解析几何高考大题总结

高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题主要分为以下几类：
1. 平面向量问题：涉及向量加减、点积（数量积）、叉积（向量积）及其性质，例如线段长度、平行四边形面积、点到直线距离等等。

2. 空间几何问题：涉及空间中点、线、面的位置关系、相交情况、垂直或平行关系、大小关系等问题，例如两平面夹角、直线与平面的交点、平面方程等。

3. 三角形问题：涉及三角形内部、外部、垂心、垂足、中线、中心、外心、内心等概念，例如三角形的外接圆、内切圆、垂心定理等。

4. 圆锥曲线问题：涉及圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的定义、性质、焦点、方程、参数等问题，例如椭圆离心率、抛物线焦点、双曲线渐近线等。

5. 空间向量问题：涉及空间中平行六面体、四面体的体积、重心、外接球、内切球等问题。

以上是高考解析几何大题的主要题型归纳，但具体涉及哪些内容还是要根据题目的情况来确定的。

高中数学解析几何抛物线大题
抛物线大题：
一、抛物线的定义
1、抛物线是二次曲线的一种，它的方程式一般可表示为
$y=ax^2+bx+c$，当$a<0$时，得到的曲线是向下凹的，即为抛物线。

2、抛物线的凹顶是位于曲线上一点，它是抛物线上最高点，也称为顶点，当a<0时，顶点的坐标为$( -\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a} )$。

二、抛物线的过程
抛物线的运动轨迹实际上是一个二次函数的图形，它的轨迹可以概括为如下四个特点：
1、抛物线最开始是一条负斜率直线，也就是抛出物体时在水平移动，且斜率为负数。

2、当抛物线经过顶点，斜率从负值变为正值，即抛物线开始反弹Test 栏。

3、当抛物线接近水平线时，斜率极小，且小于零，此时抛物线开始向下倾斜。

4、当抛物线趋于水平线时，斜率终于变成负数，到达最终形状，也就是它在水平线上的运动。

三、抛物线的应用
抛物线的应用非常广泛，如：
1、抛物线在现实世界中被广泛应用于物理、力学及许多其他领域，如抛物线运动、摆动运动等。

2、抛物线在计算机图形学中被用于表示图形的光滑与曲线，以及在人工智能中用于处理数字图像。

3、抛物线也常常被用于描述经济上的一些需求量及供给量等关系，以便进行更合理的调控。

四、抛物线的性质
抛物线的一些基本性质有：
1、轴对称性：抛物线所围成的图形与其凹顶点关于y轴对称。

2、放射性：抛物线与任一垂线所形成的三角形均具有放射性。

3、相反照应：抛物线与任一对称轴所形成的图形是反照的。

4、重心：抛物线的重心坐标为$( \frac{a}{3},\frac{-b^2}{9a})$。

高考中解析几何的常考题型分析一、高考定位回顾2008,2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2,3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.二、应对策略复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力.三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识.预测在2013年的高考题中:1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题.三、常见题型1.直线与圆的位置关系问题直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力.求解策略:首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘;再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法;最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位.点评:(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理.(2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨.2.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).求解策略:主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.常用的一些证明方法:点评:本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y=?x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间.3.“是否存在”问题所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由.求解策略:首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.例3(2012年高考(湖北文))设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|(m>0，且m?1)，当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ?PH,若存在，请说明理由.点评:本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解.对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.4.定点定值问题的方法圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点，是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.题型以解答题为主，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关.常见的类型:(1)直线恒过定点问题;(2)动圆恒过定点问题;(3)探求定值问题;(4)证明定值问题.点评:(1)椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础，在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵活.已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解.(2)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲线方程中的变量m，k 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x1的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 5.最值与范围问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.求参数范围的方法:据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.求解最值问题应注意:(1)如果建立的函数是关于斜率k的函数，要增加考虑斜率不存在的情况;(2)如果建立的函数是关于点的坐标x，y的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题.例5(2012年高考(广东理))在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:)的距x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q(0，2离的最大值为3.点评:从近两年高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦的问题是高考的热点问题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高.客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题，解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，注重考查函数与方程、转化与化归，分类讨论等思想，所以在备战2013年高考中对于此类问题应引起足够的重视.6.轨迹问题求轨迹方程的常用方法:法:将几何关系直接转化成代数方程. (1)直接(2)定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程.(3)代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系.(4)交轨法:写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系――建立适当的坐标系;(2)设点――设轨迹上的任一点P(x，y);(3)列式――列出动点P所满足的关系式;(4)代换――依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简;――证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. (5)证明点评:本小题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.在求解点M的轨迹方程时，要注意首先写出直线AA1和直线A2B的方程，然后求解.。

