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第六讲 随机过程的遍历性

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遍历性定理

遍历性定理

例 1. 设 X (t) = a cos(wt + Q), t Î R, a,w 为 正 常 数 ， R.V .Q ~ U (0, 2p ) ， 则
X = {X (t),t Î (-¥, +¥)} 的均值有遍历性。
ò 证明： m =
EX (t) =
a
2p 0
1 2p
cos(wt +q )dq
= 0，
ò 若 lim E 1
T ®¥ 2T
2
T ( X (t) - m)( X (t +t ) - m)dt - R(t ) = 0 ，
-T
å 或者 lim E T ®¥Biblioteka 21 N+
1
k
N =-
N
(
X
(t
)
-
m)(
X
(t
+
t
)
-
m)dt
-
R
(t
)
2
= 0 ，则称
X
的协方差函数有
遍历性。 若随机过程（或序列）的均值和协方差函数都有遍历性，则称此随机过程有遍历性。
解： R(t ) ® 0(t ® ¥) ，故由 Stoltz 定理知：
å lim
N ®¥
1 N
N -1
R(t )
t =0
=
lim
N ®¥
R(N
- 1)
=
0。
定理 4.2（协方差函数遍历性定理）若 X = {X (t), -¥ < t < +¥} 为平稳过程，其均值函数为
合肥工业大学数学系
ò 0，则协方差函数有遍历性
T -T
X
(t )dt

通信原理-随机过程课件

通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。

第六讲 随机过程的遍历性

第六讲 随机过程的遍历性
1 T E[ X (t)] = l i m x(t)dt T →∞ 2T T
∫
均值各态历经
任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程( 任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程(任意 时刻)所有的状态相同, 时刻)所有的状态相同,而且出现的频率与随机过程各 状态的概率相同
4
3,自相关各态历经性 自相关各态历经性
1 N Rx (m) = l i m ∑x(n)x(n + m) N→∞ N n=1
5
4,相关各态历经的条件和含义(重点) 相关各态历经的条件和含义(重点)
x(t)x(t + τ ) = X (t) X (t +τ ) = RX (t1, t2)= RX (τ )
条件1 的函数, 的函数, 条件1, RX (t1, t2) 不是 t1, t2的函数,而是 τ的函数, 即随机过程相关平稳 条件2 与样本函数无关, 条件2, X (t)X (t +τ ) 与样本函数无关, D{X (t) X (t +τ )} = 0
8
遍历性判断
从定义(重点 从定义 重点) 重点 从充分条件 若不含周期分量
l i mRX (τ ) = mX 2 T→ ∞
均值遍历性: 均值遍历性:
零均值平稳正态随机信号: 零均值平稳正态随机信号:
∫
∞
0
RX (τ )dτ < ∞
相关遍历性
9
例
判断随机过程X(t)=Y的遍历性, 判断随机过程X(t)=Y的遍历性, X(t)=Y的遍历性 其中Y是方差不为零的随机变量. 其中Y是方差不为零的随机变量.
1 N1|m| RXY (m) = ∑x(n) y(n + m) N | m| n=0

随机过程-习题解答电子科技大学陈良均

随机过程-习题解答电子科技大学陈良均
中心极限定理
在独立同分布的随机变量序列中，当样本量趋于无穷时，无论总体分布是什么，样本均 值的分布趋近于正态分布。
05
随机过程的估计与预测
参数估计
矩估计法
利用随机过程的数学期望、方差等矩特征，通过 样本矩来估计参数。
最小二乘估计法
通过最小化误差的平方和来估计参数，常用的有 普通最小二乘法和加权最小二乘法。
泊松过程
总结词
泊松过程是一种随机过程，其中事件 的发生是相互独立的，且具有恒定的 发生率。
详细描述
泊松过程描述了在单位时间内发生事 件的次数，其中事件的发生是相互独 立的，且具有恒定的发生率。这种过 程在物理学、工程学、统计学等领域 有广泛应用。
随机漫步
总结词
随机漫步是一种随机过程，其中每一步 都是随机的，且与前一步无关。
信号的滤波与预测
要点一
信号滤波
利用滤波器对随机信号进行处理，提取出所需频率成分， 抑制噪声和其他干扰。
要点二
信号预测
基于随机过程理论，利用历史数据对未来信号进行预测， 提高信号处理的准确性和可靠性。
信号的检测与估计
信号检测
在存在噪声和干扰的情况下，利用随机过程理论，检测 出有用的信号，提高信号检测的灵敏度和抗干扰能力。
参数估计
通过分析随机信号的统计特性，估计出信号的某些参数 ，如频率、相位等，为进一步处理和应用提供依据。
感谢您的观看
THANKS
06
随机过程在信号处理中的应 用
信号的随机模型化
信号的随机模型化
01
将信号表示为随机过程，以便更好地理解和分析信号的特性。
随机信号的统计特性
02
研究随机信号的均值、方差、相关函数等统计特性，以描述信

