高等数学练习题附答案
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《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分)()1.收敛的数列必有界.()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.()3.闭区间上的间断函数必无界.()4.单调函数的导函数也是单调函数.()5.若f (x )在x 0点可导,则f (x )也在x 0点可导.()6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导,则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.()7.若f (x )在[a ,b ]上可积,则f (x )在[a ,b ]上连续.()8.若z =f (x ,y )在(x 0,y 0)处的两个一阶偏导数存在,则函数z =f (x ,y )在(x 0,y 0)处可微.()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.()10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数,且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.(每题2分,共20分)1.设f (x -1)=x ,则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x,则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题(每题5分,共40分)111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在(0,+∞)内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成,计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题(每题10分,共20分)1.证明:arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明:方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内(每题2分,共20分)1.√;2.×;3.×;4.×;5.×;6.×;7.×;8.×;9.√;10.√.二、填空题.(每题2分,共20分)21.x +4x +4; 2.1; 3.1/2;4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ;25.2/3;6. 1;7.336;8.8;9.1/2;10.0.三、计算题(每题5分,共40分)n +1111n +1<++L +<1.解:因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知:lim(n →∞n +1n +1=0lim ,=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解:先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解:原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解:原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解:f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2,f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8,f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴(0,0)为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2,f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4,f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解:D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解:令u =xy ,v =y;则1≤u ≤2,1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解:令y =u ,知(u )'=2u -4x由微分公式知:u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题(每题10分,共20分)1.解:设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即:原式成立。
《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数y=112+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为( ) A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 23.下列数列为单调递增数列的有( )A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999B .23,32,45,54 C .{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数,为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的( )A .充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5.下列命题正确的是( )A .发散数列必无界B .两无界数列之和必无界C .两发散数列之和必发散D .两收敛数列之和必收敛6.=--→1)1sin(lim 21x x x ( ) A.1 B.0 C.2 D.1/27.设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( )A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时,y= ( )A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x不连续,则下列结论成立是()A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足14、设f(x)=()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x也连续的有()A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切,则()A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x0)=a,则f`(-x)=()A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑,则y’|x=0=()A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx,则y(10)=()A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x,则y(10)=()A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|,则()A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()A 、-1B 、0C 、л/2D 、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=( )A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是( )A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是( )A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是( ) A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=( )A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的( )A 、(n+1)阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为()A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在(a,b)内存在原函数,则原函数有()A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=()A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=()47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为()A 、原点(0,0,0)B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面,但不可能为平面54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是( )A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是( )A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是( )A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( )A 、.必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的( )A 、[0,л]B 、(0,л)C 、[-л/4,л/4]D 、(-л/4,л/4)59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有( )A 、f(x)=x+1B 、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ,则y’|x=0=( )A 、-1B 、0C 、1D 、 不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( ) 2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=( ) 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=( ) 4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=( ) 5、求极限0lim →x (1-x)1/x= ( ) 6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=( )8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( )10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( )11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( )12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( )13、函数y=2x-5x 2的最大值为( )14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点,则有b=() c=( ) 16、∫xx 1/2dx= ( )17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( )18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ,则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =( )20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续,则a=( )21、∫02(x 2+1/x 4)dx =( )22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=( )24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=( )25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=( )26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )28、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )30、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1,则f(л+10)=()35、函数Y=|sinx|的周期是()36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是()38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为()39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为()40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是()41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是()44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()46求极限lim [x/(x+1)]x=()x→∞47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=()9 x1/2(1+x1/2)dx=()48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()50求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()三、解答题1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大?并求出其最大值。