解析几何大题及答案解析几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间图形的性质和变换。

在高中数学中，解析几何是一个关键的考点，也是学生容易遇到的难点之一。

本文将解析几何中的几个大题进行解析，并给出详细的答案。

一、平面直角坐标系与向量1. 设平面上一直线的方程为3x-y+4=0，求该直线的斜率及与坐标轴的交点坐标。

答案：首先将直线的方程转化为斜截式的形式，即y=3x+4。

由此可得该直线的斜率为3。

与x轴的交点坐标可通过令y=0，解得x=-4/3；与y轴的交点坐标可通过令x=0，解得y=4。

因此，该直线与x轴的交点坐标为(-4/3,0)，与y轴的交点坐标为(0,4)。

2. 已知平面内的向量a=(4,3)，求向量2a的模和方向角。

答案：向量2a=(2*4,2*3)=(8,6)。

模可以通过向量的标准模公式计算：|2a|=√((8)^2+(6)^2)=√100=10。

方向角可以通过向量的方向角公式计算：tanθ=y/x=6/8=3/4，所以θ=arctan(3/4)。

因此，向量2a的模为10，方向角为arctan(3/4)。

二、直线的方程与位置关系1. 设直线L1过点A(1,3)且与直线L2:2x+3y-7=0相交于点B，求线段AB的中点坐标。

答案：首先求直线L1的方程，由过点A(1,3)，设斜率为k，则直线L1的方程为y-3=k(x-1)。

将直线L2的方程与直线L1的方程联立，可求出点B的坐标。

解方程组得到B的坐标为(-1,3)。

线段AB的中点坐标可以通过两点坐标的平均值计算：((1+(-1))/2,(3+3)/2)=(0,3)。

因此，线段AB的中点坐标为(0,3)。

2. 设直线L1:x+2y-3=0与直线L2:2x-y-1=0相交于点A，直线L1与直线L3:2x+3y-4=0平行，求直线L3的方程。

答案：由直线L1与直线L2的方程可解得直线L1与直线L2的交点A的坐标为(1,1)。

由直线L1与直线L3平行可得其斜率相等，即2=3k，解得k=2/3。

1. 已知椭圆C ：14522=+y x 的左右焦点分别为21,F F（1）若P 是椭圆上的一点，且∠︒=3021PF F ，求△的面积；（2）过椭圆的左焦点作一条倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A.B 两点，求AB 的长.2.已知点P 为圆A:8)1(22=++y x 的动点，点B （1,0），线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为C 。

（1）求曲线C 的方程；（2）当P 在第一象限，且322cos =∠BAP 时，求点M 的坐标3.已知椭圆E ：)0(,12222>>=+b a by a x 的离心率为21，点A,B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为32， 求（1）椭圆E 的方程；（3）设F 为E 的左焦点，点D 在直线x=-4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 与M,N 两点。

证明：直线OD 平分线段MN 。

4. 已知椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，A为上顶点，P 为椭圆上任一点（与左右顶点不重合）。

（1）若21AF AF ⊥,求椭圆的离心率； （2）若P （-4,3），且021=∙PF PF ,求椭圆的方程；（3）若存在一点P 使∠21PF F 为钝角，求椭圆的离心率的取值范围。

21PF F5. 如图，A,B,C 是椭圆M ：上的三点，其中A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC,BC=2AC. (1) 求椭圆M 的离心率(2)若y 轴被△ABC 的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M 的方程。

6. 设椭圆C ：)0(,1222>=+a y a x 的两个焦点)0,(),0,-(21c F c F （c>0）,且椭圆C 与圆222c y x =+有公共点。

（1）求a 的取值范围；（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离是2-3，求椭圆的方程。

高考解析几何题型归纳总结随着高考的逼近，几何题成为了考生备考中不可忽视的一部分。

几何题在高考中占据了相当大的比重，解析几何题更是考生普遍认为难度较高的题型之一。

为了帮助考生更好地备考解析几何题，本文将对高考解析几何题型进行归纳总结，从而帮助考生更好地应对高考几何题。

1. 二维几何题目二维几何题目主要涉及平面图形的性质、面积、周长以及平行线、垂直线的性质等。

在解答二维几何题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 论证步骤的完整性：解答二维几何题目时，应充分体现论证的完整性，即从已知条件出发，一步一步进行推导，最终得出结论。

