人教版九年级数学上22.3实际问题与二次函数第一课时教案

22.3 实质问题与二次函数第 1课时教课目标：1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ ax2的关系式。

2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提升学生用数学意识。

要点难点：要点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ ax2、y＝ ax2＋b x ＋ c 的关系式是教课的要点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教课的难点。

教课过程：一、创建问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型( 曲线 AOB)的薄壳屋顶。

它的拱高AB 为4m，拱高 CO为 0.8m。

施工前要先制造建筑模板，如何画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出吻合要求的模板，平时要先建立合适的直角坐标系，再写出函数关系式，而后依据这个关系式进行计算，放样画图。

以下列图，以AB的垂直均分线为y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。

这时，屋顶的横截面所成抛物线的极点在原点，对称轴是 y 轴，张口向下，所以可设它的函数关系式为：y ＝ ax2 (a＜ 0) (1)AB因为 y 轴垂直均分AB，并交 AB于点 C，所以 CB2＝ 2(cm) ，又 CO＝ 0.8m，所以点 B ＝的坐标为 (2 ，－ 0.8) 。

因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1) ，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2所以，所求函数关系式是y＝－ 0.2x 2。

二、引申拓展问题 1：能不可以以A点为原点， AB所在直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系 ?让学生认识建立直角坐标系的方法不是独一的，以 A 点为原点， AB所在的直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。

问题 2，若以 A 点为原点， AB所在直线为x 轴，过点 A 的 x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则 A 点坐标为 (0 ， 0) ，B 点坐标为 (4 ， 0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB， AC＝2m， O点坐标为 (2 ； 0． 8) 。

22.3 实际问题与二次函数（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能根据实际问题构造二次函数模型.2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.【过程与方法】通过对“矩形面积”等实际问题的探究,让学生经历数学建模的基本过程,体会建立数学模型的思想.【情感态度与价值观】体会二次函数是一类最优化问题的模型,感受数学的应用价值,增强数学的应用意识.二、课型新授课三、课时第1课时,共3课时。