一、单项选择题1.0lim()x x f x A →=,则必有( ).(A )()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界.(C)()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界.2.函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ,要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1.3.若()()F x f x '=,则()dF x =⎰( ).(A )()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C +4.方程 410xx --=至少有一根的区间是( ).(A ) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. (B )1,12⎛⎫⎪⎝⎭. (C )(2,3). (D )(1,2).二、填空题1. 设()f x 在0x x =处可导,则0lim x x y →∆= .2. 某需求曲线为1002000Q P =-+,则当10P =时的弹性为 .3. 曲线3267yx x =+-在0x =处的法线方程为 .4.2sin 2x t d e dt dx⎰= . 三、求下列极限(1)2211lim 21x x x x →---.(2)1lim(1)2x x x→∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x xx →+. 四、求下列导数和微分(1)已知3cos x y x=, 求dy . (2)求由方程l n2xyy e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx .五、求下列积分(1)221(sec )1x dx x++⎰.(2)20⎰ . (3)sin ⎰. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值.七、求由直线2yx =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积.八、证明:当0x >时,(1)l n (1)x x x++>.九、某种商品的成本函数23()200030.010.0002c x x x x =+++(单位:元),求生产100件产品时的平均成本和边际成本.一、 A . B . D . D . 二、(1)0. (2)-1. (3)0x=. (4)] 2sin cos x e x ⋅.三、求极限(1)解:原式=11(1)(1)12limlim (21)(1)213x x x x x x x x →→-++==+-+ (2)解:原式= 111222220011lim[(1)][lim(1)]22x xx x e x x -----→→-=-= (3)解:这是未定型,由洛必达法则原式=00cos 22limlim2(1)cos 2211x x x x x x →→⋅=+=+四、求导数和微分(1)解:23l n3c os 3sin(c os )x xx xy x +'=,23ln3cos 3sin (cos )x x x x dy dx x += (2)解:方程两边对x 求导,()xyy e y xy ''=+, 1xyxyye y xe '=-五、积分1.原式=221sec xdx dx +⎰⎰=tan arctan x x c ++ 2.原式=220118(4)x --=-=⎰3.t =,2,2x t dx tdt ==原式=sin 22(cos )2cos 2cos t tdt td t t t tdt⋅=-=-+⎰⎰⎰2c o s 2s in 2int t t C C=-++=-六、解: 函数定义域为(),-∞+∞,()(1)x x x f x e xe e x ---'=-=- 1x =是驻点 可列表讨论:单调增区间(,1)-∞单调减区间(1,)+∞极大值1(1)f e=. 七、解:解方程组22y x y x =⎧⎨=⎩得交点坐标(0,0) (2,4) 23222004(2)33x A x x dx x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 八、 证明:设 ()(1)ln(1)f x x x x =++- 当0>x 时,()l n (1)11l n (1)0f x x x '=++-=+>故原函数是增函数,0>x ,即()(0)0f x f >= 即(1)ln(1)0x x x ++-> 故 当0x >时,(1)l n (1)x x x++>.九、解:23200030.010.0002()x x x c x x+++=, 23200031000.011000.0002100(100)100c +⨯+⨯+⨯==262'()30.020.0006c x x x =++ 2'(100)30.021000.000610011c =+⨯+⨯=一、单项选择题1. 无穷小量是( ). (A )比零稍大一点的一个数. (B )一个很小很小的数.(C )以零为极限的一个变量. (D )数零.2.下列函数中当0x +→时为无穷大的函数是( ). (A) 21x--. (B) sin 1sec x x+. (C) xe -. (D) 1x e .3.()f x x =在点0x =处的导数( ). (A)1 . (B) 0. (C) -1.. (D) 不存在.4. x 0为驻点是可导函数f x ()在x 0处取得极值的( ). (A) 充要条件. (B) 充分条件. (C) 必要条件. (D) 即非充分又非必要.二、填空题1.0x =是函数1,10(),01x x f x x ⎧--≤<⎪=≤<的第 类间断点.2.设某种商品的需求函数为220Q P =-,则5P =时的边际需求为 . 3.已知曲线3223x y x =-+,则其上切线平行于x 轴的点的坐标为 .4.1-=⎰ . 三、求下列极限1.1lim x →23321x x x +++. 2.23lim(1)x x x →∞-.3.00lim sin xtx e dt x -→⎰. 四、求下列导数和微分1.已知ta n c o s2y x x =⋅, 求dy .2.求由参数方程233cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y f x =的导数 dy dx .五、求下列积分1.32x x e dx ⎰. 2.3(dxx +⎰. 3.21ln x xdx ⎰. 六、求函数arctan yx =的凹凸区间和拐点.七、求由抛物线 2x y=与直线22y x =-所围成平面图形的面积.八、证明:当0x >时,2ln(1)2x x x -<+.九、某商品每月销售x 件的收入函数为100()1000,xR x xe-=问每月销售多少件商品时,可使收入最大?一、C. D . D . C . 二、(1)一. (2)—10 . (3)()0,2、22,3⎛⎫⎪⎝⎭.(4)0. 三、求极限 (1)解:因为函数()f x =23321x x x +++在点1x =处连续,故1lim x →2332132(1)3111x x f x ++++===++(2) 原式=(3)2663333lim[1()][lim(1)]xxx x e xx --⋅---→∞→∞+-=-= (3)解: 这是一个未定型,由洛必达法则原式=000lim lim 1cos limcos xxx x x e ex x--→→→== 四、求导数和微分(1)解:22seccos2tan (sin 2)2sec cos22tan sin 2y x x x x x x x x '=+-⋅=-2sec cos 22tan sin 2dy x x x x dx ⎡⎤=-⎣⎦(2)解:2236sin ,6cos dx dy t t t t dt dt=-=,233226cos cos 6sin sin dy t t t t dx t t t ==--五、积分1.原式=33311()33x x e d x e C =+⎰ 2.原式=1323ln 2arcsin dx x x C x +=++⎰3.原式=222222211111ln ln ()ln 222x x x x xdx xd x dx x ⎡⎤==-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=22132ln 22ln 244x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦六、解:函数定义域为(,)-∞+∞,211y x '=+,222(1)xy x -''=+,令0y ''=得0x =,0x =把定义区间分成两部分(,0)(0,)-∞⋃+∞.可表示为:凹区间(,0)-∞,凸区间(0,)+∞,拐点(0,0).七、解:222y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩交点()1,1-,()1,1 由定积分的几何意义可得1122210(2))4(1)A x x dx x dx -⎡⎤=--=-⎣⎦⎰⎰1308433x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦八、证:设2()ln(1)2x f x x x =+-+当0x > 21()1011x f x x x x'=-+=>++ 故)(x f 在定义域内单增,即()(0)0f x f >=2ln(1)02x x x +-+>,即当0x >时,2ln(1)2x x x -<+ 九、解:1001001'()1000()100x xR x e xe --⎡⎤=+⋅-⎢⎥⎣⎦=1001000(1)100x x e --令'()0R x =,得驻点x=100 由于收入的最大值存在,而收入函数的驻点仅有一个,故函数在驻点x=100处取得最大值,最大值为:R(100)=1005100101000100e e-⨯⨯=36862≈ 即每月销售100件商品时,可使收入最大为36862.一、单项选择题 1.任意给定0M>,总存在着0X >,当x X<-时,()f x M<-,则( ).(A )lim ()x f x →-∞=-∞ . (B )lim ()x f x →∞=-∞.(C )lim ()x f x →-∞=∞.(D )lim ()x f x →+∞=∞.2.点1x =是函数31,1()1,13,1x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩ 的( ). (A) 连续点. (B) 第一类非可去间断点. (C) 可去间断点. (D) 第二类间断点. 3.设0()2f x '=,则000()()limh f x h f x h →--= ( ).(A )-2. (B )4. (C )2. (D )12.4.罗尔定理中的条件:()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()f a f b =,是()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=成立的( ).(A)必要条件. (B) 充分条件. (C)充要条件. (D)无关条件.二、填空题1.0x →时,2352x x -是x 的 阶无穷小. 2.设某种商品的成本函数C(x)= 210004x ++x=100件产品的边际成本是 . 3.()f x dx '=⎰=. 4.2cos x d tdt dx =⎰.三、求下列极限1.sin lim n xx →∞. 2.[]lim ln(2)ln x x x x →∞+-. 3.201lim cos31x x e x →--. 四、求下列导数和微分(1)已知ln(y x =, 求dy .(2)求由方程cos sin y y x =+所确定的函数()y f x =的导数dydx. 五、求下列积分(1)()xxeex dx --⎰.(2)2. (3)1ln 1e x dx x +⎰. 六、求函数32231214y x x x =+-+的单调区间和极值.七、求由直线x y =和曲线y =所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.八、证明:当1x>时,2(1)2x e e x >+.(7分)九、设某商品的需求函数为402Q p =-,其中p 为价格,试求:(1)需求量对价格的弹性;(2)价格p=15元时需求量对价格的弹性,此时是提价还是降价会使收入增加。
