TNM=ones（length （n）,1）-n’T*ones（1，length（t））。

3、程序脚本，并注释4、仿真结果、图形运行后连续时间信号00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1频谱图采样序列x1（fs1=3kHz）x1的幅度频谱采样序列x2（fs1=800Hz）x2的幅度频谱10.950.90.850.80.750.70.650.60.55(均方误差结果) 运行：Fs=3000Hz的采样序列x(n)重构的信号00.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01Fs=800Hz的采样序列x(n)重构的信号00.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.015、结果分析和结论由不同fs条件下的频谱图可以看出：当f>2000Hz时，频谱幅度的值很小。

实验四、抽样定律

实验四、抽样定律

实验四、抽样定律(信号采样与恢复)一、 实验目的1.验证抽样定理;2.熟悉信号的抽样与恢复过程。

二、 实验原理抽样定理指出：一个有限频宽的连续时间信号)(t f ，其最高频率为m ω，经过等间隔抽样后，只要抽样频率s ω不小于信号最高频率m ω的二倍，即满足m s ωω2≥，就能从抽样信号)(t f s 中恢复原信号，得到)(0t f 。

)(0t f 与)(t f 相比没有失真，只有幅度和相位的差异。

一般把最低的抽样频率m s ωω2min =称为奈奎斯特抽样频率。

当m s ωω2<时，)(t f s 的频谱将产生混迭现象，此时将无法恢复原信号。

图 4-1 信号的抽样与恢复示意图)(t f 的幅度频谱为)(ωF ；开关信号)(t s 为周期矩形脉冲，其脉宽τ相对于周期s T 非常小，故将其视为冲激序列，所以)(t s 的幅度频谱)(ωS 亦为冲激序列；抽样信号)(t f s 的幅度频谱为)(ωs F ；)(0t f 的幅度频谱为)(0ωF 。

如图4-1所示。

观察抽样信号的频谱)(ωs F ，可以发现利用低通滤波器（其截止频率满足m s c m ωωωω-<<）就能恢复原信号。

理想型低通滤波器完全滤掉阻带的频率分量，对通带内的频率分量进行相同程度的加权。

而实际低通滤波器的幅频特性曲线平缓，通带与阻带之间有一过渡带，在过渡带范围内，衰减由小变大，导致阻带内的频率分量没有被完全滤掉，而是被不同程度的衰减，通带内的频率分量被不同程度地加权。

为了改善滤波效果，希望在c ωω<时，特性曲线再平坦一些（对信号的衰减小一些），而在c ωω>时，特性曲线下降再快一些（对信号的衰减大一些）。

本实验的滤波环节由有源二阶巴特沃兹（Butterworth ）低通滤波器实现。

Butterworth 低通滤波器是最大平坦型滤波器，在通带内，对不同频率分量的加权系数近似相同，阶数越高，幅频特性曲线越陡峭。

抽样定理

抽样定理

实验一 抽样定理实验一、实验目的1、了解抽样定理在通信系统中的重要性2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法3、理解低通采样定理的原理4、理解实际的抽样系统5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理8、理解带通采样定理的原理二、实验内容1、验证低通采样定理原理2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响4、验证带通抽样定理原理5、验证孔径失真的原理三、实验原理抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T ≤H f 21秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。

（具体可参考《信号与系统》）我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。

抽样定理实验的原理框图如下：被抽样信号抽样脉冲抽样恢复信号图1抽样定理实验原理框图被抽样信号抽样恢复信号图2实际抽样系统为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。

在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。

另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如图所示：被抽样信号抽样恢复后的信号图3复杂信号抽样恢复前后对比你能分辨图中抽样恢复后信号的失真吗？因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz 正弦波”+“1KHz 正弦波”，波形及频谱如所示：图1被抽样信号波形及频谱示意图对抽样脉冲信号的考虑大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显然，这个脉冲宽度（简称脉宽）对抽样的结果是有影响的，这就是课本上讲的“孔径失真”，用不同的宽度的脉冲信号来抽样所带来的失真程度是不一样的，为了让大家能很好地理解和观察孔径失真现象，我们将抽样脉冲信号设计为脉宽可调的信号，在实验中大家可以一边调节脉冲宽度，一边从频域和时域两个方面来观察孔径失真现象。