四、教学重难点【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.【教学难点】将实际问题转化为数学问题,并用二次函数性质进行决策.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件3:排球运动员从地面竖直向上抛出排球,排球的高度h（单位:m）与排球的运动时间t（单位:s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时,排球最高？排球运动中的最大高度是多少？（二）探索新知探究二次函数与几何图形面积的最值出示课件5:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h（单位:m）与小球的运动时间t（单位:s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师分析:可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.教师问:如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值？（出示课件6）学生答:由于抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点,当2b x a=-时,二次函数y=ax 2+bx+c 有最小（大）值244ac b y a -=． 师生共同解答:（出示课件7）解:303225ba -=-=⨯-（）， 2243045445ac b h a --===⨯-（）．小球运动的时间是3s 时,小球最高;小球运动中的最大高度是45m ．师生共同总结: 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点,也就是说,当2b x a=-时,二次函数有最小（大）值244ac b y a -=． 出示课件8:例 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少时,场地的面积S 最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l 表示另一边？问题3 面积S 的函数关系式是什么？学生思考后,师生共同解答.解:矩形场地的周长是60m,一边长为lm, 所以另一边长为（60l 2-）m. 场地的面积S=l(30-l),即S=-l 2+30l(0<l<30).因此,当301522(1)b l a =-=-=⨯-时,S有最大值22430225.44(1)ac ba--==⨯-即当l是15m时,场地的面积S最大.教师点拨:利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点:（出示课件10）1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.变式1 如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？（出示课件11）教师问:变式1与例题有什么不同？学生答:一边靠墙.教师问:我们可以设面积为S,如何设自变量？学生答:设垂直于墙的边长为x米.教师问:面积S的函数关系式是什么？学生答:S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.教师问:如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？（出示课件12）学生答:0＜60－2x≤32,即14≤x＜30.教师问:如何求最值？学生答:最值在其顶点处,即当x=15m 时,S=450m 2.变式2 如图,用一段长为60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？（出示课件13）教师问:变式2与变式1有什么异同？学生答:墙长不一样.教师问:可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？学生答:设垂直于墙的边长为x 米.S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.教师问:可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边与面积？ 学生答:设矩形面积为Sm 2,与墙平行的一边为x 米,则22601130(30)450.222x S x x x x •-==-+=--+ 教师问:当x=30时,S 取最大值,此结论是否正确？（出示课件14）学生答:不正确.教师问:如何求自变量的取值范围？学生答:0＜x ≤18.教师问:如何求最值？学生答:由于30＞18,因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时,S 有最大值是378.教师总结:（出示课件15）实际问题中求解二次函数最值问题,不一定都取图象顶点处,要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比,希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 出示课件16:已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少？师生共同分析后,生独立解决.解:∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,∴另一边长为8-x.则该直角三角形面积:S=（8-x ）x ÷2,即:214.2S x x =-+ 当x=2b a -=4,另一边为4时, S 有最大值244ac b a-＝8, ∴当两直角边都是4时,直角三角形面积最大,最大值为8.（三）课堂练习（出示课件17-25）1.如图,在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD ≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形菜园的最大面积是________.3.如图,在△ABC中, ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB 向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合）,动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过秒,四边形APQC的面积最小.4.如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？5.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm,绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.(2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大？6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围；(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.参考答案:1.解:⑴设AB=xm,则BC=（100﹣2x）m,根据题意得x（100﹣2x）=450,解得x1=5,x2=45.当x=5时,100﹣2x=90＞20,不合题意舍去；当x=45时,100﹣2x=10.答:AD的长为10m；⑵设AD=xm,∴S=12x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250,当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1250；当0＜a＜50时,则当0＜x≤a时,S随x的增大而增大；当x=a时,S的最大值为50a﹣12a2,综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250；当0＜a＜50时,S的最大值为50a﹣12a2．2.2225m 83.34.解:令AB 长为1,设DH=x,正方形EFGH 的面积为y,则DG=1-x.2211114(1)2(01).222y x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯-=-+<< 当x=12时,y 有最小值12. 即当E 位于AB 中点时,正方形EFGH 面积最小.5.解:40(1)()2x y x -=2240120,22x x x x -==-+即2120(025).2y x x x =-+<≤∵0＜x ＜25,∴当x=20时,满足条件的绿化带面积y 最大=200.6.解:(1)设矩形一边长为x,则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x 2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x 2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时,即矩形的一边长为3m 时,矩形面积最大,为9m 2.这时设计费最多,为9×1000=9000（元）.x x y 202122+-=）（)40(212x x --=)202040(21222-+--=x x 200)20(212+--=x（四）课堂小结1.通过本节课的学习你有什么收获？2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.（五）课前预习预习下节课（22.3第2课时）的相关内容.七、课后作业1教材习题22.3第4、5、6、7题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型,也是某些单变量最优化的数学模型,如最大利润、最大面积等实际问题,因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题,由于学生对于这一转化过程较难理解,因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出,让学生自主建立数学模型,在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之,在本课时的教学过程中,要让学生经历数学建模的基本过程,体验探究知识的乐趣.。

22.3.2实际问题与二次函数一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型，发展合情推理．3.能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．（二）学习重点学会用二次函数知识解决实际问题, 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．（三）学习难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．二、教学设计（一）课前设计预习任务二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴是x= 2b a -；二次函数的图象是一条抛物线，当a ＞0时，图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下；2.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：（1）若a>0，则当x=2b a -时，y 最小值=244ac b a -；（2）若a<0，则当x=2b a -时，y 最大值=244ac b a -.预习自测1.已知二次函数221y x x =-++，当x=______时，取得最_______值为_______； 【知识点】二次函数求最值【解题过程】配方，得2(1)2y x =--+，∴当x=1时，取得最大值为2.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值【答案】1、大、2.2.已知二次函数221y x x =-++，2≤x≦5，则当x=______时，取得最大值为_______；x=______时，取得最小值为_______。