高等数学练习题库及答案Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数y=112+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为( ) A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 23.下列数列为单调递增数列的有( )A . ,,,B .23,32,45,54 C .{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数,为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的( )A .充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5.下列命题正确的是( )A .发散数列必无界B .两无界数列之和必无界C .两发散数列之和必发散D .两收敛数列之和必收敛6.=--→1)1sin(lim 21x x x ( ) .0 C 27.设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 68.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1)(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( )A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时,y= ()A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x不连续,则下列结论成立是()A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b 14、设满足()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x也连续的有()A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切,则()A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x0)=a,则f`(-x)=()A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑,则y’|x=0=()A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx,则y(10)=()A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x,则y(10)=()A、-1/x9B、1/ x9C、x9D、 x930、若函数f(x)=xsin|x|,则()A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=()A、-1B、0C、1D、 233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x可微的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x可微的()A、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是( )A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是( ) A 、0/0型 B 、∞/∞型 C 、∞ -∞ D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是( ) A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=( )A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的( )A 、(n+1)阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为( )A 、2B 、1/2C 、1D 、042、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为( )A 、0B 、1/2C 、1D 、243、若函数f(x)在(a,b )内存在原函数,则原函数有( )A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=()A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=()47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为()A 、原点(0,0,0)B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面,但不可能为平面54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是( )A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是( )A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面56下列命题正确的是( )A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( )A 、.必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的( )A 、[0,л]B 、(0,л)C 、[-л/4,л/4]D 、(-л/4,л/4)59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有( )A 、f(x)=x+1B 、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ,则y’|x=0=( )A 、-1B 、0C 、1D 、 不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( ) 2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=( ) 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=( ) 4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=( ) 5、求极限0lim →x (1-x)1/x= ( ) 6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=( )8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( )10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( )11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( )12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( )13、函数y=2x-5x 2的最大值为( )14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点,则有b=( ) c=()16、∫xx 1/2dx= ( )17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( )18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ,则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =( )20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x xt dt e x 在点x=0连续, 则a=( )21、∫02(x 2+1/x 4)dx =( )22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )23、∫031/2adx/(a 2+x 2)=( )24、∫01dx/(4-x 2)1/2=( )25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=( )26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )28、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )29、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为 ( )34、设f(x) = [x] +1,则f(л+10)=()35、函数Y=|sinx|的周期是()36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是()38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为()39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为()40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是()41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是 ( )43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是()44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()46求极限lim [x/(x+1)]x=()→∞x47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=()9 x1/2(1+x1/2)dx=()48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()50求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()三、解答题1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大并求出其最大值。
高等数学练习题(附答案)高等数学一、判断题(每题2分,共20分)1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√ 10.√二、填空题(每题2分,共20分)1.f(x+2)=x+12.03.g'(3)=1/64.du=ydx+xdy5.-1/26.5/47.9/48.69.-2 10.π/2三、计算题(每题5分,共40分)1.1/42.y'=(∑(i=1 to 10) i/(x+i))^23.ln|x-1|+ln|x|+C4.2π5.(2,2)6.1-cos(1)7.ln3/28.y=e^x-x-1/2x^2+C一、判断题1.√2.×3.×4.×5.×二、填空题1.22.13.14.15.1三、改写后的文章2.根据函数的定义,f(x)在点x处有定义是指该点的函数值存在,而f(x)在点x处连续是指当x在该点附近时,函数值的变化趋势与x的变化趋势一致。
因此,f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的充分条件,但不是必要条件。
3.若y=f(x)在点x不可导,则曲线y=f(x)在(x,f(x))处可能有切线,也可能没有切线。
因此,该说法是错误的。
4.若f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上不可积,则f(x)+g(x)在[a,b]上可能可积,也可能不可积。
因此,该说法是错误的。
=0和x+y+z=0在空间直角坐标系中分别表示一个坐标轴和一个平面,而不是三个坐标轴和一个点。
因此,该说法是错误的。
四、证明题1.设f(x)=arctanx-arcsin(x/(1+x^2)^(1/2)),则f'(x)=1/(1+x^2)-x/(1+x^2)(1-x^2/(1+x^2))=0.化简可得x^2=1,即x=±1.因此,f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,故在(-∞,+∞)上存在唯一实根。
