-2017年大梦杯福建省初中数学竞赛试题

全国初中数学竞赛试题（福建）及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x -=，423y y +=，则444y x+的值为（ ）。

A 、7B 、12 C 、72 D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得21x ==，2y ==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+= 2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。

A 、512 B 、49 C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。

A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

2017年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2017元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

2017-2018学年福建省八年级（上）竞赛数学试卷;一、选择题（每小题5分，共40分）1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，62．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．94．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=05．已知△ABC中，AB=AC，高BD、CE交于点O，连接AO，则图中全等三角形的对数为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（5，3） C．（﹣3，5）D．（3，5）8．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题5分，共40分）;9．若2a3x b y+5与5a2﹣4y b2x是同类项，则xy=．10．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为．11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45，则a2+b2的值为．12．已知（a+25）2=1000，则（a+15）（a+35）的值为．13．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．14．如图，在△ABC中，I是三内角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A=．15．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．16．如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为．三、解答题（每小题10分，共40分）17．已知：3a=2，3b=6，3c=18，试确定a、b、c之间的数量关系．18．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．19．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．20．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．2017-2018学年福建省八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，6【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；C、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选D．2．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．【解答】解：M=（x﹣3）（x﹣7）=x2﹣10x+21，N=（x﹣2）（x﹣8）=x2﹣10x+16，M﹣N=（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）=5，则M＞N．故选：B．3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．9【考点】尾数特征．【分析】根据31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…得出3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9，进而得出末尾数字．【解答】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2015÷4=503…3，∴3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9=（3+9+7+1）×503+19=10079的末尾数为9．故选：D．4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0【考点】完全平方公式．【分析】首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．【解答】解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0，∴（x+z﹣2y）2=0，∴z+x﹣2y=0．故选：D．5．已知△ABC中，AB=AC，高BD、CE交于点O，连接AO，则图中全等三角形的对数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答．【解答】解：∵高BD、CE交于点O，∴∠AEO=∠ADO=90°，图中的全等三角形有：①在△AEC与Rt△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（AAS），∴∠ABO=∠ACO，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CBO=∠BCO，∴OB=OC；②在△ABO与Rt△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO=∠CAO，③在△AEO与Rt△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（AAS），④在△BOE与△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；⑤在△BCE与△CBD中，∴△BCE≌△CBD（AAS）．共有5对．故选C．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】轴对称﹣最短路线问题；含30度角的直角三角形．【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC 时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，在△AQP和△AQP′中，，∴△AQP≌△AQP′，∴PQ=QP′∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=8，∠BAC=30°，∴BC=AB=4，∴PQ+BQ的最小值是4，故选A．7．点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（5，3） C．（﹣3，5）D．（3，5）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【解答】解：点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），故选：A．8．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理．【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据三角形外角性质对③进行判断；根据非负数的性质对④进行判断．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．故选A．二、填空题（每小题5分，共40分）9．若2a3x b y+5与5a2﹣4y b2x是同类项，则xy=﹣2．【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指数相同，即可列出关于x和y的方程组，求得x和y的值，进而求得代数式的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，则xy=2×（﹣1）=﹣2．故答案为﹣2．10．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为45°．【考点】平行线的性质．【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，可得出∠2=∠3，∠1=∠4，故∠1+∠2=∠3+∠4，由此即可得出结论．【解答】解：过点B作BD∥l，∵直线l∥m，∴BD∥l∥m，∴∠4=∠1，∠2=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠ABC，∵∠ABC=45°，∴∠1+∠2=45°．故答案为：45°．11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45，则a2+b2的值为7．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】根据题意，可以设a2+b2=m，从而可以求得m的值，进而求得a2+b2的值，注意a2+b2的值不小于0．【解答】解：设a2+b2=m，则（m+2）（m﹣2）=45，∴m2﹣4=45，解得，m=7或m=﹣7，∴a2+b2=7或a2+b2=﹣7（舍去），故答案为：712．已知（a+25）2=1000，则（a+15）（a+35）的值为900．【考点】平方差公式．【分析】将（a+15）（a+35）变形为（a+25﹣10）（a+25+10），根据平方差公式得到原式=（a+25）2﹣100，再将（a+25）2=1000整体代入即可求解．【解答】解：（a+15）（a+35）=（a+25﹣10）（a+25+10）=（a+25）2﹣100，∵（a+25）2=1000，∴原式=1000﹣100=900．故答案为：900．13．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．【考点】整式的混合运算．【分析】设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，然后根据整式的乘法与加减混合运算进行计算即可得解．【解答】解：设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，则原式=a（b+）﹣（a﹣）•b=ab+a﹣ab+b=（a+b），∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，∴原式=．故答案为：．14．如图，在△ABC中，I是三内角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A=80°．【考点】三角形内角和定理．【分析】先根据角平分线的定义得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°，则∠BIC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BIC=90°+∠A，然后把∠BIC=130°代入计算可得到∠A的度数．【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∵∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BIC=180°﹣=90°+∠A，∵∠BIC=130°，∴90°+∠A=130°∴∠A=80°．故答案为：80°．15．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是12°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．16．如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为﹣1．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．【解答】解：由勾股定理得，AB==，∴AC=，∵点A表示的数是﹣1，∴点C表示的数是﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（每小题10分，共40分）17．已知：3a=2，3b=6，3c=18，试确定a、b、c之间的数量关系．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方即可列出等式求出a、b、c之间的数量关系．【解答】解：∵2×18=62，∴3a×3c=（3b）2，∴3a+c=32b，∴a+c=2b18．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．【考点】因式分解的应用．【分析】原式变形后，利用完全平方公式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016，∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，则原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]=×（1+1+4）=3．19．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．20．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】延长AB到F，使BF=BD，连DF，首先证明△ADF≌△ADC，推出AF=AC，由BE是角平分线，推出∠CBE=∠ABC=40°推出∠EBD=∠C，推出BE=EC，推出BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．【解答】证明：延长AB到F，使BF=BD，连DF，∴∠F=∠BDF，∵∠A：∠B：∠C=3：4：2，∴∠ABC=80°，∠ACB=40°，∴∠F=40°，∠F=∠ACB，∵AD是平分线，∴∠BAD=∠CAD，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC，∴AF=AC，∵BE是角平分线，∴∠CBE=∠ABC=40°∴∠EBD=∠C，∴BE=EC，∴BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．∴AB+BD=AE+BE．2017年3月1日。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2019 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019 年 3 月 17 日9∶00－11∶00满分 150 分一、（共 5 小，每小 7 分，共 35 分）。