【知识点】二次函数区间求最值【解题过程】配方，得2)1(2+--=x y ，∵2≤x≤5 在对称轴的右边,且抛物线开口向下，∴当2≤x≤5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=2时，取得最大值为1；当x=5时，取得最小值为-14.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式，再根据x 的取值范围并结合图象，求二次函数的区间最值【答案】2，1；5，-14.3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件售价应为____元．【知识点】二次函数的应用．【思路点拨】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【解题过程】解：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣20）（30﹣x ）=2x 2525+-（﹣）， ∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，【答案】254.某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x 元(x>50)，每月销售这种篮球获利y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？【知识点】销售问题中的数量关系，二次函数求最值【解题过程】解：(1)y ＝－10x2＋1400x －40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x －40000＝8000，化简得x2－140x ＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．【思路点拨】关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．(二)课堂设计1.知识回顾（1）营销问题的基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价． （2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：①若a>0，则当x=2b a -时，y 最小值=244ac b a -；②若a<0，则当x=2b a -时，y 最大值=244ac b a -.2.问题探究探究一 销售问题中的利润最大问题（★▲）●活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式.师问：销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？学生抢答： 成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动2 整合旧知，探究利润最大问题创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课.师问：在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。

22.3 实际问题与二次函数教学设计教学内容22.3 实际问题与二次函数（第一课时）．教学目标知识与技能1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．过程与方法学生会借助于二次函数的图象得到二次函数的最小（大）值的结论，掌握当x ＝－a b 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值ab ac 442 ． 情感态度、价值观学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题。

教学重点求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、复习导入（1）知识复习1.通过配方,写出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y = 6x 2+12x ; (2) y = -4x 2+8x-102. 以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少.3.二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）,当a>0时,图象开口向 ,函数有最 值,等于 ;当a<0时,图象开口向 ,函数有最 值,等于 .（2）导入新课在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．二、探究新知问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）．然后让学生计算当t ＝1、t ＝2、t ＝3、t ＝4、t ＝5、t ＝6时，h 的值是多少？再让学生根据算出的数据，画出函数h ＝30t －5t 2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．当t ＝－a b 2＝－)5(230-⨯＝3时，h 有最大值a b ac 442-＝)5(4302-⨯-＝45． 答：小球运动的时间是3s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m ．问题2 如何求出二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值？学生根据问题1归纳总结：当a ＞0（a ＜0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当x ＝－ab 2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小（大）值ab ac 442-． 探究1 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l 的函数解析式，最后求出使S 最大的l 值．解：矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，所以另一边长（260－l ） m ．场地的面积S ＝l (30－l )，即S ＝－l 2＋30l （0＜l ＜30）．因此，当l ＝－a b 2＝－)1(230-⨯＝15时，S 有最大值a b ac 442-＝)1(4302-⨯-＝225．也就是说，当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．三．检测巩固1.抛物线y=x 2-2的顶点坐标为 ( )A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)2.∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,点P 从点A 出发,沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动;同时点Q 从点A 出发,沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动,其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止运动,则△APQ 的最大面积是( )A.8 cm 2B.16 cm 2C.24 cm 2D.32 cm 2 3.小敏用一根长为8 cm 的细铁丝围成一个矩形,则矩形的最大面积是 cm 2.四．课堂小结1.利用二次函数解决实际问题要注意自变量的取值范围。

续表探索新知合作探究活动3:教材第50页,“探究2”利润问题探究2:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大.教师展示问题:(1)该如何定价呢?(2)问题中的变量是什么?提示:(1)学生分组讨论如何利用函数模型解决问题;(2)利润随价格的变化而变化.师生共同分析下面的问题:(1)销售额为多少?(2)进货额为多少?(3)利润y与每件涨价x元的函数关系是什么?(4)利润y与每件降价x元的函数关系是什么?当堂训练某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少元?归纳小结1. 面积类问题如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,四周一样宽为x,则阴影部分的面积可表示为(a-2x)(b-2x).2.利润类问题(1)利润=售价-进价;(2)总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出.板书设计第1课时实际问题与二次函数(1)最值问题(1)面积最值问题(2)利润最值问题教学反思活动1:多媒体展示教材第51页探究3:探究3:抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?师生活动:学生自主探究,合作交流,经历构建平面直角坐标系解决抛物线型实际问题的过程.问题1:从题目本身的哪些条件,你能联想到用二次函数解决问题?(形状)问题2:求水面宽度增加多少,就是求解什么数学问题?(线段长的的关系)在明确上述两个问题后,让学生尝试着建立平面直角坐标系,并求出这条抛物线表示的函数关系式.师生活动:学生先独立思考,再在小组内交流,教师巡视,适时点拨,最后以小组汇报形式班内交流.有三种建立直角坐标系的常用方法:1.以水面所在直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.2.以最下端水面所在直线为x轴,以CD的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.3.以拱桥顶端水平线所在直线为x轴,以垂直该线的直线为y轴建立直角坐标系.学生建立不同的坐标系,得到不同的解析式,类比总结:三个解析式间的关系,指出恰当的建立坐标系可以使解答简便.续表(2)水管应多长?如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边OA的距离分别为 m, m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案?。