高数练习题及答案解析一、填空题1.设f?ax?by,其中a,b为常数,则f)?.axy?abx?b2y 2.函数z?x2?y2在点处,沿从点到点的方向的方向导数是.1?223.设有向量场A?yi?xyj?xzk,则divA? x1x2114.二重积分dxfdy交换积分次序后为?dyfdx0n5.幂级数?的收敛域为 . [0,6) nn3n?16.已知z?e7.三重积分x?2y,而x?sint,y?t,则33dzesint2t dt其中?是由x?0,x?1,y?0,y?1,z?0,z?3dv? ,所围成的立体.二、计算题21.设a?2,b?5,a与b的夹角为?,向量m??a?17b与n?3a?b相互垂直,求?.3222解:由0?m?n?3?a?a?b?17b?122?5?cos??17?253得??40.2x3yz50垂直的平面方程.3x?y?2z?4?0?ijk?解:直线的方向向量为s?2?31??5,7,1131?22.求过点且与直线?取平面的法向量为n?s,则平面方程为5?7?11?0 即5x?7y?11z?8?0.3.曲面xyz?32上哪一点处的法线平行于向量S?{2,8,1}?并求出此法线方程.解:设曲面在点M处的法线平行于s,令F?xyz?32则在点M处曲面的法向量为n?{Fx,Fy,Fz}?{yz,xz,xy}.由于ns,故有yzxzxy.由此解得81x?4y,z?8y,代入曲面方程,解得M的坐标为,用点向式即得所求法线方程为x?4y?1z?881三、计算题1.设z?xy?xF,其中F为可导函数,求xyx?z?z?y. ?x?y解:zyzyFF, xF xxyzzy2xyxFzxy xynd?ex?1?2.将函数f?展成的幂级数,并求的和. xdx?x?n?1!ex?1111xxn1 解:x2!n!并在内收敛。
12n1n2nfxxxn1,x2!3!n!n?1!ex1nfx!n1x?113.求微分方程y1?,y??2dy的通解. dx解:令y??p,则yp?,原方程化为p??1?p2?dpdxptan1p2y??tandx??lncos?c2四、计算题1.求曲线积分I?22233的值,其中L为x?y?R的正向. ydx?dyL解:记L所围成的区域为D,利用格林公式得2?RI?y3dx?dydxdy?3?dd?LD3R22.求微分方程yy?4xex的通解.解:对应的齐次方程为yy?0,它的特征方程为r?1?0,其根为r1?1,r2??1,该齐次方程的通为Y?C1ex?C2e?x。
高等数学习题集及解答第二章一、 填空题1、设()f x 在x a =可导,则0()()lim x f a x f a x x →+--=。
2、设(3)2f '=,则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。
3、设1()xf x e -=,则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。
4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-,则0_______________________()f x =。
5、已知2220x y y x +-=,则当经x =1、y =1时,_______________dydx =。
6、()x f x xe =,则_______________(ln 2)f '''=。
7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线,则__________a =。
8、若()f x 为奇函数,0()1f x '=且,则0_________________()f x '-=。
9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++,则_________________(0)f '=。
10、ln(13)x y -=+,则____________________y '=。
11、设0()1f x '=-,则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。
12、设tan x y y +=,则_________________________dy =。
13、设lny =_______________(0)y '''=。
14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定,则曲线()y f x =在点(1,1)处的切线方程是______________________。
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题(每小题3分,共18分)1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续,则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2,铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题(每小题3分,共18分)1.“对任意给定的ε∈(0,1),总存在整数N,当n≥N时,恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2},f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1},则g(f(x))=2-x^2,x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时,e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小,则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x),x∈(0,1]三、求下列极限(每小题5分,共35分)1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$,求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是:A. 3B. 5C. 7D. 9答案:D解析:首先求导f'(x) = 2x - 4,令f'(x) = 0得到x = 2,这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点,f(0) = 3,f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此,最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x),则f'(x)等于:A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案:A解析:根据导数的基本公式,sin(x)的导数是cos(x),cos(x)的导数是-sin(x)。
因此,f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案:x^2 + x + C解析:根据不定积分的基本公式,∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式,得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x),则dy/dx = __________。
答案:1/x解析:对自然对数函数求导,根据对数函数的导数公式,ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案:极值点为x = 3。
解析:首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0,解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12,代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0,说明x = 1是极大值点;代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0,说明x = 3是极小值点。
《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数y=112+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为( ) A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 23.下列数列为单调递增数列的有( )A .0.9 ,0.99,0.999,0.9999B .23,32,45,54 C .{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数,为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的( )A .充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5.下列命题正确的是( )A .发散数列必无界B .两无界数列之和必无界C .两发散数列之和必发散D .两收敛数列之和必收敛6.=--→1)1sin(lim 21x x x ( ) A.1 B.0 C.2 D.1/27.设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( )A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时,y= ( )A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x不连续,则下列结论成立是()A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足14、设f(x)=()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x也连续的有()A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切,则()A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x0)=a,则f`(-x)=()A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑,则y’|x=0=()A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx,则y(10)=()A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x,则y(10)=()A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|,则()A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=( )A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是( )A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是( )A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是( ) A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=( )A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的( )A 、(n+1)阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为( )A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在(a,b)内存在原函数,则原函数有()A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=()A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=()47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为()A、原点(0,0,0)B、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面,但不可能为平面54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是( )A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是( )A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( )2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=( )3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=( )4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=( )5、求极限0lim →x (1-x)1/x= ( )6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=( )8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( )10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( )11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( )12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( )13、函数y=2x-5x 2的最大值为( )14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点,则有b=( ) c=( )16、∫xx 1/2dx= ( )17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( )18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ,则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =( )20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续, 则a=( ) 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =( )22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=( )24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=( )25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=( )26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )32、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 33、满足不等式|x-2|<1的X 所在区间为 ( )34、设f(x) = [x] +1,则f (л+10)=( )35、函数Y=|sinx|的周期是 ( )36、y=sinx,y=cosx 直线x=0,x=л/2所围成的面积是 ( )37、 y=3-2x-x 2与x 轴所围成图形的面积是 ( )38、心形线r=a(1+cos θ)的全长为 ( )39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为 ( )40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是 ( )41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是( )42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是 ( )43、求平行于xoz 面且经过(2,-5,3)的平面方程是 ( )44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()三、解答题1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大?并求出其最大值。
《高等数学》练习题及答案解析第一课时一、单选题1、函数4()31f x x =+,则f(1)的值为:(D )A 、0B 、1C 、3D 、4解析:采用代入法,将x=1代入原函数,可得f(1)的值为:/*4*/2、函数y =的定义域为:(D )A 、(-∞,-2]B 、[2,+∞)C 、[-∞,+∞]D 、(-∞,-2]U[2,+∞)解析:根据幂函数性质,要使得该函数有意义,该函数的定义域为:/*(-∞,-2]U[2,+∞)*/。
3、下列函数不是周期函数的是:(c )A 、y=cos(x -2)B 、y=1+sin πxC 、y=xsinxD 、y=2tan3x解析:根据周期函数的定义,可计算得知,/*y=xsinx*/不是周期函数4、指出函数y=lgx 在(0,+∞)的区间内的单调性:(A )A 、单调递增B 、单调递减C 、没有单调性D 、无法确定解析:根据函数单调性的性质,y=lgx 是以10为底的对数函数,在其定义域内是递增的。
因此是/*单调递增*/。
5、设函数f(x)=lnx ,则f(x)-f(y)=(D )A 、f(x+y)B 、f(x -y)C 、f(xy)D 、f(x/y)解析:根据对数函数的运算法则,f(x)-f(y)=lnx -lny=ln(x/y)=f(x/y),因此,f(x)-f(y)的值为:/*f(x/y)*/。
二、判断题1、函数y=sinx 是以2π为周期的函数(A )A 、正确B 、错误解析:函数y=sinx 是周期函数,以2π为周期。
因此该表述是/*正确*/的2、函数y=cosx 是奇函数(B )A 、正确B 、错误解析:函数y=cosx 关于Y 轴对称,因此,函数y=cosx 是偶函数,所以原题的表达是/*错误*/的。
3、函数1()f x x =在开区间(0,1)内无界。
(A )A 、正确B 、错误解析:根据函数的有界性,可知该函数在指定区间内无界。
因此该表述是/*正确*/的三、多选题1、函数的表达法有:(A 、B 、C )A 、解析法B 、列表法C 、图形法D 、反函数法解析:函数的表达法有:/*解析法、列表法、图形法*/等三种。
《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数y=112+x 是( )A.偶函数B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x)=cosx+1,则f(x)为( )A 2x 2-2B 2-2x 2C 1+x 2D 1-x 23.下列数列为单调递增数列的有( )A . ,,,B .23,32,45,54C .{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数,为奇数n n nn n n1,1 D. {n n 212+}4.数列有界是数列收敛的( )A .充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5.下列命题正确的是( )A .发散数列必无界B .两无界数列之和必无界C .两发散数列之和必发散D .两收敛数列之和必收敛6.=--→1)1sin(lim 21x x x ( ).0 C 27.设=+∞→x x x k)1(lim e 6 则k=( ).2 C 68.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( )A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时,y= ( )A 、是连续的B 、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为()A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x0不连续,则下列结论成立是()A、f(x)+g(x)在点x0必不连续B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续D、在点x0必不连续14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有()A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/2x相切,则()21、若直线y=x与对数曲线y=logaA、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x0)=a,则f`(-x0)=()A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑,则y’|x=0=()A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx,则y(10)=()A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x,则y(10)=()A、-1/x9B、1/ x9C、x9D、 x930、若函数f(x)=xsin|x|,则()A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=( )A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是( )A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是( ) A 、0/0型 B 、∞/∞型 C 、∞ -∞ D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是( )A 、00型B 、0/0型C 、1∞型D 、∞0型38、极限 x x x x sin 1sinlim 20 =( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在39、x x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的( )A 、(n+1)阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为( )A 、2B 、1/2C 、1D 、042、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为( )A 、0B 、1/2C 、1D 、243、若函数f(x)在(a,b )内存在原函数,则原函数有( )A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=()A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=()A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为()A、原点(0,0,0)B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面,但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是()A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是()A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56下列命题正确的是()A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的()A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0,л] B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+160设y=(cos)sinx ,则y’|x=0=( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、 不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( )2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=( )3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=( )4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x =( )5、求极限0lim →x (1-x)1/x = ( )6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=( ) 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( ) 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( ) 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( ) 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( )13、函数y=2x-5x 2的最大值为( )14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点,则有b=( ) c=( ) 16、∫xx 1/2dx= ( )17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( ) 18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ,则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt=( )20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dte x在点x=0连续, 则a=( ) 21、∫02(x 2+1/x 4)dx=( ) 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=( ) 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=( ) 25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=( )26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为 ( )34、设f(x) = [x] +1,则f(л+10)=()35、函数Y=|sinx|的周期是()36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是()38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为()39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为()40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是()41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是()44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()46求极限lim [x/(x+1)]x=()∞x→47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=()48∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()50求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()三、解答题1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大并求出其最大值。