(2) 图形的准确画法：在画图时应确保图形的准确性，边长、角度等应与给定条件一致，以避免答案误差。

(3) 重点关注特殊性质：几何题中常涉及到平行线、垂直线以及等边等特殊性质，考生应注意识别和运用这些特殊性质来解答题目。

2. 三角形相关题目三角形相关的题目主要涉及三角形的面积、周长、角度等性质。

在解答三角形题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 利用相似三角形性质：在解答三角形的题目时，经常会用到相似三角形的性质。

考生应注意观察题目中是否存在相似三角形，以便能够灵活地运用相似三角形性质来解题。

(2) 角度关系的应用：三角形中的角度关系常常是解题的关键，考生应深入理解角的概念，并能够巧妙利用角度关系解答题目。

(3) 三角形的分类：根据不同的三角形分类，可以利用其特定性质解答题目。

例如，等边三角形具有所有边相等的性质，而等腰三角形具有两边相等的性质。

考生应注意灵活运用不同种类三角形的性质。

3. 圆相关题目圆相关的题目主要涉及圆的性质、弧长、面积等。

在解答圆相关题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 圆的性质的应用：圆的性质是解答圆相关题目的基础，考生应深刻理解圆的定义、圆心角、弧长等基本概念，并能够合理运用这些性质。

(2) 弧长和扇形面积的计算：在解答涉及弧长和扇形面积的题目时，考生应熟记相应的计算公式，并注意计算过程中的单位换算。

解析几何大题（原创版）目录1.解析几何大题的概述2.解析几何大题的解题思路3.解析几何大题的解题技巧4.解析几何大题的例题解析5.总结正文解析几何大题是高中数学中非常重要的一部分，也是高考数学中的热点题型。

这种题型主要考察学生的解析几何知识和解题能力，包括对解析几何概念的理解，对解析几何方法的应用，以及对解析几何题目的解析能力。

一、解析几何大题的概述解析几何大题主要涉及到解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线等几何图形，以及它们之间的关系。

这种题型的难度较大，需要学生有较强的逻辑思维能力和数学运算能力。

二、解析几何大题的解题思路解析几何大题的解题思路主要包括以下几个步骤：1.认真阅读题目，理解题意，确定题目要求的解。

2.分析题目，找出题目中的已知条件和待求解的问题。

3.根据已知条件，运用解析几何的相关知识和方法，进行逻辑推理和数学运算。

4.得出结论，并对结论进行验证。

三、解析几何大题的解题技巧解析几何大题的解题技巧主要包括以下几个方面：1.对解析几何中的基本概念和公式有深入的理解，熟练掌握解析几何的方法和技巧。

2.能够灵活运用解析几何中的几何方法、代数方法和几何与代数的结合方法。

3.在解题过程中，要注意保持思路的清晰和逻辑的严密，避免因为粗心大意而造成错误。

四、解析几何大题的例题解析例如，解析几何中的一道经典题目：已知直线 l：y=2x+1，圆 O：(x-1)+(y-2)=5，求直线 l 与圆 O 的交点。

解：首先，根据题目中的已知条件，我们可以列出直线 l 和圆 O 的方程。

然后，通过解析几何中的方法，我们可以求出直线 l 和圆 O 的交点。

五、总结解析几何大题是高中数学中的重点和难点，对学生的逻辑思维能力和数学运算能力有较高的要求。

高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中，三角形是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。

在这一题型中，常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。

二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。

学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。

在这一题型中，学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。

三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。

学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断圆的位置，或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。

四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直，或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。

五、多边形的性质与判定在解析几何题中，多边形也是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质，或者求解未知的角度或者线段长度。