实验四抽样定理

实验四抽样定理
3、 信号重建
如果满足抽样定理，那么，我们就可以唯一地由已抽样信号 x[n] 恢复出原连续时间信 号 x(t)。在理想情况下，可以将离散时间序列通过一个理想低通滤波器，图 4.6 给出了理想 情况下信号重建的原理示意图。
⊗ x(t)
x p (t) Ideal Lowpass
Filter
p(t)
xr (t)
X = X + x*exp(-j*t'*(w-k*ws))*dt; end subplot(222)
plot(w,abs(Xa)) title('Magnitude spectrum of x(t)'), grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) subplot(224) plot(w,abs(X)) title('Magnitude spectrum of x[n]'), xlabel('Frequency in radians/s'),grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) 本程序可以用来观察在不同的抽样频率条件下，已抽样信号的频谱的混叠程度，从而更 加牢固地理解抽样定理。但是，提请注意的是，在 for 循环程序段中，计算已抽样信号的频 谱 X 时，没有乘以系数 1/Ts，是为了便于比较 X 与 Xa 之间的区别，从而方便观察频谱的 混叠程度。另外，程序中的时间步长 dt 的选择应该与抽样周期 Ts 保持一定的比例关系，建 议 Ts 不应小于 10dt，否则，计算得到的已抽样信号的频谱将出现错误。
−∞
显然，已抽样信号 xs(t) 也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被 x(nTs) 加权了。 从频域上来看，p(t) 的频谱也是冲激序列，且为：