大学高等数学试题及答案一、单项选择题(每题4分,共20分)1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间(-∞, -3)上是:A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为:A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 微分方程y''+y=0的通解为:A. y=C1*cos(x)+C2*sin(x)B. y=C1*e^x+C2*e^(-x)C. y=C1*x+C2D. y=C1*ln(x)+C24. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为:A. 1B. -1C. 3D. -35. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为:A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1二、填空题(每题4分,共20分)6. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点为______。
7. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。
8. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率为______。
9. 函数f(x)=sin(x)的周期为______。
10. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为______。
三、计算题(每题10分,共30分)11. 求极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)。
12. 计算定积分∫(0 to 1) (2x+1) dx。
13. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的二阶导数。
四、证明题(每题15分,共30分)14. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是增函数。
15. 证明极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e。
答案:一、单项选择题1. B2. B3. A4. B5. A二、填空题6. x=-17. e^x+C8. 09. 2π10. 0三、计算题11. 412. 3/213. f''(x)=6x-12四、证明题14. 证明略15. 证明略结束语:本试题涵盖了高等数学的多个重要知识点,包括极限、导数、积分等,旨在检验学生对高等数学基本概念和计算方法的掌握程度。
高等数学考试题库(附答案)1. 解析:求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析:求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析:求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析:求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析:求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析:求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析:求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析:求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析:求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析:求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析:求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析:求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析:求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析:求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析:求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析:求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析:求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析:求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析:求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析:求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数 y=1是()2x1A. 偶函数B. 奇函数C 单调函数D 无界函数2.设 f(sin x)=cosx+1,则 f(x) 为()2A 2x 2-2B 2-2x 2+x 2D 1 - 2C 1x3.下列数列为单调递增数列的有( )A . 0.9 ,0.99, 0.999,0.9999B . 3, 2, 5,42345n为奇数n1 , n21nC . {f(n)}, 其中 f(n)=n , 为偶数 D. { 2n}1n4.数列有界是数列收敛的( ) A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( ) A .发散数列必无界 B .两无界数列之和必无界 C .两发散数列之和必发散D .两收敛数列之和必收敛6. lim sin( x 21) ()x 1x 1A.1B.0C.2D.1/27.设 lim (1 k ) x e 6则 k=()xxA.1B.2C.6D.1/68.当 x1 时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是()A.x 2 -1B. x 3 -1C.(x-1) 2D.sin(x-1)9.f(x) 在点 x=x 0 处有定义是 A. 必要条件C.充分必要条件f(x) 在x=x 0 处连续的(B.充分条件 D.无关条件)10、当|x|<1时,y=()A 、是连续的B、无界函数C 、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数 f (x)=( 1-x )cotx要使 f (x)在点: x=0 连续,则应补充定义f (0)为()A 、B、 e C、-e D、-e -112、下列有跳跃间断点x=0 的函数为()A、xarctan1/xB、 arctan1/xC、 tan1/xD、 cos1/x13、设f(x) 在点 x0连续, g(x) 在点 x0不连续,则下列结论成立是(A、f(x)+g(x)在点x0必不连续B、f(x) ×g(x) 在点 x0必不连续须有C、复合函数 f[g(x)]在点x0必不连续)D、在点x0必不连续14、设f(x)=在区间 (-∞,+∞) 上连续,且f(x)=0,则a,b满足()A、a>0,b >0 C、a<0,b >0BD、a>0,b <0、a<0,b <015、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有()A、B、C、tan[f(x)]D、 f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0,л]B、( 0, л)C、[-л /4,л/4]D、( - л/4,л /4 )17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b)<0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间 (0,1) 内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x 4-4x+120、曲线 y=x2在 x=1 处的切线斜率为()A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线 y=x 与对数曲线 y=log a x 相切,则()A、eB、1/e CxD1/e 、 e、 e22、曲线 y=lnx平行于直线 x-y+1=0 的法线方程是()A、x-y-1=0B、x-y+3e -2 =0C、 x-y-3e-2 =0D、 -x-y+3e -2 =023、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切,则 a=()A、± 1B、±л/2C、± ( л/2+1)D、± ( л/2-1)24、设 f(x) 为可导的奇函数,且 f`(x 0)=a ,则 f`(-x0)=()A、 aB、-aC、|a|D、025、设 y=㏑,则 y’|x =0=()A、 -1/2 B 、1/2C、-1 D、026、设 y=(cos)sinx,则 y’|x =0=()A、 -1B、0C、1D、不存在27、设 yf(x)=㏑(1+X) ,y=f[f(x)],则 y’|x =0=()A、 0 B 、 1/㏑ 2 C 、 1 D 、㏑ 228、已知 y=sinx ,则 y(10)=()A、 sinx B 、cosx C、-sinx D、 -cosx29、已知 y=x ㏑ x,则 y(10) =()9B 99、9A、 -1/x、1/ x C 、8.1/xD-8.1/x30、若函数 f(x)=xsin|x|,则()A、f``(0) 不存在 B 、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)=л31、设函数 y=yf(x)在[0 ,л ] 内由方程 x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=()32、圆 A 、 -1 B 、0 C 、л/2D、 2x2cos θ,y=2sin θ上相应于 θ =л /4 处的切线斜率,K=()A 、-1B 、0C 、1D 、233、函数f(x)在点x 0 连续是函数f(x)在 x 0 可微的()A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数 f(x) 在点 x 0 可导是函数 f(x) 在 x 0 可微的()A 、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数A 、0f(x)=|x|在B 、-dxx=0 的微分是( C 、dx D 、)不存在36、极限 lim ( x1) 的未定式类型是()x 11x ln xA 、0/0 型B、∞ / ∞型 C 、∞ - ∞D 、∞型137、极限 lim(sin x) x 2的未定式类型是()xx 0A 、00 型B、 0/0 型∞型C 、 1 型D 、∞x 2sin138、极限limx=()x 0sin x A 、0 B、1 C 、 2 D 、不存在39、x x 0 时, n 