六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。

这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。

七、向量的应用在解析几何题目中，向量是一个重要的工具。

学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。

总结：解析几何题目涉及到的题型很多，常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。

针对这些题型，学生在备考中应该重点复习相关知识，并且多进行一些练习题，以加深对题型的理解和应用能力。

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

高考解析几何大题高考解析几何大题：1. 说明：本题涉及三角形的面积计算和相似三角形的性质。

要求：给定一个平面内的三角形ABC，点D、E分别位于边AC、BC上，且满足AD：DC = 1：2，BE：EC = 1：3。

已知△BED与△ABC相似，且其面积为8平方厘米，求△ABC的面积。

解析：根据已知条件可知，△ABC与△BED相似，则△ABC与△EDC也相似。

因此，设△ABC和△EDC的对应边长分别为a和3a。

根据相似三角形的性质，有：∴△ABC的面积 : △EDC的面积 = a² : (3a)² = 1 : 9。

已知△EDC的面积为8平方厘米，代入上述比例关系，得到：△ABC的面积 = 9 × 8 = 72（平方厘米）。

2. 说明：本题涉及平行线、相似三角形的性质和比例关系的运用。

要求：平面内给定一组平行线l、m和n，其中l与m的距离为d₁，l与n的距离为d₂，且d₁：d₂ = 5：9。

现有一个等腰直角三角形ABC，BC边上有一点P，该点到距离m的距离为h₁，到距离n的距离为h₂，求证：h₁：h₂ = 25：81。

解析：由于△ABC是等腰直角三角形，所以AD ⊥ BC，其中D为BC的中点。

假设直线l经过B点，与AD交于点E，则E为线段AD的中点。

根据相似三角形的性质，可得△ABE ∽△BCD。

因此，h₁：h₂ = AD：DC = AE：DB = 5：4。

又已知d₁：d₂ = 5：9。

由于△ABE ∽△BCD，所以BE：BC = AE：AD = 5：4。

由此可得：BE：BC = h₁：h₂ = d₁：d₂ × AE：AD = 5：9 × 5：4 = 25：81。

所以，h₁：h₂ = 25：81。

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。

数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。

为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。

1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。

1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。

2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。

其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。

2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。

掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。

3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。

3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。

4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。

通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。

4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。

对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。

高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.I 求双曲线C 的离心率e 的取值范围：II 设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值.解：I 由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y 并整理得1－a 2x 2+2a 2x －2a 2=0. ① 双曲线的离心率II 设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A由于x 1+x 2都是方程①的根,且1－a 2≠0,2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点,P 为C 上任意一点,且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求OMN ∆O 为原点的面积的最大值及相应的直线l 的方程.解：Ⅰ设椭圆的长轴为2a ,a 2=+22==c =2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x Ⅱ 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴221y y -=41448)12(482++=+tt t t .又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在1,+∞上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.直线l 的方程为1-=x .3. 椭圆E 的中心在原点O,焦点在x 轴上,离心率e过点C 1,0的直线l 交椭圆于A 、B 两点,且满足：CA =BC λ 2λ≥．Ⅰ若λ为常数,试用直线l 的斜率kk ≠0表示三角形OAB 的面积． Ⅱ若λ为常数,当三角形OAB 的面积取得最大值时,求椭圆E 的方程．Ⅲ若λ变化,且λ= k 2＋1,试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时,椭圆E 的短半轴长取得最大值并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a ba ＞b ＞0,由e =caa 2=b 2c 2得a 2=3 b 2,故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① Ⅰ∵直线l ：y = kx ＋1交椭圆于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,并且CA =BC λ λ≥2, ∴x 11,y 1 =λ1x 2,y 2, 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②把y = kx 1代入椭圆方程,得3k 21x 26k 2x 3k 23b 2= 0, 且 k 2 3b 21b 2＞0 ,∴x 1x 2= 22631k k +, ③x 1x 2=2223331k b k -+, ④∴O A B S ∆=12|y 1y 2| =12|λ1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 21|．联立②、③得x 21=22(1)(31)k λ-+,∴O A B S ∆=11λλ+-·2||31k k + k ≠0．ⅡO AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + =11λλ+-·113||||k k + ≤11λλ+-λ≥2． 当且仅当3| k | =1||k ,即k=,O AB S ∆取得最大值,此时x 1x 2= 1． 又∵x 11= λ x 21,∴x 1=11λ-,x 2= 1λλ-,代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5,,k b 的值符合故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-λ≥2．