平稳各态遍历随机过程的概念

平稳各态遍历随机过程的概念

平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中，平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念，它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。

这种随机过程在许多实际应用领域，如物理学、经济学、生物学等，都有广泛的出现。

本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念，包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。

1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。

换句话说，平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。

例如，在金融市场中，如果一个股票价格的时间序列是平稳的，那么无论何时观察该股票价格，其均值和方差等统计特性都保持不变。

2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。

具体来说，如果一个随机过程是各态遍历的，那么对于任何给定的时间间隔，在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。

例如，在气象学中，如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的，那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。

3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。

例如，在金融市场中，股票价格可以看作是一个随机过程，它随时间变化，并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。

随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象，如天气变化、交通流量、人口增长等。

4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。

具体来说，如果一个随机过程是遍历的，那么在足够长的时间内，该过程可以展现出所有可能的状态。

例如，在密码学中，一个随机密钥生成器是遍历的，意味着在足够多的次数之后，该生成器能够产生所有可能的密钥。

总的来说，平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。

这种随机过程在许多领域都有广泛的应用，如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。

通过对其概念的理解和研究，可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。

随机过程的基本概念ppt课件

随机过程的基本概念ppt课件
求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0

随机过程重点

1.平稳过程:随机过程的变化只和时间差（t-s）有关，和时间起点t0没有关系。

2.遍历性:简单的理解就是一个粒子在足够长的时间能够到达所有状态空间上的点。

第三章:最主要的是排队的问题，也就是像例3.1.1/3.1.2/3.1.3/3.2.1这样的都是很基本的计算可能会穿插在题目里面。

第四章:Poisson过程的推广，我觉得大概可能不会考……嗯……是酱紫的……第五章:1.将来只与现在有关，与过去无关2.状态转移，就是那个矩阵的那个，也是比较简单的，至于考不考，怎么考……就不太清楚……还是要掌握的……3.n步转移和C-K方程以及后面的例题啊神马神马的，就是状态转移的推广，，，4.状态的分类及性质:互通、一个类、常返、非常返，零常返……5.后面的应用里人口结构变化模型没有讲6.连续时间马氏链5.5.3/5.5.4也都没有8BB2第六章:1.鞅来源于赌博，表示的是第n次赌博的收获情况（也就是赢钱/输钱的情况）2.随机过程第n-1次赌博完后手上的钱，包含了之前的一切信息。

3.如果每次赌博的输赢的机会是均等的，并且赌博是公平的，经过长时期后，期望收益和最初的相同。

4.上鞅:对参与者有利；下鞅:对赌场老板有利5.例题6.1.3/6.1.4/6.1.5都没怎么讲提了一下6.例题6.2.4/6.2.5/6.2.6/定理6.2.2推论6.2.17.停时定理6.2.2没讲8.鞅的收敛定理:金融市场的投资会使得资产增加，但是不会变得无穷，一直投资下去，资产的期望值等于初始的期望；金融工程:构造一个凸函数形成下鞅；期权是构造价值标的资产凸函数。

随机的例子:排队问题、保险赔付、第五章的例子，鞅的那章跟我们关系比较密切的就是怎样利用下鞅（构造凸函数）进行金融市场里的套机，第七章相关的就是B-S公式，期权定价，不过貌似说七章不考啊……。

