一、填空题(每空3分，共24分)
1、 设z x u y
tan =，则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则
=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x
x
⎰
=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=L
s x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}
12
2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关
于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S
2
_______。
二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y
x y x y x f 1
sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2
x
y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求
x x x e x x
d sin e
2⎰
∞+---。提示：C bx b bx a b
a e x bx e ax ax
+-+=⎰)cos sin (d sin 2
2。
5、 利用坐标变换求⎰⎰+-D
y x y
x y
x d d sec
2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
6、 求曲面2222≤++z y x 与22y x z +≥所围成的立体体积。
7、 计算y x z x z y z y x S
d d d d d d 333++⎰⎰，其中S 是球面2222R z y x =++)
0(>R 的上半部分)0(≥z 的外侧。
三、证明题（每题10分，共20分）
1、 试证：函数⎪
⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0 ,0
,0,),(222222
2
y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连续且偏导数存在，但
在原点不可微，并且),(y x f x 和),(y x f y 在原点不连续。
2、 试证3222=++z y x 和1=++z y x 的交线在点)1,1,1(0-P 的邻域内能用一对
方程)(x f y =和)(x g z =表示，并求x y d d 和x
z d d ，以及交线在点0P 的法平面方程。
数学分析3期末考试题
一.选择题（每题4分，共16分）
1.如果是偶函数且可导，则 （ ） A. 0)0(='f B. 0)0(=f C.1)0(='f D.1)0(=f
2.下列广义积分收敛的是 （ ） A.
dx x x
⎰
+∞
+0
21 B. dx x x ⎰+∞∞-+214cos
C.
)1(,11
≤⎰
+∞
p dx x p D. )1(,)(ln 12≤⎰+∞p dx x x p
3.下列说法错误的是 （ ） A.设2
R E ⊂为任一有界无穷点集，则E 在2
R 中至少有一个聚点.
B.设{}2
R P k ⊂为一个有界点列，则它必存在收敛子列.
C.2
R E ⊂为有界闭集,则E 的任一无穷子集必有聚点. D.2R E ⊂为有界闭集，则E 不一定为一列紧集. 4.下列
说
法
正
确
的
是
（
）
A.若级数∑n u 是发散的，则∑n u c 也是发散的.
B.若级数∑n u 是收敛的，∑n v 是发散的，则+∑n u ∑n
v
可以是收
敛的.
C.若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则+
∑n u ∑n
v
可以是收敛的.
D. 若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则n n v u ∑也是发散的. 二.填空题（每空3分，共15分）
1．级数∑-n
x n n
2)1(的收敛半为 ，收敛区间
为 .
2．若x
y
z arctan =在)1,1(处可微，则=)1,1(x z ，
=)1,1(y z .
3. 函数)sin(y x y z +=的全微分为 . 三.计算题（共40分）
1．计算下列定积分（每题4分，共8分）
（1）dx x x ⎰+-1
02
211 （2）dx x x e e 2
1)(ln 1⎰
2．求级数∑∞
=++1
)2)(1(1
n n n n 的和函数（8分）
3．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<≤<<--=,0,4
,0,4
)(ππππ
x x x f 展成傅立叶级数.(8分)