Ⅲ由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+1, x 2=22(1)(31)k λ-+1,将x 1,x 2代入④,得23b =224(1)(31)k λλ-+1．由k 2=λ1得23b =24(1)(32)λλλ-- 1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知,当2λ≥时,3b 2是λ的减函数,故当2λ=时,23b 取得最大值3． 所以,当2λ=,k =±1符合时,椭圆短半轴长取得最大值, 此时椭圆方程为x 2 3y 2 = 3．4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. I 求椭圆的离心率；II 设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ,证明22μλ+为定值.解：I 设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得II 证明：由I 知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由I 知.21,23,23222221c b c a c x x ===+又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.5. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.I 求过点O 、F,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；II 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.解：I 222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-圆过点O 、F,∴圆心M 在直线12x =-上;设1(,),2M t -则圆半径由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=II 设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根; 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为 I 证明线段AB 是圆C 的直径;II 当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值; I 证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=设Mx,y 是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设x,y 是以线段AB 为直径的圆上则 即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将1代入得: 故线段AB 是圆C 的直径 证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅= 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将1代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 II 解法1:设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0将2代入3得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--= 解法3: 设圆C 的圆心为Cx,y,则 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅= 当122y y p +=时,d=2p ∴=.11、如图设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．1若6ED DF =,求k 的值； 2求四边形AEBF 面积的最大值． 11．Ⅰ解：依题设得椭圆的方程为2214xy +=, 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=,(y kx k => 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中1x < 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+, 化简得2242560k k -+=, 解得23k =或38k =． 6分 Ⅱ解法一：根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+== ≤ 当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S 的最大值为． 12分解法二：由题设,1BO =,2AO =． 设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△222x y =+9分===当222x y =时,上式取等号．所以S的最大值为 12分12、已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =0t >与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．1 求椭圆E 的方程；2 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,求ABC ∆的面积的最大值.12、1解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, 12=. …… 2分 解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 2解法1：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即0t <<．∴弦长||AB ===． …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. …… 12分=,即7t =时,等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分 解法2：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中,令0x =,得2y =±,∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. ……12分=,即7t=时,等号成立. ∴ABC∆．15、已知椭圆∑：12222=+byax>>ba的上顶点为)1,0(P,过∑的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆∑上,该菱形对角线BD所在直线的斜率为1-．⑴求椭圆∑的方程；⑵当直线BD过点)0,1(时,求直线AC的方程；⑶本问只作参考．．．．．．,．不计入总分．．．．．当3π=∠ABC时,求菱形ABCD面积的最大值．15、解：⑴依题意,1=b……1分,解12222=+byac……2分,得aby2||=……3分,所以122=ab,2=a……4分,椭圆∑的方程为1422=+yx……5分;⑵直线BD：1)1(1+-=-⨯-=xxy……7分,设AC：bxy+=……8分,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422yxbxy得0)1(24522=-++bbxx……9分,当05)1(454)2(222>-=-⨯⨯-=∆bbb时……10分,),(11yxA、),(22yxC的中点坐标为54221bxx-=+,5222121bbxxyy=++=+……12分,ABCD是菱形,所以AC的中点在BD上,所以1545+=bb……13分,解得35-=b,满足052>-=∆b,所以AC的方程为35-=xy……14分;⑶本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用因为四边形ABCD为菱形,且3π=∠ABC,所以BCACAB==,所以菱形ABCD的面积223ACS⨯=,由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(xxxxyyxxAC+=-=-+-=222212532532)1(548)58(28bbbxx⨯-=-⨯⨯--⨯=-,因为5||<b,所以当且仅当0=b时,菱形ABCD的面积取得最大值,最大值为531653223=⨯;。

