2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=。 证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作：
2
20
000
(1)44(1)1112(1)2ln 2234n n n n q q U nr r n α
πεπεα≠≠-=
=--∴=-=-⨯-+-+-=∑∑
注：234
111ln(1)234
x x x x x +=-
+-+。2是考虑左右离子对称。
2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。 解：（1）晶格常数
电荷加倍前： 206()()4n n e b A B U N N r r r r
απε=-+=-+
由平衡条件：0
()
0r r U r r =∂=∂，可得 110()n nB r A -= 。
电荷加倍后： 2'
0464()()4n n
e b A B
U N N r r r r απε=-+=-+
同样由平衡条件：
'
'()0r r U r r =∂=∂，可得 1'
10()4n nB r A -= 所以 001
1
'04r r r n ≈=--
，即1>>n 时，晶格常数可认为不变。
（2）结合能
电荷加倍前： 20001
()(1)4N e W U r r n απε=-=-
电荷加倍后： 22'
''
1
1'
001
0041
4()(1)4444
n n n N e N e W U r W r n
r ααπεπε---=-=-==
当1>>n 时，有W 'W 4=，结合能增加为原来的4倍。
2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为3NAr V =(A 为常数，N 为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W （单个离子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取02,10,3m n r ===Å,4W =eV,求,αβ值。 解： （1）平衡间距
()=-+m n
αβ
U r r r
由平衡条件 0
()
0r r U r r =∂=∂，可得 1
0()n m n r m βα-= （2）单个离子的结合能
()m
n m
m n m n m n n m r r r r r U W ---⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-
=αβααβαβα1212212000m 00
（3）体弹性模量
晶体体积3
NAr V = 晶体内能：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=
n m r r N r U βα2 21131
2NAr
r n r m N V r r U V U n m ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂=∂∂++βα ()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫
⎝⎛⋅++⋅+-⋅⋅⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅∂∂⋅=∂∂++n m n m n m n m n m r n r m r n r m V N r n r
m NAr r n n r m m NAr NAr N NAr r n r m r V r N V U βαβαβαβαβα3318321131312312222
4
4221122
体弹模量：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=n m n m V r n r m r n r m V N
V V U V K 00020220022033180
βαβα 由平衡条件：
031
22
010100
=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂=∂∂++==NAr r n r m N V
r
r U V
U
n m V V V V βα 得0101
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
++n m r n r m βα，即n m r n r m 00βα= 则
()00
000000000
00020220
02
20929181833180U V mn
r r N V mn r r V mnN r mn r mn V N r n r m r n r m V N V V U
V K n m m n m n n
m n m V -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=βααβαββ
αβα
(4) 10(
)n m
n r m βα
-=，m m
n m
r n
m n m n n m W ---⋅⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=
0212ααβα ()()
220A 90321041022 ⋅=⨯-⨯⨯=⋅-=eV r m n nW m
α
108
0A 116838649118310
902 ⋅=⨯=⨯⨯=⋅=-eV r n m m n αβ
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