第六讲 随机过程的遍历性

T
a 2 cos(t ) cos(t )dt
10
a 2 cos(0 ) / 2 RX ( )
各态历经性判别
X (t )
X (t )
t
t
(a)
(b)
11
7、用实Baidu Nhomakorabea手段研究随机过程的统计特性
统计实验分析的目的： 从时间序列（实验数据）出发（一个实现）， 估计它所代表的随机过程X（t）的统计特性 统计实验分析的理论基础： 待估计的量： 均值、方差、相关函数、功率谱密度（频域特性），密度函数
6
6、假设随机过程各态历经的意义 各态历经的意义 任何一个样本函数的特性都可以充分代表随机过程的 全部统计特性，简化研究过程和实际统计方法 在实际应用中，如果随机过程是平稳的，我们总是凭经验假 设它是各态历经的。 实际中，在通信系统中，我们认为噪声和信号一般都是平 稳和各态历经的
7
遍历性判断
从定义(重点)
D{ X (t ) X (t )} 0
条件2、 X (t ) X (t与样本函数无关， )
1 T RX ( ) l i m x(t ) x(t )dt T 2T T

相关各态历经
任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态 在各条样本函数中可能状态 x(t ) x(t相同，且以相同的概率出现 )
从充分条件 若不含周期分量
l i m R X ( ) m X 2 T
均值遍历性：
零均值平稳正态随机信号：


0
R X ( ) d
相关遍历性
8
例 判断随机过程X(t)=Y的遍历性， 其中Y是方差不为零的随机变量。 解： E[ X (t )] E[Y ]
E[ X (t ) X (t )] E[Y 2 ]
其中
X (t1 ) X (t 2 ) X (t ) X (t ) 1 l i m T 2T

T
T
X (t ) X (t )dt
1 x(t ) x(t ) l i m T 2T

T
T
x(t ) x(t )dt
1 Rx ( m ) l i m N N
12
各态历经假设
随机过程的数字特征估计 均值： 无偏、一致估计量
N 1 1 ˆ mX x ( n) N n 0
估计方法的好坏评判
估计量的期望：
无偏性
有偏性 渐进无偏

均值函数：
mean()
用法：m=mean(x)
估计量的方差:
方差越小越好 一致估计
13
功能：返回X(n)均值估计
方差：
有偏（渐进无偏）、一致估计量
1 T E[ X (t )] l i m x(t )dt T 2T T

均值各态历经
任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程（任意 时刻）所有的状态相同，而且出现的频率与随机过程各 状态的概率相同
3
3、自相关各态历经性
P X (t1) X (t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
5
5、各态历经性的定义 设X(t)是一个平稳随机过程，如果同时满足均值各态 历经、相关各态历经，则称x（t）广义各态历经
x(t )
P E[ X (t )]
mx
P x(t ) x(t ) R X (t1, t2 ) R X ( )
如果一个平稳随机过程X(t)，它的各种时间平均（时 间足够长）与相应的统计平均以概率1相等 则称X(t)具有严格的各态历经性，或该过程为严各态 历经过程
T 1 x(t ) lim a sin(t ) T 2T T 1 lim {a sin(T ) a sin(T )} T 2T
T

lim
a 0 T
自相关遍历性
1 x(t ) x(t T ) lim T 2T

T

代表随机信号的时间平均
1 T x(t ) l i m x(t )dt T 2T T

2
2、均值各态历经的条件和含义（重点）
x(t )
P X (t ) E[ X (t )]
mx
条件1、X（t）均值平稳 条件2、X（t）的时间平均与样本函数无关，即X (t ) 对 各条样本函数的取值一样， D{ X (t )} 0
x ( n ) x ( n m)
n 1
N
4
4、相关各态历经的条件和含义（重点）
x(t ) x(t ) X (t ) X (t ) RX (t1, t2 ) R X ( )
, t2 ) 条件1、 R X (t1不是 即随机过程相关平稳
的函数，而是 的函数， t1, t 2
N 1 1 2 ˆ ˆ X ]2 X [ x ( n) m N n 0

方差函数：
var()
用法：sigma2=var(x) 功能：返回X(n) 方差估计 标准方差函数： std() 用法：sigma=std(x) 功能：返回X(n) 标准方差估计
广义各态历经性的定义 在相关理论的范围内讨论历经过程，即讨论两种时间平均：
均值和自相关
1、均值各态历经性 与取那条样本有关， 与时间无关
1 T X (t ) l i m X (t )dt T 2 T T
P X (t ) E[ X (t )]
是时间t的函数，与取 那条样本无关
1 x(t ) lim T 2T
平稳随机过程

T
T
ydt y
结论：一个随机变量一定不是各态历经的
9
例 判断
X (t ) A cos(0t )
是否具有遍历性，其中均匀分布于(0，2)。 解、均值遍历性
E[ X (t )] E[a cos(t )] 2 1 a cos(t ) d 0 2 0
在较长的时间T内观测 一个工作在稳定状态下 的接收机的输出电压：
工作条件不变，对相同的接收机 同时观测其输出电压：
幅值的时间平均：
x x xm xk (t ) 1 2 m
平稳情况下,幅值的统计平均
E[ X (t )]
概率意义
i 1
xi P{X (t ) xi }
1
n