第六讲 随机过程的遍历性
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平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中,平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念,它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。
这种随机过程在许多实际应用领域,如物理学、经济学、生物学等,都有广泛的出现。
本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念,包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。
1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
换句话说,平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。
例如,在金融市场中,如果一个股票价格的时间序列是平稳的,那么无论何时观察该股票价格,其均值和方差等统计特性都保持不变。
2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。
具体来说,如果一个随机过程是各态遍历的,那么对于任何给定的时间间隔,在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。
例如,在气象学中,如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的,那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。
3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。
例如,在金融市场中,股票价格可以看作是一个随机过程,它随时间变化,并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。
随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象,如天气变化、交通流量、人口增长等。
4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。
具体来说,如果一个随机过程是遍历的,那么在足够长的时间内,该过程可以展现出所有可能的状态。
例如,在密码学中,一个随机密钥生成器是遍历的,意味着在足够多的次数之后,该生成器能够产生所有可能的密钥。
总的来说,平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。
这种随机过程在许多领域都有广泛的应用,如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。
通过对其概念的理解和研究,可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。
1.平稳过程:随机过程的变化只和时间差(t-s)有关,和时间起点t0没有关系。
2.遍历性:简单的理解就是一个粒子在足够长的时间能够到达所有状态空间上的点。
第三章:最主要的是排队的问题,也就是像例3.1.1/3.1.2/3.1.3/3.2.1这样的都是很基本的计算可能会穿插在题目里面。
第四章:Poisson过程的推广,我觉得大概可能不会考……嗯……是酱紫的……第五章:1.将来只与现在有关,与过去无关2.状态转移,就是那个矩阵的那个,也是比较简单的,至于考不考,怎么考……就不太清楚……还是要掌握的……3.n步转移和C-K方程以及后面的例题啊神马神马的,就是状态转移的推广,,,4.状态的分类及性质:互通、一个类、常返、非常返,零常返……5.后面的应用里人口结构变化模型没有讲6.连续时间马氏链5.5.3/5.5.4也都没有8BB2第六章:1.鞅来源于赌博,表示的是第n次赌博的收获情况(也就是赢钱/输钱的情况)2.随机过程第n-1次赌博完后手上的钱,包含了之前的一切信息。
3.如果每次赌博的输赢的机会是均等的,并且赌博是公平的,经过长时期后,期望收益和最初的相同。
4.上鞅:对参与者有利;下鞅:对赌场老板有利5.例题6.1.3/6.1.4/6.1.5都没怎么讲提了一下6.例题6.2.4/6.2.5/6.2.6/定理6.2.2推论6.2.17.停时定理6.2.2没讲8.鞅的收敛定理:金融市场的投资会使得资产增加,但是不会变得无穷,一直投资下去,资产的期望值等于初始的期望;金融工程:构造一个凸函数形成下鞅;期权是构造价值标的资产凸函数。
随机的例子:排队问题、保险赔付、第五章的例子,鞅的那章跟我们关系比较密切的就是怎样利用下鞅(构造凸函数)进行金融市场里的套机,第七章相关的就是B-S公式,期权定价,不过貌似说七章不考啊……。
所谓随机过程的遍历性,通俗地说,就是“在下标集T上,随机过程按其分布函数遍历其所有的可能状态”。
遍历性也称为各态历经性质。
具有遍历性的随机过程必为平稳过程,但平稳过程未必是遍历的。
如果平稳时间序列具有遍历性,则根据一次观测得到的样本序列即可计算序列的统计特征,这无疑对于工程领域中许多实际问题的分析处理带来了极大的便利。
尽管在实际应用中样本长度总是有限的,以至无法应用上式精确地计算序列的统计特征量,但在有限样本条件下仍可以得到各种统计特征量的一致无偏估计。
事实上,遍历性是工程信号统计分析方法的基础。
传递函数表示测试系统的输入信号与输出信号之间在复数域内的关系。
平稳各态遍历随机过程的概念
一、平稳性
平稳性是指一个随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
具体来说,如果一个随机过程在时间t的取值与时间0的取值之间的统计特性没有差异,那么我们称这个随机过程是平稳的。
平稳性是一种重要的性质,因为它可以让我们更好地理解随机过程的特性,并且简化了一些分析和计算。
二、各态遍历性
各态遍历性是指一个随机过程在足够长的时间后能够访问其所有可能的取值。
也就是说,无论随机过程从哪个初始状态开始,或者经历什么样的噪声干扰,它最终都会遍历所有的可能状态。
各态遍历性是马尔可夫过程的特性之一,这种过程是一种在每个时刻都只依赖于其当前状态的过程。
三、遍历性
遍历性是指一个随机过程能够访问其所有可能的取值,并且这个过程是无后效性的。
也就是说,在每个时间点上,下一个状态的取值只依赖于当前的状态,而与过去的状态无关。
遍历性是马尔可夫链和马尔可夫过程的特性之一,这种特性使得我们可以通过研究每个状态的概率分布来理解整个过程的统计特性。
四、随机过程
随机过程是一种数学模型,用于描述在时间演化过程中随机变化的量。
这个概念广泛用于各种领域,包括物理学、经济学、生物学等。
随机过程可以由一组随机变量构成,这些变量是在不同的时间点上取值的,并且这些变量的取值是随机的。
根据不同的特性,随机过程可以分为不同的类型,如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
随机过程课后试题答案1. 题目:简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案:离散时间马尔可夫链(Discrete-time Markov Chain)是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下:1.1 基本概念:- 状态空间:马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合,记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率:转移概率是指在给定前一个状态的条件下,系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率,其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵:转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链,转移概率矩阵是一个方形矩阵,维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布:对于离散时间马尔可夫链,如果存在一个概率分布π,满足π = πP,其中π是一个行向量,P是转移概率矩阵,则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质:- 马尔可夫性:离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性,即将来状态的发展只与当前状态有关,与过去的状态无关。
- 遍历性:若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零,则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性:对于离散时间马尔可夫链,转移概率矩阵P的元素都是非负的,并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性:如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的,则称该马尔可夫链是不可约的。
反之,则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性:对于不可约的离散时间马尔可夫链,如果存在某个状态,从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1,则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目:连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些?答案:连续时间马尔可夫链(Continuous-time Markov Chain)是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。