22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时，主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

本节课的内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的积极性。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有了初步的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，运用二次函数进行解答。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生学习数学的兴趣。

3.引导学生运用数形结合的方法，直观地理解二次函数在实际问题中的作用。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数进行解答。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实际问题，引导学生运用二次函数进行解答，提高学生解决实际问题的能力。

2.数形结合法：利用二次函数的图像，直观地展示二次函数在实际问题中的作用。

3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同探讨如何将实际问题转化为二次函数问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示二次函数在实际问题中的应用。

2.练习题：准备一些与实际问题相关的练习题，供学生在课堂上练习。

3.板书设计：设计简洁明了的板书，突出本节课的重点内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实际问题，如抛物线形跳板的高度与角度的关系，引导学生思考如何运用二次函数进行解答。

《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解二次函数的概念，掌握其一般形式。

2. 能够根据实际问题建立二次函数模型，解决相关问题。

3. 培养运用二次函数解决实际问题的意识和能力。

二、教学重难点1. 教学重点：理解二次函数的概念，掌握其应用。

2. 教学难点：将实际问题转化为二次函数模型。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形模型等。

2. 搜集与二次函数相关的实际问题，制作课件。

3. 布置学生预习课本，准备参与课堂的讨论。

4. 复习一次函数的知识，为新课做铺垫。

四、教学过程：本节课是《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时），以下是具体的教学过程：1. 导入新课：首先，我会向学生介绍本节课的主题——实际问题与二次函数，并解释二次函数在解决实际问题中的重要性。

通过一些简单的实际问题，引导学生认识到二次函数的应用广泛性，激发他们的学习兴趣。

2. 案例分析：通过具体的案例分析，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。

案例应该涵盖各种不同类型的实际问题，如销售问题、最值问题、规划问题等，以便学生能够全面掌握。

3. 小组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论身边的实际问题，并尝试将其转化为二次函数问题。