抽样定理实验报告

抽样定理实验报告一、实验目的1.了解抽样定理的基本概念和原理；2.通过实验掌握抽样定理的应用方法；3.分析实验结果，验证抽样定理的有效性。

二、实验原理抽样定理，也称为中心极限定理，是概率论和数理统计学中的重要定理之一、它指出当从总体中抽取的样本数量足够大时，样本均值的分布接近于正态分布。

具体原理如下：假设总体的分布情况未知，从中抽取容量为n的样本，将样本观察值依次排列为X1，X2，...，Xn。

根据大数定律，当n趋向于无穷大时，样本均值的极限分布为正态分布。

三、实验步骤1.确定实验总体和样本容量：假设总体为一些城市的居民收入情况，样本容量为n=50。

2.随机抽取样本：从该城市的居民总体中随机选取50个人的收入数据作为样本数据。

3.计算样本均值：将样本数据相加后除以样本容量，得到样本均值。

4.重复步骤2和3，进行多次实验：重复50次实验，每次都从总体中随机抽取不同的样本，并计算样本均值。

5.统计实验结果：将50次实验中得到的样本均值进行统计，并绘制频数分布直方图。

6.分析实验结果：通过观察频数分布直方图，分析样本均值的分布情况，验证抽样定理的有效性。

四、实验结果及分析根据实验步骤，我们从城市的居民总体中随机抽取了50个人的收入数据，并计算了样本均值。

通过重复50次实验，并统计得到的样本均值，我们绘制了频数分布直方图。

从频数分布直方图中可以看出，样本均值的分布情况呈现出正态分布的特点，中间值出现的频率最高，两端值出现的频率相对较低。

这与抽样定理的结论一致，即样本均值的极限分布为正态分布。

实验结果的分析表明，当样本容量足够大（在本实验中，样本容量为50），从总体中抽取的样本均值趋近于总体均值，而且样本均值的分布接近正态分布。

这进一步验证了抽样定理的有效性。

五、实验结论通过本次实验，我们了解了抽样定理的基本概念和原理，并通过实验验证了抽样定理的有效性。

实验结果表明，当从总体中抽取足够大的样本时，样本均值的分布接近正态分布。

实验四信号的抽样和抽样定理

实验四：信号的抽样和抽样定理
一、实验目的：
1、掌握对连续时间信号进行取样的方法，了解取样信号 的频谱的特点； 2、验证取样定理。 二、实验原理： 1、所谓取样信号是对连续时间信号每隔一定的时间抽取一 次函数值而得到的一离散时间信号，取样信号 f s (t) 可以表 示成连续时间信号 f (t) 与取样脉冲序列 p(t) 的乘积，即
…
t
-ωs
ωs
ω
E Ts
Fs(jω)
t 0 图4-1 脉冲取样的时域波形 图4-2 脉冲取样的频谱
ω
如连续信号的频谱为F(jω ),则取样信号的频谱Fs(jω )如 图4-2所示： 即 Fs ( j ) Pn F[ j ( ns )] 上式表明，取样信号的频谱 Fs( j) 是被取样信号的频谱 F ( j )以取样频率 s 为间隔周期延拓而得到的，在周期延拓 过程中幅度被 Pn 加权。当取样脉冲 p(t ) 是周期矩形脉冲时， 取样信号的频谱为： E n Fs ( j ) Sa ( ) F [ j ( ns )] Ts n 2 2、取样信号在一定的条件下可以恢复出原信号。由取样 定理可知，要恢复出原信号首先必须满足 f s 2 f m ，其中 f s 为取样频率，f m 为原信号的最高频率分量；在满足取样 定理的前提下，用一截止频率为 f c 的低通滤波器滤除取样 信号中的高频分量则可得到原信号。
1、绘出实验内容（1）中的f(t)和fs(t)的波形； 2、绘出实验内容（2）中三种不同取样频率下的f(t)和 f’(t)的波形；比较后得出结论。
RLd和 f c 就可按下式计算出元件的数值。
RLd L fc 1 C f c RLd
L
C/2
C/2
图4-5

实验四 抽样定理和PAM调制解调

实验四 抽样定理和PAM 调制解调实验一、实验目的1．通过脉冲幅度调制实验，使学生能加深理解脉冲幅度调制的原理。

2．通过对电路组成、波形和所测数据的分析，加深理解这种调制方式的优缺点。

二、实验内容1．观察模拟输入正弦波信号、抽样时钟的波形和脉冲幅度调制信号，并注意观察它们之间的相互关系及特点。

2． 改变模拟输入信号或抽样时钟的频率，多次观察波形。

三、实验器材1．信号源模块 一块 2．①号模块 一块 3．20M 双踪示波器 一台 4．连接线 若干四、实验原理（一）基本原理 1．抽样定理抽样定理表明：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T≤Hf 21秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。

假定将信号()m t 和周期为T 的冲激函数）t (T δ相乘，如图1所示。

乘积便是均匀间隔为T 秒的冲激序列，这些冲激序列的强度等于相应瞬时上()m t 的值，它表示对函数()m t 的抽样。

若用()m t s 表示此抽样函数，则有：()()()s T m t m t t δ=图1 抽样与恢复假设()m t 、()T t δ和()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω和()s M ω。

有1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑该式表明，已抽样信号()m t s 的频谱()M s ω是无穷多个间隔为ωs 的()M ω相迭加而成。

这就意味着()M s ω中包含()M ω的全部信息。

上面讨论了低通型连续信号的抽样。

如果连续信号的频带不是限于0与H f 之间，而是限制在L f （信号的最低频率）与H f （信号的最高频率）之间（带通型连续信号），那么，其抽样频率sf 并不要求达到H f 2，而是达到2B 即可，即要求抽样频率为带通信号带宽的两倍。

2．脉冲振幅调制（PAM ）所谓脉冲振幅调制，即是脉冲载波的幅度随输入信号变化的一种调制方式。

实验四、抽样定理

实验四、抽样定理
抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。

当采样频率 小于 时, 在接收端恢复的信号失真比较大, 这是因为存在信号的混频；当采样频率大于或等于奈奎斯特频率 时, 恢复信号与原信号基本一致。

理论上, 理想的抽样频率为2倍的奈奎斯特带宽, 但实际工程应用中, 限带信号绝不会严格限带, 且实际滤波器特性并不理想, 通常选取抽样频率的2.5～5倍的最高频率 进行采样以避免失真。

例如, 普通的话音信号带宽为3.4kHz 左右, 而抽样频率则通常选取8kHz 。

本实验被采样的模拟信号源是幅度1V 、频率为100Hz 的正弦波, 抽样脉冲为窄矩形脉冲, 脉宽为1微秒。

抽样器用乘法器代替。

用于恢复信号的低通滤波器采用三阶巴特沃斯低通滤波器（Butterworth ）。

为验证信号与恢复不失真条件和分析信号失真的原因, 我们分别选取了100Hz 、200Hz 、500Hz 等几种不同的抽样频率, 对原输入信号波形与抽样恢复后的波形进行观察和分析。