随机过程与随机信号的相关理论

信号检测与估计
第2章
随机过程与随机信号的相关理论
本章内容
随机过程的基本概念 随机信号的基本概念
随机变量
是指对不同的实验结果取不同数值的量，即把随机实验的结果数 量化，由于实验结果的随机性，所以它的取值也具有随机性。
举例： ----抛掷硬币实验
Ω = ω = 正面，反面为随机实验的样本空间，规定实验结果出现正面的
X
(t
)
2
且对任
意 t ， T 有
（a）X (t) E X (t) （常数）
（b）RX (t,t ) R( )
其中 R( ) 是 的某个函数，则称X (t),t T 为宽平稳过程。
宽平稳过程不一定是严平稳过程，反之亦然。但是如果严平稳过程有有 限的二阶矩，则它一定是宽平稳过程。而对于正态过程来说，两种平稳 过程是等价的。宽平稳过程有较强的适用性。
(t)
0
。σ
2 X
(t)
的平方根称为
随机过程的标准差，即
σX (t) =
σ
2 X
(t)
=
D X(t)
§2.1.3 随机过程的概率分布与统计分析
从统计上来说，σ
2 X
(t)
反应随机过程的样本函数偏离数学期望
μX (t)
的程度。从物理意义上讲，若X（t）为噪声电压，则
ψ
2 X
(t)
就是
X（t）消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值，σ
判为 H0
η0 < ΛzN < ΛzN 不能判决，继续观测
式中， ΛzN 表示进行N次观测的似然比。如果进过N次观测判
决，还不能满足性能要求，则需要增加检测信息。
§2.2
随机信号的基本概念

随机过程第六章


2 X
mx2
若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。
对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)， 若令ε=-t1，则
F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)
1.
l.i.mcn
lim
n
cn
c
2. l.i.mU U
3. l.i.m(cnU ) cU
4. l.i.m(aX n bYn ) aX bY
5.
lim
n
E[
X
n
]
E[ X
]
E[l.i.mXn
]
6.
lim
n,m
E[
X
nYm
]
E[
XY
]
E[(l.i.mX
n
)(l.i.mYm
)]
定理6.2
设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：
各态历经定理的意义：
一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的
时间平均代替过程的集合平均，即
mX
l.i.m 1 T T
T
x(t)dt,
0
RX
(t)
l.i.m
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估
计式
l.i.m 1
T 2T
T
T X (t) X (t ) dt RX ( )

各态历经性质

所谓随机过程的遍历性，通俗地说，就是“在下标集T上，随机过程按其分布函数遍历其所有的可能状态”。

遍历性也称为各态历经性质。

具有遍历性的随机过程必为平稳过程，但平稳过程未必是遍历的。

如果平稳时间序列具有遍历性，则根据一次观测得到的样本序列即可计算序列的统计特征，这无疑对于工程领域中许多实际问题的分析处理带来了极大的便利。

尽管在实际应用中样本长度总是有限的，以至无法应用上式精确地计算序列的统计特征量，但在有限样本条件下仍可以得到各种统计特征量的一致无偏估计。

事实上，遍历性是工程信号统计分析方法的基础。

传递函数表示测试系统的输入信号与输出信号之间在复数域内的关系。

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从充分条件 若不含周期分量
l i m R X ( ) m X 2 T
均值遍历性：
零均值平稳正态随机信号：


0
R X ( ) d
相关遍历性
8
例 判断随机过程X(t)=Y的遍历性， 其中Y是方差不为零的随机变量。 解： E[ X (t )] E[Y ]
E[ X (t ) X (t )] E[Y 2 ]
x ( n ) x ( n m)
n 1
N
4
4、相关各态历经的条件和含义（重点）
x(t ) x(t ) X (t ) X (t ) RX (t1, t2 ) R X ( )
, t2 ) 条件1、 R X (t1不是 即随机过程相关平稳
的函数，而是 的函数， t1, t 2
6
6、假设随机过程各态历经的意义 各态历经的意义 任何一个样本函数的特性都可以充分代表随机过程的 全部统计特性，简化研究过程和实际统计方法 在实际应用中，如果随机过程是平稳的，我们总是凭经验假 设它是各态历经的。 实际中，在通信系统中，我们认为噪声和信号一般都是平 稳和各态历经的
7
遍历性判断
从定义(重点)
在较长的时间T内观测 一个工作在稳定状态下 的接收机的输出电压：
工作条件不变，对相同的接收机 同时观测其输出电压：
幅值的时间平均：
x x xm xk (t ) 1 2 m
平稳情况下,幅值的统计平均
E[ X (t )]
概率意义
i 1
xi P{X (t ) xi }
1
n
其中
X (t1 ) X (t 2 ) X (t ) X (t ) 1 l i m T 2T