新高考卷解析几何热门考题汇编选填部分一、基本原理1.圆中与距离最值有关的常见的结论结论1. 圆外一点A 到圆上距离最近为AO -r ，最远为AO +r ；结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d +r ,最近为d -r ；从圆外任一点P (x 0,y 0)向圆引两条切线，圆心C ，两切点A ,B ，我们把线段PA ，PB 的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则有：结论4.切线长的计算：PA =PB =PC 2−r 2,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.结论5. 过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为A ,B ，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这两条直线为切线时最大.结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.2.椭圆三定义1.椭圆的第二定义：a 2−cx =a (x −c )2+y 2⇒(x −c )2+y 2a 2c−x=ca①. ①式表明椭圆上的点P 到右焦点F 2的距离与到直线x =a 2c 的距离之比是离心率e .2.角度形式焦半径：上加下减.QF 2 =b 2a -c ⋅cos θ,PF 2 =b 2a +c ⋅cos θ，AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ3.第三定义假设A ,B 是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点P (不与A ,B 重合)到A ,B 点的斜率之积为一个定值.证明：设A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(−x 0,−y 0)，P (x ,y )，则由于三点均在椭圆上，故满足：x 20a 2+y 20b 2=1，x 2a 2+y 2b 2=1，即x 20a 2+y 20b 2=x 2a 2+y 2b 2⇒y −y 0x −x 0⋅y +y 0x +x 0=−b 2a2.3．椭圆焦点三角形焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：ΔPF 1F 2中，(1). |PF 1|+|PF 2|=2a ,|F 1F 2|=2c .(2). 焦点三角形的周长为L =2a +2c .(3).|PF 1||PF 2|=2b 21+cos ∠F 1PF 2.(4). 焦点三角形的面积为：S =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22.①设F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大.②．S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；(5). 假设焦点ΔPF 1F 2的内切圆半径为r ，则S =(a +c )r .(6).焦半径公式:设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a −ex 0，进一步，有PF 1 •PF 2 =a 2-ex 2∈b 2,a 2推导：根据两点间距离公式:|PF 1|=(x 0+c )2+y 2，由于x 20a 2+y 20b2=1,(a >b >0)代入两点间距离公式可得|PF 1|=(x 0+c )2+b 21−x 20a2，整理化简即可得|PF 1|=a +ex 0. 同理可证得|PF 1|=a −ex 0.(7).设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么PF 1 ⋅PF 2 =b 2−c 2+e 2x 20，由于x 0∈[0,a 2],故我们有PF 1 •PF 2 =b 2-c 2+e 2x 2∈b 2-c 2,b 2(8)若约定椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为左、右焦点；顶点P (x 0,y 0)在第一象限；∠PF 2F 1=α,∠PF 1F 2=β(α>β),∠F 1PF 2=γ，则对于椭圆，离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α+sin β=sin (α+β)sin α+sin β4．双曲线焦点三角形1.如图，F 1、F 2是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记∠F 1PF 2=θ，则△PF 1F 2的面积S =b 2tan θ2.OF 1F 2Pxy ．2.离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α−sin β=sin (α+β)sin α−sin β.3.焦半径公式：如图，对于双曲线，PF 1 =ex 0+a ,PF 2 =ex 0−a ，对双曲线，其焦半径的范围为c −m ,+∞ .4.双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠).5.已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.6.如图，过焦点F 2的弦AB 的长为t ，则ΔABF 1的周长为4m +2t .5．双曲线的渐近线1.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，右焦点为F 2，作F 2P 垂直于渐近线y =b a x ，垂足为P ，则点P 在双曲线的右准线上，且P 的坐标为a 2c ,abc，且OP =a ,F 2P =b ,F 2O =c .2.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交C 的两条渐近线于P 、Q 两点，则OF =c ,FQ =b ,OQ =a .(1)当1<e <2时，设∠FOQ =α，则tan α=ba，tan2α=2tan α1−tan 2α=2⋅b a 1−b a2=2aba 2−b 2，PQ =a ⋅tan2α=2a 2b a 2−b 2，PF =PQ −FQ =2a 2b a 2−b 2−b =bc 2a 2−b2，OP =a 2+2a 2b a 2−b 22=ac 2a 2−b 2.进一步，若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1(2)当e >2时，设M 是直线PQ 与y 轴的交点，∠MOQ =β，则tan β=a b，tan2β=2βtan 1-2βtan =2⋅a b 1-a b 2=2ab b 2-a 2，PQ =a ⋅tan2β=2a 2bb 2−a 2，OP =a 2+2a 2b b 2−a 22=ac 2b 2−a2，MQ =a tan β=a 2b ，PM=PQ -MQ =2a 2b b 2−a 2-a 2b =a 2c 2b b 2−a 2OM =a 2b 2+a 2=ac b ，MF =ac b 2+c 2=c 2b.进一步：若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ，则e 2=2λλ−16.抛物线焦半径假设抛物线方程为y 2=2px .过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点，其坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).性质1.|AF |=x A +p 2，|BF |=x B +p2,|AB |=x A +x B +p .性质2.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 24,y 1y 2=−p 2.一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .于是，若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).性质3.已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则(1)|AF|=p1−cosθ,|BF|=P1+cosθ，1|FA|+1|FB|=2p.(2)|AB|=2psin2θ，SΔOAB=p22sinθ，|AB|=2p1+1k2.性质4.抛物线的通径(1).通径长为2p.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.性质5.