实验信号采样与恢复原理图:
信号采样与恢复的仿真模型如图:
1．实验要求: 信号源 信号预处理 LPF 抽样脉冲
恢复信号
2．根据要求搭建实验仿真的电路模型, 并进行参数设置, 系统采样速率为10kHz, 采样点为1024；
3．实验恢复过程, 为了便于观察, 将图中的两个增益置100；
4．观察原始信号、抽样脉冲、抽样信号、及恢复信号的波形与频谱；
5．将抽样脉冲频率分别置100、200、500Hz, 观察恢复后信号的波形的失真度, 验证抽样定理的要求；
6．观察图中使用的1.4两个LPF的作用；
将实验结果记录下来, 完成实验报告。

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A/D 转换器的输出信号就是一个真正意义上的离散时间信号，而不再是冲激串了。 A/D 转换器的示意图如图 4.4 所示。
Sampler
x(t)
Holder
Quantizer
x[n]
p(t)
Ts
图 4.4 A/D 转换器示意图
上述的实际抽样过程，很容易用简单的数学公式来描述。设连续时间信号用 x(t)表示， 抽样周期（Sampling Period）为 Ts，抽样频率（Sampling Frequency）为ωs，则已抽样信 号的数学表达式为
图 4.6 信号重建原理图
理想低通滤波器也称重建滤波器，它的单位冲激响应
h(t) = ωcT sin(ωct)
4.7
πωct
∞
∑ 已抽样信号 xp(t)的数学表达式为： x p (t) = x(nT )δ (t − nT ) ，根据系统输入输出的 −∞
卷积表达式，我们有
xr (t) = x p (t) ∗ h(t)
wm = 2*pi;
% The highest frequency of x(t)
a = input('Type in the frequency rate ws/wm=:'); % ws is the sampling frequency
wc = wm;
% The cutoff frequency of the ideal lowpass filter
根据式 4.5 可计算出已抽样信号的频谱。下面给出的范例程序 Program4_1 就是按照式 4.5 进行计算的。其中，主要利用了一个 for 循环程序完成周期延拓运算。
% Program4_1 clear, close all, tmax = 4; dt = 0.01; t = 0:dt:tmax; Ts = 1/10; ws = 2*pi/Ts; w0 = 20*pi; dw = 0.1; w = -w0:dw:w0; n = 0:1:tmax/Ts; x = exp(-4*t).*u(t); xn = exp(-4*n*Ts); subplot(221) plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t'), axis([0,tmax,0,1]), grid on subplot(223) stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n'), axis([0,tmax/Ts,0,1]), grid on Xa = x*exp(-j*t'*w)*dt; X = 0; for k = -8:8;
% Program4_2
% Signal sampling and reconstruction
% The original signal is the raised cosin signal: x(t) = [1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)].
clear; close all,
程序绘制信号 x(t)和已抽样信号 x[n]的波形图。
范例程序 Sampling 如下：
% Sampling
clear, close all,
t = 0:0.01:10;
Ts = 1/4;
% Sampling period
n = 0:Ts:10;
% Make the time variable to be discrete
3、 信号重建
如果满足抽样定理，那么，我们就可以唯一地由已抽样信号 x[n] 恢复出原连续时间信 号 x(t)。在理想情况下，可以将离散时间序列通过一个理想低通滤波器，图 4.6 给出了理想 情况下信号重建的原理示意图。
⊗ x(t)
x p (t) Ideal Lowpass
Filter
p(t)
xr (t)
x = cos(0.5*pi*t);
xn = cos(0.5*pi*n);
% Sampling
subplot(221)
plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t')
subplot(222)
stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n') 执行该程序后，得到的波形图如图 4.5 所示。
由此，我们得出下面的结论：当抽样频率 ωs > 2ωM 时，将原连续时间信号 x(t)抽样而 得到的离散时间序列 x[n]可以唯一地代表原连续时间信号，或者说，原连续时间信号 x(t)可 以完全由 x[n]唯一地恢复。
以上讨论的是理想抽样的情形，由于理想冲激串是无法实现的，因此，这种理想抽样过 程，只能用来在理论上进行抽样过程的分析。在实际抽样中，抽样往往是用一个 A/D 转换 器实现的。一片 A/D 转换芯片包含有抽样保持电路和量化器。模拟信号经过 A/D 转换器后，