每道小均出了代号 A ，B， C，D 的四个，其中有且只有一个是正确的。

将正确的代号填入后的括号里，不填、多填或填都得0 分）1．若一次函数y x 2 与反比例函数y 4的像交于 A(x1，y1) ， B( x2，y2 ) 两点，xx1 x2y1 y2的（）A ．8B．6C．6D．8【答案】Dy x2【解答】由4，得x22x40⋯⋯⋯⋯⋯①。

yx依意，x1， x2是方程①的两根，于是 x1x22 ， x1 x2 4 。

∴x1 x2y1 y24416416x1 x2x1x2x1 x28。

x1x242．如，△ABCO 的内接三角形， D BC 中点， EOA 中点，ABC40 ，BCA80，OED 的大小（）A ．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】如， OC 。

（第 2 ）由 ABC40 ，BCA80 ，得BAC60。

∵ D BC 中点，∴OD BC ，DOC 1。

BOCBAC 602∴OCD 30， OD 1OC 。

2又 E OA 中点，∴OE 1OA OD 。

2（第 2 答）合ABC 40，知EOD AOC COD 2 40 60 140 ，1OED 1(180EOD )1(180140 )20。

223．已知二次函数 f ( x)2x2ax b ，若 f (a) f (b1) ，其中 a b 1 ，则 f(1) f (2) 的值为（）A ．8B．10C．12D．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知a b 1a。