已知直线l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，若弦AB中点的坐标为(x0,y0)，则|AB|=2x0+p 2.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.7.抛物线中的阿基米德三角形如图，假设抛物线方程为x2=2py(p>0)，过抛物线准线y=−p2上一点P(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2). 则以点P和两切点A,B围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.结论2.直线AB的方程为x0x=2p y0+y2=p(y0+y).结论3.过F的直线与抛物线交于A,B两点，以A,B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P (x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.结论4.PF⊥AB.结论5.AP⊥PB.结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.二．试题汇编1.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知⊙O 1:(x -2)2+(y -3)2=4，⊙O 1关于直线ax +2y +1=0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a =( )A.-32或56B.-56或32C.-32或-56D.56或322.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)圆O 为锐角△ABC 的外接圆，AC =2AB =2，点P 在圆O 上，则BP ⋅AO的取值范围为( )A.-12,4B.0,2C.-12,2D.0,43.(广东省2023届高考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB ≥b ，则C 的离心率取值范围是( )A.1,5+12B.5+12,+∞ C.1,2D.2,+∞4.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知双曲线C 的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线4x +3y -20=0与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为( )A.54B.43C.53D.745.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 任x 铀上，过点2,0 的且线交C 于P ,Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的取大值为( )A.66B.12C.22D.16.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB=3F 2A ，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为( )A.7B.5C.3D.27.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设A ，B 是半径为3的球体O 表面上两定点，且∠AOB =60°，球体O 表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为( )A.121111π B.4155π C.6147π D.121313π8.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为( )A.54B.85C.52D.21059.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的两条弦AB ，CD 相交于点P (点P 在第一象限)，且AB ⊥x 轴，CD ⊥y 轴.若PA :PB :PC :PD =1:3:1:5，则椭圆E 的离心率为( )A.55B.105C.255D.210510.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的右焦点为F c ,0 ，点P ，Q 在直线x =a 2c 上，FP ⊥FQ ，O 为坐标原点，若OP ⋅OQ =2OF 2，则该椭圆的离心率为( )A.23B.63C.22D.3211.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)如图，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ，D 两点，OD =3，E 为线段的DF 1中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB成立，且△BF 1F 2内切圆的圆心在直线x =2上.则双曲线的离心率是()A.43B.3C.2D.3212.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =3x 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 的离心率为( )A.3+12B.3C.3+1D.5+113.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m多选14.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线C :x 24+y 22m 2-4=1( )A.若m >2，则C 是椭圆B.若-2<m <2，则C 是双曲线C.当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D.当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大15.(广东省2023届高考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是( )A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BF B.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF16.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))设单位圆O 与x 轴的左、右交点分别为A 、B ，直线l ：x cos θ-y sin θ+1=0(其中0<θ<π)分别与直线x +1=0、x -1=0交于C 、D 两点，则( )A.θ=2π3时，l 的倾斜角为π6B.∀θ∈0,π ，点A 、B 到l 的距离之和为定值C.∃θ∈0,π ，使l 与圆O 无公共点D.∀θ∈0,π ，恒有OC ⊥OD17.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5 B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,518.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)已知抛物线C ：y 2=2x 的准线为l ，直线x =my +n 与C 相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则( )A.当n =12时，以AB 为直径的圆与l 相交B.当n =2时，以AB 为直径的圆经过原点OC.当AB =4时，点M 到l 的距离的最小值为2D.当AB =1时，点M 到l 的距离无最小值19.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知直线l :y =k x +2 交y 轴于点P ，圆M :x -2 2+y 2=1，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则( )A.若直线l 与圆M 相切，则k =±1515B.当k =2时，四边形PAMB 的面积为219C.直线AB 经过一定点D.已知点Q 74,0，则CQ 为定值20.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若椭圆x 2m 2+2+y 2m 2=1(m >0)的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有( )A.5B.7C.2D.221.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知点A -1,0 ，B 1,0 ，点P 为圆C ：x 2+y 2-6x -8y +17=0上的动点，则( )A.