X = X + x*exp(-j*t'*(w-k*ws))*dt; end subplot(222)
plot(w,abs(Xa)) title('Magnitude spectrum of x(t)'), grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) subplot(224) plot(w,abs(X)) title('Magnitude spectrum of x[n]'), xlabel('Frequency in radians/s'),grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) 本程序可以用来观察在不同的抽样频率条件下，已抽样信号的频谱的混叠程度，从而更 加牢固地理解抽样定理。但是，提请注意的是，在 for 循环程序段中，计算已抽样信号的频 谱 X 时，没有乘以系数 1/Ts，是为了便于比较 X 与 Xa 之间的区别，从而方便观察频谱的 混叠程度。另外，程序中的时间步长 dt 的选择应该与抽样周期 Ts 保持一定的比例关系，建 议 Ts 不应小于 10dt，否则，计算得到的已抽样信号的频谱将出现错误。
∑ X s (
jω )
=
1 Ts
∞
X(
n = −∞
j(ω
−
nωs ))
4.5
表达式 4.5 告诉我们，如果信号 x(t)的傅里叶变换为 X(jω)，则已抽样信号 xs(t) 的傅里
叶变换 Xs(jω)等于无穷多个加权的移位的 X(jω)之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连
续时间信号的频谱以抽样频率ωs 为周期进行周期复制的结果。如图 4.3 所示：
−∞
显然，已抽样信号 xs(t) 也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被 x(nTs) 加权了。 从频域上来看，p(t) 的频谱也是冲激序列，且为：
∞
∑ F{ p(t)} = ωs δ (ω − nωs )
4.4
−∞
根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两 个信号的傅里叶变换之间的卷积。所以，已抽样信号 xs(t)的傅里叶变换为：
x[n] = x(t) t=nTs = x(nTs )
4.6
在 MATLAB 中，对信号抽样的仿真，实际上就是完成式 4.6 的计算。下面给出一个例 题和相应的范例程序，来实现信号抽样的仿真运算。
例题 4.1 设连续时间信号为一个正弦信号 x(t) = cos(0.5πt)，抽样周期为 Ts = 1/4 秒，编
图 4.5 连续时间信号及其抽样后的离散时间序列 在这个范例程序中，先将连续时间 t 进行离散化，使之成为以 Ts = 1/4 秒的离散时间 n， 然后，将 n 代入到信号 x(t) 的数学表达式中计算，就完成了抽样过程，且得到了抽样后的 离散时间序列 x[n]。
2、 信号抽样过程中的频谱混叠
为了能够观察到已抽样信号的频谱是否会存在混叠现象，或者混叠程度有多么严重，有 必要计算并绘制出已抽样信号的傅里叶变换。
4.8
将 xp(t)代入式 4.8，有
∑ xr (t)
=
∞ n=−∞
x(nT ) ωcT π
sin(ωc (t − nT )) ωc (t − nT )
4.9
这个公式称为内插公式（Interpolation Formula），该公式的推导详见教材，请注意复 习有关内容。须提请注意的是，这里的内插公式是基于重建滤波器为理想低通滤波器的。若 重建滤波器不是理想低通滤波器，则不能用这个内插公式。理想低通滤波器的频率响应特性 曲线和其单位冲激响应曲线如图 4.7 所示。
H ( jω) T
ω
−ωc
ωc
h(t) T ωc π
t
图 4.7 理想低通滤波器的幅度频率响应和单位冲激响应
范例程序程序 Program4_2 就是根据这个内插公式来重构原始信号。本程序已经做了较 为详细的注释，请结合教材中的内插公式仔细阅读本程序，然后执行，以掌握和理解信号重
建的基本原理。范例程序 Program4_2 如下。
实验四：抽样定理
一、实验目的
1、理解信号的抽样及抽样定理以及抽样信号的频谱分析。 2、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理。
二、实验原理
1、信号的抽样及抽样定理
抽样（Sampling），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离 散时间序列（Discrete-time sequence），这个离散序列经量化（Quantize）后，就成为所谓的 数字信号（Digital Signal）。今天，很多信号在传输与处理时，都是采用数字系统（Digital system）进行的，但是，数字系统只能处理数字信号，不能直接处理连续时间信号或模拟信 号（Analog signal）。为了能够处理模拟信号，必须先将模拟信号进行抽样，使之成为数字 信号，然后才能使用数字系统进行传输与处理。所以，抽样是将连续时间信号转换成离散时 间信号必要过程。模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后，其结果仍然是一个数字信号， 为了恢复原始连续时间信号，还需要将数字信号经过所谓的重建（Reconstruction）和平滑 滤波（Smoothing）。图 4.1 展示了信号抽样与信号重建的整个过程。