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第四章 向量的范数与矩阵的 范数 4.1 向量的范数 4.2 矩阵的范数
定义 4.1 如果V 是数域K上的线性空间，且 对于V 中任意一向量x ，对应一个实值函数,
它满足以下三个条件： （1）非负性： （2）齐次性： （3）三角不等式：
例4.1
x 1 2 n
2 2
2
（ 2.1.1 ）
(k )
必要性. 设 x
x ，则 x x 0 即向量
(k )
(k ) 1
1 , 2( k ) 2 ,, n( k ) n
i
的每一个分量收敛 时，
到零，于是对 0 ，ki 使得当 k> 有
(k ) i
i ，取N= max ki ，当k> N时
i i i
因此， max i 是 C n 上的一种范数. x
i
例4.3
以上例子给出了 中向量的三种常用范数， 下面再来看更一般的 P-范数（也叫Holder（赫 n 尔德）范数） p 1/ p
x ( i )
i 1
n
,1 p
要证明上式是向量范数. 只证明三角不等式
( i i )
i( k ) i 有
，故
即 从而可知序列
.
证毕
有关性质：
1）零向量的范数是零。
2）当
时，有
实际上，我们还可以通过已知的向量范 数来构造新的向量范数。
定理4.1 设
是
上的一种已知向量范数
（不一定是P-范数），A是n阶满秩方阵，
，定义 ，则 是
上的一种向量范数。
证明：
所以
是
上的一种向量范数。 是 中向量 是 的n元连续
定理4.2 设
的一种范数，则 函数。
(即 解：（1）对于
x Fra Baidu bibliotek
）是否是范数？
1 2 n
2 2
2
(2)a C , ax (3)对于 x, y C ,
n
a1 a 2 a n a x
2 2 2
x y ( x y, x y ) ( x, x) 2 Re( x, y ) ( y, y )
2
因为 Re（x, y ) ( x, y ) ( x, x)( y, y ) x y
证明 x max i 是Cn 上的一种范数， 例4.2
这里x 1 , 2 , n C
i
n
x y max i i max i max i x y
i 1 n i 1
n
i
i ( i )
p i 1 p 1/ p
n
p 1/ p
( i i
i 1
n
)
( i )
n
( i i
i 1 n
n
1 p 1 ( p 1) p p 1
)
[( i )
i 1
p 1/ p
( i )
i 1
p i 1
n
1/ p
( i )
p i 1
1/ p
( i )
p i 1
n
1/ p
其中
y (1 ,2 ,,n ) C n
注：这里要用到 Holder不等式：
其中 因为
1 1 1, p 1, q 1. p q
1 p 1 ( p 1) p p 1
p 1/ p
] ( i i )
i 1
n
1
1 p
所以 称
( i i )
i 1
n
p 1/ p
( i )
i 1
n
p 1/ p
( i )
i 1
n
p 1/ p
显然上面三个例子中给出的三种常用范数是P范数的特殊情况。当p=1, 2, 便得 x 1与 x 2 ， 并且
定义4.2 满足上述不等式 的两种范数称为是 等价的.由此可见任意两种向量范数是等价的。
定理4.4
( ( C n 中的 x ( k ) 1( k ) , 2 k ) ,, n k )
收敛到向量 x 1 , 2 ,, n ，序列
的充要条件是对任一种范数
x
二. 向量范数的等价性 定理4.3 设 x 和 x 为有限维线性空间V 的 任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的 正常数 c1和 c2 使下面不等式成立
c1 x x c2 x
例如：x 2 x 1 n x 2
n or x1 x2 x1 n n x2 x x2 n 1 x1 x x1 n
x lim x
p
p
证明:
例4.4 设A 是任意一n阶正定Hermite矩阵,列向 x C n , 则函数 x A ( x H Ax)1/ 2 是一种向量范数, 称为 量 加权范数或椭圆范数. 证：因为A 正定，所以当x=0时， x
A
0
例4.5
是线性空间 C[a,b]的范数.
(k )
x 收敛于零
证 取 .
充分性. 设 x
(k )
x 0 即 max
i
(k ) i
i 0
但是 从而
( k ) j max i( k ) i ( j 1,2,, n) j
i
( k ) j 0( j 1,2,, n)即x ( k ) x j