T
T
X (t ) X (t )dt
1 x(t ) x(t ) l i m T 2T

T
T
x(t ) x(t )dt
1 Rx ( m ) l i m N N
12
各态历经假设
随机过程的数字特征估计 均值： 无偏、一致估计量
N 1 1 ˆ mX x ( n) N n 0
估计方法的好坏评判
估计量的期望：
无偏性
有偏性 渐进无偏

均值函数：
mean()
用法：m=mean(x)
估计量的方差:
方差越小越好 一致估计
13
功能：返回X(n)均值估计
方差：
有偏（渐进无偏）、一致估计量
D{ X (t ) X (t )} 0
条件2、 X (t ) X (t与样本函数无关， )
1 T RX ( ) l i m x(t ) x(t )dt T 2T T

相关各态历经
任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态 在各条样本函数中可能状态 x(t ) x(t相同，且以相同的概率出现 )
T
a 2 cos(t ) cos(t )dt
10
a 2 cos(0 ) / 2 RX ( )
各态历经性判别
X (t )
X (t )
t
t
(a)
(b)
11
7、用实验手段研究随机过程的统计特性
统计实验分析的目的： 从时间序列（实验数据）出发（一个实现）， 估计它所代表的随机过程X（t）的统计特性 统计实验分析的理论基础： 待估计的量： 均值、方差、相关函数、功率谱密度（频域特性），密度函数
广义各态历经性的定义 在相关理论的范围内讨论历经过程，即讨论两种时间平均：
均值和自相关
1、均值各态历经性 与取那条样本有关， 与时间无关
1 T X (t ) l i m X (t )dt T 2 T T
P X (t ) E[ X (t )]
是时间t的函数，与取 那条样本无关
5
5、各态历经性的定义 设X(t)是一个平稳随机过程，如果同时满足均值各态 历经、相关各态历经，则称x（t）广义各态历经
x(t )
P E[ X (t )]
mx
P x(t ) x(t ) R X (t1, t2 ) R X ( )
如果一个平稳随机过程X(t)，它的各种时间平均（时 间足够长）与相应的统计平均以概率1相等 则称X(t)具有严格的各态历经性，或该过程为严各态 历经过程
T 1 x(t ) lim a sin(t ) T 2T T 1 lim {a sin(T ) a sin(T )} T 2T
T

lim
Байду номын сангаас
a 0 T
自相关遍历性
1 x(t ) x(t T ) lim T 2T

T
1 T E[ X (t )] l i m x(t )dt T 2T T

均值各态历经
任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程（任意 时刻）所有的状态相同，而且出现的频率与随机过程各 状态的概率相同
3
3、自相关各态历经性
P X (t1) X (t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
N 1 1 2 ˆ ˆ X ]2 X [ x ( n) m N n 0

方差函数：
var()
用法：sigma2=var(x) 功能：返回X(n) 方差估计 标准方差函数： std() 用法：sigma=std(x) 功能：返回X(n) 标准方差估计

代表随机信号的时间平均
1 T x(t ) l i m x(t )dt T 2T T

2
2、均值各态历经的条件和含义（重点）
x(t )
P X (t ) E[ X (t )]
mx
条件1、X（t）均值平稳 条件2、X（t）的时间平均与样本函数无关，即X (t ) 对 各条样本函数的取值一样， D{ X (t )} 0
1 x(t ) lim T 2T
平稳随机过程

T
T
ydt y
结论：一个随机变量一定不是各态历经的
9
例 判断
X (t ) A cos(0t )
是否具有遍历性，其中均匀分布于(0，2)。 解、均值遍历性
E[ X (t )] E[a cos(t )] 2 1 a cos(t ) d 0 2 0