阶泰勒公式的余项 Rn(x) 是较 x x 0 的()A 、(n+1)阶无穷小B 、 n 阶无穷小C 、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数 f(x) 在[0, +∞] 内可导,且 f`(x) >0,xf(0) <0 则 f(x) 在 [ 0,+ ∞]内有()A 、唯一的零点 B、至少存在有一个零点C 、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线 y=x2-4x+3 的顶点处的曲率为()A、2B、 1/2C、1D、 042、抛物线 y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为()A、0B、 1/2C、1D、 243、若函数 f(x)在( a,b )内存在原函数,则原函数有()A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫ f(x)dx=2e x/2 +C=()A、2e x/2B、 4 e x/2C、e x/2+CD、e x/245、∫ xe-x dx = ( D)A、xe-x -e -x +CB、-xe -x+e-x+CC、xe-x +e -x +CD、-xe -x -e -x+C-ndx()46、设 P( X)为多项式,为自然数,则∫ P(x)(x-1)A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx= ()A、5/6 B 、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y 2 =1及 (x-1)2/9+y 2/4=1之间所围的平面图形面积等于()A、л B 、2л C 、4л D 、6л49、曲线 y=x2-2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()A、лB、6л /15C、16л/15D、32л/1550、点( 1, 0, -1 )与( 0, -1 ,1)之间的距离为()A、 B 、2 C 、31/2D、2 1/251、设曲面方程(P, Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()A、 Z=4 B 、Z=0C、Z=-2D 、x=252、平面x=a 截曲面 x2/a 2+y2 /b 2-z 2/c 2=1 所得截线为()A、椭圆B、双曲线 C 、抛物线 D 、两相交直线53、方程 =0 所表示的图形为()A、原点( 0,0,0)B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面,但不可能为平面54、方程 3x2 +3y2-z 2=0 表示旋转曲面,它的旋转轴是()A、X 轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程 3x2 -y 2-2z 2=1 所确定的曲面是()A、双叶双曲面 B 、单叶双曲面 C 、椭圆抛物面D、圆锥曲面56 下列命题正确的是()A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的()A、. 必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58 函数 f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()A、[0, л ]B、(0,л)C、[- л/4, л/4]D、(-л/4,л /4)59 下列函数中能在区间 (0,1) 内取零值的有()A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x 2-1D、f(x)=5x4-4x+160 设 y=(cos)sinx,则y’|x=0=()A、-1B、0C、1D、不存在二、填空题1、求极限 lim(x 2+2x+5)/(x 2+1)= ()x1、求极限3()lim2x 03、求极限 lim x-2/(x+2)1/2 =()x 24、求极限 lim[x/(x+1)]x=()x5、求极限 lim1/x= ()(1-x)x 06、已知 y=sinx-cosx ,求 y`| x=л/6 =()7、已知ρ=ψsin ψ+cosψ/2 ,求 dρ /d ψ| ψ=л/6=()8、已知 f(x)=3/5x+x2 /5 ,求 f`(0)=()9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx相切,则 a=()10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)= ()11、函数 y=2x3极小值与极大值分别是()12、函数 y=x2-2x-1的最小值为()13、函数 y=2x-5x 2的最大值为()14、函数 f(x)=x 2e-x在[-1,1]上的最小值为()315、点( 0, 1)是曲线 y=ax +bx2+c 的拐点,则有 b=() c= ()16、∫ xx 1/2 dx= ()17、若 F`(x)=f(x) ,则∫ dF(x) = ()18、若∫ f(x)dx =x2e2x+c,则 f(x)= ()b19、d/dx∫a arctantdt =()1x t2x2(e1)dt0, x 0在点x=0连续,则a=()20、已知函数 f(x)=a, x0、∫ 02(x 2+1/x 4 )dx =()21x1/2(1+x1/2)dx=()22、∫4923、∫031/2a dx/(a2+x2)=()24、∫01 dx/(4-x2)1/2=()л25、∫л/3 sin (л /3+x)dx=()x1/2(1+x1/2)dx=()26、∫49x1/2(1+x1/2)dx=()27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=()28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=()29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=()30、∫4931、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()33、满足不等式 |x-2|<1 的 X 所在区间为34、设 f(x) = [x] +1 ,则 f (л+10)=(35、函数 Y=|sinx|的周期是()())36、y=sinx,y=cosx 直线 x=0,x= л/2 所围成的面积是()238、心形线 r=a(1+cosθ )的全长为()39、三点( 1,1,2),(-1,1,2),( 0, 0, 2)构成的三角形为()40、一动点与两定点( 2,3,1)和( 4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是()41、求过点( 3,0,-1),且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程是()42、求三平面 x+3y+z=1 ,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0 的交点是()43、求平行于 xoz 面且经过( 2,-5, 3)的平面方程是()44、通过 Z 轴和点( -3, 1, -2)的平面方程是()45、平行于 X 轴且经过两点( 4, 0, -2)和( 5, 1, 7)的平面方程是()46求极限 lim [x/(x+1)]x=()x47函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)= ()9x 1/2(1+x1/2)dx= ()48∫449y=sinx,y=cosx直线 x=0,x= л /2 所围成的面积是()50求过点( 3,0,-1 ),且与平面 3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()三、解答题21、设 Y=2X-5X ,问 X 等于多少时 Y 最大?并求出其最大值。
第一章第一章 函数与极限§1 函数一、单项选择题1、下面四个函数中,与y=|x |不同的是( A ) (A )||ln xey = (B )2x y = (C )44x y = (D )x x y sgn =)上是(,在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=非周期函数。
的周期函数; 最小正周期为的周期函数;最小正周期为的周期函数; 最小正周期为)(32)(3)(3)(D C B A πππ )函数的是( 、下列函数中为非偶数B 3)1lg(1)(4343)(arccos )(1212sin )(2222x x x x y D x x x x y C x y B x y A x x +++=++++−==+−⋅=;;4、是 函数)0(ln)(>+−=a xa xa x f (A ) 的值奇偶性决定于非奇非偶函数;偶函数; 奇函数; a D C B A )()()()(二、填空题1、=则时且当设 z x z y y x f y x z , , 0 , )(2==−++= . 解:2 , 0 x z y ==时因 2)(x x f x =+∴ 故有 x x x f −=2)( )()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为,则设 )()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=解:由 解得 ,650162+−≥−≤≤x x x由 解得 或x x x x 256023−+><>[)(]故函数的定义域是 ,,−1236Υ.3、[]=则., ;,设)(0202)(x f f x x x x f≥<+=解:[]f f x x x x ()=+<−≥−4222,;, 4、=的反函数则.,;,;,设)()(42411)(2x x f x x x x x x f xφ+∞<<≤≤<<∞−=解:当时,,即−∞<<==x y x x y 1 −∞<<y 1 当时,, .141162≤≤=∴=≤≤x y x x yy当时,, .42162<<+∞=∴=>x y x y x y log>≤≤<<∞−=φ.,;,;,的反函数故16log 1611)()(2x x x x x x x x f 5,,且成立,对一切实数设0)0()()()()(212121≠=+f x f x f x x f x x x f ,a f =)1(=则)0(f ,=)(n f )(为正整数.n解)0()0()0()00(021≠⋅=+==f f f f x x ,代入已知式取∴=f ()01又 f af f f f a ()()()()()1211112==+==设则f k a f k f k f a a akkk ()()()()=+=⋅=⋅=+111nan f n =)(有故对一切§2 数列的极限一.单项选择题1、{}无界是数列发散的数列n a ( B )件..既非充分又非必要条 .充分必要条件.充分条件 .必要条件D C B A ;;;2、=−为偶数当为奇数当n n n x n ,10,17则 D 。
高等数学练习题附答案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ()1.收敛的数列必有界.()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量. ()3.闭区间上的间断函数必无界.()4.单调函数的导函数也是单调函数. ()5.若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导.()6.若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.()7.若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续.()8.若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微.()9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.()10.设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且1)0()0(+'=''f f ,则)0(f 为)(x f 的一个极小值.二、填空题.(每题2分,共20分) 1.设2)1(x x f =-,则=+)1(x f .2.若1212)(11+-=x xx f ,则=+→0lim x .3.设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g ,6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .4.设yxxy u +=,则=du . 5.曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为.6.设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f xf x F f +==',则=')1(F .7.若),1(2)(02x x dt t x f +=⎰则=)2(f .8.x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为. 9.广义积分=-+∞⎰dx e x 20.10.