△PAB 面积的最小值为8-42 B.AP 的最小值为22C.∠PAB 的最大值为5π12D.AB ⋅AP的最大值为8+4222.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则( )A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=023.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA ⋅OB =r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是( )A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AD AE为定值24.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知圆的方程为(x -m )2+(y -m )2=m 2，对任意的m >0，该圆( )A.圆心在一条直线上 B.与坐标轴相切C.与直线y =-x 不相交D.不过点1,1填空25.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线f x =x 3-3x 2+6x +2在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为__________．26.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知椭圆C ：x 212+y 26=1，直线l 与C在第二象限交于A ，B 两点(A 在B 的左下方)，与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且|MA |：|AB |：|BN |=1：2：3，则l 的方程为__________．27.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)写出与直线x =1, y =1,和圆x 2+y 2=1都相切的一个圆的方程________．28.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)不与x 轴重合的直线l 过点N (x N ,0)(xN ≠0)，双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上存在两点A 、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为x M ．若x N =4x M ，则C 的离心率为____________．29.(广东省2023届高考一模)已知动圆N 经过点A -6,0 及原点O ,点P 是圆N 与圆M :x 2+(y -4)2=4的一个公共点,则当∠OPA 最小时,圆N 的半径为___________.30.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点N 在l 上，若FM ⊥FN ，且MF =10，则NF =______.31.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．32.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)设a >0，A 2a ,0 ，B 0,2 ，O 为坐标原点，则以OA 为弦，且与AB 相切于点A 的圆的标准方程为____；若该圆与以OB 为直径的圆相交于第一象限内的点P (该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为______．33.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知M 1,2 为抛物线C :y 2=2px p >0 上一点，过点T 0,1 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线MA 与MB 的倾斜角互补，则TA ⋅TB =__________．34.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若两条直线l 1:y =3x +m ,l 2:y =3x +n 与圆x 2+y 2+3x +y +k =0的四个交点能构成矩形，则m +n =____________.35.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x =t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则t a的最大值为____________.36.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知点P 在抛物线C :y 2=2px p >0 上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若∠HPF =60°，点P 的横坐标为1，则p =_______.37.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)过点-1,0 作曲线y =x 3-x 的切线，写出一条切线的方程_______．38.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为____________.39.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)直线x =t 与曲线C 1：y =-e x +ax a ∈R 及曲线C 2：y =e -x +ax 分别交于点A ，B .曲线C 1在A 处的切线为l 1，曲线C 2在B 处的切线为l 2.若l 1，l 2相交于点C ，则△ABC 面积的最小值为____________.40.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0，过点T 2,0 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C 上，若CP ∥AB ，PA ⋅PB =12，则AB =________41.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线与该抛物线交于A ,B 两点，AB =52,AB 的中点纵坐标为2，则p =__________.42.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)已知圆C 1：x 2+y 2=2关于直线l 对称的圆为圆C 2：x 2+y 2+2x -4y +3=0，则直线l 的方程为______.43.已知O 为坐标原点，在抛物线y 2=2px p >0 上存在两点E ，F ，使得△OEF 是边长为4的正三角形，则p =______．44.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知抛物线y2=4x和椭圆x2+a2y2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且抛物线的焦点F也是椭圆的焦点，若直线AB过点F，则椭圆的b2离心率是__________．。

1.求轨迹C的方程；AP AQ⋅=时，求【解析】21y+=．y kx b=+代入曲线整理得2(14k+因为直线l与曲线显然，曲线C与轴的负半轴交于点所以(12AP x=+(2AQ x=AP AQ⋅=，得22)(2)x+②、③代入上式，整理得212k所以(2)(60k b-⋅，即b=①2b k=时，直线的方程为y=即直线l经过点2.以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的⑴⑵⑶在⑵【解析】②３.点．⑴⑵说明理由．【解析】1234x xk+=+1OM ON x x⋅=224(1)3kk=+⋅+所以2k=±，故直线l的方程为本题直线l的方程也可设为不能讨论，且计算时⑵②【解析】５.求轨迹C的方程；AP AQ⋅=时，求【解析】21y+=．y kx b=+代入曲线整理得2(14k+因为直线l与曲线显然，曲线C与轴的负半轴交于点所以(12AP x=+(2AQ x=AP AQ⋅=，得22)(2)x+②、③代入上式，整理得212k所以(2)(60k b-⋅，即b=①2b k=时，直线的方程为y=即直线l经过点。

解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。

（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。