这有助于培养学生的思维能力和团队协作精神。

在讨论过程中，教师需要给予适当的指导，帮助学生解决困惑。

4. 课堂互动：鼓励学生提出自己的问题和观点，与教师和其他同学进行交流。

通过互动环节，教师可以了解学生的学习情况，及时调整教学策略。

5. 总结归纳：在课堂结束前，对所学内容进行总结归纳，强调二次函数在解决实际问题中的关键点和注意事项。

同时，引导学生反思自己的学习成果，鼓励他们将所学知识应用到实际生活中。

6. 布置作业：根据本节课的内容，为学生布置一些相关的作业题，以巩固所学知识。

作业内容应该包括理论题和实践题两种类型，以便学生能够全面掌握二次函数的应用。

22.3 实际问题与二次函数（第1课时）一、【教材分析】教学目标知识目标1.经历探索实际问题中的最大高度、面积、利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力.能力目标经历实际问题中的最大高度、面积、利润等问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展运用数学知识解决实际问题的能力.情感目标体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．教学重点探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法.教学难点1．二次函数解决实际问题的方法；2.二次函数与最值问题.二、【教学流程】教学环节教学问题设计师生活动二次备课情景创设【回顾】1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________________，顶点坐标是______________.当x=_______时y有_____值是_______. .2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是__________ ，顶点坐标是_________.当x=______ 时，函数有最___ 值，是________ .3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是__________，顶点坐标是___.当x=____时，函数有最_____复习引入，为学习实际问题与二次函数作好铺垫学生独立完成并组内交流值，是________. .【问题】从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位m）与小球运动时间t（单位：s）的关系式是h=30t-5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？【归纳】结合问题，拓展一般对于二次函数y=ax2+bx+c，如何求出它的最小（大）值呢？让学生先独立思考，若有困难，教师给予帮助分析理解.1.借助画函数图像解决问题2.发现抛物线的定点就是这个函数图像的最高点.3.求出抛物线的顶点坐标.学生说出解题思路，学生先写出证明过程.最后教师板书解题过程.学生根据前面问题的解决方法，总结出求二次函数最小（大）值的方法一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－ab2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值abac442．自主探究【探究1】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？【探究2】某商品现在的售价为每分析：先写出s与l的关系式，再求出使s最大的l值。

22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。

实际问题与二次函数教学目标：1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x 的取值范围。

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点：根据实际问题建立二次函数不同的数学模型，应用函数的性质解答数学问题 难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围， 教学过程： 一、复习旧知 导入新课（1）建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA 。

O 恰好在水面中心，布置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋52x ＋32，请回答下列问题：(1)花形柱子OA 的高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外?（2）．如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y ＝－15x 2＋3.5二、学习新知1、引导学生自学P24页例2（既探究2） 质疑 点评出示例3 P25 引导学生应用不同的方法去构建数学模型 重点讲解例32、练一练：（1）．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?三、小结：1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑?2．谈谈你的收获和体会。

四、作业：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m 。

这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?五、板书。

人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。

通过前面的学习，学生已经掌握了二次函数的基本概念、图像和性质。

本节内容将引导学生将二次函数知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的解题思路和方法。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的知识点有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题解决的能力还有待提高。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识掌握情况，引导学生将理论应用于实践，提高学生的解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。

2.学会将实际问题转化为二次函数问题，掌握解决实际问题的方法。

3.培养学生的团队协作能力和思维敏捷性。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并求解。

五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的实际问题，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。

2.讨论法：分组讨论，引导学生共同探讨解决实际问题的方法。

3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对二次函数在实际问题中的应用。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何利用二次函数解决这些问题。

2.呈现（10分钟）讲解教材中的案例，让学生直观地了解二次函数在实际问题中的应用。

引导学生分析案例中的关键信息，找出二次函数的关系式。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些类似的实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

22.3 实际问题与二次函数(第1课时)教学目标1、经历探索并建立二次函数的模型的过程，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。

2、探究并学会求二次函数在实际问题中的最大值和最小值。

3、体会二次函数是最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点建立二次函数的模型解决实际问题教学难点合理从现实问题中建立二次函数的数学模型。

教学过程一、复习导入1、通过配方法，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1）y=6x +12x; (2)y=-4x +8x-10学生自主探究解决问题，部分学生板演：解：（1）y=6(x+1) -6,抛物线的开口方向向上，对称轴为x=-1,顶点是（-1，-6）（2）y=-4(x-1) -6,抛物线的开口方向向上，对称轴为x=-1,顶点是（-1，-6）；2、观察以上两个函数，请你们探究哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？你是如何得到的？学生自主探究：解：函数y=6x +12有最小值，最小值y=-6;函数y=-4x + 8x-10有最大值，最大值y=-6.3.由上题，你可以得到怎样的结论？二、讲授新课问题从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h与小球的运动时间（单位：s）之间的关系是h=30t-5t (0≤t≤6) .小球运动的时间是多少时，，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师启发学生思考：我们该如何解决这个问题？师生合作探究：可以借助函数图象解决这个问题。

画出函数h=30t-5t (0≤t≤6)的图象。

（图略）可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分。

这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。

教师总结：一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax c bx ++2的顶点坐标是最低（高）点，也就是说，当x=-b/2a 时，二次函数y=ax c bx ++2有最小值a b ac 442- 。

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。

这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。

因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。

2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。

2.将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。

同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。

例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。

通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。

每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。

22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。