设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D5221,1.三、计算题(每题5分,共40分)1.计算))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ . 2.求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在(0,+∞)内的导数. 3.求不定积分dx x x ⎰-)1(1.4.计算定积分dx x x ⎰-π53sin sin .5.求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值.6.设平面区域D 是由x y x y ==,围成,计算dxdy yyD⎰⎰sin . 7.计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8.求微分方程yxy y 2-='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分) 1.证明:tan arc x =)(+∞<<-∞x .2.设)(x f 在闭区间[],b a 上连续,且,0)(>x f证明:方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内(每题2分,共20分)1.√;2.×;3.×;4.×;5.×;6.×;7.×;8.×;9.√;10.√. 二、填空题.(每题2分,共20分)1.442++x x ;;2;4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++; 3;;7.336;;2;.三、计算题(每题5分,共40分)1.解:因为21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+21n n+ 且21lim0(2)n n n →∞+=,21limn n n →∞+=0 由迫敛性定理知:))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ =0 2.解:先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y 3.解:原式=⎰-x d x112=⎰-x d x 2)(112=2c x +arcsin 4.解:原式=dx x x ⎰π23cos sin=⎰-2023sin cos πxdx x ⎰ππ223sin cos xdx x=⎰-2023sin sin πx xd ⎰ππ223sin sin x xd=2025][sin 52πx ππ225][sin 52x - =4/55.解:02832=--='y x x f x 022=-='y x f y故⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==22y x当⎩⎨⎧==0y x 时8)0,0(-=''xxf ,2)0,0(-=''yy f ,2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆ 且A=08<-∴ (0,0)为极大值点且0)0,0(=f当⎩⎨⎧==22y x 时4)2,2(=''xxf ,2)2,2(-=''yy f ,2)2,2(=''xy f 02)2(42<--⨯=∆ ∴无法判断6.解:D={}y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(⎰⎰⎰⎰=∴102sin sin y y Ddx y y dy dxdy y y=dy x y y y y 2][sin 10⎰ =dy y y y )sin (sin 1⎰-=⎰+-110cos ]cos [y yd y=⎰-+-11cos ]cos [1cos 1ydy y y=1sin 1-7.解:令xy u =,xyv =;则21≤≤u ,31≤≤v 8.解:令u y =2,知x u u 42)(-=' 由微分公式知:)4(222c dx xe e y u dxdx+⎰-⎰==⎰-四.证明题(每题10分,共20分) 1.解:设21arcsinarctan )(xx x x f +-=222222211111111)(x x x x x x x x f ++-+⋅+--+=' =0令0=x 0000)0(=∴=-=c f 即:原式成立。
2.解:],[)(b a x F 在 上连续 且dt t f a F a b⎰=)(1)(<0,dt t f b F b a ⎰=)()(>0故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.又)(1)()(x f x f x F +='0)(>x f 即)(x F 在区间],[b a 上单调递增∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.《高等数学》专业学号姓名一、判断题(对的打√,错的打×;每题2分,共10分)1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.2.若)(x f y =在点0x 不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.3.若)(x f 在],[b a 上可积,)(x g 在],[b a 上不可积,则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.4.方程0=xyz 和0222=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5.设*y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解,y 是其所对应的齐次方程的通解,则*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.二、填空题(每题2分,共20分) 1.设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .2.设xx x f 3arcsin )21ln()(+=,当=)0(f 时,)(x f 在点0=x 连续.3.设xt t tx x f 2)11(lim )(+=∞→,则)(x f ''.4.已知)(x f 在a x =处可导,且A a f =')(,则=--+→hh a f h a f h )3()2(lim 0.5.若2)]([cos )(2x f dxdx x f =,并且1)0(=f ,则)(x f . 6.若)(),(x g x f 在点b 左连续,且)()(),()(x g x f b g b f '>'=)(b x a <<,则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g7.若2sin x y =,则=)(2x d dy ;=dxdy. 8.设⎰=x x tdt x f 2ln )(,则=')21(f .9.设y x e z 2=,则=)1,1(dz .10.累次积分dy y x f dx x R R)(202022-⎰⎰-化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题(前6题每题5分,后两题每题6分,共42分)1.⎰⎰+→xx tx dtt t dtt 0sin 01sin )1(lim;2.设1ln 22-=x xe e y ,求y ';3.dx x x x ⎰+-2sin 1cos sin ;4.⎰-2224dx x x;5.设22y x xz +=,求 y x zy z ∂∂∂∂∂2,. 6.求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy .7.设平面区域D 是由x y x y ==,围成,计算dxdy y yD ⎰⎰sin . 8.求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y x ==1下的特解.四、(7分)已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-,试确定系数a 、b ,并求出所有的极大值与极小值.五、应用题(每题7分,共14分)1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为)/(10h km 时,燃料费为每小时6元,而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行km 1所消耗的费用最小2.过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线,求:(1)切线与曲线所围成图形的面积;(2)图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. 六、证明题(7分)设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在,且0)0(=f ,0)(>''x f .证明xx f x g )()(=在a x <<0上单调增加.高等数学参考答案一、判断题1.√;2.×;3.√;4.×;5.√. 二、填空题 ;2.32;3.x e x 2)1(4+;4.A 5;5.x sin 1+;6.<; 7.22cos 2,cos x x x ;8.2ln ;9.dy dx +2;10.⎰⎰20)2cos (πθθRrdr r f d .三、计算题 1.原式xxxx xx sin cos )sin 1(limsin 10+=→2.2222222222)1(2)1(212111-⋅--⋅-⋅-='x xx x x xxxxe e e e e e e e e y 3.原式=dx x x xx ⎰+-2)cos (sin cos sin 4.设t x sin 2=则tdt dx cos 2= 原式=⎰⋅⋅202cos 2cos 2sin 4πtdt t t5.23222222)(22y x xy yx y x y x yz +-=++⋅-=∂∂6.两边同时微分得:即)()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=- 故dx y x y x dy )ln(3)ln(2-+-+=(本题求出导数后,用dx y dy '=解出结果也可)7.⎰⎰⎰⎰=102sin sin y y Ddx y y dy dxdy y y8.原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+ 通解为]1[ln 1ln 1C dy ye ex dy y y dyy y +⋅⎰⎰=⎰-e y x ==1代入通解得1=C 故所求特解为:01ln 2)(ln 2=+-y x y 四、解:b ax x xf ++='23)(2因为)(x f 在1=x 处有极值2-,所以1=x 必为驻点 故023)1(=++='b a f 又21)1(-=++=b a f 解得:3,0-==b a于是x x x f 3)(3-=)1(3)(2-='x x f由0)(='x f 得1±=x ,从而06)1(>=''f ,在1=x 处有极小值2)1(-=f 06)1(<-=-''f ,在1-=x 处有极大值2)1(=-f五、1.解:设船速为)/(h km x ,依题意每航行km 1的耗费为 又10=x 时,6103=⋅k 故得006.0=k ,所以有)96006.0(13+=x xy ,),0(∞+∈x 令0)8000(012.032=-='x xy ,得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导,且只有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点,所以求得船速为)/(20h km 时,每航行km 1的耗费最少,其值为2.7209620006.02min =+⨯=y (元)2.解:(1)设切线与抛物线交点为),(00y x ,则切线的斜率为100-x y , 又因为22-=x y 上的切线斜率满足12='⋅y y ,在),(00y x 上即有120='y y 所以112000=-⋅x y y ,即1200-='x y 又因为),(00y x 满足2020-=x y ,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212020020x y x y 得⎩⎨⎧==1300y x所以切线方程为)1(21-=x y 则所围成图形的面积为:(2)图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为:六、证:22)]0()([)()()(])([xf x f x f x x x f x f x x x f --'=-'=' 在],0[x 上,对)(x f 应用拉格朗日中值定理,则存在一点),0(x ∈ξ,使得代入上式得2)()(])([xf x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数,又ξ>x ,则)()(ξf x f '>',于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([>'x x f ,故xx f )(在),0(a 内单调增加. 《高等数学》试卷专业学号姓名一、填空题(每小题1分,共10分)1.函数y =的定义域为_______________。