于是， 3a2b 2 。

24所以， f (1) f (2)(2a b)(82a b)3a2b102108 。

4．如图，在四边形ABCD中，AB BC ， BCD 120，CD DA ，且 BC 6 ， CD 3 ，则四边形 ABCD 外接圆的面积为（）A ．7B．21C．63D．84【答案】B【解答】如图，设 BC 、 AD 的延长线交于点 P 。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间2018年3月18日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n（m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m =（）A ．31+B ．21+C ．231-D ．221-3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AE AC =（）A ．25B ．35C ．37D ．474．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径为2，则AH =（）A ．23B ．22C ．4D ．31+5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（）A ．0对B ．2对C ．4对D ．6对二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。

若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为。

7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。

若函数4y x=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为。

8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。

福建省初中数学竞赛试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √2D. √12. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 13. 下列等式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. (a b)² = a² 2ab + b²D. a² b² = (a + b)(a b)4. 一个等差数列的前三项分别是1、3、5，那么第10项是（）A. 19B. 21C. 23D. 255. 下列图形中，面积和周长都不变的是（）A. 正方形B. 长方形C. 圆D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘，结果是正数。

（）2. 平行线的性质是同位角相等。

（）3. 任何两个奇数相加都是偶数。

（）4. 一次函数的图像是一条直线。

（）5. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a：b=3：4，则（a+b）：b=______。

2. 已知x² + x = 12，则x² + 2x + 1 = ______。

3. 一次函数y = 2x + 3的图像与y轴的交点坐标是______。

4. 若等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则其面积为______。

5. 一个正方体的体积是64立方厘米，则其表面积是______平方厘米。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请解释有理数的概念。

2. 简述平行线的性质。

3. 什么是二次方程？请举例说明。

4. 如何求解一元一次不等式？5. 简述三角形相似的判定条件。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有3个苹果，小红的苹果数量是小明的2倍，他们一共有多少个苹果？2. 一辆汽车行驶100千米，速度为60千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间。

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设a =1a a+的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B【解答】由2226a =+-=，知a =于是1a a +=2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。

因此，1a a+的整数部分为2。

（注：a ==== 2．方程22()32x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。

设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）A ．3B ．C ．±D ．【答案】 D【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为221212()22t t t t ++，。

（第3题）由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为221212(2)22t t t t ++-，。

由点B 在抛物线2y x =上，知22212122()22t t t t++-=。

整理，得22221211222282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。

结合21t t >，得21t t -=4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

福建省七年级数学竞赛试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共30分)1. （2分）﹣的绝对值为（）A .B . 3C . -D . -32. （2分） (2018九上·温州开学考) 若，且， =3，则的值是（）A . -1B . 7C . 1或7D . -1或-73. （2分）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（）A . 等边三角形B . 平行四边形C . 梯形D . 矩形4. （2分） (2019八上·交城期中) 如图，AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，下列结论错误的是（）A . DE=DFB . AC=3DFC . BD=DCD . AD⊥BC5. （2分）某商店换季准备打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为（）A . 230元B . 250元C . 270元D . 300元6. （2分） (2018七上·吉首期中) 下列合并同类项中，正确的是（）A . 3x+2y=6xyB . 2a²+3a²=5a³C . 3mn-3nm=0D . 7x-5x=27. （2分） (2018七上·新罗期中) 若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|2b|为（）A . a+3bB . a+bC . ﹣a﹣bD . ﹣a+b8. （2分）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A . 1B . 4C . 3D . 29. （2分）(2020·北京模拟) 已知：，，，则A .B .C .D .10. （2分）下列图形中不是正方体的平面展开图的是（）A .B .C .D .11. （10分） (2020七上·浦北期末) 计算下列各题：（1）；（2）二、填空题 (共10题；共13分)12. （1分） (2020七上·泰州月考) 在数轴上表示数a的点到表示﹣1的点的距离为3，则a=________．13. （1分）写出一个比﹣2小的数是________ ．14. （3分） (2020八上·龙岗期末) ﹣的相反数是________，的倒数是________，的立方根是________。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。